IV. Náhodná veličina
Statistika


Náhodná veličina…
lNáhodná veličina (NV) = Číselný výsledek náhodného pokusu.
lVýsledky - obecně různé vlivem náhodných činitelů  mají různé pravděpodobnosti realizace
lNáhodná veličina (NV) = odpovídá kvantitativnímu znaku populačního souboru (je jeho zobecněním)
l
Statistika

Rozdělení (pravděpodobnosti) náhodné veličiny
lRNV = Pravidlo (předpis), které každé číselné hodnotě nebo množině hodnot přiřazuje
pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude této hodnoty nebo hodnoty z tohoto intervalu
Statistika

Rozdělení náhodné veličiny
lRozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny = úplné poznání NV:
lstanovení hodnot, jichž může NV nabývat
lznalost pravděpodobností, s nimiž NV nabývá určité hodnoty, nebo hodnoty   z nějakého intervalu
Statistika

Náhodná veličina – Příklad 1
l
lNV diskrétního typu:
l1. Jistý hotel má 100 pokojů, počet obsazených pokojů je náhodná veličina X s možnými hodnotami
x =  0,1,2,...,100
l
0  1  2
99 100
50
Statistika

Náhodná veličina – Příklady
l2. Roční mzda zaměstnanců podniku
l - NV nabývá hodnoty 100 000 až 6000 000 Kč
l
l
l
l
l3. Životnost výrobku (žárovky) je náhodná veličina X, která může (teoreticky) nabýt jakékoliv
hodnoty x ³ 0
l
100 000
200 000
600 000
0
1 000
4 000
Statistika

Náhodná veličina – Příklad 2
l
l
l
l
l
l
100 000
200 000
600 000
300 000
PRST že roční mzda zaměstnance leží mezi 200 až 300 tis. Kč
Statistika

Způsoby vyjádření RNV
l1. Pravděpodobnostní funkce
l (typ diskrétní NV)
l2. Hustota pravděpodobnosti
l (typ spojité NV)
l3. Distribuční funkce
l (oba typy NV: diskrétní / spojitý)
Statistika

Pravděpodobnostní funkce
l Pravděpodobnostní funkce (PF) -
l p(x) – každé hodnotě x ÎD přiřazuje      odpovídající pravděpodobnost:
l p(x) = P(X = x)
l PF p(x) splňuje vztahy:
l
l
l
lpravděpodobnost, že náhodná veličina nabude hodnoty z intervalu [a,b]ÌD,
l je rovna součtu pravděpodobností hodnot
l z tohoto intervalu
l (D je množina diskrétních hodnot)
l
Statistika

10
Příklad další náhodné veličiny:  „Kolo štěstí“
kolo stesti1
Statistika

Statistika
Příklad další náhodné veličiny:  „Kolo štěstí“
l
l

Statistika
Kolo štěstí – náhodná veličina
xi - Sleva %
ni - Četnost
pi - Pr-st
12
12
0,12
14
25
0,25
15
24
0,24
16
17
0,17
20
15
0,15
30
3
0,03
50
1
0,01
70
1
0,01
80
1
0,01
100
1
0,01
Suma
100
1,00

Hustota pravděpodobnosti
l
lHP - f(x) - nezáporná funkce splňující podmínku:
l
l
l
l
l
lCelá plocha pod grafem funkce f(x) –          nad osou x je rovna 1
Statistika

Statistika
Příklad funkce hustoty:
lPrůměrná měsíční mzda zaměstnanců: NV nabývá hodnoty 100 až 600 tis. Kč
l
l
l
100 000
200 000
600 000
f(x)
ò  f(x)dx  = 1
+¥
-¥

Distribuční funkce
l
lDF - F(x) – je definovaná na R vztahem:
l
l
lF(x) –  je neklesající funkce splňující:
l lim F(x) = 0 pro x®-¥
l lim F(x) = 1 pro x®+¥
Statistika

Příklad distribuční funkce pro diskrétní NV: Hrací kostka

      F(x)=P(X£ x) –   Pr-st,
že NV X nabude hodnoty £ x
Za   x   lze dosadit jakékoliv číslo!
x
1/6
x
x
Statistika

Distribuční funkce spojité NV
1. Neklesající spojitá funkce
2. Limity 0 a 1 pro x®±¥
Statistika

Statistika
Vztahy mezi Hustotou a Distribuční funkcí
l
l
lMezi HP a DF platí následující vztahy:    HP je derivací DF:
l
l
l pro všechna x kde má DF derivaci
lNaopak: DF náhodné veličiny je neurčitým integrálem      (primitivní funkcí) k HP, tj.

Charakteristiky
náhodné veličiny (NV)
lCharakteristiky polohy:
l ♦ modus
l ♦ medián
l ♦ střední hodnota
l ♦ kvantily
lCharakteristiky variability:
l ♦ rozptyl
l ♦ směrodatná odchylka
Statistika

Charakteristiky polohy
lRozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny (NV) = úplné poznání NV:
l - stanovení hodnot, jichž může náhodná veličina nabývat,
l - znalost pravděpodobností, s nimiž náhodná veličina nabývá určité hodnoty, nebo hodnoty z
nějakého intervalu
lCharakteristiky polohy (ChP) = informace    o náhodné veličině koncentrovaná do jediného čísla,
které veličinu „dobře“ charakterizuje (způsob výpočtu je jednoznačně definován)
lAnalogie s ChP statistického souboru!
Statistika

Charakteristiky polohy - Modus
lModus = Mod(X) NV X s rozdělením pravděpodobnosti dané FP p(x) (resp. FH f(x) )
l = hodnota Mod(X), pro kterou je p(x),  resp. f(x) maximální
l
l
Statistika

Charakteristiky polohy - Kvantily
lKvantil - hodnota rozdělující obor hodnot NV X v určitém poměru
l100.p-procentní kvantil xp - nejmenší takové číslo, které splňuje       současně nerovnosti:
l
l
l
l   v případě spojité náhodné veličiny    lze psát
l                  F(xp) = P(X ≤ xp) = p
Statistika

Charakteristiky polohy -
Medián, Kvartily, Decily
l
lNěkteré kvantily pro vybraná rozdělení pravděpodobnosti bývají tabelovány:
lMedián Med(X) NV  X je 50-procentní kvantil:
l Med(X) = x0,5
lKvartil NV je 25-procentní kvantil        (jsou 3: horní, dolní, prostřední je medián)
l
lDecil NV  je 10-procentní kvantil             (je jich 9, prostřední je medián)
Statistika

Medián, kvartily
Dolní kvartil
Horní kvartil
Statistika

Charakteristiky polohy -
Střední hodnota
lX - diskrétní náhodná veličina
l p(x) - pravděpodobnostní funkce
l střední hodnota  E(X) - součet hodnot vynásobených jejich pravděpodobností:
Statistika

Charakteristiky polohy -
 Střední hodnota
l  X - spojitá náhodná veličina
    f(x) - funkce HP
Střední hodnota - E(X)
je určitý integrál z hodnot  X   násobených funkcí hustoty pravděpodobnosti f(x) :
Statistika

Charakteristiky polohy NV
mohou být různé!
Statistika

Vlastnosti střední hodnoty:
l 1. k - konstantní NV: E(k) = k
l
l 2. X - NV: E(k.X) = k.E(X)
l
l 3. Y - NV: E(X + Y)  = E(X) + E(Y)
l
l 4. X a Y nezávislé NV:
l E(X.Y) = E(X).E(Y)
l Pro závislé NV neplatí!!!
Statistika

Charakteristiky variability -
Rozptyl a Směrodatná odchylka
lX - diskrétní náhodná veličina
lp(x) - pravděpodobnostní funkce
lrozptyl  Var(X) - součet kvadrátů odchylek od SH vynásobených jejich pravděpodobností:
l
l
l
l
l
Statistika

Charakteristiky variability -
Rozptyl a Směrodatná odchylka
lX - spojitá náhodná veličina
lf(x) - funkce hustoty
lrozptyl  Var(X) - integrál kvadrátů odchylek od SH vynásobených jejich hustotou:
l
l
lSměrodatná odchylka:
Statistika

Příklad 4:
lPočet různých druhů zboží, které zákazník nakoupí při jedné návštěvě obchodního domu, je náhodná
veličina X.
lBylo zjištěno, že tato veličina nabývá hodnot:  x =  0     1     2       3     4       5       6
lp(x) = 0,2  0,4  0,25  0,1  0,03  0,01  0,01
l
lStřední hodnota počtu druhů zboží zakoupeného jedním zákazníkem
l E(X)  = 0*0,2+1*0,4+2*0,25+3*0,1+4*0,03 +5*0,01+6*0,01 =  1,43
Statistika

Příklad 4 pokračování:
l
lPravděpodobnostní funkce p(x)  nabývá maximální hodnotu 0,4 pro x = 1 :
l Mod(X) = 1
lMedián:
l p(X £ 1) = p(X=0) + p(X =1) = 0,2+0,4 = 0,6 ³ 0,5
l
l p(X ³ 1) = p(X=1) + p(X=2) +…+ p(X=6) = 0,4+0,25+0,1+0,03+0,01+0,01 = 0,8 ³ 1 - 0,5 = 0,5
l Podle definice je medián:
l Med(X) = 1
lVar (X) =  02.0,2+12.0,4+22.0,25+32.0,1+42.0,03+52.0,01+62.0,01 - 1,432 = 3,39 - 2,04 = 1,35
ls(x) = √1,35 = 1,16
Statistika
x =  0     1     2       3     4       5       6
p(x) = 0,2  0,4  0,25  0,1  0,03  0,01  0,01

Příklad 5:
l
l
l
l
l
l
l    Hustota  pravděpodobnosti náhodné veličiny X je dána funkcí
l pro x ³ 1
l
l =     0  pro x < 1
l
l
lSnadno se ověří, že platí :
l
l
l

Med(X)
E(X)
Mod(X)=
Statistika

Příklad 5:
l
lSvého maxima nabývá funkce hustoty zřejmě pro        x = 1 Þ Mod(X) = 1
lVšechny tři charakteristiky jsou rozdílné!
l
l

Statistika

Funkce náhodné veličiny
lX1, X2,…,Xn - NV
l„Statistika“ - funkce náhodné veličiny:    Y = f(X1, X2,…,Xn) - opět NV!!!
lK nejdůležitějším statistikám patří:
l- Výběrový průměr:
l
l- Výběrový rozptyl:
l
l- Výběrová směrodatná odchylka:
Statistika

Charakteristiky statistik
lStřední hodnoty: E(Xi) = μ  , Var(Xi) =σ2
l výběrového průměru      :
l
l výběrového rozptylu S2 :
l
l výběrové směrodatné odchylky S :
l
l
Statistika

Charakteristiky statistik
l
lRozptyly:
l výběrového průměru    :
l
l výběrového rozptylu - neuvádíme (nebudeme využívat)
l
l
Statistika