MATEMATIKA V EKONOMII – PŘEDNÁŠKA Č. 8: Určitý integrál a jeho aplikace URČITÝ INTEGRÁL Newtonův určitý integrál ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Definice 8.1.: Nechť funkce je spojitá na otevřeném intervalu J. Newtonovým určitým integrálem funkce od a do b (na intervalu ) nazýváme symbol , kde a je horní integrační mez a b je dolní integrační mez. ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ - Výpočet určitého integrálu provádíme pomocí Newtonova-Leibnizova vzorce: (8.2) - Zatímco neurčitý integrál je funkce (přesněji množina funkcí lišících se o konstantu C), je určitý integrál číslo, které vypočteme ze vztahu (8.2). Význam integrační mezí spočívá v tom, že nám říkají „odkud kam integrujeme“. - Základní vlastnosti určitého integrálu: i) ii) iii) iv) v) , - Užití určitého integrálu je velmi široké, zvláště v přírodních a vědách a technických oborech. Určitý integrál se používá nejčastěji k výpočtu: * obsahu plochy ohraničené danými křivkami * délky křivky * objemu rotačního tělesa * povrchu rotačního tělesa * při řešení diferenciálních rovnic s okrajovými podmínkami V ekonomii můžeme určitý integrál využít k výpočtu: * celkových veličin z mezních (marginálních) veličin, například celkového příjmu z mezního příjmu, * celkové veličiny, je-li dán její tok či intenzita. * k výpočtu přebytku spotřebitele a výrobce v podmínkách dokonalé konkurence ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 8.1. Vypočtěte: . Graf 22 Obr. 8.2. Obsah plochy pod křivkou . ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 8.2. Vypočtěte: . ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 8.3. Vypočtěte: . ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 8.4. Vypočtěte: . ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 8.5. Vypočtěte: . ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 8.6. Vypočtěte: . ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 8.8. Vypočtěte: . ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Varovný příklad 8.9. Vypočtěte: . Metoda per partes v určitém integrálu Metodu per partes jsme zavedli v Kapitole 6. Pro určitý integrál při užití této integrační metody platí: (8.3) ___________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ Příklad 8.10. Vypočtěte: . ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 8.11. Vypočtěte: . Substituce v určitém integrálu - Při substituci v určitém integrálu nahrazujeme nejen integrovanou funkci, ale také integrační meze! ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Věta 8.1. Nechť funkce je spojitá v intervalu , nechť (t) a j¢(t) jsou spojité funkce v intervalu , přičemž nechť j(a) = a, j(ß) = b, nechť j¢(t) je ryze monotónní v . Potom: (8.4) ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Užití Věty 8.1, respektive vztahu (8.4) si předvedeme na několika řešených úlohách. ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 8.13. Vypočtěte: . ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 8.14. Vypočtěte: . ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 8.15. Vypočtěte: APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU Určitý integrál má mnoho aplikací především v technických a přírodovědných oborech. Lze jej využít například k výpočtu: · obsahu plochy omezené danými křivkami · objemu rotačního tělesa · plochy rotačního tělesa · délky křivky (rektifikaci) · Řešení diferenciálních rovnic s danými okrajovými nebo počátečními podmínkami Obsah plochy vymezený danou křivkou a osou x na daném intervalu Nejjednodušším užitím určitého integrálu je výpočet obsahu plochy pod (nad) danou křivkou, tedy mezi danou křivkou a osou x (viz Obr. 9.1.). ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Věta 9.1. Nechť je (všude) nezáporná funkce na intervalu . Potom obsah plochy S vymezený křivkami , x = a, x = b a y = 0 vypočteme užitím Newton-Leibnizovy formule: (9.1) ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 9.1. Vypočtěte obsah plochy pod křivkou na intervalu . Graf 21 Obr. 9.1. Pokud je funkce na daném intervalu záporná, dostaneme užitím vztahu (9.1) obsah plochy rovněž záporný, což je z geometrického hlediska nesmysl. V tomto případě tedy musíme vzít místo funkce její absolutní hodnotu, čímž je zaručen kladný výsledek: (9.2) ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 9.2. Vypočtěte obsah plochy pod křivkou na intervalu . Graf 24 Obr. 9.2. Pokud je funkce na intervalu kladná i záporná, rozdělíme interval na několik dílčích na sebe navazujících intervalů tak, aby v každém takovém intervalu byla daná funkce buď jen kladná nebo jen záporná. Vypočteme obsahy ploch pod (nad) danými úseky funkce a vše nakonec sečteme. ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 9.3. Vypočtěte obsah plochy vymezené křivkou , osou x, a přímkami a (viz Obrázek 9.3). Graf 25 Obr. 9.3. Obsah plochy sevřené dvěma a více křivkami Obsah plochy mezi křivkami f(x) a h(x), kde h(x) je horní křivka a f(x) dolní křivka, a kde a a b jsou průsečíky obou křivek, počítáme podle vztahu: (9.3) ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 9.4. Vypočtěte obsah plochy sevřené křivkami a (viz Obr. 9.4). Graf 26 Obr. 9.4. ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 9.5. Vypočtěte obsah plochy sevřené křivkami a (viz Obr. 9.5.). Graf 27 Obr. 9.5. Objem rotačního tělesa Objem V rotačního tělesa, které vznikne rotací křivky y = f(x) kolem osy x na intervalu (a,b) počítáme ze vztahu: Podobně lze vypočítat objem rotačního tělesa, pokud rotujeme křivku kolem osy y, pak jen zaměníme x za y. ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 9.7. Vypočtěte objem tělesa (jde o rotační paraboloid), které vznikne rotací křivky kolem osy x na intervalu . ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 9.8. Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací křivky kolem osy x na intervalu . Celkový příjem jako určitý integrál intenzity toku příjmu Celkový příjem může být v některých situacích dán jako součet toku příjmu za nějaké období. To je typické pro příjmy telefonních operátorů, obchodních řetězců, apod., kde lze tok příjmů považovat za spojitý (tyto společnosti inkasují od zákazníků každou sekundu), nebo diskrétní, což je případ nejrůznějších rent, dividend, apod. V obou případech lze intenzitu toku modelovat pomocí spojitých funkcí (které lze derivovat a integrovat). Celkový příjem TR za období (t[1];t[2]), jestliže funkce f(t) vyjadřuje intenzitu toku příjmu (velikost renty) v čase t, se vypočte jako: (9.4) ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad. Okamžitý tok peněz do určité finanční instituce je vyjádřen funkcí Kč. Určete celkový tok za období od t = 1 do t = 10. Přebytek spotřebitele a výrobce v podmínkách dokonalé konkurence Víme, že průsečík P[E] je průsečíkem křivky nabídky a poptávky, a je nazývaný rovnovážná cena. Někdy jsou spotřebitelé ochotni zaplatit cenu, která je vyšší než rovnovážná cena P[E][ ] za každou jednotku produkce. V tomto případě spotřebitelé získávají tím, že jsou schopni koupit produkt za nižší cenu P[E]. Obr. 9.6. Zdroj: Godulová et. al. (2000). Přebytek spotřebitele CS (customer surplus) je dán plochou oblasti nad horizontálou P = P[E] a pod křivkou poptávky, viz Obr. 9.6. Plocha této oblasti se vypočte jako plocha pod křivkou poptávky na intervalu (0,Q[E]) mínus plocha obdélníka s šířkou Q[E][ ]a výškou P[E]. Přebytek spotřebitele CS je tedy: (9.5) Producent, který je ochoten nabízet produkt za cenu pod P[E], bude realizovat zisk z prodeje produktu za cenu P[E][. ]Přebytek výrobce PS (producer surplus) je dán plochou oblasti pod horizontální křivkou P = P[E] a nad křivkou nabídky, viz Obr. 9.6. Graficky je PS určeno jako plocha obdélníka o šířce Q[E] a výšce P[E] mínus plocha oblasti pod křivkou nabídky na intervalu (0, Q[E]). Přebytek výrobce (PS) je tedy: (9.6) ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 9.12. Vypočtěte přebytek spotřebitele a přebytek výrobce v podmínkách dokonalé konkurence za předpokladu, že funkce nabídky a funkce poptávky .