MATEMATIKA V EKONOMII – PŘEDNÁŠKA Č. 10

                   (Nekonečné číselné řady-pokračování, nekonečné funkční řady)



Pro alternující řady ve tvaru se používá Leibnizovo kritérium. Alternující řady jsou řady, v nichž
se střídají kladné a záporné členy. Střídání znamének členů řady způsobuje výraz (–1)^n.


___________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________

Věta 10.6. (Leibnizovo kritérium). Nechť je alternující řada a nechť platí:

i)

ii)

Pak je řada  konvergentní.

___________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________






___________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________

Příklad 10.12. Rozhodněte o konvergenci řady   (Leibnizova řada).






















___________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________

Příklad. Rozhodněte o konvergenci následujících nekonečných řad. U geometrických řad určete součet

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)






















                               Nekonečná funkční řada a její součet

-Nekonečná řada, jejíž členy jsou funkce, se nazývá nekonečná funkční řada.


___________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________

Příklad. Mějme funkční řadu . Ukážeme si některé její vlastnosti...













Nechť , , , ...  je posloupnost funkcí. Nekonečná funkční řada je symbol:

Součet funkční řady je funkce , kterou získáme (stejně jako u nekonečných číselných řad) jako
limitu posloupnosti částečných součtů:

-Řada je konvergentní, jestliže funkční řada  konverguje k funkci na jisté množině M.

-Pokud k   konverguje i řada absolutních hodnot , hovoříme o absolutní konvergenci.

-Množina všech x Î M, pro které řada konverguje (konverguje absolutně), se nazývá obor konvergence
(obor absolutní konvergence), a v dalším textu bude značen jako OK (OAK).


                                         Geometrická řada

Geometrickou řadou nazýváme řadu ve tvaru: ,

Označíme-li f(x) = q, pak řada konverguje pro , a součet řady:

                                                 (11.5)


___________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________Příklad 11.6. Určete obor
konvergence řady a její součet.



















___________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________Příklad. Určete obor
konvergence a součet řady .

















___________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________Příklad 11.9. Určete obor
konvergence řady .



















___________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________Příklad 11.10. Určete obor
konvergence řady .

























                                           Mocninná řada

-Mocninná řada je speciálním případem obecné funkční řady, a je dána následujícím předpisem:

-Mocninná řada konverguje absolutně na intervalu , kde a je střed řady a ρ je poloměr konvergence.

-Tento interval se nazývá interval konvergence (IK). Interval konvergence je souměrný podle středu
a, a obsahuje všechna x, která mají od středu menší vzdálenost než ρ.

- Poloměr intervalu  konvergence ρ se vypočte pomocí následujících limit:

                                         (11.3)

   nebo

                                         (11.4)

V krajních bodech intervalu a + ρ, a – ρ, řada může, ale nemusí konvergovat, a proto se tyto
případy musí vyšetřit zvlášť. Obecně pak platí: .


___________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________Příklad 11.2. Určete
konvergenci řady .























___________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________Příklad 11.3. Určete
konvergenci řady .





















___________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________Příklad 11.4. Určete
konvergenci řady .

























___________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________Příklad 11.5. Určete
konvergenci řady .