MATEMATIKA V EKONOMII- PŘEDNÁŠKA Č. 3



-Určit průběh funkce znamená určit všechny důležité vlastnosti dané funkce.


-Monotónnost funkce:


  * Nechť má funkce  v každém bodě x z intervalu  kladnou derivaci, pak je na tomto intervalu
rostoucí.
  * Nechť má funkce  v každém bodě x z intervalu  zápornou derivaci, pak je na tomto intervalu
klesající.


-Extrémy funkce:


  * Je-li v bodě x = a maximum nebo minimum funkce, a první derivace v tomto bodě existuje, pak je
. Opačné tvrzení neplatí!


  * Stacionární bod (bod podezřelý z extrému) je bod, v němž je první derivace nulová : . Ve
stacionárním bodě může být maximum, minimum nebo inflexní bod.


  * Pro lokální maximum platí:  a


  * Pro lokální minimum platí:  a .


  * Pokud je , nelze na základě druhé derivace o extrému rozhodnout.


Extrémy funkce mohou být ve stacionárních bodech nebo bodech, v nichž první derivace neexistuje
(např.  má minimum v bodě x = 0, kde první derivace neexistuje).



                                              graf04

                                      Obr. 3.1. Graf funkce .


                                              graf09

                                      Obr. 3.2. Graf funkce .


-Konvexnost a konkávnost funkce


·         Nechť má funkce  v každém bodě x z intervalu  kladnou druhou derivaci, pak je na tomto
intervalu konvexní.

·         Nechť má funkce  v každém bodě x z intervalu  zápornou druhou derivaci, pak je na tomto
intervalu konkávní.

·         Inflexní bod je bod, v němž se mění konvexnost na konkávnost nebo opačně.


                                              Graf 29

                               Obr. 3.3. Konkávní a konvexní funkce




___________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________

Příklad 3.2. Určete extrémy funkce:

a)

b)

c)



























___________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________

Příklad 3.3. Určete hodnotu práce L, pro kterou dosahuje funkce produkce  svého maxima.
















___________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________

Příklad 3.8. Je dána funkce nákladů . Určete Q, pro které jsou mezní náklady MC(Q) minimální.
Načrtněte průběh funkce MC(Q).


















-Asymptoty funkce


·         Asymptotami funkce  nazýváme přímky, pro které platí, že jejich vzdálenost od grafu
funkce se pro x jdoucí do nekonečna blíží nule.


·         Asymptoty existují svislé, vodorovné a šikmé.


Šikmá asymptota má obecnou rovnici stejnou jako lineární funkce (je to přímka!), tedy . Koeficienty
a a b se vypočtou pomocí následujících limit:

, resp.                                        (3.1)

 , resp.                       (3.2)



Při určování průběhu funkce obvykle postupujeme podle následující osnovy:


1. D(f), sudost, lichost, periodičnost.

2. Limity (jednostranné) v bodech nespojitosti a v nevlastních bodech.

3. Průsečíky s osami x a y, znaménka funkčních hodnot.

4. První derivace, její nulové body.

5. Lokální extrémy a intervaly monotónnosti.

6. Druhá derivace a její nulové body.

7. Inflexní body, konkávnost, konvexnost.

8. Asymptoty.

9. Omezenost funkce, H(f).

   10. Graf funkce.






















___________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________

Příklad 3.4. Určete průběh funkce f: .










































___________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________

Příklad 3.5. Určete průběh funkce .















































-Rozklad racionální lomené funkce na parciální zlomky



·         Racionální lomenou funkcí nazýváme výraz  , kde P(x)  a Q(x) jsou dané mnohočleny.

·         Rozkladem na parciální zlomky rozumíme rozklad dané racionální lomené funkce na součet
jednodušších (parciálních) zlomků.

·         Nejprve rozložíme jmenovatel Q(x) na součin kořenových činitelů, tedy na součin závorek,
v nichž je vždy (x – kořen Q), nebo nerozložitelný kvadratický dvojčlen či trojčlen.

·         Při rozkladu Q(x) mohou nastat tyto případy:


a) Všechny kořeny Q(x), označíme je x[1], x[2] až x[k] jsou reálná čísla, a žádný kořen se
neopakuje (má násobnost jedna). Pak:


b) Všechny kořeny Q(x), označíme je x[1], x[2] až x[k] jsou reálná čísla, ale některý kořen,
například x[1] se opakuje n-krát (říkáme, že má násobnost n). Pak:



c) Jmenovatel obsahuje nerozložitelný kvadratický dvojčlen nebo trojčlen násobnosti jedna.
Příkladem budiž například  nebo . Pak:


___________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________

Příklad 6.3. Rozložte na parciální zlomky .


















___________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________

Příklad 6.4. Rozložte na parciální zlomky .


















___________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________

Příklad 6.5. Rozložte na parciální zlomky   .













 Odbočka: Jak dělíme mnohočlen mnohočlenem?




Pokud v racionální funkci  je stupeň čitatele větší než jmenovatele, nejprve mnohočleny dělíme,
teprve poté rozkládáme.













___________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________

Příklad 6.5. Rozložte na parciální zlomky