EVROPSKÁ UNIE Evropské strukturální a investiční fondy Operační program Výzkum, vývoj a vzdělávání KPřr MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Název projektu Rozvoj vzdělávání na Slezské univerzitě v Opavě Registrační číslo projektu CZ.02.2.69/0.0./0.0/16_015/0002400 Sbírka úloh Matematika v ekonomii Distanční studijní text Jiří Mazurek Karviná 2021 SLEZSKÁ UNIVERZITA OBCHODNĚ PODNIKATELSKÁ FAKULTA V KARVINÉ Obor: Matematika, ekonomie Klíčová slova: Diferenciální počet, funkce, integrální počet, mikroekonomie, optimalizace. Anotace: Sbírka úloh z matematiky v ekonomii je opora určená studentům prezenční i kombino- vané formy navazujícího magisterského studia na Obchodně podnikatelské fakultě v Karviné pro stejnojmenný jednosemestrální předmět, který svým obsahem navazuje na předmět Kvantitativní metody vyučovaný v prvním ročníku. Cílem sbírky je poskytnout studentům úlohy a příklady k prohloubení znalostí především v oblasti matematické analýzy a demonstrovat její užití v různých oblastech ekonomie. Opora zahrnuje reálné funkce jedné a více proměnných, průběh funkce, nekonečné řady, diferenciální a integrální počet a diferenciální rovnice. Aplikace matematické analýzy v oblasti ekonomie zahrnuje hledání extrémů (maxima a minima) ekonomických funkcí, jako jsou náklady, příjmy, zisk, užitek, produkce apod., analýzu vlastností těchto funkcí a jejich vzájemných vztahů a také matematické modelování ekonomických situací. Autor: Mgr. Jiří Mazurek, Ph.D. Obsah ÚVODEM..................................................................................................................................1 RYCHLÝ NÁHLED STUDIJNÍ OPORY.................................................................................2 1 FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ.......................................................................3 1.1. Základní poj my a vztahy.............................................................................................3 1.2. Úlohy...........................................................................................................................4 2 ÚVOD DO DIFERENCIÁLNÍHO POČTU JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ.................9 2.1. Základní pojmy a vztahy.............................................................................................9 2.2. Úlohy.........................................................................................................................13 3 PRŮBĚH FUNKCE.........................................................................................................17 3.1. Základní pojmy a vztahy...........................................................................................17 3.2. Úlohy.........................................................................................................................18 4 REÁLNÁ FUNKCE DVOU REÁLNÝCH PROMĚNNÝCH........................................22 4.1. Základní pojmy a vztahy...........................................................................................22 4.2. Úlohy.........................................................................................................................24 5 LOKÁLNÍ A VÁZANÉ EXTRÉMY FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH....................27 5.1. Základní pojmy a vztahy...........................................................................................27 5.2. Úlohy.........................................................................................................................28 6 NEURČITÝ INTEGRÁL.................................................................................................30 6.1. Základní pojmy a vztahy...........................................................................................30 6.2. Úlohy.........................................................................................................................33 7 URČITÝ INTEGRÁL......................................................................................................35 7.1. Základní pojmy a vztahy...........................................................................................35 7.2. Úlohy.........................................................................................................................36 8 ČÍSELNÉ ŘAD Y.............................................................................................................38 8.1. Základní pojmy a vztahy...........................................................................................38 8.2. Úlohy.........................................................................................................................39 9 FUNKČNÍ ŘADY............................................................................................................41 9.1. Základní pojmy a vztahy...........................................................................................41 9.2. Úlohy.........................................................................................................................42 10 ÚVOD DO OBYČEJNÝCH DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC.......................................44 10.1. Základní pojmy a vztahy.........................................................................................44 10.2. Úlohy ZÁVĚR LITERATURA ÚVODEM Sbírka úloh z Matematiky v ekonomii je doplňkovou studijní oporou pro stejnojmenný předmět vyučovaný na Slezské univerzitě, Obchodně podnikatelské fakultě v prvním ročníku magisterského studia, který navazuje na předmět Kvantitativní metody vyučovaný v prvním ročníku bakalářského studia. Sbírka úloh z Matematiky v ekonomii poskytuje studentům téměř tři stovky úloh rozdílné obtížnosti k procvičení. Jejím obsahem jsou funkce jedné reálné proměnné, úvod do diferenciálního počtu jedné reálné proměnné, průběh funkce, reálná funkce dvou reálných proměnných, lokální a vázané extrémy funkce dvou proměnných, neurčitý a určitý integrál a nekonečné číselné a funkční řady s aplikacemi v ekonomii. Ke všem úlohám jsou uvedeny výsledky a jednotlivé kapitoly jsou řazeny (pro lepší přehlednost) podobně jako v základní studijní opoře Matematika v ekonomii [1]. Na začátku každé kapitoly jsou uvedeny nej důležitější pojmy, vztahy a vzorce, následují jednotlivé úlohy a jejich výsledky. 1 RYCHLÝ NÁHLED STUDIJNÍ OPORY Sbírka úloh z Matematiky v ekonomii je rozdělena do deseti kapitol. Každá kapitola obsahuje na začátku nové pojmy, vzorce a vztahy potřebné k řešení úloh, následují tematicky řazené úlohy a jejich řešení včetně obrázků a grafů. Stručná osnova studijní opory: • Funkce jedné reálné proměnné • Úvod do diferenciálního počtu jedné reálné proměnné • Průběh funkce • Reálná funkce dvou reálných proměnných • Lokální a vázané extrémy funkce dvou proměnných • Neurčitý integrál • Určitý integrál • Číselné řady • Funkční řady • Úvod do obyčejných diferenciálních rovnic 2 1 FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ :: RYCHLÝ NAHLED KAPITOLY Obsahem této kapitoly jsou funkce jedné reálné proměnné, definiční obor funkce, obor hodnot, graf funkce, základní funkce. CÍLE KAPITOLY • Definovat poj em funkce j edné reálné proměnné. • Zavést a vysvětlit nej důležitější vlastnosti funkcí. • Představit grafy základních funkcí. KLÍČOVÁ SLOVA KAPITOLY Funkce, definiční obor funkce, obor hodnot funkce, graf funkce. 1.1. základní pojmy a vztahy Funkci značíme písmenem/(g, h, ...), definiční obor funkce jakoD{f) nebo Df a obor hodnot H(f) nebo Hf . Funkční předpis se značí y = f {x), například y = x2 +1. Proměnná x se nazývá nezávislá proměnná {argument), proměnná^ je závislá proměnná. Definiční obor funkce D{f) je množina všech x, pro něž má smysl funkční předpis y = f(x) . Smysl určování definičního oboru spočívá ve vymezení hodnot x, pro které je (respektive není) předpis y = f(x) definován. V ekonomii platí, že většina veličin může nabývat pouze kladných hodnot, neboť například záporná poptávka, nabídka, cena nebo produkce postrádají ekonomický smysl. Grafem funkce y = f(x) nazýváme množinu všech bodů o souřadnicích [x,/(x)], kde x e D(f). Grafem lineární funkce je přímka, kvadratické funkce parabola, nepřímé úměrnosti hyperbola atd. Polynomem (mnohočlenem) řádu n nazýváme výraz aQ + axx + a2x2 +... + anxn a značíme j ej Pn(x) . Je-li n = 0, je polynom roven konstantě ao; je-li n = 1, je polynom lineární: a0 + axx; pro n = 2 je polynom kvadratický: aQ + a1x + a1x2 atd. Nulovým bodem {kořenem) polynomu je takové číslo xo, pro které platí Pn{x) = 0. 3 SAMOSTATNÝ UKOL Zopakujte si grafy základních funkcí: lineární, kvadratické, mocninné, sinus a kosinus. 1.2. Úlohy 1.1 Určete definiční obor funkce: a) y = y/4x + & c) y = Vx2 -9 e) j = log(l6-x2) g) y = y/x2-x-6 i) j = log(x2 +x) 1.2. Nakreslete graf funkce: a) y = 2x + \ c) j = -x + 4 e) y = x2-4 i) y = -x2 1.3. Určete nulové body polynomu: a) x2 + 6x + 8 c) x4-4x2 e) x3 - x 1.4. Načrtněte funkci poptávky a nabídky &)QD=40-5P;QS=S + 3P c)QD=250-%P;Qs=30 + 2P b) y = V5 - x d) j = log(2x-3) h) y = sl4 + 2x +- x + 3 6-x j) y=-—r x -x b) y = x-3 d) y = x2 +1 f) J = 2X h) y = x' j) j = -x2 +1 b) x3 -2x2 -3x d) x4-x3 určete graficky i výpočtem bod rovnováhy: b)QD=\00-2P;Qs=40 + P 4 L VÝSLEDKY 1.1. a) (-2,»), b) (-qo,5>, c) (-oo,5)u(3,oo), d) (3/2,»), e) (-4,4), f) i? -{-2,+2}, g) (-00-2)u(3,00), h) (-2,»), i) (-00-1)^(0,00), j) i?-{0,1}. 1.2. a) b) 5 6 7 -2--3- j) 1.3. a) {-4-2}, b) {-1,0,3}, c) {-2,0,2}, d) {o,l}, e) {o,l}. 1.4. a) P = 4, Q = 20; b) P = 20, Q = 60, c) P = 22, Q = 74. 8 2 ÚVOD DO DIFERENCIÁLNÍHO POČTU JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ - RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Obsahem této kapitoly je derivace funkce a její aplikace v ekonomii. CÍLE KAPITOLY • Definovat pojem derivace funkce. • Demonstrovat užití vztahů pro derivování základních funkcí. • Ukázat ekonomické aplikace derivace. KLÍČOVÁ SLOVA KAPITOLY Funkce, derivace funkce, rostoucí funkce, klesající funkce, maximum funkce, minimum funkce. 2.1. základní pojmy a vztahy Derivací funkce y = f (x) v bodě x rozumíme limitu: --y lim^=lim/(*+A*)-/(*) ax^o Ax fo^o Ax Nechť funkceX*) agfx) mají derivaci na intervalu Jci^.K výpočtu derivací součtu, rozdílu, součinu a podílu těchto funkcí, a pro derivaci funkce složené, používáme následující pra- vidla: i) ii) iii) iv) v) [c.f(x)]=c.f(x) [f(x)±g(x)}=f(x)±g\x) [/(*) • g(*)]= /'00 ■ g(x) + f(x) ■ g(x) ~m _g(x)l [f(g(x))}=f(g(x)).g(x) '=f(x)-g(x)-f(x)-g'(x) (j^Q g\x) 9 Pravidlo iii) se nazývá Pravidlo pro derivaci součinu funkcí, pravidlo iv) slouží k výpočtu derivace podílu funkcí, a konečně pravidlo v) je pravidlo pro derivaci složené funkce. K derivování elementárních funkcí používáme vzorce uvedené v Tabulce 2.1. Některé funkce není možné derivovat pomocí pravidel uvedených v Tabulce 2.1. Typickým příkladem jsou funkce ve tvaru y = f (x)g(x), tedy funkce, v nichž se proměnná x nachází jak v základu mocniny, tak v exponentu. V takovém případě využijeme tzv. logaritmickou derivaci: funkci nejprve logaritmujeme: y = f (x)g(x) => \ny = ln /(x)g(x) => ln y = g(x) ln f(x),a pak derivujeme: ^ = g'(*)ln/(x) + g(x)4^ y /(*) U některých funkcí nelze y vyjádřit jako funkci x. V takovém případě hovoříme o implicitní funkci. Derivace implicitní funkce je dána takto: df(Q /(O - & df(C) dy Ve výše uvedeném vzorci pro derivaci implicitní funkce se vyskytují parciální derivace, které najdete v Kapitole 4. Složité funkce, které mají derivace až do n-tého řádu, můžeme přibližně nahradit (aproximovat) Taylorovou řadou (Taylorovým polynomem) stupně n v okolí zvoleného bodu a. Vy-j ádření funkce pomocí polynomu (mnohočlenu) j e j ednodušší a usnadňuj e výpočty. V ekonomii se tento postup často používá například ke zjednodušení nelineárních funkcí na funkce lineární. Taylorůvpolynom funkce /(x) v bodě a je definován takto: Tn(f^x) = f(a) + ^-(x-a) + ^-(x-af + ... +JTM(x-ay+Rn+l(x) 1! 2! n\ kde Rn+i(x) se nazývá zbytek řady. Pokud zvolíme a = 0, dostaneme Maclaurinovu řadu: W,0,x) = /(0) + Äx + Äx2+ ... +/ľí2)x«+i?n+i(x) 1! 2! n\ Maclaurinův rozvoj vybraných funkcí je uveden v Tabulce 2.2 i s příslušným oborem konvergence odpovídající funkční řady. Diferenciálem funkce y = f (x) nazýváme funkci df(x) = f'{x^)dx . Diferenciál funkce závisí na x a dx, a vyjadřuje přibližně přírůstek funkce / při změně argumentu xoáv bodě x. (Toto přibližné vyjádření je tím přesnější, čím menší je dx). Elasticita funkce (pomocí první derivace) je definována následovně: x Áy x dy x , E(x) = lim--=--= — y Ax^-° y Ax y dx y 10 Cenovou elasticitu poptávky, krátce elasticitu poptávky (price elasticity of demand), definu-jeme takto: E(P) = -^ QdP K ZAPAMATOVANÍ Podle hodnoty elasticity poptávky při dané ceně i5 rozlišujeme poptávku: elastickou, je-li E(P) > 1, jednotkově elastickou, je-li E(P) = 1 neelastickou, je-li E(P) < 1. Cenová elasticita nabídky, krátce elasticita nabídky (price elasticity of supplý) se definuje podobně jako cenová elasticita poptávky: PdQ E(P) Q dP kde Q = S(P) je funkce nabídky. Protože funkce nabídky je rostoucí a P a Q j sou kladné, neobjevuje se ve vztahu znaménko mínus. Mezní produkt práce (marginal product of labour) MPĽ]e derivace funkce produkce podle práce: MPL=^ = Q(L) dL Celkový příjem TR (total revenue) je součinem množství Q a ceny za jednotku množství P: TR = Q-P Průměrný příjem AR (average revenue) je podíl celkového příjmu a množství: Q Mezní příjem MR (marginal revenue) je definován jako derivace celkového příjmu: dTR(Q) MR dQ 11 Celkové náklady TC {total cost) jsou všechny náklady nutné pro realizaci Q jednotek. Celkové náklady lze rozložit na celkové variabilní náklady JVC {total variable cost) afixní náklady FC (fixed cost): TC{Q) = TVC{Q) + FC Mezní náklady MC {marginal cost) jsou derivací celkových nákladů: dO Tabulka 2.1. Přehled derivací elementárních funkcí. A*) /(*) konstanta 0 x 1 x" wc"1 ex ex lnx 1 X ax ax - lna 1 xlna sin x cos X cosx -sin x tgx 1 cos2 X cotgx 1 sin2 x arcsin x 1 arccos x 1 arctg x 1 1 + x2 arccotg x 1 1 + x2 12 Tabulka 2.2. Mocninné rozvoje vybraných funkcí. Funkce Maclaurinův rozvoj Obor konvergence sinx 3 5 7 x--+---+ ... 3! 5! 7! (—00,00) cosx 1- —+ — - — + ... 2! 4! 6! (—00,00) ex x x2 x3 1 + —+ — + — + ... 1! 2! 3! (—00,00) ln(jc + l) 2 3 4 x--+---+ ... 2 3 4 (-u) 2.2. Úlohy 2.1. Derivujte elementární funkce: a) y = x4 + 5x3 c) _y = 2x3 + 6x-ll e) y = yfx + 4x g) y = 3 sin x - 2 cos x + tgx 2.2. Derivujte následující funkce: a) y = (2x + \)-ex c) y = cosx-lnx x + 5 x +1 g) j = ln(x3 + 5x) i) y = sin(4x + 5) lnx k) y = —r b) j = 10x8+l 4 3 d) ^ = - + — x x f) y = 121nx + 6 log x h) y = \0ex + 5X b) _y = x4 • ln x lnx x + 1 cosx sin x h) j = (x2+6)3 1) y = y/4x + 6 x 2.3. Určete derivace vyšších řádů (druhého a třetího řádu): a) y = x5 b) y = x4 + 3x2 -6x + 12 13 c) y = lnx e) y = yjx . d) y = únx 2.4. Derivujte: a)j = x*+1 b)y = x1^ c)y = xco" d)^ = (sinx)x 2.5. Derivujte: a) 5xy + lny + 4 = 0 b) x2y + xsmy-x = 0 c) ln(xy) + x2 + y2 =0 d) sin(x + >>) + x2y2 -12 = 0 e) x4 +2xy + 16 = 0. 2.6. Určete Maclaurinovu řadu funkcef. a) y = Vx + 1 b) j = 2X c) j = cos x d) y = ln(x + 1) e)y = e2x f)y = ex+x2 2.7. Určete Taylorovu řadu dané funkce f v daném bodě a: a) y = yfx , a = 1 b)_y = ex,a=l c)j = lnx,a=l d)y = —, a = 2 x 2.8. Určete elasticitu funkce: a) ^ = x2 b) j = x3, c) j = 3x2 - 4x v bodě x = 2 d)_y = x3+5,x=l e)j = lnx,x = 3 f)j = x2+5x + 2,x=l 2.9. Určete cenovou elasticitu poptávky: a) Q(P) = 60-5P b) Q(P) = 110-22P c) = 42 - 2i5 d) Q(P) = 60-3P e)Q(P) = 20-P2 f) g(P) = 100-18P 2.10. Určete cenovou elasticitu poptávky v daném bodě P: a) g(P) = 60-5P,P = 5 b) Q(P) = 140-15i5, P = 2 c) Q(P) = 42-2P.P = 3 d) g(P) = 60-3P,P = 5 e) g(P) = 40-2P2,P = 3 f) = 82-6i5, P = 10 2.11. Určete mezní produkt práce (načrtněte křivku MPl): 14 a) Q(L) = Ľ2 + 3L + 5 b) Q (L) = 5Ľ +16L c) Q(L) = 20Ľ2 -Ľ 2.12. Určete mezní produkt práce pro danou hodnotu L: a) Q(L) = L2 + 3L + 5,L = 2 b) Q (L) = 5Ľ + \6L , L = 10 c) Q(L) = 20L2-Ľ,L=\ 2.13. Vypočtěte mezní nákladyMC(Q), jsou-li dány celkové náklady: a) TC(Q) = Q3+ lóg + 250 b) TC(Q) = 4Q2 + ^ 2.14. Najděte maximum zisku pro funkci celkového příjmu TC(Q) = -Q2 + \4Q + 250 2.15. Vypočtěte diferenciál funkce: a) y = x2,x = 2,dx = 0,1. b) y = x3 + x,x = \,dx = 0,2. c) y = 6\nx,x = 2,dx = 0A. d) y = x2 + 8x-4,x = 3,í/x = 0,1. VÝSLEDKY 2.1. a) 4x3 + 15x2, b) 80x7, c) 6x2 +6, d) -—2 e) J=+ -1= f) —+ -^—, x x 2-Vx 4Vx x x ln 10 g) 3cosx+2sinx+l/cos2x, h) 10ex+5xln5. (x +1)— - ln x 2.2. a)(2x + 3)ex, b) 4x3 lnx + x3, c) -sinx-lnx +-, d) x (x +1) 2 x2 -10x + l ^ 1 x 3x2 +5 e) ; 2 x::2' ^, f) -T"—7, g) , h) 6x(x2 + 6)2, i) 4cos(4x + 5), j) 2xex +4: (x +1) (sin x) x + 5x ,. x-2xlnx 2 k)-j-,1) x4 ' v V4x + 6 2.3. a) /= 5x4;/'=20x3;/"=60x2,b) /= 4x3 + 6x-6;/'= 12x2 +6;/"=24x, , . 1 .. 1 ... 2 . . ...... c) ^ = -;^=-^;^ = ^j, d) y = cosx;y =-smx;y =-cosx, 1 „ 1 ,„ 3 V 24x 4Vx3 8 V x5 2.4. a) xx+1(lnx + —),b) xlnx(-lnx), c) xcosx (-sin x ln x +, d) (sin x)x (ln(sin x) + x cot gx). 15 1 + 2x , . , . „ 2 2.5. a) —SIL-, b) _2^ + sin^-l c) _^- d) cos(x + ^) + 2x^ 5X + J_' x2+xcosx ' J__|_2j/ cos(x + _y) + 2x2_y ' y y x 4x3 + 2 v e)---. 2x n r x /-T 1 1 1 2 1 3 , x ^ 1 , „ (ln2)2 2 (ln2)3 3 2.6. a) Vx + 1 =l + -x—x2 +—x3 + ..., b) 2X =l + ln2-x + -^-^-x2 -^-x3 + ..., 2 8 16 2 6 c) cosx = 1- —x2 + ..., d) ln(x + l) = x- —x2 +-x3 - e) e2x = l + 2x + 4x2 + —x3 +. 2 2 3 3 3 1 f) ex +x2 =l + x + —x2 + —x3 + ... 2 6 2.7. a) r(Vx,a = l) = l + -(x-l)--(x-l)2 + —(x-1)3 + ..., 2 8 16 b) r(ex,a = l) = l + e(x-l) + -(x-l)2 + -(x-l)3 +..., 2 6 c) r(lnx,a = l) = +(x-l)-^(x-l)2 +^(x-l)3 +..., d) P(l/x,a = 2) = ---(x-2) + -(x-2)2 - — (x-2)3 +.... 2 4 8 16 2.8. a) 2, b) 3, c) 4, d) lÁ, e) l/ln3, f) 7/8. , 5? 22P . 2P 3P . 4P2 18i5 2.9. a) ——- b) ————, c) ——-, d) ——-, e) 60-5P' ' 110-22P' ' 42-2P' ' 60-3P' ' 40-2P2' 100-18P 2.10. a) 0,714, b) 0,273, c) 1/6, d) 1/3, e) 1,636, f) 2,727. 2.11. a)2L + 3,b) 15L2+ 16, c) 40L - 3L2 2.12. a) 7, b) 1516, c) 37. 2.13. a) 3Q2 + 16 Q, b) 8Q-100/Q2 2.14. Q = 7. 2.15. a) 0,4, b) 0,8, c) 0,3, d) 1,4. 16 3 PRŮBĚH FUNKCE RYCHLÝ NAHLED KAPITOLY Kapitola je věnována určování vlastností funkce - průběhu funkce, který mimo jiné zahrnuje nalezení definičního oboru funkce, lokálních extrémů nebo intervalů monotónnosti, a také načrtnutí grafu funkce. CÍLE KAPITOLY • Naučit se určovat průběh funkce pomocí předdefinované desetibodové osnovy. KLÍČOVÁ SLOVA KAPITOLY Průběh funkce, lokální extrémy, intervaly monotónnosti, graf. 3.1. základní pojmy a vztahy Určit průběh funkce znamená určit její vlastnosti. Při určování průběhu funkce obvykle postupujeme podle následující osnovy: 1. D(f), sudost, lichost, periodičnost. 2. Limity (jednostranné) v bodech nespojitosti a v nevlastních bodech. 3. Průsečíky s osami x a y, znaménka funkčních hodnot. 4. První derivace, její nulové body. 5. Lokální extrémy a intervaly monotónnosti. 6. Druhá derivace a její nulové body. 7. Inflexní body, konkávnost, konvexnost. 8. Asymptoty. 9. Omezenost funkce, obor hodnot funkce H(f). 10. Graf funkce. 17 3.2. Úlohy 3.1. Určete lokální extrémy funkce: a)y = x2-6x+5 b) y = 2x2 + 18x + 35 c) y = 2x3 - x2 d) y = ex e) y = — f) j = ln x - x x g) _y = x • ex h) _y = x • ln x x e +e 0^ = i— J)^ = —— lnx 2 k).y = 3* 3.2. Určete konvexnost a konkávnost funkce: -x a) y = x3 - 2x2 + 4x - 3 x c) _y = x4 -16x2 e) _y = x2 - 6x + 3 f) y = ln x 3.3. Určete průběh funkce a nakreslete graf: a) y = xV b)j = 2x3-3x2 c) y = 12x-x3 d) j = xlnx e) y = x4 - 4x3 0 VÝSLEDKY 3.1. a) x = 3, MAX; b) x = -4,5, MIN; c) x = 0, MAX, x = 1/3, MIN; d) nejsou, e) nejsou, f) x = 1, MAX; g) x = -1, MIN; h) x = l/e, MIN;, i) x = e, MIN, j) x = 0 MIN, k) nejsou. 3.2. a) funkce je pro x g (-oo,2/3) konkávni a pro x g (2/3, oo) konvexní, b) funkce je pro x g (-oo,0) konkávni a pro x g (0,oo) konvexní, c) funkce je na intervalu x g (_G0'_-Jj) konvexní, na intervalu x g (-J—,J—) konkávni a na intervalu xg(J—,oo) konvexní, d) funkce je konvexní na celém definičním oboru, e) funkce je konvexní na celém definičním oboru, f) funkce je konkávni na celém definičním oboru. 18 3.3. a) D(f) = R, ani sudá, ani lichá, ani periodická, průsečíky s osami: [0,0], H(f) = R+, maximum: [-2,4/e2], minimum: [0,0], x e (-00,-2): rostoucí, x e (-2,0): klesající, xe(o,oo): rostoucí, inflexní body: [-2,V2], [-2,-V2"], x g (- co-2 - ^2): konvexní, x g (- 2 - 42,-2 + V2~): konkávni, x g (- 2 + V2, co): konvexní, asymptoty: osa x. b) D(f) = R, ani sudá, ani lichá, ani periodická, průsečíky s osami: [0,8] (průsečíky s osou x vypočítat neumíme), H(f) = R, maximum: [0,8], minimum: [1,7], x e (- 00,0): rostoucí, x e (o,l): klesající, xe(l,co): rostoucí, inflexní bod: x = 1/2, x g (-00,1/2): konkávni, x g (l/2,00) : konvexní, asymptoty: nejsou. 19 c) D(f) - R, ani sudá, ani lichá, ani periodická, průsečíky s osami: [0,0], [-Vl2,0][Vl2,0] , x = -2 : MIN, x = 2: MAX, x e (- oo,-2): klesající, x e (- 2,2): rostoucí, x e (2, oo): rostoucí, x = 0: inflexní bod, x e (- qo,o) : konvexní, x e (o, oo): konkávni, asymptoty nejsou, H(f) = R. 10- >■ o- -10- -2 0 2 X d) D(f) = (o,oo), ani sudá, ani lichá, ani periodická, průsečíky s osami: [1,0], x = \le: MIN, x g (0,11 e): klesající, x g (l/e,oo): rostoucí, funkce je na celém definičním oboru konvexní, nemá asymptoty, H (f) = (-1 / e, oo). O 1 2 3 4- S X 20 e) D(/) = R, ani sudá, ani lichá, ani periodická, průsečíky s osami: [0,0] a [4,0], x = 3 : MIN, x e (- oo,3): klesající, x e (3,00) : rostoucí, inflexní body: x = 0ax = 2, x e (- 00,0): konvexní, x e (0,2): konkávni, x e (2,00): konvexní, asymptoty nejsou, H(/) = (- 27,00). 21 4 REÁLNÁ FUNKCE DVOU REÁLNÝCH PROMĚNNÝCH RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Kapitola je věnována úvodu do reálných funkcí dvou reálných proměnných. Zaměřuje se především na určení definičního oboru, výpočtu první a druhé parciální derivace, výpočtu totálního diferenciálu a aplikace v ekonomii na příkladu Cobb-Douglasovy funkce. CÍLE KAPITOLY • Zavést funkci dvou reálných proměnných. • Naučit se graficky určovat definiční obor funkce dvou reálných proměnných. • Zavést první a druhé parciální derivace funkce. • Zavést totální diferenciál. • Využít parciální derivace v aplikaci na Cobb-Douglasovu produkční funkci. KLÍČOVÁ SLOVA KAPITOLY Funkce dvou reálných proměnných, derivace funkce, Cobb-Douglasova produkční funkce. 4.1. základní pojmy a vztahy Definičním oborem funkce /(x,y) proměnných x ay rozumíme všechny uspořádané dvojice [x,y\e R2, pro které má daná funkce smysl. Definiční obor obvykle znázorňujeme graficky v pravoúhlé soustavě souřadnic jako (vyšrafovanou) část roviny. Pro parciální derivace funkce / (x, y) podle x respektive y užíváme následující značení: 2g£ f:(x,y), /■ , respektive^), £(x,,), // Při výpočtu parciální derivace podle x postupujeme tak, ze y považujeme za konstantu (pouze ji opisujeme) a funkci f(x,y) derivujeme podle x. Při výpočtu parciální derivace podle y postupujeme přesně opačně. Druhé parciální derivace značíme takto: 22 eř/ d2f d2f Qx2 ôy2 ôxôy ôyôx 11 i d2 f Výraz —^-znamená, že funkci /(x, y) derivujeme (poprvé) podle proměnné x, a poté dx (podruhé) opět podle x. Význam ostatních druhých derivací je obdobný. Jsou-li druhé parciální derivace spojité, u smíšené derivace nezáleží na pořadí derivo- d2f d2f vaní, platí tedy: dxdy dydx Totálním diferenciálem (prvního řádu) funkce dvou proměnných /(x, y) v bodě C[cl, c2 ]nazýváme výraz: df(C) = ^-(C)dx+^-(C)dy dx dy Stejně jako u funkce jedné proměnné vyjadřuje totální diferenciál dvou proměnných (přibližně) přírůstek funkce f(x,y) spojený s malým přírůstkem proměnné x (první člen na pravé straně přechozího vztahu) a malým přírůstkem proměnné y (druhý člen na pravé straně). Cobb-Douglasova1 produkční funkce udává závislost produkce Q na práci L a kapitálu K: Q = AKaĚ, a, 6 e (0,1) K ZAPAMATOVANÍ Podle hodnoty a + b říkáme o produkční funkci, že má: • konstantní výnosy z rozsahu, je-li a + b =1. • rostoucí výnosy z rozsahu, je-li a + b > 1, • klesající výnosy z rozsahu, je-li a + b<\. Pokud je a + b = 1, lze vztah pro produkci Q upravit následovně: Q = AKaLla Mezní produkt práce {marginal product of labour) MPl je derivace funkce produkce podle práce: MPL=^ = Q'(L) dL 1 Charles Cobb (1875-1949), americký ekonom, Paul Douglas (1892-1976), americký ekonom. 23 Podobně jako mezní produkt práce se zavádí mezní produkt kapitálu: -QiK) 4.2. Úlohy 4.1. Určete (graficky) definiční obor funkcí dvou proměnných: a) f{x,y) = Jx + y + \ b) f(x,y) = Jx-4+y c) f(x,y) = Jy + 3 á) f (x,y) = \n(y - x) e) /(x,= ylx2+y2-\6 f) /(x,= ln (j, - x2) g) /(x,j) = ln(x2+/-9) h) f(x,y) = ylx + y-s[x~+\ 4.2. Vypočtěte parciální derivace funkce. a) /(x, ^) = x2 + 3/ b) f{x, y) = 4x2 -2y2+5x-2y + : c) f(x,y) = x3+2xy2 d) f(x,y) = x\ny e) fix, y) = x2 + yex +5y f) /(*, = ln(xj) g) /(x,^) = xsin(x^) + eJ 4.3. Vypočtěte všechny druhé parciální derivace funkcí. a) fix,y) = x2 +/ b)/(x,^) = 2x3-8^ + x c) fix,y) = 6x2 + yex + 5y d) f(x,y) = I0x2y2 4.4. Vyjádřete totální diferenciál funkce: a) fix, y) = x2+ 2y2 b) fix, y) = 4x2y2 c) / (x, y) = ln x + ln y d) f (x, y) = x2 + 2xy2 + 5x + 6 e) fix, y) = x'-5y2 4.5. Určete přírůstek dané funkce v daném bodě pomocí totálního diferenciálu: a) fix,y) = x2 + 4y2, C[l,l], dx = 0,1; dy = 0,2 b) fix, y) = 2x + 6ý + 5, C[ 1,2], dx = 0,1; dy = 0,1 c) fix, y) = xy2+3x + l, C[2,2], dx = 0,1; dy = 0,3 4.6. Určete přírůstek produkční funkce v daném bodě: a) Q(K,L) = 6K05L05, C[4,9], dK = 0,2; dL = 0,1 b) QiK,L) = \4K°-5L0-5, C[l,4], dK = 0,2; dL = 0,3 c) QiK,L) = l00K03L01, C[l,l], dK = 0,4; dL = 0,2 4.7. Vypočtěte mezní produkt práce MPl a kapitálu MPk: 24 a) Q(K, L) = 18KMÉ)A b) Q(K, L) = 60K°*L0-2 c) Q(K,L) = 50K05L05 4.8. Vypočtěte (přibližně) mezní produkt práce a kapitálu v daném bodě: a) Q(K,L) = 18K06L0A ,K= 1,l = 9 b) Q(K,L) = 60K°*L02, k = 5, l = 7 c) 0(a:,z) = 5oa:o-5zo-5,k = io,l = i5 9 9 Al 4.4. a) df = 2xdx + 4ydy , b) df = 8xy dx + 8x ydy, c) ^ = — dx H—dy , d) df = (2x + 2^2 + 5)dx + 4xydy, e) df = 4x3dx-lOydy . 4.5. a) df = 1,8; b) df = 7,4; c) df = 3,1. 4.6. a) 1,1, b) 3,85, c) 26. 4.7. a) MPL=7,2K°'6L-°'6, MPK = 10,SK ~°'4ZM, b) MPL = IIK^Ľ^, b) MPK = 4%K-°'2L0'2, c) MPL = 25K°'5L-°'5, MPK = 25iT°'5Z0'5. 4.8. a)MPL= 1,93,MPK = 26, b) MPL = 9,17, MPK = 51,34, c) MPL = 20,41, MPK= 30,62. 26 5 LOKÁLNI A VAZANE EXTRÉMY FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Kapitola se věnuje problematice nalezení lokálních a globálních extrémů, tedy maxima a minima funkce dvou reálných proměnných. CÍLE KAPITOLY • Demonstrovat nalezení extrémů funkce dvou reálných proměnných. KLICOVA SLOVA KAPITOLY Funkce dvou proměnných, lokální extrém, globální extrém, vázaný extrém. EJ 5.1. základní pojmy a vztahy Podobně jako u funkce jedné reálné proměnné je nutnou podmínkou lokálního (a samo- df(x,y) df(x,y) zřejmě i globálního) maxima či minima nulová první derivace: —--- =—--- = 0 . dx dy Tato podmínka však není postačující, neboť v daném bodě může být i inflexní (sedlový) bod. Bod, v němž má funkce všechny první derivace nulové, se nazývá stacionární bod nebo též bod podezřelý z extrému, a bude značen C (z anglického critical point). Jak už bylo řečeno, je v tomto bodě maximum, minimum, nebo inflexní bod. O tom, která alternativa nastává, rozhodneme na základě druhých parciálních derivací, z nichž sestavíme Hesseovu2 matici a její determinant zvaný hessián: 2 Ludwig Otto Hesse (1811-1874), německý matematik. 27 82f d2f dx2 d2f dxdy d2f dydx dy2 Do hessiánu dosadíme souřadnice bodu C a označíme: Di je determinant Hesseovy matice. dx2 (C) aD2 = Hj(C).D2 | ^ | K ZAPAMATOVÁNÍ Pro určení extrému pak platí následující pravidlo: > D2 > 0: v bodě C je EXTRÉM, a to (lokální ostré) MINIMUM, pokud je Di > 0; a (lokální ostré) MAXIMUM, pokud je Z); < 0. > Ľ2 < 0: v bodě C je sedlo (inflexní bod). > D2 = 0: v daném bodě může (ale nemusí) být extrém, o extrému se musí rozhodnout jiným způsobem, například pomocí totálního diferenciálu druhého či vyššího řádu, viz například [2]. Vázané extrémy označují situaci, kdy kromě funkce / (x, y) je ještě zadána vazba (omezující podmínka pro x a y) ve tvaru g(x, y) = 0 . Hledáme extrémy funkce /(x, y), které jsou vázány (leží na ní) křivkou g(x,y) = 0. Postupujeme dosazovací metodou nebo La-grangeovou metodou neurčitých multiplikátorů, viz [1, 2]. 5.2. úlohy 5.1 Najděte extrémy funkce dvou proměnných: a) f(x,y) = 2x2-\0y2+4x b) f(x,y) = 3x2 +\0y2 - 12x -40^ + 5 c) f(x,y) = -x2-y2+\0x + 50y + 200 d) /(x,^) = 2x2+x^-9^ + 5 e) /(x,^) = 2x3-3x2+/+2^ + 5 f) /(x,^) = x3-12x + 4/ 28 5.2. Najděte vázané extrémy funkce: a) f(x,y) = x2 +y\ g(x,y): x + y-l = O b) /(x,^) = 10x2+/,^(x,^):^ = x-2 c) = 4xy + 5,g(x,y):y = x-l d) /(x,^) = ^x+4,^(x,^):^ = x + 3 5.3. Maximalizujte příjem TR(x,y) = -5x2 + 40x -4y2 + \60y + 200 . 5.4. Minimalizujte náklady: TC(x,^) = 10x2 -120x + 40/ -1200^ + 2000. 5.5. Maximalizujte příjem TR(x,y) = -x2 + 20x-y2 + 22y + 1600 za podmínky x + y = 5 . VÝSLEDKY 5.1. a) C [-1,0] inflexní bod, b) C [2,2] minimum, c) C [5,25] maximum, d) C [9,-36] in-flexní bod, e) C [0,-1] inflexní bod a C [1,-1] minimum, f) C [2,0] minimum a C [-2,0] inflexní bod. 5.2. a) [1/2,1/2] minimum, b) [2/11,-20/11] minimum, c) [1/2,1/2] minimum, d) [-4,-1] minimum. 5.3. Bod [4,20] je maximum příjmu. 5.4. Bod [6,15] je minimum nákladů. 5.5. Bod [2,3] je maximum příjmu. 29 6 NEURČITÝ INTEGRAL RYCHLÝ NAHLED KAPITOLY Kapitola je věnována úvodu do neurčitého integrálu, seznámení se základními pojmy a vztahy, a také ekonomickým aplikacím. kj)- CÍLE KAPITOLY • Zavést neurčitý integrál. • Seznámit se se základními vztahy a způsoby integrace. • Demonstrovat užití neurčitého integrálu v ekonomii. KLICOVA SLOVA KAPITOLY Neurčitý integrál, primitivní funkce. 6.1. základní pojmy a vztahy Funkce F(x) se nazývá primitivní funkcí k funkci f(x) na otevřeném intervalu Jci? právě tehdy, když F'(x) = f(x) pro všechna x e J . Primitivní funkce existuje ke každé spojité funkci naJ. Množina všech primitivních funkcí k dané funkci fix) se označuje jako neurčitý integrál k funkci fix), a značí se takto: j" f(x)dx = F(x) + C, kde J je integrační znak, x integrační proměnná, fix) integrovaná funkce neboli integrand, F(x) primitivní funkce k fix), C integrační konstanta. 30 Neurčitý integrál je lineárni operátor, což znamená, že splňuje následující dvě podmínky: i) j kf{x)dx =&j" f{x)dx, ii) {[/(*) ± g(x)]dx =\f{x)dx±\g{x)dx Integrály základních funkcí j sou uvedeny v Tabulce 6.1. Integraci součinu funkcí provádíme metodou per partes (latinsky „po částech") pomocí následujícího vztahu. | uvdx = uv -1 uvdx Racionální funkce (funkce ve tvaru zlomku) rozkládáme na parciální zlomky. Při integraci složitějších funkcí používáme substituce, viz dále. K ZAPAMATOVÁNÍ Substituci provádíme typicky v těchto případech: • Je-li v integrálu složená funkce (v závorce), pak nahrazujeme vnitřní funkci (tedy onu závorku), • Je-li v integrálu odmocnina, pak nahrazujeme celou odmocninu nebo výraz pod odmocninou, • Jsou-li v integrálu různé goniometrické funkce, pak provedeme substituci tak, abychom dostali buď jednu goniometrickou funkci, nebo racionální funkci bez goniometrických funkcí. Funkce celkových nákladů TC(x) a funkce mezních nákladů MC(x), kde x je počet výrobků, spolu souvisejí vztahem: TC(x) = ^MC(x)dx + C Předchozí vztah říká, že celkové náklady jsou integrálem (tedy součtem) součtem mezních nákladů. Integrační konstanta C se určí z jedné známé hodnoty TC(x) pro dané x. Celkové příjmy TR(x) a mezní příjmy MR(x): TR(x) = $MR(x)dx + C 31 Tabulka 6.1. Základní integrály. řádek A*) j"/(x)í/x 1 0 C 2 1 x + C 3 Jt" n+l + c « + 1 4 ex ex+C 5 1 X ln|x| + C 6 1 ax + é —ln|ax + é| + C a 7 ď ď +c lna 8 sin x -cos x + C 9 cos X sin x + C 10 1 cos2 X tgx + C 11 1 sin2 x cotg x + C 12 1 1 + x2 arctg x + C 13 1 2 2 a + x 1 x „ —arctg—h C a a 14 1 Vl-x2 arcsin x + C 15 1 é-x2 arccos x + C 16 i Vl + x2 lnx + Vl + x2 +C 6.2. Úlohy 6.1. Vypočtěte: a) | x4dx c) |10x5dx e) g) i) 6.2 a) c) e) 6.3 a) c) e) g) i) 6.4 a) c) e) A 1 w (- + —)dx x x (Vx + \[x)dx (3 sinx + 2cos x)dx Vypočtěte (metoda per partes): xsinxdx x4 \nxdx (2x+4)cosxú6c Vypočtěte (použijte substituci): sin(4x+5)tĎc 42x-Sdx ln2 x 7 -dx x sin2 x • cosxdx e3x5dx b) j"(x2 + x3)dx d) j"(x2 + 6x-4)dx r 6 4 f) {(- + ->& j x x h) J(5ex+3x)í& b) jx2exdx d) |(x2 +6x)sinxú6c 1í/x b) J(2x + 8)3tfe d) J*2xVj\ f)\4—dx J e +5 h) Jsinx- cos5 xdx j) j"(3x + l)Vx Vypočtěte (použijte rozklad na parciální zlomky): 8x , N r 8x - 3 x2 + 2x - 3 4x2 f x- 2 x3 -x2 7x + 27 x2 + 6x + 5 úřx dx úřx x - 3x 4x + 9 x2 + x-12 -dx 33 VÝSLEDKY 6.1. a) — + C,b) — + — + C,c) — + C,d) — + 3x2-4x + C,e) ln|x|-i+C 7 5 ' 7 3 4 7 3 3 71 x f) ólnlxl-^ + Cg) 2 3Vx C , h) 5e* +-— + C, i) -3cosx+2sinx+C. 4 ln3 x5 x5 6.2. a) - x cos x + sin x + C , b) xV -2xe* +2e* +C, c) —ln|x|-—+ C, d) - cos x(x2 + 6x) + (2x + 6) sin x - 2 cos x + C , (2x + 4) sin x + 2 cos x + C 6.3. a) cos(4x + 5) + C,b) (2x + 8)4 8 + C,c) V(2x-8)3 , ^ „ 2V(x2+l)3 ■ + C,d) + C e)í!^+c,01^+^c,g)^+c,h)-^+c,^+c,j)fii±2l+c 3 3 o 3 15 6.4. a) 6ln x + 3 +2ln x-1 \ + C , b) ln x +7ln x-3\ + C , c) lnlxl— +31n|x-l| + C d) lnlx + 4| + 3 lnlx - 3| + C , e) 2 lnlx + 5| + 5 lnlx + l| + C 34 7 URČITÝ INTEGRÁL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Kapitola je věnována určitému (Newtonovu) integrálu spojité funkce. Obsahuje základní pojmy a vztahy, pravidla pro integraci a ekonomické aplikace určitého integrálu. CÍLE KAPITOLY • Zavést určitý (Newtonův) integrál. • Představit pravidla pro výpočet určitého integrálu. • Demonstrovat užití určitého integrálu v ekonomii. KLÍČOVÁ SLOVA KAPITOLY Určitý integrál, pravidla integrování, ekonomické aplikace. 7.1. základní pojmy a vztahy Výpočet určitého integrálu provádíme pomocí Newtonova-Leibnizova vzorce: b j" f(x)dx = F (b) - F (a) a kde funkce F (x) je primitivní funkcí k funkci / (x) na intervalu (a, b} . Čísla a a b ve vztahu výše se nazývají dolní a horní integrační meze. Obsah plochy mezi křivkami fix) a h(x), kde h(x) je horní křivka a fix) dolní křivka, a kde a a b jsou průsečíky obou křivek, počítáme podle vztahu: b S = l(h(x)-f(x))dx a Celkový příjem TR za období (ti'Ji), jestliže funkce fit) vyjadřuje intenzitu toku příjmu (velikost renty) v čase t, se vypočte jako: h TR = jf(t)dt h 35 Označme D(Q) jako funkci poptávky, S(Q) jako funkci nabídky, QE budiž rovnovážné množství a PE rovnovážná cena. Přebytek spotřebitele a výrobce v podmínkách dokonalé konkurence se určí následovně: Přebytek spotřebitele CS (customer surplus): Qz CS= \ D(Q)dQ-QEPE Přebytek výrobce PS (producer surplus): Qe PS=QEPE-\S(Q)dQ o 7.2. úlohy 7.1. Vypočtěte: 2 3 )\x2dx b)\x2dx 2 a] o c)]x3dx d)JxVx 0 o 1 3 e) J(x2 + 2x)dx f) J(x2 - 2x + 4)dx 0 1 5 1 f 2 g) )-dx h) j—tĎc ! x i x 1 f i) jexdx j) j sin xcfe o 7.2. Určete obsah ploch nad (pod) křivkou na daném intervalu: a) y=x2, xg(1,4) b) y=x\ x g (-1,1) c) y = x3, x e (0,2) d) y = x3, x g (-1,2) e) y = x2 +1, x g (0,1) 7.3. Určete obsah plochy sevřené křivkami: a)y=x2,y = x b)y = x2,y = 2x c)y = x2,y = 3x d) y = x3, y = x e) y = x2, y = yfx 7.4. Určete přebytek spotřebitele a výrobce v podmínkách dokonalé konkurence: 36 a) D(Q) = 100-Q, S(Q)=40+3Q b) D(Q) = M-3Q, S(Q)=20+Q c) D(Q) = 300-5Q, S(Q) = 200+ 5Q 7.5. Určete celkový příjem, je-li intenzita toku příjmu f(t) = 2t2 +50, h = 0, h = 10. VÝSLEDKY 7.1. a) 8/3, b) 26/3, c) 81/4, d) 32/5, e) 4/3, f) 26/3, g) ln5, h) 1, i ) e-1, j) 2. 7.2. a) 21, b) 2/3, c) 4, d) 17/4, e) 4/3. 7.3. a) 1/6, b) 4/3, c) 9/2, d) 1/2, e) 1/3. 7.4. a) CS = 112,5, PS = 337,5, b) CS = 384. PS = 128, c) CS = 250, PS = 250. 7.5. 1167. 37 8 ČÍSELNÉ ŘADY RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Kapitola se věnuje nekonečným číselným řadám, problematice jejich konvergence a určování součtu řad, které jsou konvergentní. CÍLE KAPITOLY • Zavést pojem nekonečné číselné řady. • Zavést konvergenci a divergenci řad. • Demonstrovat ekonomické aplikace číselných řad. KLÍČOVÁ SLOVA KAPITOLY Číselná řada, konvergence, divergence, součet řady. 8.1. základní pojmy a vztahy n Číselnou řadou nazýváme součet (reálných) čí sel a1+a2+a3+... + an = ^jaj . ;=1 Je-li počet sčítanců konečný, mluvíme o konečné číselné řadě, je-li počet sčítanců nekonečný (n —> oo), jedná se o nekonečnou číselnou řadu: QO a1 +a2+a3 + ... = ^an n=\ V dalším výkladu se budeme až na výjimky zabývat nekonečnými číselnými řadami (krátce jen „řadami"). n Veličina sn = S^_al se nazývá n-tý částečný součet řady. Je to součet prvních n členů ;=1 řady. Součet řady s je pak limitou posloupnosti částečných součtů s„: \\msn =s Jestliže má daná řada konečný součet, nazývá se konvergentní. V opačném případě, to jest když je součet nekonečný anebo vůbec neexistuje, je řada divergentní. 38 Nekonečná geometrická řada je řada ve tvaru Z an = Z ai' 1. n-l n-l Součet nekonečné geometrické řady: a 1 - q ' 1 K určování konvergence/divergence číselných řad používáme kritéria konvergence, napríklad podílové kritérium, odmocninové kritérium nebo integrálni kritérium, podrobněji viz[l]. 8.2. Úlohy 8.1. Určete součet geometrické řady: -šCfJ í p; x 4~2 K2 J f) Z h) Z f o É - 8.2. Určitý film vydělal za první týden promítání v kinech 50 milionů dolarů. Producent filmu odhaduje, že každý následující týden budou tržby filmu klesat o a) 40 %, b) 30 %, c) 50 %. Odhadněte celkové tržby filmu. 8.3. Rozhodněte o konvergenci (divergenci) nekonečných řad: CO 2 a)E- CO C CO C)2-T ^2n d) ST n=i n e) J 2" n=l ^ n Tťi ln« 39 00 11=1 0 VÝSLEDKY 42 8.1. a) 2, b) 2/3, c) 1/3, d) divergentní, e) 1/4, f) —^= , g) divergentní, h) 7/4, i) 5/2. 8.2. a) 125 mil., b) 167 mil., d) 100 mil. 8.3. a) divergentní, b) divergentní, c) konvergentní, d) konvergentní, e) divergentní, f) kon-vergentní, g) konvergentní, h) divergentní, i) divergentní._ 40 9 FUNKČNÍ ŘADY RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Kapitola je věnována nekonečným funkčním řadám, které představují zobecnění nekonečných číselných řad, a problematice jejich konvergence. CÍLE KAPITOLY • Zavést pojem nekonečné funkční řady. • Zavést pojem konvergence funkční řady a různých typů konvergence. KLÍČOVÁ SLOVA KAPITOLY Funkční řada, konvergence, obor konvergence, interval konvergence, absolutní konvergence. 9.1. základní pojmy a vztahy Nechť f(x), f2(x), f3(x), ... je posloupnost funkcí. Nekonečná funkční řada je symbol: co Z/Bw=/iW+/2w+- Součet funkční řady je funkce s(x) , kterou získáme (stejně jako u nekonečných číselných řad) jako limitu posloupnosti částečných součtů sn(x)=fl(x)+...+fn(x); co X/„(*)= hm s„(x) = s(x) , n—>co CO Řada je konvergentní, jestliže funkční řada ^fn(x) = f^x) +f2(x)+... konverguje k funkci s(x) na jisté množině M co Pokud k s(x) konverguje i řada absolutních hodnot ^|/„(x)|, hovoříme o absolutní n=l konvergenci. 41 Množina všech x e M, pro které řada konverguje (konverguje absolutně), se nazývá obor konvergence (obor absolutní konvergence), a v dalším textu bude značen jako OK (OAK). oo Mocninná řada má tvar: '^_jCn(x-a)n . Interval konvergence mocninné řady n=l IK=(a—p,a+p), kde a je takzvaný střed řady a p je poloměr konvergence, se určí pomocí následujících limit: |c I i /? = lim ' "1. nebo = lim _ X\\c„ Geometrická řada má tento tvar: ^ /" (x) Označíme-liý(x) = q, pak řada konverguje pro \q\ < 1, a součet geometrické řady: 1-q \-f(x) 9.2. úlohy 9.1. Určete IK, OK a OAK u následujících řad, u geometrických řad určete i jejich součet. 00 00 a) E(x + 2)" b)l>-5ľ ií=\ ií = 1 0) £Íͱ2L d) n = l W n=l co oo / /i V e) Ir(x-l)r f) £ <^ «=1 n = l 00 00 g) I>™ h) 2>"(*-2)" n=0 n=l 1) i) t- n=\ ^ n=\ -> oo Y« k)E(-D"fr «=i 42 VÝSLEDKY 9.1. a) geometrická (i mocninná) řada, IK = OK = (-3,-1) s = --í-í—, b) geometrická x +1 (i mocninná) řada, IK = OK = (4,6), s = ———, c) mocninná řada, 7ÄT = (-4,-2), -x + 6 (3ÄT = (-4,-2), d) mocninná řada, IK = OK = (0,2), e) mocninná řada, IK = OK = (1 -1 / e, 1 +1 / e), f) mocninná řada, = (3,5), OK = (3,5), g) geometrická, £^ = (—00,0), s = —-—, h) mocninná řada, OK = {2}, i) geometrická i mocninná, 1 - ex IK = OK = (-6, -2), s = - x + 4 , j) geometrická i mocninná, ÄT = OK = (-5,5), s = —í— x + 2 5 - x , k) mocninná i geometrická, OK = OAK = (-5,5), s = ——. x + 5 43 10 ÚVOD DO OBYČEJNÝCH DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Kapitola je věnována úvodu do diferenciálních rovnic a základním metodám řešení diferenciálních rovnic. CÍLE KAPITOLY • Zavést pojem obyčejné diferenciální rovnice • Zavést pojem obecného a partikulárního řešení. • Demonstrovat základní metody řešení diferenciálních rovnic. KLÍČOVÁ SLOVA KAPITOLY Diferenciální rovnice, obecné řešení, partikulární řešení. 10.1. základní pojmy a vztahy Mějme funkci jedné proměnné^ =/(x). Diferenciální rovnice je rovnice, která kromě x a y obsahuje i derivaci (derivace) funkce y. Řád diferenciální rovnice je určen nej vyšší derivací, mocnina u nej vyšší derivace určuje stupeň diferenciální rovnice. Rozlišujeme tři druhy řešení diferenciální rovnice: • Obecné řešení je funkce Xx>Q)vynovuJící dané rovnici a obsahující (neurčité) konstanty C, podobně jako u neurčitého integrálu. • Partikulární řešení obdržíme z obecného řešení tak, že konstanty G nahradíme reálným číslem, případně mohou tyto konstanty vyplývat například z takzvaných počátečních nebo okrajových podmínek. • Singulární řešení je řešení, které nelze získat z obecného řešení pro žádné hodnoty d, Diferenciální rovnice se separovatelnými proměnnými má obecně tento tvar: P{ x) +Q(y)y' = 0 nebo P(x)dx +Q(y)dy = 0 kde.P(x) a Q(y) jsou funkce (polynomy) proměnné x, respektivey. 44 Lineární diferenciální rovnice prvního řádu má následující tvar: y'+p(x)y = q(x) kdep(x) a ^(x) jsou dané funkce. Řešíme ji metodou separace proměnných a variace konstanty. Lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty má tento tvar: y"+ay'+c = p(x) kde a a c j sou reálná čísla. Řešení hledáme ve tvaru y=Céx, více viz [1]. 10.2. úlohy 10.1. Určete obecné a partikulární řešení diferenciální rovnice, a) y = 2x + 5, y(0) = 1 b) /= 1 - x\ y(\) = 3 c) y= - + l, y(i) = 2 d) y=x3-3x2,y(0)=2 x e) y=x2+5x + 3,>'(2) = 2 10.2. Určete obecné řešení diferenciální rovnice se separovatelnými proměnnými, a) y y = 4x b) x2t^=0 c)/=— á)ýy2=x+\ y y 10.3. Určete obecné řešení lineární diferenciální rovnice prvního řádu s nenulovou pravou stranou. a) y'+xy = 2x b)y'-(2x -\)y = \-2x c) y-3x2y=x2 10.4. Určete obecné řešení lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty. a) y"+y'-6y = 0 b) y"+ly'+\2y = 0 c) y+2y-3y = 0 d) y-4y+4y = 0 e) y+3y-\0y = 0 45 0 VÝSLEDKY 10.1. a) obecné řešení: y=x2+5x+C, partikulární řešení: _y=x2+5x+l, b) obecné řešení: x3 x3 7 y = x—+ partikulární řešení: y = x—c) obecné řešení: y = 21n|x| + x + C, parti- i i x4 kulární řešení: y = 21n|x| + x + l, d) obecné řešení: y = — -x3+C, partikulární řešení: x* 3 2 y = — -x3+2, e) obecné řešení: y = — + 5— + 3x + C, partikulární řešení: x3 ^x2 50 y = — + 5— + 3x + —. 3 2 3 3 3 2 10.2. a) y2=4x2+C, b) — = y2+C,c) Zl = íl + C,d) —+ x+C, 3 2 4 3 2 —+x+C e) y = e3 2 2 X X _x3 10.3. a) y = (2e2 +C)e 2 , b) y = (ex~xl +C)e^~\ c) y = (_£_ +o*3 10.4. a) y = Qf3x +C2e2\ b) y = Cxe3x +C2e"4\ c) y = Cle~3x +C2ex, d) y = C1e2*+C2xe2\ e) y=C1e"5x+C2e2x 46 ZÁVĚR Studijní opora Sbírka úloh - Matematika v ekonomii je určená studentům prvního ročníku navazujícího studia na Obchodně podnikatelské fakultě Slezské univerzity. Jejím cílem je poskytnout studentům dodatečné množství úloh k osvojení a porozumění diferenciálnímu a integrálnímu počtu. Autor věří, že společně s dříve vydanou publikací Matematika v ekonomii tak studenti získají dostatečné množství učebního materiálu k úspěšnému absolvování tohoto předmětu. 47 LITERATURA [1] MAZUREK, J. 2012. Matematika v ekonomii. SU OPF Karviná. [2] GODULOVÁ, M., JANŮ, L, KOCÚRKOVÁ, R. 2002. Matematika B. Karviná: OPF. 48 Název: Sbírka úloh - Matematika v ekonomii Autor: Mgr. Jiří Mazurek, Ph.D. Vydavatel: Slezská univerzita v Opavě Obchodně podnikatelská fakulta v Karviné Určeno: studentům SU OPF Karviná Počet stran: 52 Tato publikace neprošla jazykovou úpravou.