Extrémy funkcí - postup pro výpočet lokálních extrémů speciálně pro z = f(x, y)
1) Vypočteme stacionární bod(y) C ze soustavy rovnic
( ) ( ) .y,x
y
f
y,x
x
f
00 ==




2) Vypočteme druhé parciální derivace funkce, zjistíme hodnoty druhých parciálních derivací
v bodě C a vypočteme následující determinant
( )
( ) ( )
( ) ( )
.
C
y
f
C
xy
f
C
yx
f
C
x
f
CD
2
22
2
2
2








=
Je-li D(C)  0 , pak f v bodě C má lokální extrém. O jaký druh extrému se jedná poznáme
podle hodnoty ( ):C
x
f
2
2


a) ( )  02
2
C
x
f


v bodě C je ostré lokální minimum,
b) ( )  02
2
C
x
f


v bodě C je ostré lokální maximum.
Je-li D(C) < 0 , pak f nemá v bodě C lokální extrém. V tom bodě funkce má sedlo (je to
sedlový bod).
Je-li D(C) = 0, neumíme rozhodnout, zda nastává v bodě C extrém. Také může být v bodě
C extrém neostrý, pro jehož určení pomůže studium znamének ( )Cfd2
nebo ( )Cf v okolí
bodu C.
Příklad 1. Najděme lokální extrémy funkce ( )f x y x y x, = + − +2 2
2 4 3 .
Řešení. Najdeme stacionární body funkce. Nejprve vypočteme první parciální derivace :
( )
( ) .yy,x
y
f
,xy,x
x
f
4
42
=
−=




Řešíme soustavu rovnic .y,x 04042 ==−
Řešením soustavy dostáváme stacionární bod  .,C 02=
Vypočteme druhé parciální derivace:
( )
( )
( ) .y,x
y
f
,y,x
yx
f
,y,x
x
f
4
0
2
2
2
2
2
2
=
=
=






Určíme hodnotu determinantu ( ) 8
40
02
.CD == Protože je determinant kladný,
existuje v bodě  02,C = lokální extrém. Dále zjistíme hodnotu ( ) 22
2
=C
x
f


.
Protože je tato hodnota kladná v bodě  02,C = je lokální minimum.
Hodnota minima je ( ) ( ) .,fCf 102 −==
Příklad 2. Najděme lokální extrémy funkce ( )f x y xy x y, = − − +2 3 2 102 2
.
Řešení. První parciální derivace funkce:
.yx
y
f
,xy
x
f
42
62
−=
−=




Řešíme soustavu rovnic:
.yx
,xy
042
062
=−
=−
Řešením soustavy dostáváme stacionární bod  .,C 00=
Druhé parciální derivace funkce: .
yx
f
,
y
f
,
x
f
246
2
2
2
2
2
=−=−=






Dosadíme do determinantu ( ) =
−
−
= 20
42
26
CD funkce má extrém.
Protože ( ) 6002
2
−=


,
x
f
 0, má funkce v bodě  00,C = ostré lokální maximum.
Hodnota maxima je ( ) ( ) .,fCf 1000 ==
Příklad 3. Určeme lokální extrémy funkce ( )f x y x xy y x y, = + + − + −2 2
4 6 2 8 5 .
Řešení. První parciální derivace funkce:
.yx
y
f
,yx
x
f
8124
242
++=
−+=




Stacionární bodem funkce je bod  .,C 37 −=
Druhé parciální derivace funkce: .
yx
f
,
y
f
,
x
f
4122
2
2
2
2
2
===






Determinant ( ) == 8
124
42
CD funkce má extrém.
Protože ( ) 2372
2
=−,
x
f


 0, ve stacionárním bodě  37 −= ,C je ostrém lokální
minimum. Hodnota maxima je ( ) ( ) .,fCf 2437 −=−=