EVROPSKÁ UNIE Evropské strukturální a investiční fondy Operační program Výzkum, vývoj a vzdělávání KPřr MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Název projektu Rozvoj vzdělávání na Slezské univerzitě v Opavě Registrační číslo projektu CZ.02.2.69/0.0./0.0/16_015/0002400 Sbírka úloh Matematika v ekonomii Distanční studijní text Jiří Mazurek Karviná 2021 slezská univerzita OBCHODNĚ PODNIKATELSKÁ FAKULTA V KARVINÉ 2 Obor: Matematika, ekonomie Klíčová slova: Diferenciální počet, funkce, integrální počet, mikroekonomie, optimalizace. Anotace: Sbírka úloh z matematiky v ekonomii je opora určená studentům prezenční i kombi- nované formy navazujícího magisterského studia na Obchodně podnikatelské fakultě v Karviné pro stejnojmenný jednosemestrální předmět, který svým obsahem navazuje na předmět Kvantitativní metody vyučovaný v prvním ročníku. Cílem Sbírky je poskytnout studentům úlohy a příklady k prohloubení znalostí především v oblasti matematické analýzy, a demonstrovat její užití v různých oblastech ekonomie. Opora zahrnuje reálné funkce jedné a více proměnných, průběh funkce, nekonečné řady, diferenciální a integrální počet, a diferenciální rovnice. Aplikace matematické analýzy v oblasti ekonomie zahrnuje hledání extrémů (maxima a minima) ekonomických funkcí, jako jsou náklady, příjmy, zisk, užitek, produkce, apod., analýzu vlastností těchto funkcí a jejich vzájemných vztahů, a také matematické modelování ekonomických situací. Autor: Mgr. Jiří Mazurek, Ph.D. JiříMazur-ek - Matematika v ekonomii Obsah ÚVODEM............................................................................................................................7 RYCHLÝ NÁHLED STUDIJNÍ OPORY...........................................................................8 1 PRŮBĚH FUNKCE.....................................................................................................9 1.1. Základní pojmy a vztahy.......................................................................................9 1.2. Úlohy.......................................................................................................................10 2 ÚVOD DO DIFERENCIÁLNÍHO POČTU JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ.........16 2.1 Základní pojmy a vztahy......................................................................................16 2.2 Úlohy....................................................................................................................21 3 PRŮBĚH FUNKCE...................................................................................................26 3.1. Základní pojmy a vztahy.....................................................................................26 3.2 Úlohy....................................................................................................................27 4 REÁLNÁ FUNKCE DVOU REÁLNÝCH PROMĚNNÝCH..................................32 4.1. Základní pojmy a vztahy.....................................................................................32 4.2 Úlohy....................................................................................................................34 5 LOKÁLNÍ A VÁZANÉ EXTRÉMY FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH.............37 5.1. Základní pojmy a vztahy.....................................................................................37 5.2 Úlohy....................................................................................................................38 6 NEURČITÝ INTEGRÁL..........................................................................................40 6.1. Základní pojmy a vztahy.....................................................................................40 6.2 Úlohy....................................................................................................................43 7 URČITÝ INTEGRÁL................................................................................................45 7.1. Základní pojmy a vztahy.....................................................................................45 7.2 Úlohy....................................................................................................................46 8 ČÍSELNÉ ŘAD Y.......................................................................................................48 8.1. Základní pojmy a vztahy.....................................................................................48 8.2 Úlohy....................................................................................................................49 9 FUNKČNÍ ŘADY.....................................................................................................51 9.1. Základní pojmy a vztahy.....................................................................................51 9.2 Úlohy....................................................................................................................52 10 ÚVOD DO OBYČEJNÝCH DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC................................54 10.1. Základní pojmy a vztahy...................................................................................54 Průběh funkce 10.2 Úlohy..................................................................................................................55 ZÁVĚR..............................................................................................................................57 LITERATURA..................................................................................................................58 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii ÚVODEM Sbírka úloh z Matematiky v ekonomii je doplňkovou studijní oporou pro stejnojmenný předmět vyučovaný na Slezské univerzitě, Obchodně podnikatelské fakultě v prvním ročníku magisterského studia, který navazuje na předmět Kvantitativní metody vyučovaný v prvním ročníku bakalářského studia. Sbírka úloh z Matematiky v Ekonomii poskytuje studentům téměř tři stovky úloh rozdílné obtížnosti k procvičení. Jejím obsahem jsou funkce jedné reálné proměnné, úvod do diferenciálního počtu jedné reálné proměnné, průběh funkce, reálná funkce dvou reálných proměnných, lokální a vázané extrémy funkce dvou proměnných, neurčitý a určitý integrál, a nekonečné číselné a funkční řady, s aplikacemi v ekonomii. Ke všem úlohám jsou uvedeny výsledky a jednotlivé kapitoly jsou řazeny (pro lepší přehlednost) podobně jako v základní studijní opoře Matematika v ekonomii [1]. Na začátku každé kapitoly jsou uvedeny nej důležitější pojmy, vztahy a vzorce, následují jednotlivé úlohy a jejich výsledky. Průběh funkce RYCHLÝ NÁHLED STUDIJNÍ OPORY Sbírka úloh z Matematiky v ekonomii je rozdělena do deseti kapitol. Každá kapitola obsahuje na začátku nové pojmy, vzorce a vztahy potřebné k řešení úloh, následují tematicky řazené úlohy a jejich řešení včetně obrázků a grafů. Stručná osnova studijní opory: • Funkce j edné reálné proměnné • Úvod do diferenciálního počtu jedné reálné proměnné • Průběh funkce • Reálná funkce dvou reálných proměnných • Lokální a vázané extrémy funkce dvou proměnných • Neurčitý integrál • Určitý integrál • Nekonečné číselné řady • Nekonečné funkční řady • Úvod do diferenciálních rovnic Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii 1 PRŮBĚH FUNKCE rychlý přehled Obsahem této kapitoly jsou funkce jedné reálné proměnné, definiční oboro funkce, obor hodnot, graf funkce, základní funkce. cíle kapitoly • Definovat poj em funkce j edné reálné proměnné. • Zavést a vysvětlit nej důležitěj ší vlastnosti funkcí. • Přestavit grafy základních funkcí. klíčová slova kapitoly Funkce, definiční obor funkce, obor hodnot funkce, graf funkce. 1.1. základní pojmy a vztahy Funkci značíme písmenem / (g, h, ...), definiční obor funkce jako D(f) nebo Df a obor hodnot H(f) neboHf. Funkční předpis se značí y = f(x), například y = x2 +1. Proměnná x se nazývá nezávislá proměnná {argument), proměnná je závislá proměnná. Definiční obor funkce D(f): je množina všech x, pro něž má smysl funkční předpis y = f{x). Smysl určování definičního oboru spočívá ve vymezení hodnot x, pro které je (respektive není) předpis y = f(x) definován. V ekonomii platí, že většina veličin může nabývat pouze kladných hodnot, neboť například záporná poptávka, nabídka, cena nebo produkce postrádají ekonomický smysl. Grafem funkce y = f(x) nazýváme množinu všech bodů o souřadnicích , kde x e D(f). Grafem lineární funkce je přímka, kvadratické funkce parabola, nepřímé úměrnosti hyperbola, atd. Polynomem (mnohočlenem) řádu n nazýváme výraz aQ + axx + a2x2 +... + anxn. Je-li n = 0, je polynom roven konstantě ao; je-li n = 1, je polynom lineární: a0 +aYx; pro n = 2 je Průběh funkce polynom kvadratický: a0 + axx + a2x2, atd. Nulovým bodem (kořenem) polynomu je takové číslo xo, pro které platí Pn(x) = 0. samostatný úkol Zopakujte si grafy základních funkcí: lineární, kvadratické, mocninné, sinus a kosinus. 1.2. Úlohy 1.1 Určete definiční obor funkce: a) y = yj4x + 8 b) y = *j5-x c) y = a/x2 -9 d) y = log (2x - 3) 3x + l e) j = log(l6-x2) f) y- x2-4 g) y = Vx2 - x-6 h) y = V4 + 2x + —!— x + 3 i) j = log(x2 +x) j) y 6 X 3 2 x -x 1.2. Nakreslete graf funkce: a) j = 2x + l b) j = x-3 c) _y = -x + 4 d) j = x2 +1 e)j = x2-4 f)j = 2x g)^ = lTl h)3^ = x3 ,5, Í)j = -x2 ])y = -X1+\ 1.3. Určete nulové body polynomu: a)x2+6x + 8 b)x3-2x2-3x Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii c)x4-4x2 d)x4-x3 e) x3 - x 1.4. Načrtněte funkci poptávky a nabídky, a určete graficky i výpočtem bod rovnováhy: a)&> =40-5P;& =8 + 3P b) QD = 100-2P;QS = 40 + P c)QD=250-%P;Qs=30 + 2P výsledky 1.1. a) (- 2, oo), b) (- oo, 5), c) (- oo, 3) u (3, oo), d) (3 / 2, oo), e) (- 4,4) ,f)R-{- 2,+2}, g) (-qo,-2>u(3,oo), h) (-2,oo), i) (-00-I) u(0,00), j) i?-{-l,+l}. -- 2- 0- 2- -2-1012 1.2. a) Průběh funkce Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii Průběh funkce Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii 1.4. a) P = 4, Q = 20; b) P = 20, Q = 60, c) P = 22, Q = 74. Úvod do diferenciálního počtu jedné reálné proměnné 2 ÚVOD DO DIFERENCIÁLNÍHO POČTU JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ rychlý náhled Obsahem této kapitoly je derivace funkce a její aplikace v ekonomii. cíle kapitoly • Definovat pojem derivace funkce. • Demonstrovat užití vztahů pro derivování základních funkcí. • Ukázat ekonomické aplikace derivace. klíčová slova kapitoly Funkce, derivace funkce, rostoucí funkce, klesající funkce, maximum funkce, minimum funkce. 2.1 základní pojmy a vztahy Derivacífunkce f(x) rozumíme limitu: Nechť funkce f(x) ag(x) mají derivaci na intervalu Jci^.K výpočtu derivací součtu, rozdílu, součinu a podílu těchto funkcí používáme následující pravidla: i) [c-f{x)}=c-f{x) ii) [f(x)±g(x)}=f(x)±g\x) iii) [/(*) • g(x)]= /'(*) • g(x) + f(x) ■ g'(x) Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii iv) f'(x)-g(x)-f(x)-g'(x) (ý^Q v) [f{g{x))}=f{g{x)yg{x) Pravidlo iii) se nazývá Pravidlo pro derivaci součinu funkcí, pravidlo iv) slouží k výpočtu derivace podílu funkcí, a konečně pravidlo v) je pravidlo pro derivaci složené funkce. K derivování elementárních funkcí používáme vzorce uvedené v Tabulce 2.1. Některé funkce není možné derivovat pomocí pravidel uvedených v Tabulce 2.1. Typickým příkladem jsou funkce ve tvaru y = f (x)g(x), tedy funkce, v nichž se proměnná x nachází jak v základu mocniny, tak v exponentu. V takovém případě využijeme tzv. logaritmickou derivaci: funkci y nejprve logaritmujeme: y = f (x)g(x) => ln y = ln /(x)g(x) => lny = g(x)ln f(x),a pak derivujeme: ^ = g'(*)ln/(x) + g(x)4^ y f (x) U některých funkcí nelze y vyjádřit jako funkci x. V takovém případě hovoříme o implicitní funkci. Derivace implicitní funkce je dána takto: df(Q /(O - & df(Q dy Složité funkce, které mají derivace až do n-tého řádu, můžeme přibližně nahradit (aproximovat) Taylorovou řadou (Taylorovým polynomem) stupně n v okolí zvoleného bodu a. Vyjádření funkce pomocí polynomu (mnohočlenu) je jednodušší a usnadňuje výpočty. V ekonomii se tento postup často používá například ke zjednodušení nelineárních funkcí na funkce lineární. Taylorůvpolynom funkce f(x) v bodě a je definován takto: f'(a\ f"(a\ rn)(a\ Tn(f,a,x) = f(a) + l^(x-a) + J-^-(x-af+ ... Li(x-a)"+i^+1(x) 1! 2! n\ kde Rn(x) se nazývá zbytek řady. Pokud zvolíme a = 0, dostaneme Maclaurinovu řadu: W,0,x) = /(0) + Äx + Äx2+ ... +/ľí2)x«+i?n+i(x) 1! 2! n\ Maclaurinův rozvoj vybraných funkcí je uveden v Tabulce 2.2 i s příslušným oborem konvergence odpovídající funkční řady. Úvod do diferenciálního počtu jedné reálné proměnné Diferenciálem funkce y = f (x) nazýváme funkci df (x) = f'(x)dx . Diferenciál funkce závisí na x a dx, a vyj adřuj e přibližně přírůstek funkce df při změně argumentu xodxv bodě x. (Toto přibližné vyjádření je tím přesnější, čím menší je dx). Elasticita funkce (pomocí první derivace) je definována následovně: x Áy x dy x , E(x) = lim--=--= — y Ax^-° y Ax y dx y Cenovou elasticitu poptávky, krátce elasticita poptávky (price elasticity of demand) definuj eme takto: QdP k zapamatovaní Podle hodnoty elasticity poptávky při dané ceně i5 rozlišujeme poptávku: elastickou, je-li E(P) > 1, jednotkově elastickou, je-li E(P) ■ neelastickou, je-li E(P) < 1. Cenová elasticita nabídky, krátce elasticita nabídky (price elasticity of supply) se definuje podobně jako cenová elasticita poptávky: QdP' kde Q = S (P) je funkce nabídky. Protože funkce nabídky je rostoucí a P a Q jsou kladné, neobjevuje se ve vztahu znaménko mínus. Mezní produkt práce (marginal product oflabour) MPzje derivace funkce produkce podle práce: MPL=^ = Q(L) dL Celkový příjem TR (total revenue) je součinem množství Q a ceny za jednotku množství P: Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii TR = Q-P Průměrný příjem AR {average revenue) je podíl celkového příjmu a množství: AR = ™® Q Mezní příjem MR {marginal revenue) je definován jako derivace celkového příjmu: do Celkové náklady TC {total cost) jsou všechny náklady nutné pro realizaci Q jednotek. Celkové náklady lze rozložit na celkové variabilní náklady JVC {total variable cost) a fixní náklady FC (fixed cost): TC{Q) = TVC{Q) + FC Mezní náklady MC {marginal cost) jsou derivací celkových nákladů: dO Tabulka 2.1. Přehled derivací elementárních funkcí. A*) f(x) konstanta 0 X 1 x" wc"1 ex ex lnx 1 X ax ax - lna 1 xlna Úvod do diferenciálního počtu jedné reálné proměnné sinx cosx cosx -sinx tgx 1 cos2 X COtgX 1 sin2 x arcsinx 1 Vl-JC2 arccosx 1 Vl-JC2 arctgx 1 1 + x2 arccotgx 1 1 + x2 Tabulka 2.2. Mocninné rozvoje vybraných funkcí. Funkce Maclaurinův rozvoj Obor konvergence sinx x3 x5 x7 X ~3\+J\ ~V.+"' (—00,00) cosx 1 "2Í + 1T ~6!~ + '" (—00,00) ex x x2 x3 1 + —+ — + — + ... 1! 2! 3! (—00,00) ln(jc + l) X^ X^ X^ X 2! + 3! 4!+"' (-u> Jiří Mazur ek - Matematika v ekonomii 2.2 Úlohy 2.1. Derivujte elementární funkce: a) y = x4 + 5x3 c) y = 2x3 + 6x-ll e) y = ypx + yfx g) y = 3 sin x - 2 cos x + tgx 2.2. Derivujte následující funkce: a) y = (2x + \)-ex c) y = cosx- lnx x + 5 e) y=-r-; X +1 g) y = ln(x3 + 5x) i) y = sin(4x + 5) lnx k) y = — x 2.3. Určete derivace vyšších řádů: a) y = x5 c) y = \nx e) y = ypx . 2.4. Derivujte: a) y = x*+1 c) y = xcosx b) j = 10x8+l, 4 3 d) y=-+—, x x f) y = 12 ln x + 6 log x. h) ^ = 10eI + 5X. b) _y = x4 • ln x, lnx d) ^ f) y- x + l cos x sin x h) j = (x2+6)3, \) y = yj4x + 6 . b) j = x4 + 3x2-6x + 12: d) y = sinx, b)y = xl«\ d) y = (sinx)x 2.5. Derivujte: Úvod do diferenciálního počtu jedné reálné proměnné a) 5xy + \ny + A = 0 b) x2j + xsinj-x = 0, c) ln(xy) + x2 + y1 =0 d) sin(x + y) + x2y2 -12 = 0, e) x4 +2xy + 16 = 0. 2.6. Určete Maclaurinovu řadu funkcef. a) y = VxTT b) y = T c) y = cos x d) y = ln(x + 1) e)y = e2x f)y = ex+x2 2.7. Určete Taylorovu řadu dané funkce f v daném bodě a: a) y = Vx ,a=l b)_y = ex,a=l c)j = lnx,a=l d)y = —, a = 2. x 2.8. Určete elasticitu funkce: a) y = x2 b) y = x3, c) j = 3x2 - 4x v bodě x = 2 d)^ = x3+5,x=l e)j = lnx,x = 3 f)j = x2+5x + 2,x=l 2.9. Určete cenovou elasticitu poptávky: a) Q(P) = 60 - 5P b) = 110 - 22i5 c) Q(P) = 42-2P d) gCi5) = 60 - 3Z5 e) Q(P) = 20-P2 f) Q(P) = 100-18P 2.10. Určete cenovou elasticitu poptávky v daném bodě P: a) Q(P) = 60-5P,¥ = 5 b) Q(P) = 140-15i5, P = 2, c) g(F) = 42-2Z5.P = 3 d) Q(P) = 60-3i5, P = 5, e) g(i5) = 40-2i52,P = 3 f) g(i5) = 82-6i5,P= 10. 2.11. Určete mezní produkt práce (načrtněte krivku MPl): a) Q(L) = L2 + 3L + 5 b) Q(L) = 5Ľ + 16L Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii c) Q(L) = 20L2 -Ľ 2.12. Určete mezní produkt práce pro danou hodnotu L: a) Q(L) = L2 + 3L + 5 , L = 2 b) Q(L) = 5Ľ +\6L , L = 10 c) Q(L) = 20L2-Ľ, L = 1 2.13. Vypočtěte mezní náklady MC(Q), j sou-li dány celkové náklady: a) TC(Q) = Q3 +16Ô + 250 b) TC(Q) = 4Q2 2.14. Najděte maximum zisku pro funkci celkového příjmu TC(Q) = -Q2 + 14Q + 250 . 2.15. Vypočtěte diferenciál funkce: a) y = x2,x = 2,dx = 0,1. b) y = x3 + x,x = \,dx = 0,2. c) y = 6lnx,x = 2,dx = 0,1. d) y = x2 + 8x-4,x = 3,í/x = 0,l. výsledky , , 7 4 6 1 1 12 6 2.1. a) 4x3+15x2,b) 80x7,c) 6x+6,d)--T--T, e) —= + —=, f)— + 2 3 x x 2a/x 4VX7' * xlnlO' g) 3cosx+2sinx+l/cos2x, h) 10ex+5xln5. (x +1)— - ln x 2.2. a)(2x + 3)ex,b) 4x3 lnx + x3,c) (lnx)2+^^,d)--—^-, e) *2 10X +1, f) - —1^, g) ^-^, h) 6x(x2 + 6)2, i) 4cos(4x + 5), j) 2x^+4, (x2 +1)2 ' (sin x)2 ' x3 + 5x ,. x-2xlnx 2 k)-j-,1) x4 ' ' y/4x + 6 2.3. a) y = 5x4;/'= 20x3;/"= 60x2, b) y = 4x3 + 6x-6;/'= 12x2 + 6;/"=24x, , . 1 .. 1 ... 2 . . ...... c) y = ->y =-^2>y = -^,0) y = cosx;y =-smx;y =-cosx, Úvod do diferenciálního počtu jedné reálné proměnné 2.4. a) xx+1(lnx + —),b) xlnx(-lnx), c) xcosx (-sin x ln x +, d) (sinx)x(lnx + xcotgx). — + 2x 2 2.5. a) —*y-, b) _2^ + sin^-l c) - d) _ cos(x + jQ + 2x^ 5X + J_' x +xcosx ' J__|_2j/ cos(x + _y) + 2x2_y ' y y x 4x3 + 2 v e)---. 2x o . x /-7 1 1 1 2 1 3 , x 1 , o (ln2)2 2 (ln2)3 3 2.6. a) Vx + 1 =l + -x—x2 +—x3 + ..., b) 2X =l + ln2-x + -^-^-x2 -^-x3 +. 2 8 16 2 6 c) cosx = 1 - —x2 +..., d) ln(x + 1) = x - —x2+—x3-..., 2 2 6 e) e +x =l + x +—x +—x +... 2 6 2.7. a) r(V^,a = l) = l + ^(x-l)-^(x-l)2+-^(x-l)3+..., 2 8 16 b) r(ex,a = l) = l + e(x-l) + -(x-l)2+-(x-l)3 +..., c) 2 6 r(lnx,a = l) = +(x-l)-^-(x-l)2 + ^-(x-l)3 +..., d) 7Yl/x,a = 2) = ---(x-2) + -(x-2)2 - —(x-2)3 +.... 2 4 8 16 2.8. a) 2, b) 3, c) 4, d) lÁ, e) l/ln3, f) 7/8. ,n , 5P 22P , 2P 3P . 4P2 18P 2.9. a) ——- b) ————, c) ——- d) ——-, e) 60-5P' ' 110-22P' ' 42-2P' ' 60-3P' ' 40-2P2' 100-18P 2.10. a) 0,714, b) 0,273, c) 1/6, d) 1/3, e) 1,636, f) 2,727. 2.11. a)2L + 3,b) 15L2+ 16, c) 40L - 3L2 2.12. a) 7, b) 1516, c) 37. 2.13. a) 3Q2+ 16 Q, b) 8Q-100/Q2 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii 2.14. Q = 7. 2.15. a) 0,4, b) 0,8, c) 0,05, d) 1,4. Průběh funkce 3 PRŮBĚH FUNKCE rychlý náhled kapitoly Kapitola je věnována určování vlastností funkce - průběhu funkce, který mimo jiné zahrnuje nalezení definičního oboru funkce, lokálních extrémů nebo intervalů monotónnosti, a také načrtnutí grafu funkce. cíle kapitoly Cílem kapitoly je naučit se určovat průběh funkce pomocí předdefinované desetibodové osnovy. čas potřebný ke studiu 3 hodiny klíčová slova kapitoly Průběh funkce, lokální extrémy, intervaly monotónnosti, graf. shrnutí kapitoly 3.1. základní pojmy a vztahy Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii Určit průběh funkce znamená určit její vlastnosti. Při určování průběhu funkce obvykle postupujeme podle následující osnovy: 1. D(f), sudost, lichost, periodičnost. 2. Limity (jednostranné) v bodech nespojitosti a v nevlastních bodech. 3. Průsečíky s osami x a y, znaménka funkčních hodnot. 4. První derivace, její nulové body. 5. Lokální extrémy a intervaly monotónnosti. 6. Druhá derivace a její nulové body. 7. Inflexní body, konkávnost, konvexnost. 8. Asymptoty. 9. Omezenost funkce, H(f). 10. Graf funkce. 3.2 Úlohy 3.1. Určete lokální extrémy funkce: a)y = x2-6x+5 b) y = 2x2 + 18x + 35 c) y = 2x3 - x2 d) y = ex e) y = — f) y = lnx-x x g) y = x ■ ex h) y = x ■ ln x i) y = r^- i) y ln x k)y = 3* 3.2. Určete konvexnost a konkávnost funkce: a) y = x3 - 2x2 + 4x - 3 b) y = — x c) y = x4-\6x2 d) y = ex e) y = x2 - 6x + 3 f) y = lnx 3.3 Určete průběh funkce a nakreslete graf: a) y = x2ex b)j = 2x3-3x2 c)y = \2x-xi d) y = x\nx e) y = x4 - 4x3 0 výsledky 3.1. a) x = 3, MAX; b) x = -4,5, MIN; c) x = O, MAX, x = 1/3, MIN; d) nejsou, e) nejsou, f) x = 1, MAX; g) x = -1, MIN; h) x = l/e, MIN;, i) x = e, MIN, j) x = 0 MIN, k) nejsou. 3.2. a) funkce je pro x g (-oo,2/3) konkávni a pro x g (2/3, oo) konvexní, b) funkce je pro x g (-oo,0) konkávni a pro x g (0,oo) konvexní, c) funkce je na intervalu : (-00 ,-J—) konvexní, na intervalu x g ) konkávni a na intervalu x g CJ"^00) konvexní, d) funkce je konvexní na celém definičním oboru, e) funkce je konvexní na celém definičním oboru, f) funkce je konkávni na celém definičním oboru. 3.3. a) D(f) = R, ani sudá, ani lichá, ani periodická, průsečíky s osami: [0,0], H(f) = R+, maximum: [-2,4/e2], minimum: [0,0], x e (- oo,-2): rostoucí, x e (- 2,0): klesající, x e (O, oo): rostoucí, inflexní body: - 2, V2], [- 2,—\Í2 ], x g (- 00,-2 - V2): konvexní, xg (-2-V2 -2 + V2): konkávni, x g (-2 + V2,oo): konvexní, asymptoty: osa x. Jiří Mazur'ek - Matematika v ekonomii b) D(f) = R, ani sudá, ani lichá, ani periodická, průsečíky s osami: [0,8] (průsečíky s osou x vypočítat neumíme), H(f) = R, maximum: [0,8], minimum: [1,7], x e (- oo,o) : rostoucí, x e (0,l): klesající, x e (l, oo): rostoucí, inflexní bod: x = 1/2, x e (- oo,l / 2): konkávni, x e (l/2,oo) : konvexní, asymptoty: nejsou. 10- o- -10- c) D(f) - R, ani sudá, ani lichá, ani periodická, průsečíky s osami: [0,0], [-Vl2,0][Vl2,0 , x = -2: MIN, x = 2: MAX, x e (- oo,-2): klesající, x e (- 2,2): rostoucí, x e (2, oo): rostoucí, x = 0: inflexní bod, x e (- qo,o) : konvexní, x e (o, oo): konkávni, asymptoty nej sou, H(f) = R. -2 u X 2 d) D(f) = (0,qo), ani sudá, ani lichá, ani periodická, průsečíky s osami: [1,0], x = XIe : MIN, x g (0,1 / e): klesající, x g (1 / e, oo): rostoucí, funkce je na celém definičním oboru konvexní, nemá asymptoty, D(f) = (-1 / e, oo). Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii e) D(f) = R, ani sudá, ani lichá, ani periodická, průsečíky s osami: [0,0] a [4,0], x = 3 : MIN, x e (- qo,3) : klesající, x e (3, oo) : rostoucí, inflexní body: x = 0ax = 2, xe(- oo,o) : konvexní, x e (0,2): konkávni, x e (2, oo): konvexní, asymptoty nej sou, H(f) = (- 27, oo). 150- 100- 50- o- 4 REÁLNÁ FUNKCE DVOU REÁLNÝCH PROMĚNNÝCH rychlý náhled kapitoly Kapitola je věnována úvodu do reálných funkcí dvou reálných proměnných. Zaměřuje se především na určení definičního oboru, výpočtu první a druhé parciální derivace, výpočtu totálního diferenciálu, a aplikace v ekonomii na příkladu Cobb-Douglasovy funkce. cíle kapitoly Zavést funkci dvou reálných proměnných. Naučit se graficky určovat definiční obor funkce dvou reálných proměnných. Zavést první a druhé parciální derivace funkce. Zavést totální diferenciál. Využít parciální derivace v aplikaci na Cobb-Douglasovu produkční funkci. klíčová slova kapitoly Funkce dvou reálných proměnných, derivace funkce, Cobb-Douglasova produkční funkce. 4.1. základní pojmy a vztahy Definičním oborem funkce /(x, y) proměnných x a y rozumíme všechny uspořádané dvojice [x,j]e7?2, pro které má daná funkce smysl. Definiční obor obvykle znázorňujeme graficky v pravoúhlé soustavě souřadnic jako (vyšrafovanou) část roviny. Pro parciální derivace funkce / (x, y) podle x respektive y užíváme následující značení: MV), /; , respektíve ^|Z>, // Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii Při výpočtu parciální derivace podle x postupujeme tak, že y považujeme za konstantu (pouze ji opisujeme) a funkci f(x,y) derivujeme podle x. Při výpočtu parciální derivace podle y postupujeme přesně opačně. Druhé parciální derivace značíme takto: 3ř/ d2/ d2/ Qx2 dy2 dxdy dydx 11 i d2f d2f U smíšené derivace nezáleží na pořadí derivovaní, platí tedy: dxdy dydx Totálním diferenciálem (prvního řádu) funkce dvou proměnných f(x,y) v bodě C = [cu c2, c3 ] nazýváme výraz: df{C) = ^-{C)dx+¥-{C)dy dx dy Stejně jako u funkce jedné proměnné vyjadřuje totální diferenciál dvou proměnných (přibližně) přírůstek funkce f(x,y) spojený s malým přírůstkem proměnné x (první člen na pravé straně přechozího vztahu) a malým přírůstkem proměnné y (druhý člen na pravé straně). Cobb-Douglasova1 produkční funkce udává závislost produkce Q na práci L a kapitálu K: Q = AKaLb k zapamatování Podle hodnoty a + b říkáme o produkční funkci, že má: • konstantní výnosy z rozsahu, je-li a + b = 1 • rostoucí výnosy z rozsahu, je-li a + b > 1 • klesající výnosy z rozsahu, je-li a + b < 1. 1 Charles Cobb (1875-1949), americký ekonom, Poul Douglas (1892-1976), americký ekonom. Pokud je a + b = 1, lze vztah pro produkci Q upravit následovně: Q = AKaLla Mezní produkt práce (marginal product ojlabouf) MPl je derivace funkce produkce podle práce: MPL=^- = Q{L) dL Podobně jako mezní produkt práce se zavádí mezní produkt kapitálu: 4.2 úlohy 4.1. Určete definiční obor funkcí dvou proměnných: a) f(x, y) = yj'x + y-1 b) f(x, y) = sJ'x-4 + y c) f(x,y) = Jy + 3 d) f(x,y) = ln(y - x) e) f(x, y) = V*2+/-16 f) f(x, y) = ln (y - x2) g) /(x,j) = ln(x2 +y2 -9) h) f(x,y) = Jx + y-4x + \ 4.2. Vypočtěte parciální derivace funkce. a) f{x, y) = x2+ 3y2 b) /(x, y) = 4x2 -2y2+5x-2y + % c) f(x,y) = x3+2xy2 d) f(x,y) = xlny e) fix, y) = x2 + yex +5y f) /(x, = ln(xj) g) /(x,^) = xsin(x^) + eJ 4.3. Vypočtěte všechny druhé parciální derivace funkcí. a) f(x,y) = x2 +y2 b) f(x, y) = 2x3 - 8y + x c) f(x,y) = 6x2 + yex + 5y d) f(x,y) = I0x2y2 4.4. Vyjádřete totální diferenciál funkce: a) f(x, y) = x2+ 2y2 b) f(x, y) = 4x2y2 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii c) /(x, y) = ln x + ln y d) /(x, y) = x2 + 2xy2 + 5x + 6 e) f(x,y) = x*-5y1 4.5. Určete přírůstek funkce pomocí totálního diferenciálu: a) f(x,y) = x2 + 4y2, C[l,l], dx = 0,1; dy = 0,2. b) f(x,y) = 2x+6ý + 5, C[l,2], dx = 0,1; dy = 0,1. c) f(x, y) = xy2 + 3x +1, C[2,2], dx = 0,1; dy = 0,3. 4.6. Určete přírůstek produkční funkce: a) Q(K,L) = 6K05L05, C[4,9], dK = 0,2; dL = 0,1. b) Q(K,L) = \4K°5 L°5 ,C[l,4], dK = 0,2; dL = 0,3. c) Q(K,L) = 100K03L01, C[l,l], dK = 0,4; dL = 0,2. 4.7. Vypočtěte mezní produkt práce MPl a kapitálu MPk: a) Q(K,L) = 1 8A:°-6Z0-4 b) Q(K,L) = 60K0SL02 c) Q(K,L) = 50K05L05 4.8. Vypočtěte (přibližně) mezní produkt práce a kapitálu v daném bodě: a) Q(K,L) = 18K06L0A ,K= 1,L = 9. b) Q(K, L) = 60K0SL02, K = 5, L = 7. c) Q(K,L) = 50K05L05 ,K= 10, L= 15. výsledky 4.2. a) f = 2x, f = 6y,b) f = 8x + 5, f = -4^-2, c) f = 3x2+2/, ^ = 4xy. dx dy dx dy dx dy d)|=inr,f=-,e)|=2x+re",f=e-+5,0f=-.^-=-.a dx dy y dx dy dx x dy y — = sin(xy) + xy cos(xy) , — = x2 cos(xy) + ey dx dy 4.3. a) ££ = 2, ^ = 4, ^ = 0,b) ^£ = 8/, ^ = 8x2, ^ = 16*y, c) <3x <3y cbc<3y <3y ck<3y |f = \2 + yŕ, U. = 0, |^ = ,-,d) |f = 20y, |i = 20r-, |f = 40ry. cx qy oxoy ox oy oxoy 2 2 11 4.4. a) df = 2xdx + 4ydy , b) df = 8xy dx + 8x ^ífy, c) df = —dx H—ífy , d) x y df = (2x + 2y2 + 5)dx + 4xydy , e) df = 4x3dx + -lOydy 4.5. a) df = 1,8; b) df = 7,4; c) df = 2,3. 4.6. a) 1,1, 4.7. a) MPL = 7,2K°'6L-°'6, MPK = 10,8iT0'4Z0'4, b) MPL = UK^Ľ^, b) MPK = 4%K-°'2L0'2, c) MPL = 25K°'5L-°'5, MPK = 25iT0'5Z0'5. 4.8. a)MPL= 1,93,MPK = 26, b) MPL = 9,17, MPK = 51,34, c) MPL = 20,41, MPK 30,62. Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii 5 LOKÁLNI A VAZANE EXTRÉMY FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH rychlý náhled kapitoly Kapitola se věnuje problematice nalezení lokálních a globálních extrémů, tedy maxima a minima funkce dvou reálných proměnných. cíle kapitoly Demonstrovat nalezení extrémů funkce dvou reálných proměnných klicova slova kapitoly Funkce dvou proměnných, lokální extrém, globální extrém, vázaný extrém. EJ 5.1. základní pojmy a vztahy Podobně jako u funkce jedné reálné proměnné je nutnou podmínkou lokálního (a samo- df(x,y) df(x,y) zřejmě i globálního) maxima či minima nulová první derivace: —--- = —--- = 0 . dx dy Tato podmínka však není postačující, neboť v daném bodě může být i inflexní (sedlový) bod. Bod, v němž má funkce všechny první derivace nulové, se nazývá stacionární bod nebo též bod podezřelý z extrému, a bude značen C (z anglického critical point). Jak už bylo řečeno, jev tomto bodě maximum, minimum nebo inflexní bod. O tom, která alternativa nastává, rozhodneme na základě druhých parciálních derivací, z nichž sestavíme Hesseovu2 matici a její determinant zvaný hessián: 2 Ludwig Otto Hesse (1811-1874), německý matematik. 82f d2f dx2 d2f dxdy d2f dydx dy2 Do hessiánu dosadíme souřadnice bodu C a označíme: Di determinant Hesseovy matice. dx2 (C) aD2=Hj(C).D2)e | ^ | k zapamatování Pro určení extrému pak platí následující pravidlo: > D2 > 0: v bodě C je EXTRÉM, a to (lokální ostré) MINIMUM, pokud je Di > 0; a (lokální ostré) MAXIMUM, pokud je Z); < 0. > Ľ2 < 0: v bodě C je sedlo (inflexní bod). > D2 = 0: v daném bodě může (ale nemusí) být extrém, o extrému se musí rozhodnout jiným způsobem, například pomocí totálního diferenciálu druhého či vyššího řádu. Vázané extrémy označují situaci, kdy kromě funkce f(x,y) je ještě zadána vazba (omezující podmínka pro x a y) ve tvaru g(x, y) = 0 . Hledáme extrémy funkce /(x, y), které jsou vázány (leží na ní) křivkou g(x,y) = 0. Postupujeme dosazovací metodou nebo La-graengovou metodou neurčitých multiplikátorů. 5.2 úlohy 5.1 Najděte extrémy funkce dvou proměnných: a) f(x,y) = 2x2-\0y2+4x b) f(x,y) = 3x2 + \0y2 - 12x -40^ + 5 c) f(x,y) = -x2 -y2 +10x + 50^ + 200 d) /(x,^) = 2x2+x^-9^ + 5 e) /(x,^) = 2x3-3x2+/+2^ + 5 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii f) f(x,y) = x3-\2x + 4y2 5.2. Najděte vázané extrémy funkce: a) f(x,y) = x2 +y2, g(x,y): x + y-l = O b) /(x,^) = 10x2+/,^(x,^):^ = x-2 c) /(x,y) = 4xy + 5,g(x,y):y = x-l d) /(x,^) = ^x+4,^(x,^):^ = x + 3 5.3. Maximalizujte příjem TR(x,y) = -5x2 + 40x -4y2 + \60y + 200 . 5.4. Minimalizujte náklady: TC(x,^) = 10x2 -120x + 40/ -1200^ + 2000 5.5. Maximalizujte příjem TR(x,y) = -x2 + 20x - y2 + 22y + 1600 za podmínky x + y = 5 výsledky 5.1. a) C [-1,0] inflexní bod, b) C [2,2] minimum, c) C [5,25] maximum, d) C [9,-36] in-flexní bod, e) C [0,-1] inflexní bod a C [1,-1] minimum, f) C [2,0] minimum a C [-2,0] inflexní bod. 5.2. a) [1/2,1/2] minimum, b) [1/11,-21/11] minimum, c) [1/2,1/2] minimum, d) [-4,-1] minimum. 5.3. Bod [4,20] je maximum příjmu. 5.4. Bod [6,15] je minimum nákladů. 5.5. Bod [2,3] je maximum příjmu. 6 NEURČITÝ INTEGRAL rychlý nahled kapitoly Kapitola je věnována úvodu do neurčitého integrálu, seznámení se základními pojmy a vztahy, a také ekonomickými aplikacemi. cile kapitoly Zavést neurčitý integrál. Seznámit se se základními vztahy a způsoby integrace Demonstrovat užití neurčitého integrálu v ekonomii. E klicova slova kapitoly Neurčitý integrál, primitivní funkce. 6.1. základní pojmy a vztahy Funkce F(x) se nazývá primitivní funkcí k funkci fix) na otevřeném intervalu J ci? právě tehdy, když F'(x) = f(x) pro všechna x e J . Primitivní funkce existuje ke každé spojité funkci naJ. Množina všech primitivních funkcí k dané funkci fix) se označuje jako neurčitý integrál k funkci fix), a značí se takto: j" f(x)dx = F(x) + C, kde J je integrační znak, x integrační proměnná, fix) integrovaná funkce neboli integrand, F(x) primitivní funkce k fix), C integrační konstanta. Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii Neurčitý integrál je lineární operátor, což znamená, že splňuje následující dvě podmínky: i) | kf{x)dx =&j" f{x)dx, ii) {[/(*) ± g(x)]dx =\f{x)dx±\g{x)dx Integrály základních funkcí j sou uvedeny v Tabulce 6.1. Integraci součinu funkcí provádíme metodou per partes (latinsky „po částech"). | uv'dx = uv -1 u'vdx Racionální funkce rozkládáme na parciální zlomky. Při integraci složitějších funkcí používáme substituce. k zapamatování Substituci provádíme typicky v těchto případech: • Je-li v integrálu složená funkce (v závorce), pak nahrazujeme vnitřní funkci (tedy onu závorku), • Je-li v integrálu odmocnina, pak nahrazujeme celou odmocninu nebo výraz pod odmocninou, • Jsou-li v integrálu různé goniometrické funkce, pak provedeme substituci tak, abychom dostali buď jednu goniometrickou funkci, nebo racionální funkci bez goniometrických funkcí. Funkce celkových nákladů TC(x) a funkce mezních nákladů MC(x\ kde x je počet výrobků, spolu souvisejí vztahem: TC(x) = JMC(x)dx + C Předchozí vztah říká, že celkové náklady jsou součtem mezních nákladů. Integrační konstanta C se určí z jedné známé hodnoty TC(x) pro dané x. Celkové příjmy TR(x) a mezní příjmy MR(x): TR(x) = $MR(x)dx + C Tabulka 6.1. Základní integrály. řádek A*) jY(x)í/x 1 0 C 2 1 x + C 3 Jt" n+l + c « + 1 4 ex 5 1 X ln|jc| + C 6 1 ax + é —ln|ax + é| + C a 7 ď ď +c lna 8 sinx -cosx + C 9 cosx sinx + C 10 1 cos2 X tgx + C 11 1 sin2 x cotgx + C 12 1 1 + x2 arctgx + C 13 1 2 2 a +x 1 x „ —arctg—h C a a 14 1 Vl-x2 arcsinx + C 15 1 Vl-x2 arccosx + C 16 1 Vl + x2 lnx + Vl±-X-2 +C Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii 6.2 Úlohy 6.1. Vypočtěte: a) |x4í& c) jl0x5r& J X X g) §(yfx +y[x^dx i) |(3sinx + 2cosx)í& 6.2 Vypočtěte (metoda per partes): a) |xsinxí& c) |x4lnxúĎc e) |(2x+4)cosxú6c 6.3. Vypočtěte (použijte substituci): a) jsin(4x+5)ú&c c) jy/2x-Sdx e) -dx J x g) jsin2 x-cosxdx i) \e3x5dx b) j"(x2 + x3)dx d) j"(x2 +6x-4)í& r 6 4 f) J(- + -)A j x x h) §(5ex+3x)dx b) jx2exdx d) |(x2 +6x)sinxú6c b) J(2x + 8)3r& d) J2xV x2 + Idx f)\\dx J e h) jsinx-co^xúřx j) J(3x + l)4úfcc 6.4. Vypočtěte (použijte rozklad na parciální zlomky): a) í-—-dx b) í-^——t/x Jx2 + 2x-3 Jx2-3x . r 4x2 + x-2 7 r 4x + 9 c)----—dx d) —- J x3-x2 }x2+x-U . r 7x + 27 , e) —-dx J x +6x + 5 výsledky x5 x3 x4 5x6 x3 i 6.1. a) —+C, b) — + — + C, c) —+C, d) —+ 3x2 -4x + C e) ln|x|- —+ C , f) j j 4 ó ó x 3 4 ^x 61n|jc|-4- + C,g) —U + ^^+C,h) 5ex+-— + C, i) -3cosx+2sinx+C 1 1 x2 2-yJx 4 ln3 2 v - - - - - x, ii x 6.2. a) - x cos x + sin x + C , b) xV-2xex +2ex +C, c) y ln|x|-— + C, d) - cos x(x2 + 6x) - (2x + 6) sin x - 2 cos x + C cos(4* + 5) (gx^ 2V^T 2i/^T 7 4 7 8 7 3 3 (lnx)3 _ , i _i sin3 x cos6 x _ e31-5 _ (3x + l)5 _ ^—-+C,f) ide* +C, g)-+ C,h)--+ C,i)-+ CJ) ^-- + C. 3 ' ' 1 1 BJ 3 ' ' 6 ' ' 3 }) 15 i i 2 6.4. a) 61n|x + 3|+21n|x-l| + C, b) ln|x| + 71n|x-3| + C , c) ln x - —+ 31n x-1 + C, d) x lnlx + 4| + 3 lnlx - 3| + C , e) 2 lnlx + 5| + 5 lnlx + l| + C . Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii 7 URCITY INTEGRÁL rychlý náhled kapitoly Kapitola je věnována určitému (Newtonovu) integrálu spojité funkce. Obsahuje základní pojmy a vztahy, pravidla pro integraci a ekonomické aplikace určitého integrálu. cíle kapitoly Zavést určitý (Newtonův) integrál. Představit pravidla pro výpočet určitého integrálu. Demonstrovat užití určitého integrálu v ekonomii. klíčová slova kapitoly Určitý integrál, pravidla integrování, ekonomické aplikace. 7.1. základní pojmy a vztahy Výpočet určitého integrálu provádíme pomocí Newtonova-Leibnizova vzorce: b j" f(x)dx = F(b) - F(a) a Proměnné a a b ve vztahu výše se nazývají horní a dolní integrační meze. Obsah plochy mezi křivkami fix) a h(x), kde h(x) je horní křivka a fix) dolní křivka, a kde a a b jsou průsečíky obou křivek, počítáme podle vztahu: b S = \(h(x)-f(x))dx a Celkový příjem TR za období (ti'Ji), jestliže funkce fit) vyjadřuje intenzitu toku příjmu (velikost renty) v čase t, se vypočte jako: -I TR=\f(t)dt h Přebytek spotřebitele CS (customer surplus): Qe CS= j D(Q)dQ-QEPE o Přebytek výrobce PS (producer surplus): Qe PS=QEPE-\s{Q)dQ o 7.2 úlohy 7.1. Vypočtěte: 2 i a) \ x2dx b) J x2dx o 3 2 z)\x'dx á)\x'dx e) j(x2 + 2x)dx f) J (x1 -2x + 4)dx r 1 f 2 >) h) — fiřx ) ^exdx j) j sin dx o o 7.2. Určete obsah ploch nad (pod) křivkou na daném intervalu: a) y = x2a x e (1,4). b) y = x2a x e (-1,1). c) y = x'a x g (0,2). d) y = x3 a x g (-1,2). e) y = x2 +1 a xg(0,1). 7.3. Určete obsah plochy sevřené křivkami: Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii b) y = x2 ay = 2x. d) y = x ay = x . 7.4. Určete přebytek spotřebitele a výrobce v podmínkách dokonalé konkurence: 7.5. Určete celkový příjem, je-li intenzita toku příjmu f(t) = 2t2 +50, ti= 0, t2 = 10. výsledky 7.1. a) 8/3, b) 26/3, c) 81/4, d) 32/5, e) 4/3, f) 26/3, g) ln5, h) 1, i ) 2,718, j) 2. 7.2. a) 21, b) 2/3, c) 4, d) 17/4, e) 4/3. 7.3. a) 1/6, b) 4/3, c) 9/2, d) 1, e) 1/3. 7.4. a) 7.5. 1167. a)ZXG) = 20-Ô, 5(0 = 40 + 30, b)ZX0 = 84-32, S(Q) = 20+Q c)ZX£) = 100-52, S(Q) = 200+5Q d) D(Q) = 50-2Q,S(Q) = 43+Q 8 ČÍSELNÉ ŘADY rychlý náhled kapitoly Kapitola se věnuje nekonečným číselným řadám, problematice jejich konfergence a určování součtu řad, které jsou konvergentní. cíle kapitoly Zavést pojem nekonečná číselná řada. Zavést konvergenci a divergenci řad. Demonstrovat ekonomické aplikace číselných řad. klíčová slova kapitoly Číselná řada, konvergence, divergence, součet řady. 8.1. základní pojmy a vztahy n Číselnou řadou nazýváme součet (reálných) čí sel a1+a2+a3+... + an = ^jaj . ;=1 Je-li počet sčítanců konečný, mluvíme o konečné číselné řadě, je-li počet sčítanců nekonečný (n —> oo)Jedná se o nekonečnou řadu: QO aj +a2 +a3 + ... = Y_lan n=\ V dalším výkladu se budeme až na výjimky zabývat nekonečnými číselnými řadami (krátce jen „řadami"). Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii Veličina sn = ^jai se nazývá n-tý částečný součet řady. Je to součet prvních n členů ;=1 řady. Součet řady s je pak limitou posloupnosti částečných součtů s„: \\msn =s Jestliže má daná řada konečný součet, nazývá se konvergentní. V opačném případě, to jest když je součet nekonečný anebo vůbec neexistuje, je řada divergentní. Součet nekonečně geometrické řady: a, 1 - q ' 1 8.2 Úlohy 8.1. Určete součet geometrické řady: e v2y g)žf-T h)žf- 8.2. Určitý film vydělal za první týden promítání v kinech 50 milionů dolarů. Producent filmu odhaduje, že každý následující týden budou tržby filmu klesat o a) 40 %, b) 30 %, c) 50 %. Odhadněte celkové tržby filmu. 8.3. Rozhodněte o konvergenci (divergenci) nekonečných řad: a) Z" b) Z" n=0 1^ n=0 1^ M = l H e) X 2" íi=i ^3" co n=0 « 0 výsledky 42 8.1. a) 2, b) 2/3, c) 1/3, d) divergentní, e) 1/4, f) —^= , g) divergentní, h) 7/4, i) 5/2. 8.2. a) 125 mil., b) 167 mil., d) 100 mil. 8.3. a) divergentní, b) divergentní, c) konvergentní, d) konvergentní, e) divergentní, f) konvergentní, g) divergentní, h) divergentní, i) divergentní. Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii 9 FUNKČNÍ RADY rychlý náhled kapitoly Kapitola je věnována nekonečným funkčním řadám, které představují zobecnění nekonečných číselných řad, a problematice jejich konvergence. cíle kapitoly Zavést pojem nekonečné funkční řady. Zavést pojem konvergence funkční řady a různých typů konvergence. klíčová slova kapitoly Funkční řada, konvergence, obor konvergence, interval konvergence, absolutní konvergence. 9.1. základní pojmy a vztahy Nechť fY(x), f2(x), f3(x), ... je posloupnost funkcí. Nekonečná funkční řada je symbol: co Z/Bw = /iW+/2w+- Součet funkční řady je funkce s(x) , kterou získáme (stejně jako u nekonečných číselných řad) jako limitu posloupnosti částečných součtů: co X/„(*)= hm s„(x) = s(x) n—>co n-l CO Řada je konvergentní, jestliže funkční řada X/«(x) = fAx) +f2(x)+--- konverguje k funkci s(x) na jisté množině M Pokud k s(x) konverguje i řada absolutních hodnot ^|/„(*)|, hovoříme o absolutní n=l konvergenci. Množina všech x e M, pro které řada konverguje (konverguje absolutně), se nazývá obor konvergence (obor absolutní konvergence), a v dalším textu bude značen jako OK (OAK). oo Mocninná řada má tvar: ^cn(x-a)n . Interval konvergence mocninné řady n=l IK = (a — p,a + p), kde a je takzvaný střed řady a p je poloměr konvergence, se určí pomocí následujících limit: \c \ p = lim -p-^ nebo p = lim _ Geometrická řada má tento tvar: ^ /(*)" . n=l Označíme-liX-f) = <7, pak řada konverguje pro q <1, a součet geometrické řady: a, _ f(x) i3 1-í WC*)' 9.2 Úlohy 9.1. Určete a OAK u následujících řad, u geometrických řad určete i jejich součet. 00 00 a)J> + 2)" b)l>-5ľ OD /„ , 00 n=l e) lľ O 00 00 g) Yf h) !>"(*-2)" n=0 n=l Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii (* + 4)" 2" k)E(-D"|r n=\ 00 Jt" j) n=\ -> VÝSLEDKY x + 2 9.1. a) geometrická (i mocninná) řada, IK = OK = (-3, -1), s =--, b) geometrická (i x + 1 x - 5 mocninná) řada, IK = OK = (4,6), s =--, c) mocninná řada, IK = (-4, -2) , OK = (-4, -2), d) mocninná řada, IK = OK = (0,2), e) mocninná řada, IK = OK = (1 - 1 / e,l + 1 / e), f) mocninná řada, IK = (3,5), 0Ä" = (3,5), g) geometrická, = (-oo, 0) , s = —i—, h) mocninná řada, OK = 0 , i) geometrická i mocninná, \-ex x + 4 /AT = <9Äľ = (-6, -2), s =---J) geometrická i mocninná, IK = OK = (-5,5), x —X s =-, k) mocninná i geometrická, OK = O AK = (-5,5), s -x x + 5 10 ÚVOD DO OBYČEJNÝCH DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC rychlý náhled kapitoly Kapitola je věnována úvodu do diferenciálních rovnic a základním metodám řešení diferenciálních rovnic. cíle kapitoly Zavést pojem obyčejná diferenciální rovnice Zavést pojem obecné a partikulární řešení. Demonstrovat základní metody řešení diferenciálních rovnic. klíčová slova kapitoly Diferenciální rovnice, obecné řešení, partikulární řešení. 10.1. základní pojmy a vztahy Mějme funkci jedné proměnné^ =/(x). Diferenciální rovnice je rovnice, která kromě x ay obsahuje i derivaci (derivace) funkce^. Rád diferenciální rovnice je určen nejvyšší derivací, mocnina u nejvyšší derivace určuj e stupeň diferenciální rovnice. Rozlišujeme tři druhy řešení diferenciální rovnice: • Obecné řešení je funkce y{x,Ci) vyhovující dané rovnici a obsahující (neurčité) konstanty C, podobně jako u neurčitého integrálu. • Partikulární řešení obdržíme z obecného řešení tak, že konstanty G nahradíme reálným číslem, případně mohou tyto konstanty vyplývat například z takzvaných počátečních nebo okrajových podmínek. • Singulární řešení je řešení, které nelze získat z obecného řešení pro žádné hodnoty Ci, Diferenciální rovnice se separovatelnými proměnnými má obecně tento tvar: Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii P{ x) +Q(y)y = O nebo P(x)dx +Q(y)dy = 0 Lineární diferenciální rovnice prvního řádu má následující tvar: y+p{x)y = q{x) Řešíme ji metodou separace proměnných a variace konstanty. Lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty má tento tvar: y"+aý+c=p(x). Řešení hledáme ve tvaru y = Ce^, více viz [1]. 10.2 úlohy 10.1. Určete obecné a partikulární řešení diferenciální rovnice. a) /=2x+5,X0) = l b) y=\-x2,y(\) = 3 c) /= - +1, y(l) = 2 d) y = x3 - 3x2, ^(0) = 2 x e) y = x2 +5x + 3,X2) = 2 10.2. Určete obecné řešení diferenciální rovnice se separovatelnými proměnnými, a) y Y = 4x b) x2dx - lydy = 0 x3 c)/=— d)/y2=x + l y e)Z = x2+l y 10.3. Určete obecné řešení lineární diferenciální rovnice prvního řádu s nenulovou pravou tsranou. a) y+xy = 2x b) y-{2 x-1) y = 1 - 2x c) j'-3x2 y = x2 10.4. Určete obecné řešení lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty. a) y"+y'-6y = 0 b) /'+7/+12y = 0 c) /'+2/-3y = 0 e) /'+3/-10y = 0 d) /'-4/+4y = 0 0 výsledky 10.1. a) obecné řešení: _y = x2 + 5c + C, partikulární řešení: y = x2 + 5c +1, b) obecné ře- x3 x3 7 šení: y = x - — + C, partikulární řešení: y = x- — + — ,c) obecné řešení: y = 2ln|x| + x + C , partikulární řešení: y = 2ln|x| + x +1, d) obecné řešení: x4 x4 _y = — - x3 + C, partikulární řešení: _y = — -x3+4,e)) obecné řešení: x3 x2 x3 x2 10 v =--1-5--h 3x + C , partikulární řešení: v =--h 5--h3x H--. 32 32 3 3 2 4 3 2 10.2. a) /=2x2+C,b)y = /+C,c)^ = ^- + C,d)^- = y + x + C,e) —+x+C 10.3. a) y = (2e2 +C)i2 , b) y = (e1"*2 + C)e*~x, c) y = (-^—+ C)ex3 10.4. a) y = QíT3x + C2e2x, b) y = Qe-3* +C2íT4x , c) y = QíT3x + C2ex, d) y = Qe2x + C2xe2x, e) y = Qe-5* + C2e2x. Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii ZÁVĚR Studijní opora Sbírka úloh - Matematika v Ekonomii je určená studentům prvního ročníku navazujícího studia na Obchodně podnikatelské fakultě Slezské univerzity. Jejím cílem je poskytnout studentům dodatečné množství úloh k osvojení a porozumění diferenciálnímu a integrálnímu počtu. Autor věří, že společně s dříve vydanou publikací Matematika v ekonomii tak studenti získají dostatečné množství učebního materiálu k úspěšnému absolvování tohoto předmětu. LITERATURA [1] MAZUREK, J. 2012. Matematika v ekonomii. SU OPF Karviná. Název: Matematika v ekonomii Autor: Jména autorů každé na nový řádek včetně titulů Vydavatel: Slezská univerzita v Opavě Obchodně podnikatelská fakulta v Karviné Určeno: studentům SU OPF Karviná Počet stran: 59 Tato publikace neprošla jazykovou úpravou.