VI. Spojité
pravděpodobnostní modely
Statistika
1

Náhodná veličina - opakování
•Statistický soubor tvoří statistické jednotky (např. zákazníci)
•Sledujeme (kvantitativní) hodnotu statistického znaku (např. cena nákupů)
•každá jednotka = jedna hodnota (číslo) statistického znaku (např. 453,55 Kč)
Statistika
2

Náhodná veličina - opakování
•Náhodná veličina = soubor všech hodnot znaku + rozdělení pr-sti hodnot
• - některé hodnoty se nabývají častěji než jiné ® mají větší pravděpodobnost výskytu
• - hodnoty znaku statistických jednotek se „generují“ podle pravděpodobnostního rozdělení daného:
• (1) distribuční funkcí (2) hustotou pr-sti
Statistika
3

Spojitá náhodná veličina – příklady 1
•Spojitá náhodná veličina = NV, kde možnými hodnotami jsou všechna reálná čísla z daného intervalu
(omezeného nebo neomezeného), např.:
•1. Čísla generovaná v Excelu pomocí funkce NÁHČÍSLO (v anglické verzi RAND) je náhodná veličina X,
která může teoreticky nabývat jakékoliv hodnoty mezi 0 a 1
•2. Výsledky měření důležitých rozměrů nebo hmotnosti produktů je náhodná veličina X, která může
teoreticky nabývat jakékoliv hodnoty x > 0
Statistika
4

Připomenout o jaké tytpy náhodných veličin se jedná!

Spojitá náhodná veličina – příklady 2
•Spojitá náhodná veličina = NV, kde možnými hodnotami jsou všechna reálná čísla z daného intervalu
(omezeného nebo neomezeného), např.:
•3. Doba strávená zákazníkem ve frontě u přepážky v bance je náhodná veličina X, která může
teoreticky nabývat jakékoliv hodnoty x ³ 0
•4. Cena akcií je náhodná veličina X, která může teoreticky nabývat jakékoliv hodnoty  x ³ 0
•akcie ČEZ
Statistika
5

Připomenout o jaké tytpy náhodných veličin se jedná!

Rozdělení náhodné veličiny (NV):
distribuční funkce a funkce hustoty
•distribuční funkce (DF) NV X - každému reálnému číslu přiřazuje pravděpodobnost, že náhodná
veličina X nabude hodnoty ne větší, než toto číslo DF X označíme F, pak:
• F(x) = P(X £ x)   pro každé xÎR
•funkce hustoty  f(x) NV X - každému intervalu čísel [a,b], kde  a < b přiřazuje pravděpodobnost,
že náhodná veličina X nabude hodnoty z tohoto intervalu, platí:
•   P(a £ X £ b) =
Statistika
6

Vztah mezi:
 Funkce hustoty a Distribuční funkce
anima2
1
z=0
z=0
p=0,5
z=0,7
p=0,5
Hustota
Distribuční funkce
p=0,62
p=0,62
Statistika
7

Funkce hustoty versus
funkce pravděpodobnosti 1
• Hodnota FH není pravděpodobnost!!!
• Pravděpodobnostní funkce p(x) - každému x přiřazuje odpovídající pravděpodobnost:     p(x) = P(X
= x)    pro každé xÎD (diskrétní množina)
• PF p(x) splňuje vztahy:
Statistika
8

Funkce hustoty versus
funkce pravděpodobnosti 2
Funkce hustoty f(x) - každému intervalu [a,b] přiřazuje odpovídající pravděpodobnost, FH splňuje
vztahy:
Statistika
9

Charakteristiky
spojité náhodné veličiny
•Charakteristiky polohy:
• modus      Mod(X)
• medián      Med(X)
• střední hodnota
•Charakteristiky variability:
• rozptyl
•
• směrodatná odchylka
Statistika
10

Charakteristiky
spojité náhodné veličiny
•Charakteristiky polohy:
• modus, medián, střední hodnota
•
Statistika
11

Stejnoměrné rozdělení 1
•Spojitá náhodná veličina X má stejnoměrné rozdělení:       § nabývá hodnot  z intervalu [a,b]
   § se stejnou pravděpodobností
•
•Funkce hustoty:           pro x Î [a,b], jinak  f(x) = 0
•
•Pravděpodobnost: c,dÎ[a,b],
•
•Střední hodnota:
•
•Rozptyl:
Statistika
12

Stejnoměrné rozdělení 2
•Spojitá náhodná veličina X má stejnoměrné rozdělení:
§nabývá hodnot  z intervalu [a,b]
§se stejnou pravděpodobností
• s funkcí hustoty                       pro x z [a,b],
• = 0     jinak
•
a
b
1/(b-a)
                 Statistika
13

Příklad 1. „ NÁHČÍSLO“ v Excelu
•(Vložit-Funkce-Matematické: NÁHČÍSLO)
•Střední hodnota: E(X) = (0+1)/2 = 0,5
•Rozptyl: Var(X) = (1 - 0)2 /12 = 0,08
•Sm. odchylka:    s(X) = Ö 0,08 =    0,29
•Pomocí lineární transformace (násobení a přičtení, resp. odečtení čísla) lze v Excelu generovat NV
se stejnoměrným rozdělením v (libovolném) intervalu [a , a +b] vzorcem:
•              NV = b*NÁHČÍSLO+ a
Statistika
14

Příklad 2. Čekání na autobus
•Autobusy odjíždějí z určité zastávky během dne pravidelně každých 15 minut. V náhodnou dobu
přijdete na zastávku.
•(a) Jaká je pravděpodobnost, že budete na autobus čekat dobu mezi 5 až 10 minutami?
•(b) Jaká je pravděpodobnost, že budete čekat alespoň 12 minut?
•(c) Stanovte střední hodnotu a směrodatnou odchylku doby čekání.
Statistika
15

Příklad 2. Čekání na autobus - řešení
•X je spojitá náhodná veličina s následující hustotou:
•
•
•
Statistika
16

Příklad 2. Čekání na autobus – pokračování
•
•(a) S využitím vzorce vypočítáme: P(5<X<10)= (10-5)/(15-0) = 0,33
•(b) Analogicky obdržíme:
• P(12< X<15)= (15-12)/(15-0) = 0,2
•(c)              s(X)  = Ö18,75 = 4,33
•Střední čekací doba je 7,5 minut, směrodatná odchylka je 4,33 minut
Statistika
17

Normální rozdělení
•Nejdůležitější rozdělení ve statistice!
•Normální (Gaussovo) rozdělení pr-sti NV:
• Způsobené kolísáním NV velkého počtu nepatrných a vzájemně nezávislých vlivů, které se skládají
(sečítají)
•Příklady:
• (1) výsledky různých testů (body)
• (2) výsledky měření rozměrů a hmotností (mm, cm, m, g, kg, t  aj.)
Statistika
18

Normální rozdělení 1
•Funkce hustoty rozdělení pr-sti f(x|m,s2):
•
•
•
•
•se nazývají parametry rozdělení
2
Statistika
19

Normální rozdělení 2
Statistika
20

Normální rozdělení 3
•Charakteristiky:
• Střední hodnota:  E(X) = m
•
• Rozptyl: Var(X) = s2
•
• Směrodatná odchylka: s(X) = s
•
Statistika
21

Normální rozdělení 4
•Pravděpodobnost:
•
•
P
Statistika
22

Normální rozdělení 5
•Normované normální rozdělení: m = 0, s2 = 1
•
•Funkce hustoty:
•Pravděpodobnost (tabelována v tabulkách)   viz skriptum:
•
•
•
•Pro z ³ 3 je pr-st téměř rovna 0,5 !
Statistika
23

Statistika
24
TABULKA 1
Plocha pod křivkou
normovaného normálního rozdělení N(0,1)
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,0
0,00000
0,00399
0,00798
0,01197
0,01595
0,01994
0,02392
0,02790
0,03188
0,03586
0,1
0,03983
0,04380
0,04776
0,05172
0,05567
0,05962
0,06356
0,06749
0,07142
0,07535
0,2
0,07926
0,08317
0,08706
0,09095
0,09483
0,09871
0,10257
0,10642
0,10260
0,11409
0,3
0,11791
0,12172
0,12552
0,12930
0,13307
0,13683
0,14058
0,14431
0,14803
0,15173
0,4
0,15542
0,15910
0,16276
0,16640
0,17003
0,17364
0,18824
0,18082
0,18439
0,18793
0,5
0,19146
0,19497
0,19847
0,20194
0,20540
0,20884
0,21226
0,21566
0,21904
0,22240
0,6
0,22575
0,22907
0,23237
0,23565
0,23891
0,24215
0,24537
0,24857
0,25175
0,25490
0,7
0,25804
0,26115
0,26424
0,26730
0,27035
0,27337
0,27637
0,27935
0,28230
0,28524
0,8
0,28814
0,29103
0,29389
0,29673
0,29955
0,30234
0,30511
0,30785
0,31057
0,31327
0,9
0,31594
0,31859
0,32121
0,32381
0,32639
0,32894
0,33147
0,33398
0,36460
0,33891
1,0
0,34134
0,34375
0,34614
0,34850
0,35083
0,35314
0,35543
0,35769
0,35993
0,36214
1,1
0,36433
0,36650
0,36864
0,37076
0,37286
0,37493
0,37698
0,37900
0,38100
0,38298
1,2
0,38493
0,38686
0,38877
0,39065
0,39251
0,39435
0,39617
0,39796
0,39973
0,40147
1,3
0,40320
0,40490
0,40658
0,40824
0,40988
0,41149
0,41309
0,41466
0,41621
0,41774
1,4
0,41924
0,42073
0,42220
0,42364
0,42507
0,42647
0,42786
0,42922
0,43056
0,43189
1,5
0,43319
0,43448
0,43574
0,43699
0,43822
0,43943
0,44062
0,44179
0,44295
0,44408

Normální rozdělení 6
•Namísto NV X s normálním rozdělením s parametry m, s2 uvažujeme transformovanou NV Z takto:
•
•
•potom se funkce hustoty převede na hustotu normovaného normálního rozdělení transformaci (*)
nazýváme normalizace
•V Excelu: NORMDIST(x; Střed_hodn; Sm_odch; Součet)
• NORMINV(prst; střední; sm_odch)
Statistika
25

Normální rozdělení 7
•
•V Excelu: NORMDIST(x; Střed_hodn; Sm_odch; Součet)
•       NORMINV(prst; střední; sm_odch)
•
•NORMDIST(x; Střed_hodn; Sm_odch; Součet) = P(X£ x)
•NORMINV(prst; střední; sm_odch) = x       P(X£ x) = prst
Statistika
26

Statistika
27
Významné hodnoty normovaného normálního rozdělení N(0,1)

Statistika
28
Významné hodnoty normovaného normálního rozdělení N(μ,s2)
400px-Standard_deviation_diagram

Příklad 3. Pomeranče
•Jistý  druh pomerančů má průměrnou hmotnost plodu   m  =100 g se směrodatnou odchylkou   s =10 g.
•(a) Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný plod bude mít hmotnost mezi 100g až 110g?
•(b) Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný plod bude mít hmotnost větší než 120g?
Statistika
29

Příklad 3. Pomeranče 2
•Řešení: m = 100, s = 10
•Ad (a) Normalizace: z1=(100-100)/10 = 0
• z2=(110-100)/10 = 1
• Platí: P(100 £ X £ 110) = P(0 £ X £ 1)
• v tabulkách nalezneme: P(0 £ X £ 1) = 0,341
• p = NORMDIST(110; 100; 10; 1) - NORMDIST(100; 100; 10; 1) = 0,841 – 0,5 = 0,341
Statistika
30

Příklad 3. …Pomeranče 3
•Řešení: m = 100, s = 10
•Ad (b) Normalizace: z =(120-100)/10 = 2
• Podobně jako v (a):
• P(X ³120) = P(X ³ 2) = 0,5 -P(X < 2) =
• 0,5 - 0,477 =  0,023
• p = 1 - NORMDIST(120; 100; 10; 1) = 1 - 0,977 = 0,023
•
Statistika
31

Statistika
32
Exponenciální rozdělení 1
•Exponenciální rozdělení pravděpodobnosti NV:
• Exponenciální rozdělení slouží jako vhodný model pro výpočet pravděpodobnosti doby životnosti
výrobků, čekacích dob v modelech hromadné obsluhy, apod.
•
•Příklady: (1) doba pobytu ve frontě u přepážky
• (2) doba obsluhy jednoho zákazníka
•Funkce hustoty rozdělení pravděpodobnosti f(x| d):
•
•
•
•Přitom d > 0 je parametr

Statistika
33
Exponenciální rozdělení 2
•Charakteristiky:
• Střední hodnota:  E(X) = d
• Rozptyl: Var(X) = d 2
• Směrodatná odchylka: s(X) = d  (= E(X) !!!)
•
• Pravděpodobnost:
•
•
expon

Statistika
34
Exponenciální rozdělení 3
expon
Funkce hustoty     Distribuční funkce
x=0,69
F(x)=0,5
p=0,5
x=0,69
f(x)
F(x)

Statistika
35
Exponenciální rozdělení: Příklad
•Průměrná doba čekání u přepážky v bance je 5 min.
•Jaká je pravděpodobnost, že zákazník bude čekat
•(a) Právě 5 minut,
•(b) Méně než 5 minut
•(c) Více než 5 minut
•(d) Více než 3 minuty a méně než 6 minut?
•
•

Statistika
36
Příklad - řešení:
•
•Průměrná doba čekání u přepážky v bance je d = 5.
•(a) Právě 5 minut: P(X = 5) = 0 !!! - spojité rozdělení,
•(b) Více než 5 minut:
•
•P(X ³ 5) =
•
•(c) Méně než 5 minut:
•
• P(X £ 5) =
•
•(d) Více než 3 minuty a méně než 6 minut:
•
•P(3£ X £ 6) =
•
•

Statistika
37
Exponenciální rozdělení - Příklad: graf

Shrnutí
•Co je to NV: číselné hodnoty + pravděpodnosti
•Spojitá NV: individuální čís. hod. + funkce hustoty pr-sti
•Charakteristiky NV (polohy - 3, variability - 2)
•NV se stejnoměrným rozdělením pr-sti
•NV s normálním rozdělením pr-sti
•NV s normovaným normálním rozdělením pr-sti
•NV s exponenciálním rozdělením
•
•
•
•
•
Statistika
38