MATEMATIKA V EKONOMII- PŘEDNÁŠKA Č. 2 -Diferenciálem funkce nazýváme funkci . -Diferenciál funkce vyjadřuje přibližně přírůstek funkce df při změně argumentu x o dx v bodě x. (Toto přibližné vyjádření je tím přesnější, čím menší je dx). File:Sentido geometrico del diferencial de una funcion.png __________________________________________ Příklad 2.6. Určete přírůstek funkce v bodě x = 3 pro přírůstek argumentu dx = 0,2 pomocí diferenciálu funkce. Logaritmická derivace -Používá se pro funkce ve tvaru . -U těchto funkcí nejprve jejich předpis logaritmujeme, a teprve potom derivujeme. _______________________________________________ Příklad 2.7. Derivujte: a) , b) Derivace implicitní funkce U některých funkcí se může stát, že y nejde vyjádřit jako funkci x. Například u funkce není možné vyjádřit (osamostatnit vlevo) y. V takovém případě hovoříme o implicitní funkci. ____________________________________________________________Věta 2.1. Nechť je implicitní funkce, která má v bodě C konečné parciální derivace a , a nechť . Derivace implicitní funkce v bodě C je pak definována takto: (2.1) ________________________________________________________________ ______________________________________________ Příklad 2.8. Derivujte: a) , b) . 1.1 Taylorova a Maclaurinova řada (polynom) -Složité funkce, které mají derivace všech řádů (resp. až do n-tého řádu) v okolí zvoleného bodu , můžeme za splnění určitých podmínek (konvergence zbytku řady k nule) nahradit jejich Taylorovou řadou (Taylorovým polynomem n-tého stupně). Pokud , hovoříme o Maclaurinově řadě. -Vyjádření funkce pomocí polynomu (mnohočlenu) je jednodušší a usnadňuje výpočty. Tabulka 2.2. Mocninné rozvoje vybraných funkcí. Funkce Maclaurinův rozvoj Obor konvergence sinx cosx Příklad. Exponenciální funkci můžeme nahradit na okolí budu x = 0 například takto: , tedy kvadratickým polynomem stupně n = 2. -Taylorova řada (rozvoj) funkce v bodě a je definována takto: -Taylorův polynom stupně n funkce v bodě a je definován takto: -Pokud zvolíme a = 0, dostaneme Maclaurinovu řadu resp. polynom: ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 2.9. Určete Maclaurinův rozvoj funkce f: a) , b) . c) Příklad. Určete Taylorův polynom stupně n = 4 funkce f: v bodě a = 3. Příklady užití (první) derivace v ekonomii - Mějme funkci . Elasticitu funkce definujeme takto: -Elasticita funkce udává přibližnou procentní změnu y odpovídající jednotkové procentní změně x. Kladná změna znamená růst, záporná pokles. ______________________________________________ Příklad. Určete elasticitu funkce v bodě x = 3. -Cenovou elasticitu poptávky, kde je funkce poptávky, definujeme takto: (2.6) E(P) udává, o kolik procent se změní poptávané množství, jestliže se cena změní o 1 %. Znaménko mínus ve vztahu (2.6) se zavádí proto, aby výsledná elasticita byla kladné číslo. ________________________________________________________________Příklad 2.11. Je dána funkce poptávky . Určete elasticitu poptávky obecně a pak v bodě P = 5. Podle hodnoty elasticity poptávky při dané ceně P rozlišujeme poptávku: * elastickou, je-li , * jednotkově elastickou, je-li , * neelastickou, je-li . ______________________________________________ Příklad 2.12. Je dána nabídka . Určete elasticitu nabídky obecně a pro P = 40. Dále ověřte, že funkce E(P) je rostoucí. Mezní (marginální) veličiny Mezní produkt práce (marginal product of labour) MP[L] je derivace funkce produkce podle práce: (2.8) Mezní produkt práce udává, jak se (přibližně) změní produkce při dané práci L, pokud se práce zvětší o 1 jednotku (jednoho pracovníka) na L + 1. ________________________________________ Příklad 2.14. Je dána produkce . Určete mezní produkt práce MP[L] obecně a pro L = 2 resp. L = 8. Graf 42b Obr. 2.2. -Mezní příjem MR (marginal revenue) je definován jako derivace celkového příjmu: Mezní příjem vyjadřuje (přibližně), jak se změní celkový příjem, jestliže se množství Q změní o jednotku. ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 2.18. Celkový příjem je . Určete: a) průměrný a mezní příjem obecně, b) průměrný a mezní příjem pro Q = 10, -Mezní náklady MC (marginal cost) jsou derivací celkových nákladů: ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 2.19. Jsou dány celkové náklady . Určete MC. Maximalizace zisku, minimalizace nákladů - Zisk PR (profit) se vypočte jako rozdíl celkového příjmu a celkových nákladů: -Maximální zisk lze určit z funkce pomocí první (druhé) derivace, nebo pomocí principu maximalizace zisku: V bodě maxima zisku je . V maximu tedy platí, že mezní příjem je roven mezním nákladům. ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 2.22. Jsou dány celkové náklady a celkové příjmy . Určete: a) maximum zisku, b) ověřte, že v bodě maxima je MR = MC. ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 2.23. Určete maximální zisk firmy, jestliže celkové příjmy jsou popsány funkcí a celkové náklady funkcí . ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 2.20. Jsou dány celkové náklady . Minimalizujte průměrné náklady.