MATEMATIKA V EKONOMII – PŘEDNÁŠKA Č. 4 (Parciální zlomky a funkce dvou a více proměnných) ROZKLAD RACIONÁLNÍ LOMENÉ FUNKCE NA PARCIÁLNÍ ZLOMKY · Racionální lomenou funkcí nazýváme výraz , kde P(x) a Q(x) jsou dané mnohočleny. · Rozkladem na parciální zlomky rozumíme rozklad dané racionální lomené funkce na součet jednodušších (parciálních) zlomků. · Nejprve rozložíme jmenovatel Q(x) na součin kořenových činitelů, tedy na součin závorek, v nichž je vždy (x – kořen Q), nebo nerozložitelný kvadratický dvojčlen či trojčlen. · Při rozkladu Q(x) mohou nastat tyto případy: a) Všechny kořeny Q(x), označíme je x[1], x[2] až x[k] jsou reálná čísla, a žádný kořen se neopakuje (má násobnost jedna). Pak: b) Všechny kořeny Q(x), označíme je x[1], x[2] až x[k] jsou reálná čísla, ale některý kořen, například x[1] se opakuje n-krát (říkáme, že má násobnost n). Pak: c) Jmenovatel obsahuje nerozložitelný kvadratický dvojčlen nebo trojčlen násobnosti jedna. Příkladem budiž například nebo . Pak: ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 6.3. Rozložte na parciální zlomky . ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 6.4. Rozložte na parciální zlomky . ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 6.5. Rozložte na parciální zlomky . Odbočka: Jak dělíme mnohočlen mnohočlenem? Pokud v racionální funkci je stupeň čitatele větší než jmenovatele, nejprve mnohočleny dělíme, teprve poté rozkládáme. ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 6.5. Rozložte na parciální zlomky FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH - Funkce dvou proměnných: . - Například Cobb-Douglasova produkční funkce . - Graf funkce dvou proměnných si lze představit jako plochu („krajinu“) v trojrozměrném prostoru: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/02/Cobb-Douglas.jpg Obr. 4.6. Graf Cobb-Douglasovy funkce. Zdroj: Wikipedia. -Definiční obor funkce dvou proměnných tvoří body [x, y], pro které má daná funkce smysl. Určujeme jej graficky. ___________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ Příklad 4.1. Určete definiční obor funkce . ___________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ Příklad 4.2. Určete definiční obor funkce . ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 4.3. Určete definiční obor funkce . ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 4.5. Určete definiční obor funkce . - Derivace funkce dvou proměnných: Nechť funkce je funkcí dvou proměnných x a y. Derivaci funkce dvou proměnných podle jedné z nich nazýváme parciální derivace. Pro parciální derivace funkce podle x respektive y užíváme následující značení: , respektive Definice parciálních derivací se zavádí obdobně jako derivace funkce jedné proměnné: , . Při výpočtu parciální derivace podle x postupujeme tak, že y považujeme za konstantu (pouze ji opisujeme) a funkci derivujeme podle x. Při výpočtu parciální derivace podle y postupujeme přesně opačně. ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 4.6. Vypočtěte parciální derivace funkce . ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 4.7. Vypočtěte parciální derivace funkce . - Druhé derivace funkce dvou proměnných: Druhá derivace podle x: Druhá derivace podle y: Smíšená derivace: respektive . U smíšené derivace nezáleží na pořadí derivovaní (věta o záměnnosti pořadí derivování), platí tedy: . ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 4.8. Vypočtěte druhé parciální derivace funkce . - Cobb-Douglasova produkční funkce udává závislost produkce Q na práci L a kapitálu K: (4.1) Ve vztahu (4.1) jsou A, a, b kladné konstanty. Konstanta A souvisí s technologickým pokrokem: při stejném K a L vyšší A znamená, že je produkce vyšší (ze stejného množství kapitálu a práce se vyprodukuje více díky efektivnějším technologiím). Podle hodnoty a + b říkáme o produkční funkci, že má: · konstantní výnosy z rozsahu, je-li · rostoucí výnosy z rozsahu, je-li · klesající výnosy z rozsahu, je-li . - Mezní produkt práce a kapitálu Derivacemi produkční funkce podle práce respektive kapitálu získáme mezní produkt práce MP[L] respektive mezní produkt kapitálu MP[K]: , ___________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ Příklad 4.9. Je dána Cobb-Douglasova funkce . Určete: a) mezní produkt práce a kapitálu, b) mezní produkt práce pro K = 100 a L = 50. - Funkce užitku: Mějme n druhů zboží, jejichž množství buď Q[1], Q[2], …, Q[n]. Předpokládejme, že spotřebitel je schopen přiřadit každé skupině zboží jednu hodnotu, která vyjadřuje užitečnost (užitek) dané skupiny zboží. Zmíněné přiřazení nazýváme funkce užitečnosti (utility fiction), a zapisujeme: V dalším výkladu se omezíme pouze na funkce užitečnosti dvou proměnných. graf 43 Obr. 4.8. Obvyklý tvar funkce užitku. - Mezní užitečnost (užitek) je derivace užitku: ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 4.10. Je dána funkce užitečnosti pro dva druhy zboží . Zjistěte, zda je spotřebitelem preferován stav Q[1] = 10, Q[2] = 5 nebo stav s hodnotami Q[1] = 7, Q[2] = 8. ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 4.11. Vypočtěte mezní užitek MU[1] a MU[2] pro funkci : a) obecně, b) pro Q[1] = 10 a Q[2] = 8. ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 4.12. Pan Tomáš má k dispozici důchod 200 jednotek (například eur). Může si za ně koupit dva statky, které mají cenu P[1] = 4 a P[2] = 2 jednotky. Funkce užitku U pana Tomáše je dána takto: , kde je množství prvního statku a je množství druhého statku. Jaké množství statků má pan Tomáš koupit tak, aby maximalizoval svůj užitek a přitom utratil veškerý důchod? - Tečná rovina a normála: Nechť má funkce v bodě obě parciální derivace. Pak rovnice tečné roviny ke grafu funkce v bodě má tvar: Normálový vektor (vektor kolmý k tečné rovině): A normála (v parametrickém tvaru): , ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 4.13. Je dána funkce . a) Najděte rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě C [2,1,?]. b) Určete normálu k této rovině v daném bodě. - Totální diferenciál funkce dvou proměnných: Totálním diferenciálem (prvního řádu) funkce dvou proměnných v bodě nazýváme výraz: , pokud obě parciální derivace v bodě C existují. Stejně jako u funkce jedné proměnné vyjadřuje totální diferenciál dvou proměnných (přibližně) přírůstek funkce spojený s malým přírůstkem proměnné x (první člen na pravé straně) a proměnné y (druhý člen na pravé straně). ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 4.14. Je dána funkce , bod C [1,1,9] a dx = 0,1, dy = 0,2. Určete: a) totální diferenciál funkce, b) přírůstek funkce v bodě C pro dané hodnoty dx a dy. Totálním diferenciálem druhého řádu nazýváme výraz: Totální diferenciál druhého řádu vyjadřuje (přibližně) „přírůstek přírůstku“ funkce. Lze jej využít k hledání maxima a minima funkce dvou (a více) proměnných, viz Kapitola 5.