Statistika
1
XII. Metody stanovení závislosti:
Regresní analýza

Statistika
2
Jaké a k čemu jsou metody
stanovení závislosti
lzávislostí 1. kvantitativního znaku na           2. kvantitativním znaku (nebo více
kvantitativních znacích) - regresní a korelační analýza
lzávislost dvou znaků - jednoduchá regresní analýza (jednoduchá korelační analýza)
lzávislost znaku na více znacích - vícenásobná regresní analýza
lznalost závislostí umožňuje:
l předvídat chování (prognózovat, predikovat) závislé veličiny

Statistika
3
Příklad 1. Zisk z reklamy 1
nezávíslá  - závislá veličina (proměnná)

Statistika
4
Jednoduché regresní  modely
y = f(x) + e
Lineární regresní funkce:
    regresní funkce  nezávisle proměnná
Parabolická regresní funkce :
Exponenciální a logaritmická regresní funkce :
závisle proměnná
reziduum

Statistika
5
Jednoduchá lineární regrese (JLR)
lvýběr párových hodnot:
l (y1, x1), (y2, x2), (y3, x3),...,(yn, xn)
l2 způsoby získání dat:
l(A) hodnoty nezávisle proměnné xi se předem pevně zvolí a k nim se „změří“ příslušné hodnoty yi
l(B) hodnoty (yi, xi) se „změří“ na n náhodně zvolených jednotkách základního souboru
lsoubor párových hodnot se geometricky znázorní v rovině bodovým grafem: reziduum
l
lJLR model: i = 1,2,...,n
l
l     regresní koeficienty a jejich odhady b0, b1

Statistika
6
Příklad 1. Zisk z reklamy

Statistické zpracování dat
7
Příklad 2: Výdaje na reklamu
JRA

Statistické zpracování dat
8
Příklad 2: Grafické znázornění

Statistické zpracování dat
9
Bodový diagram (Scatter diagram)

Statistika
10
Metoda nejmenších čtverců  MNČ
lIdea MNČ: minimalizovat reziduální součet čtverců:
l SR =
l   Yi
lPříklad 1:(pokračování)
l
Regresní funkce:

Statistika
11
Příklad 1: „Ruční výpočty“

Statistika
12
Předpoklady (klasického) lineárního modelu
l
l1. Hodnoty vysvětlující proměnné xi se volí předem, nejsou to tedy náhodné veličiny.
l2. Náhodné složky (rezidua) ei mají normální rozdělení pravděpodobnosti se střední hodnotou 0 a
(neznámým) konstantním rozptylem s2 - tzv. homoskedasticita
l3. Náhodné složky jsou nekorelované, tj.
l r(ei , ej) = 0 pro každé i ¹ j , i,j = 1,2,...,n.            (r - korelační koeficient)
l

Statistika
13
Předpoklady (klasického) lineárního modelu

Statistika
14
Koeficient determinace R2
lKoeficient determinace (KD) charakterizuje přiléhavost dat k regresnímu modelu
l (číslo mezi 0 a 1):
l
l
•
•- teoretický součet čtverců:   Sy = SR + ST
-
•- reziduální součet čtverců
•Pro malé soubory:
Upravený KD

Statistika
15
Příklad 1. Koeficient determinace
lZávislost zisku z prodeje na velikosti nákladů na reklamu (viz Příklad 1):
l
l
lKoeficient korelace („odmocnina KD“)
lR  =  0,979         Radj  =  0,979

Statistika
16
Trendová funkce v časové řadě
lHodnotami nezávisle proměnné jsou ekvidistantní (tj. stejně vzdálené) časové okamžiky ti,
i=1,2,…,n
lSituace je častá v ekonomických aplikacích, kdy máme k dispozici tzv. časové řady ekonomických
veličin, např. tržby v jednotlivých měsících, HDP v jednotlivých za sebou jdoucích rocích apod.
lLineární trendová (regresní) funkce:

Statistika
17
Transformace časové osy v časové řadě
lZavedení nové časové proměnné t´ následujícím způsobem:
l         je-li počet členů časové řady n lichý
l
l
l   je-li počet členů časové řady n sudý
l
lJednodušší odhad regresních koeficientů – MNČ:

Statistika
18
Příklad 2. „ Časová řada “
Výrobu horských kol typu Superba / v tis. ks / udává následující tabulka:
Rok
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
Výroba
22,3
22,0
22,3
  ???
21,3
21,4
21,1
a) Chybějící údaj za rok 2008 doplňte průměrem hodnot sousedních roků 2007 a 2009 a doplněnou
časovou řadu schématicky načrtněte.
b) Z náčrtu odhadněte správný model trendu této časové řady, pak metodou regresní analýzy vypočtěte
odhady neznámých regresních koeficientů.
c) Pomocí modelu z b) prognózujte velikost výroby   v r. 2012 a 2013.
d) Vypočtěte koeficient determinace a na jeho základě slovně zhodnoťte„přiléhavost“ dat k
regresnímu modelu.

Statistika
19
Příklad 2. „Časová řada -  výpočty“
V Excelu: Bodový graf ® Přidat spojnici trendu (lineární, rovnice regrese…)

Statistika
20
Linearizované regresní funkce
lregresní exponenciální funkce (např. Cobb-Douglasova produkční funkce ):
l
lSubstituce:
l
l
lMNČ vypočteme odhady:
l
lZpětná substituce:
l (odhady b0, b1 )

Statistika
21
Korelační analýza (KA)
lV KA není předem známo, které jsou vysvětlující
l a které vysvětlované proměnné!
lPříklad: Závislost tržeb za zboží X na tržbách zboží Y
l
lOboustranný vztah - 2 regresní přímky:
l
l
lKorelační koeficient:
l
lOdhad r :

Statistika
22
Příklad 3. Výsledky testů 10 studentů 1. ročníku OPF
l
l
l
l
lr > 0,6 – „vysoká“ hodnota korelace!
l
Počet bodů z matematiky
56
79
50
84
63
91
46
56
74
76
Počet bodů z ekonomie
82
56
46
79
74
83
51
63
75
82