V. Diskrétní
pravděpodobnostní modely
Statistika
1

Náhodná veličina
lNáhodná veličina = soubor všech hodnot znaku + rozdělení pravdě-podobnosti hodnot
l - některé hodnoty se nabývají častěji než jiné ® mají větší pravděpodobnost výskytu
l - hodnoty znaku statistických jednotek se „generují“ podle pravděpodobnostního rozdělení
Statistika
2

Statistický soubor (SS)
lStatistický soubor je tvořen statistickými jednotkami
lSledujeme (kvantitativní) hodnotu statistického znaku
lKaždá jednotka = jedna hodnota (číslo) statistického znaku
lSS vzniká realizací NV neboli
lNV generuje SS – obecná představa vzniku SS pomocí NV
Statistika
3

Diskrétní náhodná veličina - Příklady
l1. Jistý hotel má 100 pokojů, celkový počet obsazených pokojů 1. července je náhodná veličina X
s možnými hodnotami x =  0,1,2,...,100
l2. Počet zákazníků v supermarketu mezi 12 až 18 hod. je náhodná veličina X, která může teoreticky
nabývat jakékoliv nezáporné celočíselné hodnoty x ³ 0
Statistika
4

Připomenout o jaké tytpy náhodných veličin se jedná!

Diskrétní náhodná veličina - Příklady
l3. Rozdíl mezi počtem zákazníků ve dvou supermarketech (Kaufland, Tesco) v jednom dni je náhodná
veličina X, jež může teoreticky nabýt jakékoliv celočíselné hodnoty  x = ..., -3, ‑2, ‑1, 0, 1, 2,
...
Statistika
5

Připomenout o jaké tytpy náhodných veličin se jedná!

1. Diskrétní model pr-sti rozdělení: Stejnoměrné rozdělení
l Diskrétní náhodná veličina X
l nabývá právě k různých hodnot:
l 1, 2, 3, ..., k
l se stejnou pravděpodobností
l
l P(x) =
l
l pro x = 1,2,3,...,k
l
Statistika
6

Stejnoměrné rozdělení
l
lStřední hodnota:
l
lobecný vzorec:
l
lRozptyl:
l
lobecný vzorec:
Statistika
7

Příklad 1: „Vrh kostkou“
lStřední hodnota: E(X) = (6+1)/2 = 3,5
l
lRozptyl: Var(X) = (62 - 1)/12 = 2,92
l
Statistika
8

2. Model: Alternativní rozdělení
lDva vzájemně se vylučující výsledky -
l „úspěch“= 1 a „neúspěch“ = 0                  s pravděpodobnostmi p a (1 - p)
l
l
lPříklady:
l(1) Hod mincí „hlava“ vers. „orel“  p = 1/2
l(2) Hod kostkou „šestka“ vers. „nešestka“ p=1/6
x = 0, 1
Statistika
9

3. Model: Binomické rozdělení
ln pokusů s alternativním rozdělením celkem x krát úspěch a n-x krát neúspěch p pravděpodobnost
úspěchu
l Binomické rozdělení pravděpodobnosti:
l
l
l pravděpodobnost, že při n‑krát opakovaném alternativním procesu nastane x krát úspěch a  n-x krát
neúspěch
Statistika
10

Charakteristiky
binomického rozdělení
lStřední hodnota: E(X) = n.p
l
lRozptyl: Var(X) = n.p.(1- p)
l
lSměrodatná odchylka: s(X) =
Statistika
11

Příklad 2:
l   Je známo, že při epidemii chřipky onemocní každý třetí student, tj. pravděpodobnost onemocnění
je    1/3 =0,333 , tj. p = 1/3
l
l    Zjistěte pravděpodobnost, že ve studijní skupině s 20 studenty onemocní každý druhý
l  n = 20, p = 1/3,  x = 10   Þ  P(10| 20;1/3) =
l
l =   = 20*0,333 = 0,092  (9,2 %)
l
l E(X) = 20. 1/3 = 6,67
l Var(X) = 20 .1/3.2/3 = 4,44
l s(X) = 2,11
Statistika
12

Binomické rozdělení                    s různými parametry
pravděpodobnostní funkce
Statistika
13

4. Model: Poissonovo rozdělení
lUvažujme jevy, které nastávají                   v průběhu časového intervalu, například:
l- požadavky na telefonní spojení přicházející na ústřednu
l- zákazníci přicházející do prodejny
-automobily zastavující u benzínového čerpadla
lTakové jevy vznikají v tzv.
l Poissonově procesu
[Čti: Poasonovo]
Statistika
14

Poissonovo rozdělení
lX - náhodná veličina = počet výskytu jevu Poissonova procesu
l v daném časovém intervalu délky t
l (např. za 1 minutu, 1 hodinu apod.)
l+ rozdělení pr-sti počtu výskytů
l (tj. s jakou pr-stí nastane v daném čas. intervalu určitý počet výskytů jevu)
Statistika
15

Vlastnosti Poissonova procesu
l3 vlastnosti:
l 1. Počet výskytu jevu je nezávislý na počtu výskytu tohoto jevu v jiném intervalu
l 2. Střední hodnota počtu výskytu jevu v daném intervalu je přímo úměrná délce     zvoleného
intervalu
l 3. Ve velmi malém časovém intervalu může nastat nejvýše jeden výskyt daného  jevu
Statistika
16

Vlastnosti Poissonova rozdělení
lPravděpodobnost výskytu x jevů Poissonova procesu X:
l
l
ll, t - parametry Poiss. rozdělení
lx – počet výskytů jevu
ll - intenzita Poissonova procesu         (tj. střední hodnota výskytů jevů)
lt  - délka časového intervalu
l E(X) = l.t Var(X) = l.t   s(X) =
Statistika
17

Poissonovo rozdělení s různými parametry (t = 1)
l= 0,5
l= 2
l = 5
Statistika
18

Příklad 3:
lZákazníci přicházejí náhodně do opravny obuvi s průměrnou intenzitou 4 za hodinu. Zjistěte
pravděpodobnost, že do opravny přijdou za hodinu právě 2 zákazníci, vypočtěte střední hodnotu,
rozptyl a směrodatnou odchylku.
lŘešení:
l
l
lStřední hodnota E(X) = 4 , rozptyl Var(X) = 4,
lsměrodatná odchylka
Statistika
19

Obecné rozdělení diskrétní NV
lHodnoty NV: x1, x2,…,xn
l
lPravděpodobnosti rozdělení: p1, p2,…,pn
l platí: å pi = 1
l
l
Statistika
20

Statistika
21
Kolo štěstí - skutečnost
kolo stesti1

Statistika
22
Příklad 4: Kolo štěstí
l
lhttp://www.mountfield.cz/
l

Statistika
23
Kolo štěstí - pravděpodobnosti
xi - Sleva %
ni - Četnost
pi - Pr-st
12
12
0,12
14
25
0,25
15
24
0,24
16
17
0,17
20
15
0,15
30
3
0,03
50
1
0,01
70
1
0,01
80
1
0,01
100
1
0,01
Suma
100
1,00

Statistika
24
Kolo štěstí – průměrná sleva
Průměrná sleva = střední hodnota =
= 12*0,12 + 14*0,25 + 15*0,24 +…+80*0,01 + +100*0,01 = 18,16
Kolo štěstí poskytuje zákazníkům průměrnou slevu
18,16 %

Statistika
25
Příklad 5:
lPočet různých druhů zboží, které zákazník nakoupí při jedné návštěvě obchodního domu, je náhodná
veličina X.
lBylo zjištěno, že tato veličina nabývá hodnot:
l
l
l
lŘešení:
lStřední hodnota počtu druhů zboží zakoupeného jedním zákazníkem
l E(X)  = 0*0,2+1*0,4+2*0,25+3*0,1+4*0,03 +5*0,01 =  1,37
x
0
1
2
3
4
5
p(x)
0,20
0,40
0,25
0,10
0,03
0,01

Pravděpodobnostní funkce
Statistika
26

Statistika
27
l
lPravděpodobnostní funkce p(x)  nabývá maximální hodnotu 0,4 pro x = 1 :
l Mod(X) = 1
lMedián:
l p(X £ 1) = p(X=0) + p(X =1) = 0,2+0,4 = 0,6 ³ 0,5
l
l p(X ³ 1) = p(X=1) + p(X=2) +…+ p(X=5) = 0,4+0,25+0,1+0,03+0,01 = 0,7 ³ 1 - 0,5 = 0,5
l Podle definice je medián:
l Med(X) = 1
lVar (X) =  02.0,2+12.0,4+22.0,25+32.0,1+42.0,03 + 52.0,01 - 1,372 = 3,39 – 1,88 = 1,51
ls(x) = √1,51 = 1,23

Shrnutí
lCo je to NV: číselné hodnoty + pravděpodobnosti
lDiskrétní NV: individuální č. hod. + pr-sti
lCharakteristiky NV (polohy - 3, variability - 2)
lNV se stejnoměrným rozdělením pr-sti
lNV s alternativním rozdělením pr-sti
lNV s binomickým rozdělením pr-sti
l (též multinomickým)
lNV s Poissonovým rozdělením pr-sti
lNV s obecným rozdělením pr-sti
Statistika
28