MATEMATIKA V EKONOMII– seminář č. 2



                                       LOGARITMICKÁ DERIVACE


Máme za úkol derivovat funkci . Dva způsoby řešení:

i) Použijeme úpravu  a derivujeme jako exponenciální funkci.

ii) Funkci y nejprve logaritmujeme:     ,

a pak derivujeme:

1.) Derivujte:  a)        ,           b)

Výsledky: a)      , b)


                                    DERIVACE IMPLICITNÍ FUNKCE

Je dána funkce , kterou nelze upravit do tvaru  (y je funkcí x, ale nejde osamostatnit). Pak
derivujeme takto: .

1.) Derivujte funkci a) , b)

Výsledky: a) , b)


                                   TAYLOROVA a MACLAURINOVA ŘADA

Složité funkce, které mají derivace až do n-tého řádu, můžeme přibližně nahradit (aproximovat)
Taylorovým polynomem stupně n v okolí zvoleného bodu a. Taylorův polynom funkce  v bodě a je
definován takto:

Pokud zvolíme a = 0, dostaneme Maclaurinův polynom:


1. Určete Maclaurinovu řadu funkcí:

a)                     b) y = ln(x+1)             c) y = sinx


Výsledky:



2.) Porovnejte hodnoty daných funkcí s hodnotou jejich Maclaurinova polynomu (pro n = 3) v bodě x =
1. Jak dobrá je tato aproximace?

3.) Zapište Taylorovu řadu funkce  y = e^x v bodě a = 2.

Výsledek:


                               EKONOMICKÉ APLIKACE (první derivace)


-elasticita funkce, cenová elasticita poptávky a nabídky, výpočet mezních veličin.


1. Vypočtěte elasticitu funkce  v bodě x = 2.

Výsledek: ,


2. Je dána poptávka . Určete:

a) elasticitu poptávky obecně,

b) elasticitu poptávky pro P = 10, P = 15 a P = 20, rozhodněte, zda je poptávka při těchto
hodnotách elastická, jednotkově elastická nebo neelastická.

Výsledek: a) , b) , neelastická; , jednotkově elastická; , elastická.


3. Jsou dány celkové náklady . Určete FC, TVC, AC, AVC, AFC a MC.

Výsledek: ,  , , , , .


4. Jsou dány celkové náklady . Minimalizujte průměrné náklady.

Výsledek: Minimum AC nastává pro Q = 2.


5. Jsou dány celkové náklady  a celkové příjmy . Najděte: a) body zvratu, b) hodnotu Q, pro kterou
je zisk maximální.

Výsledek: a) Q = 1 a Q = 6, b) Q = 3,5.


6. Určete maximální zisk firmy, jestliže celkové příjmy jsou popsány funkcí TR(Q) = 150Q – 80 a
náklady funkcí TC(Q) = 120 + 0,3Q^2.

Výsledek: Q = 250.