MATEMATIKA V EKONOMII– seminář č. 6 – Extrémy a vázané extrémy

                                      funkce dvou proměnných


                                          EXTRÉMY FUNKCE

Nutná podmínka lokálního (i globálního) extrému: .

Funkce může mít extrémy jen v bodech, kde jsou všechny první parciální derivace rovny nule
(stacionární body) nebo některé derivace neexistují. O maximu, minimu nebo inflexním bodu
rozhodneme podle 2. parciálních derivací, z nichž sestavíme Hesseovu matici (resp. determinant
zvaný hessián):


                                            H[f](x,y) =

Do hessiánu dosadíme souřadnice „podezřelého“ bodu C a označíme: D[1] = , D[2] = H[f](C). Pro
určení extrému platí následující pravidlo:

Ø  D[2] > 0: v bodě C je EXTRÉM, a to (lokální ostré) MINIMUM, pokud je D[1] > 0; a (lokální ostré)
MAXIMUM, pokud je D[1] < 0.

Ø  D[2] < 0: v bodě C je sedlo (inflexní bod).

Ø  D[2] = 0: v daném bodě může (ale nemusí) být extrém, o extrému se musí rozhodnout jiným
způsobem.


1. Určete lokální extrémy funkce:  .

Výsledek: bod C = [1/2,1/2] je inflexní bod.

2. Určete lokální extrémy funkce:  .

Výsledek: bod C = [4/3,-5/3] je minimum.

3. Najděte lokální extrémy funkce:  .

Výsledek: bod C = [3,0] je minimum.

4. Určete lokální extrémy funkce: .

Výsledek: bod C = [1,3] je inflexní bod.

5. Najděte lokální extrémy funkce: .

Výsledek: bod C = [0,0] je maximum.

6. Určete lokální extrémy funkce : .

Výsledek: bod C[1] = [1,0] je maximum a bod C[2] = [-1,-2] je inflexní bod.



                                          VÁZANÉ EXTRÉMY


Kromě funkce  je ještě zadána vazba (omezující podmínka pro x a y) ve tvaru . Hledáme extrémy
funkce , které jsou vázány (leží na) křivkou .

Budeme používat dvě metody:

a)      Dosazovací metoda: z vazby vyjádříme x nebo y a dosadíme do , čímž získáme funkci jedné
proměnné, a extrémy tedy hledáme podobně jako u funkce jedné proměnné.

b)      Lagrangeova metoda: sestavíme Lagrangeovu funkci , kde λ je Lagrangeův multiplikátor. Poté
vypočteme parciální derivace L a položíme je rovny 0. Jako třetí rovnici pro tři neznámé x, y, λ
použijeme rovnici vazby. Vyřešíme soustavu a výsledné „podezřelé“ body C dosadíme do hessiánu.


Pro určení extrému platí následující pravidlo:

Ø  D[2] > 0: v bodě C je EXTRÉM, a to (lokální ostré) MINIMUM, pokud je navíc D[1] > 0; a (lokální
ostré) MAXIMUM, pokud je D[1] < 0.

Ø  D[2]  0: o extrému se musí rozhodnout jiným způsobem.



1.) Určete vázané extrémy funkce , .

Výsledek: bod C[1] = [-1,-1] je minimum.

2.) Určete vázané extrémy funkce ,

Výsledek: maximum , minimum .

3.) Určete vázané extrémy funkce , .

Výsledek: bod C[1] = [-1,-1] je maximum.


V praxi reprezentuje vazbová podmínka rozpočtová omezení. Například investor, který chce
maximalizovat zisk investicí do dvou produktů x a y, může mít rozpočtové omezení ve tvaru Y = ax +
by, kde a a b jsou ceny produktu x respektive y, a Y je rozpočet investora.