MATEMATIKA V EKONOMII – PŘEDNÁŠKA Č. 6:

                Neurčitý integrál, metoda per partes, integrace racionálních funkcí



Pojem neurčitého integrálu, základní vlastnosti


- Funkce F(x) se nazývá primitivní funkcí k funkci f(x) na otevřeném intervalu  právě tehdy, když
pro všechna . Primitivní funkce existuje ke každé spojité funkci na J.

- Množina všech primitivních funkcí k dané funkci se nazývá neurčitý integrál, a značí se takto:



,

kde je integrační znak,

x  integrační proměnná,

f(x) integrovaná funkce neboli integrand,

F(x) primitivní funkce k f(x),

C  integrační konstanta.


Neurčitý integrál je lineární operátor, což znamená, že splňuje následující dvě podmínky:

i) ,

ii)



Tabulka 6.1. Základní integrály.


  řádek

                                                      f(x)

1

                                                        0

                                                                                                    C

2

                                                        1

                                                                                                  x + C

3

                                                    + C

4

                                                   + C

5

                                                   + C

6

7

                                                    + C

8

                                                      sinx

                                                                                                –cosx + C

9

                                                      cosx

                                                                                                sinx + C

10

                                                   tgx + C

11

                                                   cotgx + C

12

                                                   arctgx + C

13

14

                                                   arcsinx + C

15

                                                   arccosx + C

16

                                                    + C






































___________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________

Příklad 6.2. Integrujte:

a)  .

b) .

c) .

d) .

e) .



































Integrace součinu funkcí (metoda per partes)

Smyslem této metody je rozložit jeden složitější integrál na dva jednodušší členy (odtud název
metody: per partes je latinsky „po částech“).

- Vzorec, který používáme při integraci per partes, si odvodíme z pravidla pro derivaci součinu
dvou funkcí, které označíme  a .

Nyní osamostatníme vlevo člen uv´: , a tuto rovnost integrujeme:

Prostřední člen obsahuje integrál i derivaci, proto se tyto dvě operace vyruší, a dostaneme:

- Důležitá je správná volba funkcí u a v´. Nesprávná volba funkcí vede k tomu, že složitost úlohy
naroste. V takovém případě je zapotřebí zvolit funkce u a v´ opačně.




___________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________

Příklad 6.7. Vypočtěte: .

























___________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________

Příklad 6.8. Vypočtěte: .
























___________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________

Příklad 6.10. Vypočtěte: .
























___________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________

Příklad 6.11. Vypočtěte: .














































Integrace racionálních funkcí (metoda parciálních zlomků)


- Racionální funkcí rozumíme výraz , kde P(x) a Q(x) jsou polynomy proměnné x. Budeme předpokládat,
že stupeň polynomu P(x) je menší než stupeň polynomu Q(x). K integraci (ryzích) racionálních funkcí
ve využívá metoda rozkladu na parciální zlomky. Smyslem této metody je rozložit zadanou (a obvykle
složitou) racionální funkci na součet „nejjednodušších“ (parciální znamená „částečný“) zlomků.





___________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________

Příklad. Vypočtěte .


































___________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________

Příklad. Vypočtěte:
















































___________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________

Příklad. Integrujte   .
















































___________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________

Příklad. Integrujte:  .














































Celkové náklady a celkové příjmy

- V ekonomii lze (neurčitý) integrál využít k výpočtu celkových příjmů nebo celkových nákladů,
pokud jsou známy (dány) mezní příjmy respektive mezní náklady.

- Funkce celkových nákladů TC(x) a funkce mezních nákladů MC(x), kde x je počet výrobků, spolu
souvisejí vztahem:

                                    (6.1)

Vztah (6.1) říká, že celkové náklady jsou součtem mezních nákladů. Integrační konstanta C se určí
z jedné známé hodnoty TC(x) pro dané x. Stejný vztah platí také pro celkové příjmy TR(x) a mezní
příjmy MR(x):


                                              (6.2)





___________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________

Příklad 6.12. Určete funkci celkových nákladů, jestliže funkce mezních nákladů   a náklady na
produkci 10 výrobků činí 6000 Kč.

























___________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________

Příklad 6.14. Mezní příjmy jsou popsány funkcí , najděte funkci celkového příjmu.