MATEMATIKA V EKONOMII – PŘEDNÁŠKA Č. 5: (Tečná rovina, totální diferenciál, lokální a vázané extrémy funkce dvou proměnných) - Tečná rovina a normála: Nechť má funkce v bodě obě parciální derivace. Pak rovnice tečné roviny ke grafu funkce v bodě má tvar: Normálový vektor (vektor kolmý k tečné rovině): A normála (v parametrickém tvaru): , ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad. Je dána funkce . a) Najděte rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě C [2,1,?]. b) Určete normálu k této rovině v daném bodě. - Totální diferenciál funkce dvou proměnných: Totálním diferenciálem (prvního řádu) funkce dvou proměnných v bodě nazýváme výraz: , pokud obě parciální derivace v bodě C existují. Stejně jako u funkce jedné proměnné vyjadřuje totální diferenciál dvou proměnných (přibližně) přírůstek funkce spojený s malým přírůstkem proměnné x (první člen na pravé straně) a proměnné y (druhý člen na pravé straně). ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 4.14. Je dána funkce , bod C [1,1,9] a dx = 0,1, dy = 0,2. Určete: a) totální diferenciál funkce, b) přírůstek funkce v bodě C pro dané hodnoty dx a dy. Totálním diferenciálem druhého řádu nazýváme výraz: Totální diferenciál druhého řádu vyjadřuje (přibližně) „přírůstek přírůstku“ funkce. Lze jej využít k hledání maxima a minima funkce dvou (a více) proměnných, viz Kapitola 5. - Lokální extrémy funkce: Má-li funkce dvou proměnných v jistém bodě maximum nebo minimum, a existují obě parciální derivace, pak platí: . Tato podmínka však není postačující, neboť v daném bodě může být i inflexní (sedlový) bod. - Existenci maxima (minima) funkce při splnění určitých podmínek zaručuje následující věta: ______________________________________________ Věta 5.1 (Weierstrassova). Nechť funkce je spojitá na uzavřené a omezené oblasti . Pak funkce nabývá na oblasti M (globálního) maxima i minima. Poznámka: Funkce může mít extrémy i v bodech, v nichž některá první parciální derivace neexistuje. Takové body se musí vyšetřit zvlášť a v dalším výkladu se jimi nebudeme zabývat. - Bod, v němž má funkce všechny první derivace nulové, se nazývá stacionární bod nebo též bod podezřelý z extrému, a bude značen C. - O tom, která alternativa nastává, rozhodneme na základě druhých parciálních derivací, z nichž sestavíme Hesseovu matici a její determinant zvaný hessián: H[f](x,y) = Do hessiánu dosadíme souřadnice bodu C a označíme: D[1] = a D[2] = H[f](C). D[2] je determinant Hesseovy matice. Pro určení extrému pak platí následující pravidlo: Ø D[2] > 0: v bodě C je EXTRÉM, a to (lokální ostré) MINIMUM, pokud je D[1] > 0; a (lokální ostré) MAXIMUM, pokud je D[1] < 0. Ø D[2] < 0: v bodě C je sedlo (inflexní bod). Ø D[2] = 0: v daném bodě může (ale nemusí) být extrém, o extrému se musí rozhodnout jiným způsobem, například pomocí totálního diferenciálu druhého či vyššího řádu. ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 5.1. Určete lokální extrémy funkce: ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad. Určete lokální extrémy funkce: ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 5.3. Určete lokální extrémy funkce: . ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 5.4. Určete lokální extrémy funkce: . - Vázané extrémy: kromě funkce je ještě zadána vazba (omezující podmínka pro x a y) ve tvaru . Hledáme extrémy funkce , které jsou vázány (leží na ní) křivkou . Budeme používat dvě metody: a) Dosazovací metoda: z vazby vyjádříme x nebo y a dosadíme do , čímž získáme funkci jedné proměnné, a extrémy tedy hledáme podobně jako u funkce jedné proměnné. Tuto metodu použijeme v případě, že z rovnice vazby lze osamostatnit x nebo y. b) Lagrangeova metoda neurčitých koeficientů: sestavíme Lagrangeovu funkci , kde λ je Lagrangeův multiplikátor. Poté vypočteme parciální derivace L a položíme je rovny 0. Jako třetí rovnici pro tři neznámé x, y, λ použijeme rovnici vazby. Vyřešíme soustavu a výsledné „podezřelé“ body C dosadíme do hessiánu, pomocí kterého rozhodneme, zda se jedná o maximum, minimum nebo inflexní bod. Pro určení extrému platí následující pravidlo: Ø D[2] > 0: v bodě C je EXTRÉM, a to (lokální ostré) MINIMUM, pokud je navíc D[1] > 0; a (lokální ostré) MAXIMUM, pokud je D[1] < 0. Ø D[2] 0: o extrému se musí rozhodnout jiným způsobem. U Lagrangeovy metody můžeme o charakteru kritického bodu C rozhodnout i bez hessiánu, pokud jsou splněny podmínky Věty 5.1, tedy pokud je funkce definovaná na omezené a uzavřené oblasti: spočteme hodnotu všech kritických bodů, a bod s největší (nejmenší) hodnotou bude vázaným maximem (minimem) dané funkce. Omezenou a uzavřenou oblastí může být například kružnice, elipsa, úsečka, apod. ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 5.6. Určete vázané extrémy funkce , . ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 5.7. Určete vázané extrémy funkce , . Maximalizace příjmu ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 5.9. Firma vyrábí dva druhy zboží, jejich množství označme Q[1] a Q[2]. Příjem firmy je dán funkcí . Najděte maximum příjmu. Minimalizace nákladů ___________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ Příklad 5.13. Jsou dány celkové náklady: . Najděte minimum nákladů.