MATEMATIKA – seminář č. 9 – Určitý integrál a jeho aplikace



                                            PER PARTES

Pro určitý integrál platí:


1. Vypočtěte:

a)                    b)              c)                d)

Výsledky:

a)  , b)  ,  c)  , d)


                                            SUBSTITUCE


Musíme nahrazovat nejen integrovanou funkci, ale také integrační meze!


2. Vypočtěte:

a)           b)            c)      d)

Výsledky:

a) 3126/15 , b) 13/3 , c) 1/3, d) ln2.



                               OBSAH PLOCHY POD (NAD) DANOU KŘIVKOU


3. Vypočtěte obsah plochy pod (nad) danou křivkou na daném intervalu:

a)                  b)                           c)

d)         e)

Výsledky: a) 26/3, b) 8, c) 3, d) 16/3, e) .



                                   OBSAH PLOCHY SEVŘENÉ KŘIVKAMI


Obsah plochy mezi křivkami f(x) a h(x), kde h(x) je horní křivka a f(x) dolní křivka, a kde  a a b
jsou průsečíky obou křivek, počítáme podle vztahu:

4. Vypočtěte obsah plochy sevřené křivkami:


a)  y = 4x, y = x^2           b) y = x^2 – 4x, y = x               c) .


Výsledky: a) 32/3 , b) 125/6 , c) 9/2



                                      OBJEM ROTAČNÍHO TĚLESA


Objem V rotačního tělesa, které vznikne rotací křivky y = f(x) kolem osy x na intervalu (a,b)
počítáme ze vztahu: . (Podobně lze vypočítat objem rotačního tělesa, pokud rotujeme křivku kolem
osy y, pak jen zaměníme x za y).


5. Vypočtěte objem tělesa:

a) které vznikne rotací křivky  kolem osy x na intervalu (0,1).

b) které vznikne rotací křivky  kolem osy x na intervalu (1,4).


Výsledky: a) V = π/2 , b) V = 3π.


                                        NEVLASTNÍ INTEGRÁL


Integrály funkcí, které buď nejsou na daném intervalu omezené, nebo jsou omezené, ale integrační
obor není omezený.


6. Vypočtěte:

a)                    b)                      c)

Výsledky: a) 1/2 , b) diverguje , c) 2



                    EKONOMICKÉ APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU (viz přednáška č. 8)


a) Funkce celkových nákladů TC(x) a funkce marginálních nákladů MC(x), kde x je počet výrobků,
spolu souvisejí takto:  (celkové náklady jsou součtem marginálních nákladů). Integrační konstanta C
se určí z jedné známé hodnoty TC(x) pro dané x. Stejný vztah platí také pro celkové příjmy TR(x) a
marginální příjmy MR(x).



b) Celkový příjem TR za období (t[1],t[2]), jestliže funkce f(t) vyjadřuje intenzitu toku příjmu
(velikost renty) v čase t: .


7. Určete celkový příjem od 1 do 15 let, je-li hodnota renty v čase t (t jsou roky) dána funkcí Kč.

Výsledky: 144 475 Kč


8. Vypočtěte celkový příjem vlastníka pozemku v čase t = 0 až 20 let, je-li hodnota renty dána
funkcí Kč.


Výsledky: 86 464 Kč


c) Přebytek spotřebitele a přebytek výrobce v podmínkách dokonalé konkurence (viz přednáška č. 9)

Připomeňme si, že průsečík P[E] je bodem střetu křivek nabídky a poptávky a je nazývaný rovnovážná
cena. Někdy jsou spotřebitelé ochotni zaplatit cenu, která je vyšší než rovnovážná cena P[E ] za
každou jednotku produkce. V tomto případě, spotřebitelé získávají tím, že jsou schopni koupit
produkt za cenu P[E].

Spotřebitelský zisk, též nazývaný jako přebytek spotřebitele (CS), je představován plochou oblasti
nad horizontálou P=P[E] a pod křivkou poptávky. Plocha této oblasti je oblast pod křivkou poptávky
přes interval [0, Q[E]] mínus oblast pravoúhelníku, jehož šíře je Q[E ]a jeho výška je P[E]. Z toho
důvodu přebytek spotřebitele můžeme zapsat takto:


Producent, který je je ochoten nabízet produkt za cenu pod P[E], bude realizovat zisk z prodeje
produktu za cenu P[E. ]Celkový zisk výrobce, nazývaný také přebytek výrobce (PS), je představován
plochou oblasti pod horizontální křivkou P=P[E] a nad křivkou nabídky. Vidíte, že obsah této
oblasti je plocha pravoúhelníku, šíře Q[E] a výšky P[E] mínus plocha oblasti pod křivkou nabídky
přes interval [0,Q[E]]. Z toho plyne, že přebytek výrobce


9. Vypočtěte přebytek spotřebitele a přebytek výrobce (v podmínkách dokonalé konkurence) za
předpokladu, že nabídková funkce S(Q) = Q^2 + 1 a poptávkový funkce D(Q) = 11 – 3Q.


Výsledky: CS = 6, PS = 16/3.