DISKRÉTNÍ PRAVDĚPODOBNOSTNÍ MODELY Stejnoměrné Binomické Poissonovo ##### Sheet/List 2 ##### Stejnoměrné rozdělení (náhodná veličina nabývá k různých hodnot se stejnou pravděpodobností) "1. Určete, s jakou pravděpodobností padne při hodu kostkou trojka." "2. Určete, s jakou pravděpodobností padne při hodu kostkou nejvýše trojka." 3. Určete střední hodnotu. 4. Určete rozptyl. ##### Sheet/List 3 ##### Binomické rozdělení (2 navzájem se vylučující alternativy) =BINOM.DIST Na 1000 novorozenců se narodí 515 chlapců a 485 dívek. Předpokládáme rodinu se 4 dětmi. "1. Určete pravděpodobnost, že se v rodině narodí právě 4 chlapci." "2. Určete pravděpodobnost, že se v rodině narodí alespoň 2 dívky." 3. Určete střední hodnotu počtu dívek narozených v rodině se 4 potomky. 4. Určete rozptyl počtu chlapců narozených v rodině se 4 potomky. K procvičení (s řešením): "Úloha 1: Určete pravděpodobnost všech jevů, které mohou nastat při hodu 3 mincemi." "P(0 líců) = 0,125" 0.1250 "P(1 líc) = 0,375" 0.3750 "P(2 líce) = 0,375" 0.3750 "P(3 líce) = 0,125" 0.1250 "Úloha 2: Střelec má 80% pravěpodobnost, že zasáhne cíl. Určete pravěpodobnost, že:" a) z 5 pokusů zasáhne cíl 5 krát "P = 0,328" 0.3277 b) z 6 pokusů zasáhne cíl 3 krát "P = 0,082" 0.0819 c) z 8 pokusů zasáhne cíl přesně 4 krát "P = 0,046" 0.0459 "Úloha 3: Jistá mezinárodní marketingová laboratoř odhaduje, že pouze 50 procent" výrobků daného podniku je schopno konkurovat zahraniční produkci. Jaká je "P(4) = 0,234" 0.2344 "pravděpodobnost, že právě 4 ze 6 výrobků této firmy jsou úspěšné?" E(x) 3 Určete střední hodnotu a rozptyl. Var(x) 1.5 Úloha 4: Z každé stokusové zásilky kontroluje odběratel kvalitu 5 náhodně "vybraných kusů. Je známo, že každá zásilka obsahuje 10% zmetků." a. Jakým typem rozdělení pravděpodobnosti se řídí počet zjištěných Binomickým - kvalitní výrobek/zmetek zmetků? b. Vypočtěte pravděpodobnost zjištění právě 4 zmetků. "P = 0,00045" 0.00045 c. Jaká je pravděpodobnost zjištění nejvýše 2 zmetků? "P = 0,99" 0.99144 d. Jaká je pravděpodobnost zjištění alespoň 2 zmetků? "P = 0,082" 0.08146 e. Vypočtěte střední hodnotu a rozptyl množství zjištěných zmetků. "E(x) = 0,5, Var (x) = 0,45" 0.5 0.45 ##### Sheet/List 4 ##### Poissonovo rozdělení (jevy nastávají během určitého časového intervalu s danou intezitou) =POISSON.DIST Do prodejny přicházejí průměrně 3 zákazníci během hodiny. 1. S jakou pravděpodobností přijde během následujcí hodiny právě 1 zákazník? 2. S jakou pravděpodobností přijde během následujcích 20 minut právě 1 zákazník? 3. S jakou pravděpodobností přijdou během následujících 20 minut alespoň 2 zákazníci? 4. S jakou pravděpodobností přijde během následujících 90 minut více než 5 zákazníků? 5. S jakou pravděpodobností přijdou během následujících 90 minut nejvíce 2 zákazníci? K procvičení (s řešením): Úloha 1: Zákazníci přicházejí náhodně do opravny obuvi s průměrnou intenzitou 4 "P = 0,146" 0.146525111 "za hodinu. Zjistěte pravděpodobnost, že do opravny přijdou za hodinu právě" E(x) = Var(x) = 4 4 "2 zákazníci, vypočtěte střední hodnotu, rozptyl a směrodatnou odchylku." intenzita*délka časového intervalu Úloha 2: "Dispečink taxislužby registruje požadavky klientů, které přicházejí" "v náhodných časových okamžicích. Dlouhodobým pozorováním se zjistilo," že průměrná četnost požadavků v průběhu intervalu 20 minut je 2. a. Jakým typem rozdělení pravděpodobnosti se řídí zmíněný počet Poissonovým - jevy nastávájí během časového intervalu s danou intenzitou požadavků? b. Vypočtěte střední hodnotu a rozptyl počtu požadavků za časový interval E(x) = Var(x) = 6 6 (za 60 minut) jedné hodiny. "c. Vypočtěte pravděpodobnost, že během časového intervalu jedné hodiny" "P = 0,94" 0.938031196 taxislužba zaregistruje alespoň 3 požadavky na své služby. ##### Sheet/List 5 ##### Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti Stejnoměrné rozdělení Podmínky pro pravděpodobnostní funkci: Střední hodnota diskrétní náhodné veličiny: Rozptyl diskrétní náhodné veličiny: Střední hodnota spojité náhodné veličiny: Rozptyl spojité náhodné veličiny: Binomické rozdělení pravděpodobnost n … počet opakování střední hodnota p … pravděpodobnost úspěchu rozptyl Poissonovo rozdělení Pravděpodobnost střední hodnota λ … intenzita t … časový úsek "e … Eulerovo číslo; přibližně 2,7183" rozptyl ##### Sheet/List 6 ##### "V google tabulce na níže uvedené adrese najdete datovou matici, do které můžete doplňovat odpovědi respondentů:" https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dWMuNrCunWcTusfM9iTVqPSQpMPhNnTJZ6ULMCOqwL4/edit?usp=sharing "Společně získaná data od respondentů budeme během semestru vyhodnocovat příslušnými statistickými metodami. " ##### Sheet/List 7 ##### "Dlouhodobým pozorováním bylo zjištěno, že počet pracovních úrazů v jedné firmě je náhodná veličina s následujícím rozdělením pravděpodobnosti:" 1) x p(x) F(x) 0 0.14 0.14 1 0.22 0.36 2 0.37 0.73 3 0.25 0.98 4 0.02 1 1. Určete hodnoty distribuční funkce F(x). 2. Určete pravděpodobnost " - právě 1 pracovního úrazu v následujícím měsíci," 0.22 " - nejvýše 2 pracovních úrazů v následujícím měsíci," 0.73 - alespoň 3 pracovních úrazů v následujícím měsíci. 0.27 3. Určete " - střední hodnotu počtu úrazů během měsíce," 1.79 " - modus," 2 "(největší pravděpodobnost=0,37)" - medián. 2 "(první hodnota F(x) kt. dosáhla více než 0,50)" 4. Určete směrodatnou odchylku počtu úrazů. "Var(X) = 1,0659" 1.0324