III. Pravděpodobnost Statistika 1 Statistika 2 Kolo štěstí u Mountfieldů kolo stesti Statistika 3 Jaká je šance že: lVytočíte alespoň 10% slevu? l lVytočíte právě 25% slevu? l lVytočíte 100% slevu? l lVytočíte alespoň 50% slevu? Statistika 4 Kolo štěstí - četnosti xi - Sleva % ni - Četnost 12 12 14 25 15 24 16 17 20 15 30 3 50 1 70 1 80 1 100 1 Suma 100 Statistika 5 Kolo štěstí – šance (pravděpodobnosti) xi - Sleva % ni - Četnost pi - Pr-st 12 12 12 % 14 25 25 % 15 24 24 % 16 17 17 % 20 15 15 % 30 3 3 % 50 1 1 % 70 1 1 % 80 1 1 % 100 1 1 % Suma 100 100 % Náhodný jev a intuitivní pravděpodobnost … lNáhodný jev (NJ) je výstupem náhodného pokusu (NP) - určitá situace nebo postup, jehož realizací obdržíme za stejných podmínek l různé výstupy lHromadný náhodný jev - náhodný pokus je alespoň teoreticky neomezeně opakovatelný Statistika 6 Příklady NP lkolo štěstí, hod kostkou lzjišťováni volebních preferencí polit. stran voličů lzjišťování hodnoty nákupů zákazníků l l Příklady NJ lpadne nejméně 80%, padne šestka lvolič preferuje VV (ODS, TOP09, ČSSD aj.) lhodnota nákupu zákazníka je 126 Kč Statistika 7 Kč Náhodný jev a intuitivní pravděpodobnost lJev jistý - musí nutně nastat lJev nemožný - za žádných okolností pokusu nastat nemůže lJev, který spočívá v nenastoupení jevu A, je jevem opačným: lJevy neslučitelné - nemohou současně nastat Statistika 8 Elementární jevy a jevový prostor lElementární jevy (EJ) jsou takové jevy, které: lv dané situaci nelze rozložit na dílčí jevy ljsou neslučitelné lmnožinu všech elementárních jevů nazýváme jevový prostor (JP) ljeden z EJ z JP musí vždy nastat Statistika 9 Elementární jevy a jevový prostor… lVytváření nových jevů pomocí: lSjednocení jevů A a B l označujeme AÈB lPrůnik, tj. jev představovaný současným výskytem jevů A a B, l označujeme AÇB Statistika 10 Příklady… lNa „kole štěstí“: l1. Padnutí alespoň 12% je jevem jistým, padnutí méně než 12% je jevem nemožným! l2. Jestliže padnutí alespoň 50% znamená jev A, potom padnutí méně než 50% je jevem opačným k jevu A, tedy jevem . Statistika 11 Příklady… lPři zjišťování věku zákazníků v marketu: l3. Věk zákazníka nejvýše 160 let je jevem jistým, věk zákazníka více než 160 let je jevem nemožným. l4. Jestliže věk zákazníka nejvýše 20 let je jev A, potom věk zákazníka alespoň 21 let je jevem opačným k jevu A, tedy jevem . Statistika 12 Příklady…. l5. Jevový prostor „kolo štěstí“ se skládá z 10 elementárních jevů, možnými výsledky je totiž padnutí 12,14,15,16,20,30,50,70,80,100 % l6. Jevový prostor věku dospělých zákazníků (v rocích) daného supermarketu je 18, 19, 20, ... … – neomezená množina EJ Statistika 13 POZOR! l Náhodný jev může být totožný s některým elementárním jevem, nebo může zahrnovat více elementárních jevů, např. padnutí sudého počtu ok je sjednocením trojice elementárních jevů (2, 4, 6) Statistika 14 Intuitivní pravděpodobnost… l Míru možnosti nebo šance výskytu hromadného náhodného jevu udává číslo, které nazýváme pravděpodobností (Prst) l tohoto jevu Statistika 15 Intuitivní pravděpodobnost lPrst = číslo z intervalu mezi 0 a 1 lJevu nemožnému se přiřazuje Prst = 0 lJevu jistému Prst = 1 lČím větší má jev pravděpodobnost, tím větší je šance, že jev nastane Statistika 16 Klasická pravděpodobnost a kombinatorika … lNáhodný pokus má n elementárních jevů (tj. výsledků pokusu), které mají stejnou pravděpodobnost výskytu lJev X nastane tehdy, když nastane jeden z m předem stanovených příznivých výsledků lPotom pravděpodobnost jevu X je dána podílem všech příznivých výsledků a všech možných l výsledků: Prst(X) = l Statistika 17 Příklad 1… l lV urně je 10 koulí, z toho 6 černých a 4 bílé: la. Stanovte pravděpodobnost, že 1 vytažená koule bude bílá l lb. Stanovte pravděpodobnost, že z 5 vytažených koulí budou 3 černé a 2 bílé Statistika 18 Řešení Příkladu 1a… l Elementárním jevem je kterákoliv z vytažených koulí. Počet všech elementárních jevů n = 10, počet příznivých jevů je m = 4, (bílé) l to jest l Prst = 4/10 = 0,4 l Statistika 19 Řešení Příkladu 1b… l Elementárním jevem je kterákoliv pětice vytažených koulí. Počet všech elementárních jevů l se rovná počtu všech kombinací l 5 koulí vytažených z 10 koulí, l tj. l n = = 252 l l což je počet možných výsledků! Statistika 20 Řešení Příkladu 1b… l Počet příznivých výsledků je počet těch kombinací 5 koulí, kde 3 jsou černé (ze 6) a 2 bílé (ze 4), l tedy m = . = 20.6 = 120 l Hledaná pravděpodobnost Prst je podle vzorce (1): l l Prst = = 0,461 tj. 46,1% Statistika 21 Ke stanovení (intuitivní) pravděpodobnosti se užívá: Kombinatorika l Mějme n prvků (například písmen, koulí, lidí aj.) l Kolika způsoby je možné vytvořit skupinu o x prvcích, přičemž l 1. záleží nebo 2. nezáleží l na pořadí prvků ve skupině? l ad 1. Variace (písmena: ano, ona…) l ad 2. Kombinace (tažená čísla ve sportce) l Prvky ve skupině se eventuálně l mohou opakovat!? Statistika 22 Kombinatorika 2 – ad 1. l lNepřipouštíme-li opakování prvků ve skupině, dostáváme variace x-té třídy z n prvků bez opakování, jejich počet je dán vztahem: l l lPřipouštíme-li opakování stejného prvku ve skupině, potom dostáváme variace x‑té třídy z n prvků s opakováním, jejich počet udává vztah: l Statistika 23 Kombinatorika 3 l Ve speciálním případě x = n, dostáváme permutace n-té třídy (bez opakování i s opakováním). Konkrétně, pro permutace bez opakování platí známý vzorec: l P(n) = n! l Statistika 24 Kombinatorika 4 – ad 2. lUvažujeme skupiny x prvků, kde nezáleží na pořadí prvků: l kombinace x-té třídy z n prvků bez opakování a jejich počet vyjadřuje vzorec : l lPrvky ve skupině se mohou opakovat: kombinacích x-té třídy z n prvků s opakováním, jejich počet je dán vzorcem : Statistika 25 Příklady… l1. Kolik 3-písmenných slov lze vytvořit z písmen A, B, C, D, E ? l lJedná se o variace s opakováním, neboť záleží na pořadí písmen a písmena se mohou ve slově opakovat Statistika 26 Příklady: l2. Kolika způsoby lze vytvořit 3-členné předsednictvo představenstva podniku ze 6 zvolených členů? lJedná se o kombinace bez opakování, neboť zde nezáleží na pořadí členů předsednictva a členové se přirozeně nemohou opakovat Statistika 27 Když je počet jevů neomezený: Množinová pravděpodobnost… lUvažujeme jev X - množina elementárních jevů - výsledků lSymbolem m(X) označíme nezáporné číslo, které představuje míru jevu X, l tj. „množství“ jevu X lPříklad: Kruh „desítka“ v terči má nekonečně mnoho bodů, které můžete trefit – jev X. Jaká je Prst, že trefíte „10“ (pokud s jistotou trefíte celý terč?) Statistika 28 Neomezený počet elementárních jevů: Množinová pravděpodobnost lm(W) označuje míru jevového prostoru W (tj. množina všech el. jevů) lPravděpodobnost jevu X je podílem míry jevu X a míry jevového prostoru W: l l Prst(X) = Statistika 29 Příklad 2… lNáhodný proces: „zjednodušená střelba z luku do terče podle Obrázku (dále) lZa elementární jev se považuje zasažený bod v terči lMnožinou všech elementárních jevů tj. jevovým prostorem bude celý čtvercový terč. Tato množina obsahuje zřejmě nekonečně mnoho bodů – elementárních jevů lJako vhodnou míru použijeme obsah rovinného obrazce Statistika 30 Statistika 31 Příklad - terč: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Příklad 2… l Vypočtěte pravděpodobnosti zasažení (tj. jevu): l X1 - tmavého centrálního kruhu („desítka“) l X2 - světle šedého mezikruží („5“ až „9“) l X3 - bílého mezikruží („1“ až „4“) l Statistika 32 Příklad - terč: Prst(X1) = 0,0078 Prst(X2) = 0,2747 Prst(X3) = 0,5024 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Statistika 33 Statistika 34 Příklad – „Hod připínáčkem“ Jev A Prst (A) = ? Jev B Prst (B) = ?? Pravděpodobnost jako relativní četnost lPravděpodobnost lze empiricky vyjádřit jako relativní četnost jevu při velkém počtu opakování náhodného pokusu lfk - počet výskytu daného jevu X l během k pokusů Statistika 35 Statistika 36 Pravděpodobnost jako relativní četnost l Prst(X) - pravděpodobnost jevu X definujeme jako limitu l l l l lPrakticky se pravděpodobnost vypočítá jako hodnota podílu: l l pro „dost velké“ k Statistika 37 Příklad – „Hod připínáčkem“ Jev A Prst (A) = 0,55 Jev B Prst (B) = 0,45 Podmíněná pravděpodobnost… lČíslo P(A) udává pravděpodobnost ljevu A pro pevně stanovený lkomplex podmínek l lK původním podmínkám připojíme lještě další podmínku, totiž že lnastal (jiný) jev B l(s nenulovou pravděpodobností) Statistika 38 Podmíněná pravděpodobnost lHledáme pravděpodobnost jevu A za podmínky, že nastane jev B lTo je podmíněná pravděpodobnost jevu A vzhledem k jevu B : Prst(A|B) lPodmíněnou pravděpodobnost určíme podle Bayesova vzorce: l l Statistika 39 Příklad: „hrací kostka“… lA - padne číslo >2 Þ Prst(A) = 4/6 lB - padne číslo sudé Þ Prst(B) = 3/6 lPrst(A Ç B) = 2/6 lPodle Bayesova vzorce: l Prst(A | B) = 2/3 l Statistika 40 Příklad: „hrací kostka“ lTotéž lze ověřit klasickou pravděpodobností: l l ln = 3 - počet „sudých“ možností lm = 2 - počet >2 mezi sudými Þ Prst(A|B) = 2/3 l Statistika 41