MATEMATIKA – seminář č. 12 – FUNKČNÍ ŘADY



                                    FUNKČNÍ ŘADA A JEJÍ SOUČET

Nechť f[1](x), f[2](x), atd.  je posloupnost funkcí. Funkční řada je symbol:

Součet funkční řady je funkce s(x):

Řada je konvergentní, jestliže funkční řada  konverguje k funkci s(x) na množině M. Pokud k s(x)
konverguje i , hovoříme o absolutní konvergenci.

Množina všech x Î M, pro které řada konverguje (konverguje absolutně), se nazývá obor konvergence
(obor absolutní konvergence), a značí se OK a OAK.


                                           MOCNINNÁ ŘADA

Speciální případ funkční řady:

Mocninná řada konverguje absolutně na intervalu , kde  ρ je poloměr konvergence a daný interval je
interval konvergence (IK). Poloměr konvergence se vypočte pomocí následujících limit:

                                               nebo

V krajních bodech a + ρ, a – ρ, řada může, ale nemusí konvergovat, a proto se tyto případy řeší
zvlášť.  Platí, že .


                                         GEOMETRICKÁ ŘADA

Řada tvaru , f(x) = q, řada konverguje pro , a součet řady: .


                                     KONVERGENCE FUNKČNÍCH ŘAD

Pro absolutní konvergenci můžeme použít podílové kritérium:  , nebo odmocninové kritérium: . Platí,
že pokud , řada pro dané x absolutně konverguje, pro  diverguje a pro  nelze rozhodnout.

...................................................................................................
...................................................


1. Určete obor případně poloměr konvergence funkčních řad, u geometrických řad určete i jejich
součet:

a)                        b)                          c                    d)

e)                       f)             g)

h)              i)                              j)

k)    l)                           m)

n)                              o)                                  p)


Výsledky: a) IK=OK=OAK=(-1,1) , b) IK=OK=OAK=(0,2)  , c) OK=OAK=(1/e,e) , d) ,  e) , ,  f) , IK = ,
g) IK=OK=OAK=(-1,1), h) , i)  , , j) IK=OAK=(-1,1), OK = <-1,1) , k) IK=(-1,1), OK=OAK=<-1,1>,  l)
IK=(-4,-2), OK=OAK=<-4,-2>, m) OK=OAK=(1/e-1,e-1), n) , o) IK = OK = OAK= R, p) IK=OK=OAK=(-3,3).