Derivace a integrace
Funkce ( )xfyf =: ( )xf  ( ) ( ) += cxFdxxf
Základní jsou vzorce s šedým
pozadím
Pravidla
( )( ) ( )xfaxaf =

( ) ( )  ( ) ( )
( ) ( )  ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )xg
xgxfxgxf
xg
xf
xgxfxgxfxgxf
xgxfxgxf
2
−=
=







+=

=


derivace složené funkce
( ) ( )dxxfadxxaf  =
( ) ( )  ( ) ( ) = dxxgdxxfdxxgxf
cxfdx
xf
xf
+=

 )(ln
)(
)(
Na integraci jiných operací
musíme použit metody: per
partes nebo substituční
ky = (konstanta) ( ) 0=

k  += ckxkdx
Nnxy n
= , …… ( ) 1−
=
 nn
nxx
 +
+
=
+
c
n
x
dxx
n
n
1
1
x
y
1
= ( ) 2
21 11
x
xx
x
−
=−=

=






 −−
 += cxdx
x
ln
1
x
ey = ( ) xx
ee =

 += cedxe xx
( )1,0 = aaay x ( ) aaa xx
ln=

 += c
a
a
dxa
x
x
ln
xy sin= ( ) xx cossin =

 +−= cxxdx cossin
xy cos= ( ) xx sincos −=

 += cxxdx sincos
tgxy = ( )
x
tgx 2
cos
1
=
 cxdxtgx +−= cosln
gxy cot= ( )
x
gx 2
sin
1
cot
−
=
 cxdxgx += sinlncot
x
y 2
cos
1
= ( ) xxx sincos2cos 32 −−
=

 += ctgxdx
x2
cos
1
x
y 2
sin
1
= ( ) xxx cossin2sin 32 −−
=

 +−= cgxdx
x
cot
sin
1
2
arctgxy = ( ) 2
1
1
x
arctgx
+
=
 integrujeme metodou per
partes
xy arcsin= ( ) 2
1
1
arcsin
x
x
−
=
 integrujeme metodou per
partes
2
1
1
x
y
−
=









− 2
1
1
x ( )32
1 x
x
−
=  +=
−
cxdx
x
arcsin
1
1
2
2
1
1
x
y
+
=
( )222
1
2
1
1
x
x
x +
−
=







+  +=
+
carctgxdx
x2
1
1
Goniometrické vzorce
,1cotgtg =xx ,
2
2cos1
sin2 x
x
−
= .
2
2cos1
cos2 x
x
+
=
,1cossin 22
=+ xx
,cossin22sin xxx =
,sin21sincos2cos 222
xxxx −=−=
Mocniny:
1. mnm
aa +
=n
a např.: (a2
·a3
=a5
)
2. mn
m
n
a
a
a −
= např.: a5
/a3
=a2
3. 100
=== aa
a
a
n
n
4. n
nn
a
a
a
a
−
== 0
0
1
např.: 1/a3
=a-3
5. mnmn
aa 
=)( např.: (a2
)3
=a6
6. nnn
baba = )( např.: (a·b)2
=a2
·b2
7. n
nn
b
a
b
a
=





např.: (a/b)2
=a2
/b2
8.
m n
a=m
n
a např.: a2/3
= 3 2
a
Vzorce zkráceného násobení:
1. 222
2)( bababa ++=+
2. 222
2)( bababa +−=−
3. 32233
33)( babbaaba +++=+
4. 32233
33)( babbaaba −+−=−
5. ))((22
bababa −+=−
6. ))(( 2233
babababa ++−=−
7. ))(( 2233
babababa +−+=+
Základní limity:
k
x
x
e
x
k
=





+
→
1lim , 1lim =
→
n
n
n
1lim =
→
n
n
k , =
→
n
n
n!lim
Logaritmy:
1. 1ln =e
2. 01ln =
3. )ln(lnln xyyx =+
4.
y
x
yx lnlnln =−
5. xyx y
lnln = např.: xx ln
2
1
ln =
6. Ae A
=ln
např.: elnx
=x
Neurčité výrazy


;
0
0
; − ; 0 ; 
0 ; 
1 ; 0
 ;
Odmocniny:
1. nnnnnn
babababa ===
111
)(
2. n
n
n
nn
n
b
a
b
a
b
a
b
a
==





= 1
11
3. nnn
baba = 4. n
n
n
b
a
b
a
=
Defniniční obory elementárních funkcí:
,0,
,0,ln
=
=
xxy
xxy
Počítání s nekonečnem ,11,arcsin −= xxy
=+ , = , =
,11,arccos −= xxy
0=

a
, 0=
−
a
, =
0
a
, 0
0
=
a
.0)(,
)(
)(
= xg
xg
xf
y
Diferenciál: dxydy = ,
Totální diferenciál: ,dyzdxzdz yx
+=
222
2 dyzdxdyzdxzzd yyxyxx
++=
Taylorův rozvoj (polynom) funkce f(x) v okolí bodu a.
n
n
n ax
n
af
ax
af
ax
af
afxafT )(
!
)(
+...)(
!2
)(
)(
!1
)(
)(),,(
)(
2
−+−

+−

+=
Derivace funkce F(x,y)=0:
F
F
y
y
x


−=