MATEMATIKA V EKONOMII – PŘEDNÁŠKA Č. 11: Úvod do obyčejných diferenciálních rovnic - Mějme funkci jedné proměnné . Diferenciální rovnice je rovnice, která kromě x a y obsahuje i derivaci (derivace) funkce y. - Řád diferenciální rovnice je určen nejvyšší derivací, mocnina u nejvyšší derivace určuje stupeň diferenciální rovnice. - Příklady: je diferenciální rovnicí 1. řádu 1. stupně je diferenciální rovnice 2. řádu 3. stupně. - Diferenciální rovnice lze dále dělit například na obyčejné a parciální (budeme se zabývat jen těmi prvními), a na lineární a nelineární (budeme se zabývat vesměs jen těmi prvními). Rozlišujeme tři druhy řešení diferenciální rovnice: -Obecné řešení je funkce vyhovující dané rovnici a obsahující (neurčité) konstanty C[i] podobně jako u neurčitého integrálu. -Partikulární řešení dostaneme z obecného řešení tak, že za konstanty C[i] dosadíme nějaké konkrétní hodnoty, které mohou vyplývat například z takzvaných počátečních nebo okrajových podmínek (pro danou hodnotu x je předepsána hodnota funkce y a/nebo hodnota její derivace. Grafickým znázorněním partikulárního řešení je integrální křivka. -Singulární řešení je řešení, které nelze získat z obecného řešení pro žádné hodnoty C[i], často se jedná o „zvláštní“ funkce typu y = 0, apod. ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________Příklad 12.2. Určete obecné řešení diferenciální rovnice . Určete i partikulární řešení, které vyhovuje počáteční podmínce . ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________Příklad 12.3. Určete obecné řešení rovnice , a dále partikulární řešení pro y (1) = 2. Diferenciální rovnice prvního řádu se separovatelnými proměnnými Jedná se o rovnice ve tvaru: nebo . Řeší se separací (oddělením) proměnných: členy obsahující proměnnou x převedeme na jednu stranu rovnice (obvykle nalevo), členy s y na druhou stranu, a pak obě strany rovnice integrujeme. ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________Příklad 12.5. Určete obecné řešení rovnice . ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________Příklad 12.6. Najděte obecné řešení diferenciální rovnice . Logistická rovnice a funkce K matematickému modelování fenoménů jako jsou růst populace, šíření informací, technologických inovací, epidemií, růst koncentrací roztoků, a podobně, se využívají logistické rovnice, jejichž řešením jsou logistické funkce. Logistické rovnice jsou často nelineární diferenciální rovnice. Jednou z nejjednodušších logistických rovnic je následující rovnice (12.2.): (12.2) V této rovnici je logistická funkce f funkcí času t. Řešení této rovnice pro počáteční podmínku je: (12.3) Logistická funkce (12.3) má tu vlastnost, že pro kladná t zpočátku velmi rychle (exponenciálně) roste, poté se však její růst zpomaluje, až se začne asymptoticky blížit k 1, viz Obr. 12.1. Tento konečný stav odpovídá stavu „nasycení“ (informace už dorazila ke všem, populace se stabilizovala, roztok je nasycený). graf 45 Obr. 12.1. Logistická funkce Vývoj ceny v čase Nechť cena nějakého výrobku nebo komodity je y. Pak první derivace y´ vyjadřuje změnu této ceny v čase a y´´ vyjadřuje tempo této změny. V zjednodušeném modelu budeme předpokládat, že budoucí vývoj (změna) ceny y´ závisí na y, y´ i y´´, a dá se popsat rovnicí: (12.4) V rovnici (12.4) jsou a, b a c konstanty. Rovnici (12.3.) upravíme: (12.5) Rovnice ve tvaru (12.5) je lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty. Řešením tohoto typu rovnic je věnována Kapitola 12.7 a 12.8. Pokud například zvolíme a = 1, b = 2 a c = –2, dostaneme: (12.6) Řešením této rovnice je funkce , . Konstanty C[1] a C[2] lze určit z počátečních podmínek: ceny funkce y v čase t = 0, a změny ceny y´ v čase t = 0. Zabývejme se nyní dynamikou vývoje tržní ceny P za předpokladu, že poptávka i nabídka jsou lineární funkce (viz Kapitola 1.8) a v čase t = 0 se tržní cena P nerovná rovnovážné ceně P[E]. Jaký vývoj ceny P můžeme očekávat? Máme tedy následující funkce nabídky a poptávky: , , . Dále z Kapitoly 1.8 víme, že rovnovážná cena je . Nechť v čase t = 0 je převis poptávky nad nabídkou, a ten je přímo úměrný změně P. Za zmíněných předpokladů můžeme sestavit matematický model (diferenciální rovnici) vývoje tržní ceny P v závislosti na čase t: , (12.7) kde k je vhodná konstanta. Do diferenciální rovnice (12.7) dosadíme za funkce D a S: Upravíme: A nakonec provedeme substituci závorek: , resp. , (12.8) kde . Rovnice (12.8) je obyčejnou diferenciální rovnicí prvního řádu s nenulovou pravou stranou. Při jejím řešení nejprve řešíme příslušnou homogenní rovnici pomocí separace proměnných: , Odkud dostaneme obecné řešení . Nyní ještě potřebujeme najít buď partikulární integrál řešící rovnici s nenulovou pravou stranou, nebo můžeme provést variaci konstanty (viz Kapitola 12.6). Rychlejší je v tomto případě uhádnout partikulární integrál: , o čemž je snadné se přesvědčit dosazením do (12.8). Úplné řešení dané rovnice (12.8) je tedy: (12.9) Ale ve vztahu (12.9) není nic jiného než rovnovážná cena! Je totiž: . Vztah (12.9), který popisuje dynamiku vývoje tržní ceny, lze proto vyjádřiv ve tvaru: (12.10) Názorná interpretace výsledku (12.10) je následující: druhý člen na pravé straně vyjadřuje odchylku tržní ceny P v čase t od rovnovážné ceny. Tento člen se ale exponenciálně zmenšuje s rostoucím časem, a proto se tržní cena P bude postupně blížit k rovnovážné ceně P[E]. Rychlost, s jakou se budou obě ceny přibližovat, je pak závislá na hodnotě konstant použitých v modelu a na počátečním rozdílu obou cen. Další užití diferenciálních rovnic v ekonomii zahrnuje mimo jiné Solowův model růstu (nelineární diferenciální rovnice), vývoj měnového kurzu v závislosti na poptávce po měně, modely typu predátor-kořist, apod. MATEMATIKA V EKONOMII – verze M - 2013 Jméno a příjmení : ………………………………………… BODY……... Osobní číslo:………………………….., PREZENČNÍ x KOMBINOVANÉ 1. a) ...... b) ...... 10b 2. Vypočtěte obsah obrazce omezeného křivkami: . Grafické znázornění: Řešte zde: Obsah = ................... 6b 3. Rozhodněte o konvergenci řady : krit:……... Závěr:…........ 5b 4. Rozhodněte o konvergenci řady : L=……... Závěr:…........ 5b 5. Cenová elasticita nabídky se vypočte podle vztahu . Určete elasticitu nabídky pro funkci a cenu P = 4. 5b 6. Najděte extrémy funkce . 6b 7. Vypočtěte: 5b 8. Vypočtěte: 5b 9. Napište první tři členy Taylorovy řady funkce v bodě a = 1.5b 10. Určete součet řady 5b 11. Určete přebytek výrobce v podmínkách dokonalé konkurence, jestliže a . 7b 12. Derivujte funkci: 6b