MATEMATIKA V EKONOMII – PŘEDNÁŠKA Č. 11:

Úvod do obyčejných diferenciálních rovnic

- Mějme funkci jedné proměnné . Diferenciální rovnice je rovnice, která kromě x a y obsahuje i
derivaci (derivace) funkce y.

- Řád diferenciální rovnice je určen nejvyšší derivací, mocnina u nejvyšší derivace určuje stupeň
diferenciální rovnice.

- Příklady:

je diferenciální rovnicí 1. řádu 1. stupně

je diferenciální rovnice 2. řádu 3. stupně.

- Diferenciální rovnice lze dále dělit například na obyčejné a parciální (budeme se zabývat jen
těmi prvními), a na lineární a nelineární (budeme se zabývat vesměs jen těmi prvními).

Rozlišujeme tři druhy řešení diferenciální rovnice:

-Obecné řešení je funkce vyhovující dané rovnici a obsahující (neurčité) konstanty C[i] podobně
jako u neurčitého integrálu.

-Partikulární řešení dostaneme z obecného řešení tak, že za konstanty C[i] dosadíme nějaké
konkrétní hodnoty, které mohou vyplývat například z takzvaných počátečních nebo okrajových podmínek
(pro danou hodnotu x je předepsána hodnota funkce y a/nebo hodnota její derivace. Grafickým
znázorněním partikulárního řešení je integrální křivka.

-Singulární řešení je řešení, které nelze získat z obecného řešení pro žádné hodnoty C[i], často se
jedná o „zvláštní“ funkce typu y = 0, apod.

___________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________Příklad 12.2. Určete obecné
řešení diferenciální rovnice . Určete i partikulární řešení, které vyhovuje počáteční podmínce .

___________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________Příklad 12.3. Určete obecné
řešení rovnice , a dále partikulární řešení pro y (1) = 2.

Diferenciální rovnice prvního řádu se separovatelnými proměnnými

Jedná se o rovnice ve tvaru: nebo .

Řeší se separací (oddělením) proměnných: členy obsahující proměnnou x převedeme na jednu stranu
rovnice (obvykle nalevo), členy s y na druhou stranu, a pak obě strany rovnice integrujeme.

___________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________Příklad 12.6. Najděte obecné
řešení diferenciální rovnice .

Logistická rovnice a funkce

K matematickému modelování fenoménů jako jsou růst populace, šíření informací, technologických
inovací, epidemií, růst koncentrací roztoků, a podobně, se využívají logistické rovnice, jejichž
řešením jsou logistické funkce. Logistické rovnice jsou často nelineární diferenciální rovnice.
Jednou z nejjednodušších logistických rovnic je následující rovnice (12.2.):

(12.2)

V této rovnici je logistická funkce f funkcí času t. Řešení této rovnice pro počáteční podmínku
je:

(12.3)

Logistická funkce (12.3) má tu vlastnost, že pro kladná t zpočátku velmi rychle (exponenciálně)
roste, poté se však její růst zpomaluje, až se začne asymptoticky blížit k 1, viz Obr. 12.1. Tento
konečný stav odpovídá stavu „nasycení“ (informace už dorazila ke všem, populace se stabilizovala,
roztok je nasycený).

graf 45

Obr. 12.1. Logistická funkce

Vývoj ceny v čase

Nechť cena nějakého výrobku nebo komodity je y. Pak první derivace y´ vyjadřuje změnu této ceny
v čase a y´´ vyjadřuje tempo této změny. V zjednodušeném modelu budeme předpokládat, že budoucí
vývoj (změna) ceny y´ závisí na y, y´ i y´´, a dá se popsat rovnicí:

(12.4)

V rovnici (12.4) jsou a, b a c konstanty. Rovnici (12.3.) upravíme:

(12.5)

Rovnice ve tvaru (12.5) je lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty.
Řešením tohoto typu rovnic je věnována Kapitola 12.7 a 12.8. Pokud například zvolíme a = 1, b = 2 a
c = –2, dostaneme:

(12.6)

Řešením této rovnice je funkce , . Konstanty C[1] a C[2] lze určit z počátečních podmínek: ceny
funkce y v čase t = 0, a změny ceny y´ v čase t = 0.

Zabývejme se nyní dynamikou vývoje tržní ceny P za předpokladu, že poptávka i nabídka jsou lineární
funkce (viz Kapitola 1.8) a v čase t = 0 se tržní cena P nerovná rovnovážné ceně P[E]. Jaký vývoj
ceny P můžeme očekávat?

Máme tedy následující funkce nabídky a poptávky:

, , .

Dále z Kapitoly 1.8 víme, že rovnovážná cena je .

Nechť v čase t = 0 je převis poptávky nad nabídkou, a ten je přímo úměrný změně P.

Za zmíněných předpokladů můžeme sestavit matematický model (diferenciální rovnici) vývoje tržní
ceny P v závislosti na čase t:

, (12.7)

kde k je vhodná konstanta. Do diferenciální rovnice (12.7) dosadíme za funkce D a S:

Upravíme:

A nakonec provedeme substituci závorek:

, resp. , (12.8)

kde .

Rovnice (12.8) je obyčejnou diferenciální rovnicí prvního řádu s nenulovou pravou stranou.

Při jejím řešení nejprve řešíme příslušnou homogenní rovnici pomocí separace proměnných:

Odkud dostaneme obecné řešení .

Nyní ještě potřebujeme najít buď partikulární integrál řešící rovnici s nenulovou pravou stranou,
nebo můžeme provést variaci konstanty (viz Kapitola 12.6). Rychlejší je v tomto případě uhádnout
partikulární integrál: , o čemž je snadné se přesvědčit dosazením do (12.8). Úplné řešení dané
rovnice (12.8) je tedy:

(12.9)

Ale ve vztahu (12.9) není nic jiného než rovnovážná cena!

Je totiž: .

Vztah (12.9), který popisuje dynamiku vývoje tržní ceny, lze proto vyjádřiv ve tvaru:

(12.10)

Názorná interpretace výsledku (12.10) je následující: druhý člen na pravé straně vyjadřuje odchylku
tržní ceny P v čase t od rovnovážné ceny. Tento člen se ale exponenciálně zmenšuje s rostoucím
časem, a proto se tržní cena P bude postupně blížit k rovnovážné ceně P[E]. Rychlost, s jakou se
budou obě ceny přibližovat, je pak závislá na hodnotě konstant použitých v modelu a na počátečním
rozdílu obou cen.

Další užití diferenciálních rovnic v ekonomii zahrnuje mimo jiné Solowův model růstu (nelineární
diferenciální rovnice), vývoj měnového kurzu v závislosti na poptávce po měně, modely typu
predátor-kořist, apod.

MATEMATIKA V EKONOMII – verze M - 2013

Jméno a příjmení : ………………………………………… BODY……...

Osobní číslo:………………………….., PREZENČNÍ x KOMBINOVANÉ

1. a) ......

b) ...... 10b

2. Vypočtěte obsah obrazce omezeného křivkami: .

Grafické znázornění:

Řešte zde:

Obsah = ...................
6b

3. Rozhodněte o konvergenci řady : krit:……... Závěr:…........
5b

4. Rozhodněte o konvergenci řady : L=……... Závěr:…........
5b

5. Cenová elasticita nabídky se vypočte podle vztahu . Určete elasticitu nabídky pro funkci a
cenu P = 4. 5b

6. Najděte extrémy funkce . 6b

7. Vypočtěte:
5b

8. Vypočtěte: 5b

9. Napište první tři členy Taylorovy řady funkce v bodě a = 1.5b

10. Určete součet řady 5b

11. Určete přebytek výrobce v podmínkách dokonalé konkurence, jestliže

a . 7b

12. Derivujte funkci: 6b