MATEMATIKA V EKONOMII - PŘEDNÁŠKA č. 1
Přednášející: Mgr. Jiří Mazurek, Ph.D.
Vedoucí seminářů: Mgr. Radmila Krkošková, Ph.D., Mgr. Jiří Mazurek, Ph.D. Kredity: 5
Podmínka absolvování: zkouška (alespoň 60 bodů ze dvou písemných testů) + účast na seminářích
(alespoň 70 %)
Skripta: Mazurek, J. Matematika v Ekonomii a Mazurek, J. Sbírka úloh - Matematika v Ekonomii. (viz
IS). Starší učebnice: Matematika B.
Materiály ke cvičením a ke zkoušce: viz IS.
Videozáznamy přednášek: http://media.slu.cz/videolist.php?idsada=42
Obsah předmětu: diferenciální a integrální počet jedné a dvou reálných proměnných s aplikacemi
v ekonomii. (podrobněji viz Plán přednášek nebo Sylabus předmětu).
Hodnocení: 0-59: F, 60-65: E, 66-70: D, 71-80: C, 81-90: B, 91-100: A.
Funkce jedné reálné proměnné
Pojem funkce
-Funkcí rozumíme předpis, který každému číslu x z jedné množiny (definičního oboru) přiřadí právě
jedno číslo y z druhé množiny (oboru hodnot).
-Definiční obor nebo
-Obor hodnot nebo .
-Funkční předpis se značí , například .
-Explicitní funkce: Je-li možné upravit funkci na tvar .
-Implicitní funkce: nelze osamostatnit y na levé straně, značíme .
- V ekonomii se nejčastěji setkáváme s funkcemi poptávky, nabídky, příjmů, nákladů, užitku,
produkce, atd.
-Funkce mohou být definovány pro různé číselné obory (čísla přirozená, celá, reálná, komplexní,
reálná kladná, apod.).
-Funkce jedné proměnné a funkce více proměnných (např. Cobb-Douglasova funkce).
Graf funkce
-Grafem funkce nazýváme množinu všech bodů o souřadnicích , kde .
-Vybrané grafy viz dále.
-Přehledně znázorňuje závislost x na y, a je možné z něj vyčíst vlastnosti funkce.
-Průsečíky grafu funkce s grafem jiné funkce jsou body, kde jsou si obě funkce rovny, což bývá
v ekonomické teorii interpretováno jako stav rovnováhy (například mezi poptávkou a nabídkou).
Vlastnosti funkce
-Definiční obor funkce
-V ekonomii platí, že většina veličin může nabývat pouze kladných hodnot.
-Je užitečné si pamatovat, že funkce ve tvaru polynomu a exponenciální funkce mají definiční obor
vždy rovný R.
- Pak existují funkce, kde se definiční obor obecně nerovná R, a mezi ně patří především tyto:
· racionální lomené funkce (zlomky s proměnnou x ve jmenovateli): jmenovatel nesmí být
roven nule,
· logaritmické funkce: výraz v logaritmu musí být kladný,
· odmocninné funkce: výraz pod odmocninou musí být nezáporný,
· tangens a cotangens: výraz ve jmenovateli (tedy cosinus, resp. sinus) nesmí být roven
nule.
· arcsinus a arccosinus: definičním oborem je interval .
___________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
Příklad 1.1. Určete definiční obor funkcí:
a) f:
b) f:
c) f:
d) f:
-Obor hodnot : je množina všech y, které získáme z funkčního předpisu pro všechna x
z definičního oboru. Je-li funkce omezená (viz níže), je rovněž obor hodnot omezený.
-Monotónnost funkce: funkce je na intervalu monotónní, pokud je na tomto intervalu rostoucí,
klesající, nerostoucí nebo neklesající.
Funkce je na intervalu I:
- rostoucí, pokud pro všechna , , platí: ,
- klesající, pokud pro všechna , , platí: ,
- nerostoucí, pokud pro všechna , , platí: ,
- neklesající, pokud pro všechna , , platí: .
-Extrémy funkce: globální a lokální:
Funkce má v bodě a globální maximum, jestliže pro všechna x ( ) z definičního oboru je .
Funkce má v bodě a globální minimum, jestliže pro všechna x ( ) z definičního oboru je .
Funkce má v bodě a lokální maximum, jestliže pro všechna x ( ) z nějakého okolí bodu a je .
Funkce má v bodě a lokální minimum, jestliže pro všechna x ( ) z nějakého okolí bodu a je .
Okolím bodu a nazýváme otevřený interval . Platí-li v předešlých vztazích ostrá nerovnost (“>” nebo
“<”), je extrém ostrý, v opačném případě neostrý.
-Omezenost funkce: funkce je omezená shora, jestliže existuje takové reálné číslo h, že pro
všechna x z definičního oboru funkce. Podobně, funkce je omezená zdola, jestliže existuje takové
reálné číslo d, že pro všechna x z definičního oboru funkce. Pokud je funkce omezená shora i
zdola, říkáme krátce, že je omezená. V ekonomii jsou všechny funkce omezené, neboť produkce,
příjmy, náklady, práce, kapitál či zdroje surovin nejsou nekonečné.
-Prostá funkce: Funkce se nazývá prostá, jestliže platí:
.
Význam prostých funkcí tkví v tom, že k nim existují funkce inverzní (opačné).
Algebraické funkce
-Lineární funkce má předpis , jejím grafem je přímka (řecky linea je přímka). Koeficient a se
nazývá směrnice přímky, neboť udává sklon (směr) přímky vzhledem k ose x. Koeficient b udává
průsečík grafu funkce s osou y. Je užitečné si pamatovat, že:
· Pro je funkce rostoucí.
· Pro je funkce klesající.
· Pro je funkce konstantní.
-Kvadratická funkce má předpis . Grafem je parabola.
Pro je graf funkce (parabola) orientovaná „nahoru“, pro „dolů“, viz Obr. 1.2 a 1.3. Koeficienty b
a c v předpisu funkce posouvají parabolu ve směru osy x nebo y.
graf01
Obr. 1.2. Graf funkce y = x^2.
graf02
Obr. 1.3. Graf funkce y = –x^2.
___________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
Příklad 1.4. Najděte vrchol paraboly .
-Mocninná funkce má předpis , kde n je celé číslo. Na základě toho, jestli je n kladné/záporné a
liché/sudé má mocninná funkce jeden ze 4 typů grafů. Na Obr. 1.4. je pro ilustraci graf kubické
funkce .
graf04
Obr. 1.4. Graf funkce y = x^3.
- Racionální lomená funkce: . Grafem racionální funkce bývají obvykle složité křivky, viz Kapitola
3. Nepřímá úměrnost: , kde k je kladná konstanta. Grafem nepřímé úměrnosti je hyperbola, viz Obr
1.5.
graf08
Obr. 1.5. Graf funkce y = 1/x.
Transcendentní funkce
Funkce, které nejsou algebraické, se označují jako transcendentní. Mezi transcendentní funkce patří
především funkce exponenciální, logaritmické a goniometrické.
-Exponenciální funkce má předpis . Číslo a je základ mocniny a musí být kladné a různé od 1, x je
exponent. Vlastnosti exponenciální funkce závisí na základu a:
· Je-li , funkce je rostoucí, viz Obr. 1.6.
· Je-li , funkce je klesající, viz Obr. 1.7.
Graf (základní) exponenciální funkce vždy prochází bodem 1 na ose y, obor hodnot a funkce je
omezená zdola osou x. Nejčastěji používanou exponenciální funkcí je , kde konstanta e = 2,718... se
nazývá Eulerova konstanta, a jedná se o iracionální číslo, podobně jako π.
graf06
Obr. 1.6. Graf funkce y = e^x.
graf38
Obr. 1.7. Graf funkce y = (0,5)^x.
-Logaritmická funkce má předpis . Číslo a se nazývá základ logaritmu a musí být kladné a různé od
1. Pro a = 10 se logaritmus nazývá dekadický (značka logx, pro přirozený logaritmus (značka lnx).
Logaritmická funkce je inverzní funkcí k funkci exponenciální, což znamená, že definiční obor
logaritmické funkce je roven oboru příslušné inverzní exponenciální funkce a naopak.
· Je-li , funkce je rostoucí, viz Obr. 1.8.
· Je-li , funkce je klesající, viz Obr. 1.9.
Graf (základní) logaritmické funkce vždy prochází bodem 1 na ose x, definiční obor je a funkce
není omezená.
graf05
Obr. 1.8. Graf funkce y = logx.
graf37
Obr. 1.9. Graf funkce .
- Goniometrické funkce: sinus, kosinus, tangens a kotangens.
- Cyklometrické funkce: arcsinx, arccosx, arctgx a arcotgx. Na kalkulačkách jsou značeny jako
sin^-1, cos^-1 a tg-1.
graf33
Obr. 1.10. Graf funkce y = sinx.
graf34
Obr. 1.11. Graf funkce y = cosx.
Obr. 1.12. Graf funkce y = tgx.
Obr. 1.13. Graf funkce y = cotgx.
Složená funkce
V některých případech může být argumentem funkce jiná funkce. V tom případě hovoříme o složené
funkci.
___________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
Definice 1.1. Nechť jsou dány funkce a , a nechť pro platí, že . Potom funkci nazýváme
složenou funkcí. Funkce je vnější funkce a funkce je vnitřní funkce.
___________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
Typickým příkladem složené funkce je například nebo .
___________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
Příklad 1.5. Jsou dány funkce a . Určete a .
Polynomy
- polynom (česky mnohočlen): výraz .
Je-li n = 0, je polynom roven konstantě a[0]; je-li n = 1, je polynom lineární: ; pro n = 2 je
polynom kvadratický: , atd.
- Nulovým bodem (kořenem) polynomu je takové číslo x[0], pro které platí P[n](x) = 0.
- Rozklad polynomu na součin lze využít při zjednodušování algebraických výrazů krácením nebo při
integraci metodou parciálních zlomků.
___________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
Příklad 1.6. Určete nulové body polynomu a upravte na součin:
a)
b)
c)
Funkce nabídky, poptávky a rovnováha na trhu v podmínkách dokonalé konkurence
-Funkce poptávky D (angl. demand) vyjadřuje vztah mezi cenou výrobku P (price) a poptávaným
množstvím Q (quantity): resp. . Tato funkce je vždy klesající, což znamená, že s rostoucí cenou P
klesá poptávané množství Q.
Dále pro funkci poptávky platí, že veličiny P i Q musí být nezáporné, neboť záporné množství ani
záporná cena nemají v této situaci smysl. Rovněž P ani Q nemohou růst do nekonečna, proto říkáme,
že jsou omezené.
-Funkce nabídky S (angl. supply) vyjadřuje vztah mezi cenou výrobku P (price) a nabízeným množstvím
Q (quantity): resp. . Tato funkce je vždy rostoucí, což znamená, že s rostoucí cenou P roste
nabízené množství Q.
Při grafickém znázornění obou křivek je zvykem nanášet na osu x množství Q a na osu y cenu P.
Graf 31
Obr. 1.14. Typický tvar křivek funkce poptávky a nabídky s rovnovážným bodem E.
-Lineární funkce poptávky je dána vztahem: , kde a a b jsou konstanty, pro které platí: , .
-Lineární funkce nabídky je dána vztahem: , kde c a d jsou konstanty, pro které platí: , .
-Rovnováha: .
-Rovnovážná cena P[E]: .
-Rovnovážné množství Q[E]: .
___________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
Příklad 1.8 (Chen, 2007). Předpokládejme, že a . Najděte rovnováhu mezi poptávkou a nabídkou.
Graf 07-b
Obr. 1.15. Rovnováha mezi poptávkou a nabídkou.
Úvod do diferenciálního počtu funkce jedné reálné proměnné
Derivace funkce
- Mějme funkci . Výraz nazýváme derivací funkce .
- Geometrický význam derivace: je rovna směrnici tečny ke grafu funkce v daném bodě.
-Značení: y´, f´(x), (čteme dy podle dx), (čteme df podle dx).
___________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
Příklad 2.1. Určete derivaci funkce v bodě x = 2.
___________________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
Příklad 2.2. Určete rovnici tečny ke křivce v bodě [2,4].
___________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
Příklad 2.3. Užitím definice derivace odvoďte derivaci funkce .
Řešení:
. �
Protože je výpočet derivací pomocí definice derivace často zdlouhavý, používáme pro derivování
základních funkcí již odvozené vzorce, které najdete v Tabulce 2.1.
Nechť funkce f(x) a g(x) mají derivaci na intervalu . K výpočtu derivací součtu, rozdílu, součinu a
podílu těchto funkcí používáme následující pravidla:
i)
ii)
iii)
iv) ,
v)
___________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
Příklad 2.4. Derivujte následující funkce:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Tabulka 2.1. Přehled derivací elementárních funkcí.
f(x)
f´(x)
konstanta
0
x
1
sinx
cosx
cosx
–sinx
tgx
cotgx
arcsinx
arccosx
arctgx
arccotgx
Derivace vyšších řádů
-První, druhá, třetí a další derivace: f´(x), f´´(x), f´´´(x), atd.
-Význam mají především první a druhá derivace, užití vyšších derivací je v ekonomii spíše
výjimečné.
___________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
Příklad 2.5. Vypočtěte první, druhou a třetí derivaci funkce .
Historická poznámka: Americký prezident R. Nixon použil v roce 1972 v jednom televizním přenosu
v rámci prezidentské kampaně následující argument: „Tempo růstu inflace zpomaluje.“
Jistý komentátor to okomentoval: „Je to poprvé v historii, co americký prezident použil pro své
znovuzvolení argument obsahující třetí derivaci.“
Je tomu opravdu tak: Pokud inflaci považujeme za danou veličinu (y), pak její růst je první
derivace, tempo tohoto růstu druhá derivace a zpomalování tohoto tempa pak představuje třetí
derivaci.
Podobně můžeme z televizní obrazovky slýchat, že „růst nezaměstnanosti zpomaluje“ nebo „pokles
stavební výroby zrychluje“, což jsou vlastně druhé derivace.
Extrémy funkce
- Maxima a minima funkce hledáme takto:
1. Najdeme body, v nichž je první derivace nulová: – jsou to stacionární body (body podezřelé
z extrému).
2. Pomocí druhé derivace rozhodneme, zda jde o maximum, minimum nebo inflexní bod:
... maximum
... minimum
... nelze rozhodnout
___________________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________
Příklad. Určete extrémy funkce a) , b) .
Diferenciál funkce
Diferenciálem funkce nazýváme funkci . Diferenciál funkce závisí na x a dx, a vyjadřuje přibližně
přírůstek funkce df při změně argumentu x o dx v bodě x. (Toto přibližné vyjádření je tím
přesnější, čím menší je dx).
___________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
Příklad 2.6. Určete přírůstek funkce v bodě x = 3 pro přírůstek argumentu dx = 0,2 pomocí
diferenciálu funkce.