SLEZSKÁ UNIVERZITA OBCHODNĚ PODNIKATELSKÁ FAKULTA V KARVINÉ Matematika v ekonomii Distanční studijní text Jiří Mazurek Karviná 2024 Obor: Matematika, ekonomie. Klíčová slova: Diferenciální počet, funkce, integrální počet, mikroekonomie, optimalizace, rovnice Anotace: Matematika v ekonomii je opora určená studentům prezenční i kombino- vané formy navazujícího magisterského studia na Obchodně podnikatelské fakultě v Karviné pro stejnojmenný jednosemestrální předmět, který svým obsahem navazuje na předmět Kvantitativní metody vyučovaný v prvním ročníku. Cílem Matematiky v ekonomii je prohloubit znalosti studentů především v oblasti matematické analýzy, a demonstrovat její užití v různých oblastech ekonomie. Opora zahrnuje reálné funkce jedné a více proměnných, průběh funkce, nekonečné řady, diferenciální a integrální počet, a diferenciální rovnice. Aplikace matematické analýzy v oblasti ekonomie zahrnuje hledání extrémů (maxima a minima) ekonomických funkcí, jako jsou náklady, příjmy, zisk, užitek, produkce, apod., analýzu vlastností těchto funkcí a jejich vzájemných vztahů, a také matematické modelování ekonomických situací. Autor: Doc. Mgr. Jiří Mazurek, Ph.D. Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii Obsah ÚVODEM............................................................................................................................7 RYCHLÝ NÁHLED STUDIJNÍ OPORY...........................................................................8 1 FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ.................................................................9 1.1 Pojem funkce.....................................................................................................10 1.2 Graf funkce........................................................................................................10 1.3 Algebraické funkce............................................................................................16 1.4 Transcendentní funkce.......................................................................................19 1.5 Složená funkce...................................................................................................26 1.6 Polynomy...........................................................................................................27 1.7 Funkce nabídky, poptávky a rovnováha na trhu v podmínkách dokonalé konkurence, jednoduchý model příjmu..........................................................................29 2 ÚVOD DO DIFERENCIÁLNÍHO POČTU FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ......................................................................................................................37 2.1 Derivace funkce.................................................................................................38 2.2 Derivace vyšších řádů........................................................................................43 2.3 Diferenciál funkce..............................................................................................44 2.4 Logaritmická derivace.......................................................................................44 2.5 Derivace implicitní funkce.................................................................................45 2.6 Taylořova a Maclaurinova řada.........................................................................46 2.7 Elasticita funkce.................................................................................................48 2.8 Cenová elasticita poptávky a nabídky................................................................49 2.9 El asti cita produkční funkce................................................................................51 2.10 Produkční funkce, mezní a průměrný produkt práce.........................................52 2.11 Celkový, průměrný a mezní příjem, maximalizace příjmu................................54 2.12 Celkové, průměrné a mezní náklady, minimalizace nákladů............................56 2.13 Zisk, maximalizace zisku...................................................................................58 2.14 Jiné úlohy na maximum a minimum funkce......................................................60 2.15 Užití derivace při optimalizaci (Metoda gradientního sestupu).........................61 3 PRŮBĚH FUNKCE...................................................................................................68 3.1 Monotónnost funkce, extrémy, konkávnost a konvexnost.................................69 3.2 Asymptoty funkce..............................................................................................75 3.3 Postup při určování průběhu funkce..................................................................76 4 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii 3.4 Ekonomické aplikace: extrémy funkce příjmů, nákladů a zisku.......................86 4 REÁLNÁ FUNKCE DVOU REÁLNÝCH PROMĚNNÝCH..................................92 4.1 Definiční obor funkcí dvou proměnných...........................................................93 4.2 Derivace funkce dvou proměnných...................................................................98 4.3 Druhé derivace funkce dvou proměnných.......................................................100 4.4 Cobb-Douglasova produkční funkce...............................................................101 4.5 Mezní produkt práce a kapitálu........................................................................102 4.6 Izokvanty produkční funkce, mezní míra technické substituce.......................103 4.7 Funkce užitku, mezní užitek............................................................................105 4.8 Tečná rovina a normála....................................................................................108 4.9 Totální diferenciál funkce dvou proměnných..................................................110 5 LOKÁLNÍ A VÁZANÉ EXTRÉMY FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH...........117 5.1 Lokální extrémy funkce...................................................................................117 5.2 Vázané extrémy...............................................................................................123 5.3 Maximalizace příjmu a užitku.........................................................................128 5.4 Minimalizace nákladů......................................................................................131 6 NEURČITÝ INTEGRÁL........................................................................................135 6.1 Pojem neurčitého integrálu, základní vlastnosti..............................................135 6.2 Integrace racionálních funkcí (metoda parciálních zlomků)...........................140 6.3 Integrace součinu funkcí (metoda per partes)..................................................146 6.4 Celkové náklady a celkové příjmy...................................................................149 7 SPECIÁLNÍ SUBSTITUCE V NEURČITÉM INTEGRÁLU................................154 7.1 Integrace složených funkcí..............................................................................155 7.2 Integrace logaritmických a exponenciálních funkcí........................................156 7.3 Integrace goniometrických funkcí...................................................................158 7.4 Integrace iracionálních funkcí..........................................................................160 8 URČITÝ INTEGRÁL..............................................................................................163 8.1 Riemannův určitý integrál................................................................................163 8.2 Newtonův určitý integrál.................................................................................165 8.3 Metoda per partes v určitém integrálu.............................................................170 8.4 Substituce v určitém integrálu.........................................................................172 8.5 Nevlastní integrál.............................................................................................174 9 APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU.................................................................177 5 JiříMazurek - Matematika v ekonomii 9.1 Obsah plochy vymezený danou křivkou a osou x............................................178 9.2 Obsah plochy sevřené dvěma a více křivkami.................................................181 9.3 Objem rotačního tělesa....................................................................................184 9.4 Celkový příjem jako určitý integrál intenzity toku příjmu..............................185 9.5 Přebytek spotřebitele a výrobce v podmínkách dokonalé konkurence............186 10 NEKONEČNÉ ČÍSELNÉ ŘADY...........................................................................190 10.1 Poj em nekonečné čí selné řady.........................................................................190 10.2 Podmínky konvergence řad, kritéria konvergence...........................................193 10.3 Operace s řadami..............................................................................................200 10.4 Geometrická řada.............................................................................................202 10.5 Další speciální typy nekonečných řad..............................................................204 10.6 Ekonomické aplikace nekonečných řad...........................................................205 11 NEKONEČNÉ FUNKČNÍ ŘADY..........................................................................210 11.1 Nekonečná funkční řada a j ej í součet..............................................................210 11.2 Mocninná řada.................................................................................................212 11.3 Geometrická řada.............................................................................................216 11.4 Obecné funkční řady........................................................................................221 12 ÚVOD DO OBYČEJNÝCH DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC..............................225 12.1 Základní pojmy................................................................................................225 12.2 Diferenciální rovnice prvního řádu se separovatelnými proměnnými.............228 12.3 Homogenní diferenciální rovnice....................................................................231 12.4 Logistická rovnice a funkce.............................................................................233 12.5 Vývoj ceny v čase............................................................................................234 12.6 Lineární diferenciální rovnice prvního řádu....................................................236 12.7 Lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty a nulovou pravou stranou................................................................................................239 12.8 Lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty a nenulovou pravou stranou............................................................................................244 ZÁVĚR............................................................................................................................250 6 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii ÚVODEM Studijní opora Matematika v ekonomii j e určena posluchačům prezenční i kombinované formy navazujícího magisterského studia na Obchodně podnikatelské fakultě Slezské univerzity v Karviné. Její obsah odpovídá sylabu stejnojmenného jednosemestrálního předmětu, tedy Matematice v ekonomii. Do roku 2012 byl tento předmět vyučován pod názvem Matematika. Obsahem Matematiky v ekonomii je diferenciální a integrální počet funkce jedné a více reálných proměnných, a jeho aplikace v ekonomické oblasti. Protože je opora určena studentům s často jen základními znalostmi matematické analýzy (předpokladem je absolvování základního kurzu matematiky pro fakulty s ekonomickým zaměřením), je její text formulován tak, aby byl pro čtenáře co nejvíce srozumitelný. Proto v textu chybí v matematické literatuře obvyklá struktura Definice-Věta-Důkaz, stejně jako důkazy matematických vět. Matematický formalismus je používán jen v nezbytně nutné míře, věty a definice jsou často zjednodušeny (ovšem při zachování jejich formální správnosti) a opatřeny vysvětlujícími komentáři. Studijní opora je členěna do dvanácti kapitol. Každá kapitola obsahuje nové matematické pojmy, věty a příslušné matematické výsledky, ilustrační obrázky, úlohy a postupy při jejich řešení, ekonomické aplikace a v závěru každé kapitoly najde čtenář soubor úloh k procvičení s výsledky. Samotný výklad učívaje založen na velkém množství řešených příkladů různé obtížnosti. Distanční prvky použité v této opoře zahrnují, mimo jiné: VĚTA DEFINICE Df KONTROLNÍ OTÁZKA K ZAPAMATOVÁNÍ 7 PRO ZÁJEMCE 1 ŘEŠENÁ ÚLOHA SAMOSTATNÝ ÚKOL ÚKOL K ZAMYŠLENÍ 7 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii RYCHLÝ NÁHLED STUDIJNÍ OPORY Studijní oporu lze rozdělit do 6 základních částí: • Funkce j edné reálné proměnné. • Funkce dvou reálných proměnných. • Neurčitý a určitý integrál. • Nekonečné číselné řady. • Nekonečné mocninné řady • Diferenciální rovnice. Každá část obsahuje definice nových pojmů a jejich vysvětlení, řešené úlohy a samostatné úlohy s výsledky. 8 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii 1 FUNKCE JEDNÉ REALNE PROMĚNNÉ RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Kapitola obsahuje základní pojmy z oblasti diferenciálního počtu jedné proměnné, tedy pojem funkce, grafu funkce, vlastnosti funkce, základní funkce a transcendentní funkce, polynomy. Dále jsou zde diskutovány ekonomické funkce, jako je funkce poptávky a nabídky, nebo rovnováha na trhu. CÍLE KAPITOLY Cílem této kapitoly je, aby student získal následující dovednosti: • Určit definiční obor funkce a její obor hodnot. • Umět načrtnout graf funkce. • Umět provádět jednoduché výpočty s exponenciální a logaritmickou funkcí. • Umět upravovat polynomy. • Umět řešit lineární a kvadratické rovnice, a soustavy lineárních rovnic. • Umět najít rovnováhu na trhu graficky i výpočtem, jsou-li zadány funkce poptávky a nabídky, KLICOVA SLOVA KAPITOLY Funkce, definiční obor, obor hodnot, graf funkce, základní funkce, funkce poptávky a nabídka, rovnováha na trhu. EJ ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU 4-6 hodin 9 Funkce jedné reálné proměnné 1.1 Pojem funkce Stěžejním pojmem matematiky (a také ekonomie) je pojem funkce. Funkcí rozumíme předpis, který každému číslu x z jedné množiny (definičního oboru) přiřadí právě jedno číslo_y z druhé množiny (oboru hodnot). Důležité je spojení „právě jedno", které vyjadřuje, že každému číslu x je přiřazeno přesně jedno y. Pokud by některému x bylo přiřazeno více y, nejednalo by se už o funkci, ale jen o relaci. Funkci obvykle značíme písmenem/(g, h, ...), definiční obor funkce jako D(f) nebo Df a obor hodnot H(f) nebo//f . Funkční předpis se značí y = f{x), například y = x2 +1. Proměnná x se nazývá nezávislá proměnná {argument), proměnná je závislá proměnná. Uzavřený interval bude dále označován (a,b), otevřený interval (a,6) a souřadnice bodu \ax,a2\. Je-li možné upravit funkci na tvar y = f{x), nazývá se taková funkce explicitní. Některé funkce však takto vyjádřit nelze, příkladem může být například funkce y = x + ln y . U této funkce není možné osamostatnit y na levé straně. Takové funkce nazýváme implicitní, a zapisujeme je ve tvaru f(x,y) = 0. Funkce vyjadřují závislost jedné veličiny na jiné veličině. V ekonomii se nejčastěji setkáváme s funkcemi poptávky, nabídky, příjmů, nákladů, užitku, produkce, atd. Funkce mohou být definovány pro různé číselné obory (mohou to být čísla přirozená, celá, reálná, komplexní, reálná kladná, apod.). V ekonomii se však s komplexními čísly obvykle nesetkáme, proto se budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné (kde x i y jsou reálná čísla, která značíme symbolem R), přičemž přívlastek „reálný" bude dále kvůli jednoduchosti vyjadřování vynecháván. V odstavcích výše jsme zavedli pojem funkce jedné proměnné. Obecně však může jedna veličina (například z) záviset na více veličinách (x, y, u, ...). To je v ekonomii častý jev. Například produkce Q závisí na kapitálu K a práci L (viz Cobb-Douglasova funkce). Takovéto funkce se označují jako funkce více proměnných, a je jim věnována Kapitola 4. V následujících kapitolách se budeme věnovat základním pojmům a vlastnostem funkcí jedné reálné proměnné, k opakování této problematiky lze doporučit například učebnici Polák (2008). 1.2 Graf funkce Grafem funkce y = f(x) nazýváme množinu všech bodů o souřadnicích [x,/(x)], kde x e D(f). Grafem lineární funkce je přímka, kvadratické funkce parabola, nepřímé úměrnosti hyperbola, atd. 10 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii Vybrané grafy základních funkcí (lineární, kvadratické, mocninné, nepřímé úměrnosti, logaritmické a exponenciální) lze najít na následujících stránkách. Grafy těchto funkcí by měl znát každý student ekonomie. Užitečnost grafu funkce spočívá v tom, že přehledně znázorňuj e závislost x na_y, a j e možné z něj vyčíst vlastnosti funkce (například zda funkce v daném intervalu klesá nebo roste, kde nabývá maxima a minima, apod.). Průsečíky grafu funkce s grafem jiné funkce jsou body, kde jsou si obě funkce rovny, což bývá v ekonomické teorii interpretováno jako stav rovnováhy (například mezi poptávkou a nabídkou). Vlastnosti funkce Mezi nej důležitější vlastnosti funkce patří: Definiční obor funkce D(f): je množina všech x, pro něž má smysl funkční předpis y = f(x). Smysl určování definičního oboru spočívá ve vymezení hodnot x, pro které je (respektive není) předpis y = f(x) definován. V ekonomii platí, že většina veličin může nabývat pouze kladných hodnot, neboť například záporná poptávka, nabídka, cena nebo produkce postrádají ekonomický smysl, podobně jako například v geometrii nemá smysl záporná délka nebo objem. Je užitečné si pamatovat, že funkce ve tvaru polynomu (např. y = x3 + 2x2 - 6x + 4 ) a exponenciální funkce mají definiční obor vždy rovný R. Pak existují funkce, kde se definiční obor obecně nerovná R, a mezi ně patří především tyto: • racionální lomené funkce (zlomky s proměnnou x ve jmenovateli): jmenovatel nesmí být roven nule, • logaritmické funkce: výraz v logaritmu musí být kladný, • odmocninné funkce: výraz pod odmocninou musí být nezáporný, • tangens a cotangens: výraz ve jmenovateli (tedy cosinus, resp. sinus) nesmí být roven nule. • arcsinus a arccosinus: definičním oborem je interval (- l,l). Určení definičního oboru dané funkce si předvedeme v následujících úlohách. ŘEŠENÁ ÚLOHA 1.1 Určete definiční obor funkcí: a)/ y = V3x-1 uw x + 5 c)/j = log(4-x2) 11 Funkce jedné reálné proměnné ď)f.y = -Jx2-x-2+- x-2 Řešení: a) Výraz pod odmocninou musí být nezáporný 3x-l >0, odtud po úpravě obdržíme x > , a tedy D(f) b) Jmenovatel zlomku se nesmí rovnat 0: x2-1^0, Upravíme na součinový tvar podle vzorce: x2 dostáváme: x1 ^ -1 a x2 ^ 1. Do definičního oboru tedy patří všechna reálná čísla kromě -1 a 1, což zapíšeme takto: D(f) = R - {-1,1} . c) Výraz v logaritmu musí být kladný: 4-x2 >0, Tuto kvadratickou nerovnici upravíme na součinový tvar podle vzorce: (2 + x)(2 - x) > 0 Tuto nerovnici vyřešíme znaménkovou metodou. Najdeme nulové body obou závorek: -2 a 2, a naneseme je na číselnou osu, viz Obr. 1.1. Tím získáme tři intervaly (bez nulových bodů): (-oo,-2),(-2,2) a (-2,oo). Zvolíme libovolné číslo z prvního intervalu, například -10, dosadíme je do nerovnice (2 + x)(2 - x) > 0, a zjistíme znaménko výrazu na levé straně: znaménko je kladné. Nad interval si napíšeme „-". Podobně najdeme znaménka i pro další dva intervaly: prostřední interval má znaménko „+" a pravý interval „-". Nulové body -2 a 2 do definičního oboru nepatří, neboť v nerovnici (2 + x)(2 - x) > 0 není rovnost. Definiční obor zadané funkce tvoří ty intervaly, nad kterými je znaménko plus, tedy prostřední interval. Definiční obor D(f) = (-2,2) . + -1-1- -2 2 12 -1 = (jc + 1)(jc-1)*0, Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii Obr. 1.1. d) y = Vx2 -x-2 +— x-2 Daná funkce obsahuje dvě dílčí funkce: odmocninu a zlomek. Nejprve se budeme zabývat odmocninou. Výraz pod odmocninou musí být nezáporný: x2 - x - 2 > 0 Tuto kvadratickou rovnici upravíme na součinový tvar: (jc-2)(jc + 1)>0 Závorky výše buď uhádneme, nebo je vytvoříme tak, že píšeme: (x - první kořen)(x - druhý kořen). Dále postupujeme znaménkovou metodou stejně jako v předchozím příkladu: nulové body jsou -1 a 2, které nám opět rozdělí číselnou osu na tři intervaly se znaménky postupně „+", „-" a „+". Krajní body tentokrát do definičního oboru patří. Z druhé části zadané funkce, zlomku —dostáváme x ^2, proto výsledný definiční oborje: D(f) = (-oo,-1) u (2,oo). ■ DEFINICE- OBOR HODNOT Obor hodnot H(f): je množina všech y, které získáme z funkčního předpisuj = / (x) pro všechna x z definičního oboru. Je-li funkce y = f(x) omezená (viz níže), je rovněž obor hodnot omezený. DEFINICE - MONOTÓNNOST Monotónnost: funkce je na intervalu /ci? monotónní, pokud je na tomto intervalu rostoucí, klesající, nerostoucí nebo neklesající. Funkce je na intervalu /: rostoucí, pokud pro všechna xl3 x2 e /, x1 < x2, platí: /(X) < f(x2), klesající, pokud pro všechna xl3x2 e /, x1 < x2, platí: f(x{) > f(x2), nerostoucí, pokud pro všechna x1,x2gI, x1 f (x2), 13 Funkce jedné reálné proměnné - neklesající, pokud pro všechna xl3 x2 e /, x1 < x2, platí: fix^) < f(x2) ■ DEFINICE- EXTRÉMY FUNKCE Extrémy funkce: extrémy funkce je souhrnné označení pro maxima a minima funkce. Rozlišujeme extrémy globální (největší, resp. nejmenší hodnota funkce na celém definičním oboru) a lokální (největší, resp. nejmenší hodnota funkce jen na části definičním oboru). • Funkce má v bodě a globální maximum, j estliže pro všechna x ( x ^ a ) z definičního oboru j e f(a)>f(x). • Funkce má v bodě a globální minimum, j estliže pro všechna x ( x ^ a ) z definičního oboru j e f(a) f[x). • Funkce má v bodě a lokální minimum, jestliže pro všechna x (x ^ a) z nějakého okolí bodu a je f{a)" nebo "<"), je extrém ostrý, v opačném případě neostrý. K určení extrému se využívají první a druhé derivace funkce (viz Kapitola 2). Zjišťování extrémů funkce má značný ekonomický význam, neboť je žádoucí snažit se například minimalizovat náklady či maximalizovat příjmy (zisk). Na závěr poznamenejme, že funkce nemusí mít žádný extrém. Například funkce y = 2x + 1 nemá maximum ani minimum, neboť maximum i minimum „mizí" v nekonečnu. DEFINICE- OMEZENOST FUNKCE Omezenost funkce: funkce je omezená shora, jestliže existuje takové reálné číslo h, že f(x)d pro všechna x z definičního oboru funkce. Pokud je funkce omezená shora i zdola, říkáme krátce, že je omezená. Hodnotě h v předešlé definici se také říká horní závora. Je-li funkce omezená shora, existuje těchto horních závor nekonečně mnoho, a ta nejmenší se nazývá supremum (značí se 14 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii sup). Supremum je zobecněním pojmu maximum, neboť některé množiny nemusí mít maximum, jako například otevřený interval A = (0,l), ale supremum existuje vždy (v uvedeném případě je sup A = 1). Hodnotě d se též říká dolní závora. Je-li funkce omezená zdola, existuje těchto dolních závor nekonečně mnoho, a ta největší se nazývá infímum (značí se inf). Infímum je zobecněním pojmu minimum, neboť některé množiny nemusí mít minimum, jako například otevřený intervale = (0,l), ale infímum existuje vždy (v uvedeném případě je inf^4 = 0). V ekonomii jsou všechny funkce omezené, neboť produkce, příjmy, náklady, práce, kapitál či zdroje surovin nejsou nekonečné. DEFINICE- PROSTÁ FUNKCE Funkce y = f (x) se nazývá prostá, jestliže platí: V*!, x2 g D(f), xl * x2 : f(xl) * f(x2). Formální zápis v předešlé definici říká, že pro všechny různé hodnoty x z definičního oboru musí být hodnoty y různé (žádná hodnota y se nesmí opakovat). Prostou funkcí je například funkce y = 2x +1 nebo_y = x3, příkladem funkce, která prostá není, je y = x2. Význam prostých funkcí tkví vtom, že k nim existují funkce inverzní (opačné). ŘEŠENÁ ÚLOHA 1.2 Určete obor hodnot a monotónnost funkce y = x2. Řešení: Daná funkce má obor hodnot H(f) = (0,qo), je rostoucí na intervalu (0,oo) a klesající na intervalu (-00,0), jak se lze snadno přesvědčit na Obrázku 1.2. ■ Poznámka: monotónnost určujeme vzhledem k proměnné x, ne y\ 15 Funkce jedné reálné proměnné ŘEŠENÁ ÚLOHA 1.3 Určete, zdaje funkce y = hgx omezená. Řešení: Tato funkce není omezená (roste ve směru osy_y do plus i mínus nekonečna), jak se lze snadno přesvědčit na jejím grafu (viz Obr. 1.8). ■ 1.3 Algebraické funkce Algebraické funkce lze vyjádřit ve tvaru polynomu. Lineární funkce má předpis y = ax + b , jejím grafem je přímka (řecky linea je přímka). Koeficient a se nazývá směrnice přímky, neboť udává sklon (směr) přímky vzhledem k ose x. Koeficient b udává průsečík grafu funkce s osou .y. | V | K ZAPAMATOVÁNÍ Je užitečné si pamatovat, že: • Pro a > 0 je funkce rostoucí. • Pro a < 0 je funkce klesající. • Pro a = 0 je funkce konstantní. Lineární funkce mají definiční obor rovný R (nejsou omezené) a nemají maximum ani minimum (výjimkou je funkce konstantní, která nabývá svého maxima resp. minima v každém bodě x). Kvadratická funkce má předpis y = ax2 +bx + c . Grafem je parabola. Pro a > 0 je graf funkce (parabola) orientovaná „nahoru", pro a < 0 „dolů", viz Obr. 1.2 a 1.3. Koeficienty b a c v předpisu funkce posouvají parabolu ve směru osy x nebo_y. Vrchol paraboly lze najít buď pomocí první derivace (hledáme maximum resp. minimum funkce), nebo úpravou zvanou „doplnění na čtverec", viz následující příklad. 16 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii Obr. 1.2. Graf funkce y = x2. V T Obr. 1.3. Graf funkce y = -x2. ŘEŠENÁ ÚLOHA 1.4 Najděte vrchol paraboly y = x2 -2x + 4 . Určete také průsečíky paraboly s osami x ay. Řešení: Rovnici paraboly upravíme doplněním na čtverec: y = x2 -2x + 4 = (x-\f -1 + 4 Při této úpravě nejprve vytvoříme závorku s x a číslem, které je rovno polovině koeficientu u x na prvou, a umocníme ji na druhou: (x - l)2 . V závorce nyní máme: x2 - 2x + 1. Za závorkou přebytečnou 1 odečteme a opíšeme 4 ze zadání. Nakonec vše sečteme: 17 Funkce jedné reálné proměnné y = x2-2x + 4 = (x-l)2 +3 . Vrchol paraboly má souřadnice [1,3]. Průsečíky s osou .y získáme tak, že položíme x = 0 v předpisu funkce, a rovnici vyřešíme: y = O2 - 2- 0 + 4 = 4. Průsečík s osou .y má tedy souřadnice [0,4]. Průsečík s osou x získáme tak, že položíme y = 0 v předpisu funkce: 0 = x2 - 2x + 4. Tuto kvadratickou rovnici se pokusíme vyřešit pomocí vzorce pro kořeny kvadratické rovnice: diskriminant D = b2 -4ac = 4-16 =-12, daná rovnice tedy nemá řešení, a to znamená, že průsečíky s osou x neexistují (vrchol paraboly má souřadnice [1,3]!). ■ Mocninná funkce má předpis y = x", kde n je celé číslo. Na základě toho, jestli je n kladné/záporné a liché/sudé má mocninná funkce jeden ze 4 typů grafů. Na Obr. 1.4. je pro ilustraci graf kubické funkce y = x3. T Obr. 1.4. Graf funkce y = x3. Racionální lomená funkce má tvar zlomku, kde v čitateli i jmenovateli je polynom (mno- P(x) hočlen)i5(x) respektive Q(x): R(x) =-. Grafem racionální funkce bývají obvykle slo- Q(x) žité křivky, viz Kapitola 3. Nej jednodušší m případem racionální lomené funkce je nepřímá úměrnost. Je to funkce k tvaru y = — , kde k)e kladná konstanta. Nepřímá úměrnost popisuje vztah dvou veličin, x 18 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii pro které platí: kolikrát je větší jedna veličina, tolikrát je druhá veličina menší. Grafem nepřímé úměrnosti je hyperbola, viz Obr 1.5. Obr. 1.5. Graf funkce y = l/x. Lineární lomené funkce je případem racionální lomené funkce, kde oba polynomy P(x) a ax + b Q(x) j sou lineární: y =- pro cx + d ^ 0 a ax + b ^ k(cx + d). Grafem lineární lo- cx + d mené funkce je rovněž hyperbola. 1.4 Transcendentní funkce Funkce, které nejsou algebraické, se označují jako transcendentní. Mezi transcendentní funkce patří především funkce exponenciální, logaritmické a goniometrické. Exponenciální funkce má předpisy = ax, a > 0, a ^ 1. Číslo a je základ mocniny a musí být kladné a různé od 1, x je exponent. Vlastnosti exponenciální funkce závisí na základu a: • Je-li a > 1, funkce je rostoucí, viz Obr. 1.6. • Je-li a<\, funkce je klesající, viz Obr. 1.7. Graf (základní) exponenciální funkce vždy prochází bodem 1 na ose y, obor hodnot H(f) = R+ a funkce je omezená zdola osou x. Nejčastěji používanou exponenciální funkcí je y = ex, kde konstanta e = 2,718... se nazývá Eulerova konstanta, a jedná se o iracionální číslo, podobně jako n. 19 Funkce jedné reálné proměnné PRO ZÁJEMCE Eulerova konstanta je definována pomocí následující limity: e = lim(l + —)". Je zajímavé H->K> n sledovat, jak se výraz (1 + —)" pozvolna blíží k hodnotě e, když zvětšujeme n: n n= 1: (1 + -)1 = 2 1 n= 10: (1 + — )10 =2,594 10 n= 100: (1 + — )100 =2,705 100 n= 1000: (1 + —^)1000 =2,717. 1000 Obr. 1.6. Graf funkce y = eř. 20 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii Obr. 1.7. Graf funkce y = (0,5)*. Logaritmická funkce má předpis y = \oga x,a>0,a^\. Číslo a se nazývá základ logaritmu a musí být kladné a různé od 1. Pro a = 10 se logaritmus nazývá dekadický (značka logx, pro a = e = 2,718... přirozený logaritmus (značka lnx). Logaritmická funkce je inverzní funkcí k funkci exponenciální, což znamená, že definiční obor logaritmické funkce j e roven oboru příslušné inverzní exponenciální funkce a naopak. • Je-li a > 1, funkce je rostoucí, viz Obr. 1.8. • Je-li a<\, funkce je klesající, viz Obr. 1.9. Graf (základní) logaritmické funkce vždy prochází bodem 1 na ose x, definiční obor je H(f) = R+ a funkce není omezená. 21 Funkce jedné reálné proměnné -3 --▼ Obr. 1.8. Graf funkce y = logr. T Obr. 1.9. Graf funkce y = log0 5 x. Exponenciální funkce se používají především v situacích, kdy nějaká veličina strmě roste nebo klesá. Strmý růst exponenciální funkce ilustruje následující historický příklad. PRO ZÁJEMCE, ÚLOHA 1.5 (Legenda o vzniku šachu). Podle legendy vymyslel hru v šachy indický učenec Sissa ben Dahir, který naučil hrát šachy i svého krále. Ten se Dahira zeptal, jakou odměnu si přeje za svůj vynález. Učenec odpověděl, že si přeje dostat na první políčko šachovnice 1 zrnko 22 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii rýže, na druhé políčko šachovnice, dvojnásobek, tedy 2 zrnka rýže, a tak dále až k poslednímu 64. políčku. Králi se zdála požadovaná odměna malá, dokud mu jeho rádci nepředali zprávu, že v celé Indii není dostatek rýže na uspokojení učencova požadavku. Kolik zrnek rýže by dostal Dahir na posledním 64. políčku šachovnice? Řešení: Počet zrnek rýže je roven výrazu 264_1 = 263 = 9,22-1018, což odpovídá přibližně 4 600 000 000 000 000 tunám rýže. Častým problém spojeným s exponenciální funkcí je otázka, kdy se hodnota nějaké veličiny (která roste exponenciálně) zdvojnásobí, viz následující úloha. RESENA ÚLOHA 1.6 Cena akcie jisté společnosti roste o 5% ročně. Za jak dlouho se její cena zdvojnásobí? Řešení: Pětiprocentnímu růstu odpovídá funkce y = l,05x, kde .y je cena a x je počet let. Na začátku (x = 0) j e y = 1,05° = 1. Pro dvojnásobek platí: 2 = l,05x. Rovnici logaritmujeme: ln2 = x • ln 1,05 a osamostatníme x: ln 2 x =-= 14.2. Cena se tedy zdvojnásobí po 15 letech (zaokrouhlujeme v tomto případě lnl,05 nahoru, protože po 14 letech cena ještě dvojnásobná nebude). ■ Pro výše uvedený příklad platí jednoduché pravidlo, kterému se v angličtině říká Rule-of-70 (Pravidlo sedmdesáti): Doba x, za kterou se hodnota veličiny, která roste konstantně o 70 R procent, zdvojnásobí, se určí (přibližně) jako: x = —. V předchozím Příkladu 1.6 by- R chom užitím Pravidla sedmdesáti obdrželi výsledek 14. Úlohu na zdvojnásobení hodnoty můžeme i obrátit, viz následující příklad. 23 Funkce jedné reálné proměnné ŘEŠENÁ ÚLOHA 1.7 Odhaduje se, že historická auta zdvojnásobují svou cenu každých 10 let. Určete, o kolik procent jejich cena vzroste za jeden rok za předpokladu, že je tento růst po celých 10 let konstantní. Řešení: Ze zadání plyne následující vztah mezi zdvojnásobením hodnoty a ročním růstem r. 2 = (1 + r)10. Odtud odmocněním získáme: yfl = (1 + r) . Nakonec osamostatníme r: r = 1 - \/2 = 0.0717. Hodnota historických automobilů tedy roste průměrně ročně o 7,17%. ■ Logaritmické funkce se obecně používají k popisu veličin, které rostou pomalu, nebo k transformacím na logaritmickou škálu (stupnici). Například, pokud má ekonom za úkol prezentovat graf, kde na ose x je populace země, a v souboru dat se nachází Čína (1,4 mld.) a Lucembursko (640 tis.), potom pokud by Lucembursko mělo na ose x hodnotu 1 (odpovídající 1 centimetru), Čína by měla x = 2188 ve vzdálenosti 21,88 metru od počátku, což by pro prezentujícího mohl být problém. Užitím logaritmické transformace (použitím dekadického logaritmu) by se populace zemí transformovala na mnohem přij atelněj ší hodnoty 5,8 (Lucembursko) a 9,14 (Čína). ÚKOL K ZAMYŠLENÍ Řekněme, že byste měli za úkol prezentovat graf, v němž by na ose x vystupovala populace Indie a populace Islandu (počet obyvatel najděte na Wikipedii). K transformaci velikosti populace byste, stejně jako v minulém odstavci, použili dekadický logaritmus. Jak daleko od počátku (předpokládáme, že výsledek po logaritmovaní je dán v centimetrech) by se nalézaly obě země na ose x? O dalších transcendentních funkcích se již zmíníme jen velmi krátce, neboť nemají v ekonomii takový význam jako v přírodních a technických vědách. Čtenáři jsou jistě známy goniometrické funkce definované v jednotkové kružnici: sinus, kosinus, tangens a kotan-gens. 24 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii Definičním oborem funkcí y = sinx a y = cosx je R, oborem hodnot interval 1,1). Definičním oborem funkcí y = tgx respektive y = cotgx je R ~ j"^"4" resP- R-tyn}. Oborem hodnot j e R. Grafy těchto funkcí j sou na Obrázcích 1.10 až 1.13. Cyklometrické funkce jsou inverzní funkce ke goniometrickým funkcím, mají předponu ar-cus(arc): arcsinx, arccosx, arctgx a arcotgx. Na kalkulačkách j sou značeny jako sin"1, cos"1 a tg"1. Ani cyklometrické funkce nemají v ekonomii významnější využití. Grafy cyklometrických funkcí lze nalézt například v Bart-sch (2008) nebo Rektorys (1995). 2J 1- sin(x) X -2 0 \ li \ r í1 Obr. 1.10. Graf funkce y = sinx. 2J cos(x) d \ \ 1 / 1 \ 1 / ' X k ^ \ -2 \ vy _i \ 1 / 1 \ 1 / 0 \ / 2 \ 3 / P 4 -2 25 Funkce jedné reálné proměnné Obr. 1.11. Graf funkce y = cosx. Obr. 1.12. Graf funkce y = tgr. Obr. 1.13. Graf funkce y = cotgr. 1.5 Složená funkce V některých případech může být argumentem funkce jiná funkce. V tom případě hovoříme o složené funkci. Definice složené funkce je následující: 26 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii DEFINICE- SLOŽENÁ FUNKCE Definice 1.1. Nechť jsou dány funkce y = f(x) a y = g(x), a nechť pro x e M c: D(g) platí, že g{x) e D(f). Potom funkci y = f(g(x)) nazýváme složenou funkcí. Funkce f (x) je vnější funkce a funkce g{x) je vnitřní funkce. Typickým příkladem složené funkce je například y = log(x2 +1), y = sin(2x) nebo y = y/2x + 5 . ŘEŠENÁ ÚLOHA 1.8 Jsou dány funkce /(x) = sin x a g(x) = x2. Určete y = f (g(x)) a y = g(f (x)). Řešení: Obě zadané funkce mají definiční obor R, proto můžeme přejít k předpisu složené funkce. Nejprve určíme y = f(g(x)). Vnější funkcí má být sinus, vnitřní funkcí druhá mocnina: y = sin x2. Analogicky pro druhou složenou funkci obdržíme: y = sin2 x . ■ 1.6 Polynomy Důležitým pojmem algebry je polynom (česky mnohočlen). Polynomem řádu n nazýváme výraz a0 +a1x + a2x2 + ... + anxn. Je-li n = 0, je polynom roven konstantě ao; je-li n = 1, je polynom lineární: a0 +aYx; pro n = 2 je polynom kvadratický: a0 +a1x + a2x2, pro n = 3 je polynom kubický: a0 + axx + a2x2 + a3x3, atd. Nulovým bodem {kořenem) polynomu je takové číslo xo, pro které platí Pn(x) = 0. Například nulovým bodem polynomux2 + 8x+ 15 je číslo —3, jak selže snadno přesvědčit dosazením. Nulové body umožňují rozklad polynomu na součin kořenových činitelů, například: x2+8x + 15 = (x + 3)(x + 5). Rozklad polynomu na součin lze využít při zjednodušování algebraických výrazů krácením nebo při integraci metodou parciálních zlomků (viz Kapitola 6). V oboru reálných čísel nelze některé polynomy druhého stupně (kvadratické) rozložit, což poznáme tak, že nám vyjde záporný diskriminant při řešení příslušné kvadratické rovnice. V oboru komplexních čísel má však každý polynom n-tého stupně n (komplexních) kořenů (Gaussova základní věta algebry). 27 Funkce jedné reálné proměnné ŘEŠENÁ ÚLOHA 1.9 Upravte daný polynom na součin: a) 48x3 +12x2 +64x2 b) 25x2-16 c) jc4-256 d) jc3-8 Řešení: K rozkladu polynomu na součin můžeme použít vytýkání nebo známé vzorce z algebry: a2 - b2 = (a + b)(a -b) a a3 - b3 = (a - b)(a2 +ab + b2). a) 48x3 + 12x2 + 64x = 4x(12x2 + 3x +16) b) 25x2 -16 = (5x + 4)(5x - 4) c) x4 - 256 = (x2 - 16)(x2 +16) = (x + 4)(x - 4)(x2 +16) d) x3-8 = (x-2)(x2+2x + 4). ■ ŘEŠENÁ ÚLOHA 1.10 Určete nulové body polynomu: a) x2 - x + 5 b) x4 - 4x2 Řešení: a) Daný kvadratický polynom nemá žádné nulové body, protože nejde rozložit na součin kvadratických činitelů (diskriminant je záporný). b) Mnohočlen 4. řádu upravíme vytýkáním a úpravou podle vzorce: x4 -4x2 =x2(x2 -4) = x2(x + 2)(x-2) 28 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii Z posledního tvaru vidíme, že daný polynom má 4 nulové body: 0 (dvojnásobný nulový bod), -2 a 2. ■ 1.7 Funkce nabídky, poptávky a rovnováha na trhu v podmínkách dokonalé konkurence, jednoduchý model příjmu Funkce poptávky D (angl. demand) vyjadřuje vztah mezi cenou výrobku P (price) a poptávaným množstvím Q (quantity): Q = D(P) resp. P = D(Q) . Tato funkce je vždy klesající, což znamená, že s rostoucí cenou P klesá poptávané množství Q. Funkce poptávky může být v principu libovolná klesající funkce, tedy lineární, kvadratická, mocninná, exponenciální, logaritmická, apod., ale v praxi se využívají především lineární a kvadratické funkce poptávky. Dále pro funkci poptávky platí, že veličiny i5 i Q musí být nezáporné, neboť záporné množství ani záporná cena nemají v této situaci smysl. Rovněž P ani Q nemohou růst do nekonečna, proto říkáme, že jsou omezené. Funkce nabídky (angl. supplý) vyjadřuje vztah mezi cenou výrobku p (price) a nabízeným množstvím Q {quantity): Q = S (P) resp. P = S (Q). Tato funkce je vždy rostoucí, což znamená, že s rostoucí cenou P roste nabízené množství Q. K vyjádření funkce nabídky se nejčastěji využívají lineární nebo kvadratické funkce. Typický tvar křivky poptávky a nabídky je znázorněn na Obr. 1.14. Při grafickém znázornění obou křivekje zvykem nanášet na osu x množství Q a na osu y cenu p. Obr. 1.14. Typický tvar křivek funkce poptávky a nabídky s rovnovážným bodem E. 29 Funkce jedné reálné proměnné • Lineární funkce poptávky je dána vztahem: QD =a-bP, kde a a b jsou konstanty, pro které platí: a > 0, b > 0. • Lineární funkce nabídky je dána vztahem: gs =c + dP, kde c a í/ jsou konstanty, pro které platí: c > 0, d > 0. V ekonomice volného trhu se poptávka a nabídka vzájemně ovlivňují (neviditelná ruka trhu podle Adama Smithe), a výsledkem je rovnováha, při které se poptávané množství na trhu rovná množství nabízenému. Z rovnosti funkcí poptávky a nabídky lze vypočítat rovnovážné množství Qe a rovnovážnou cenu P e (index E je z anglického equilibrium - rovnováha). Pro rovnovážný bod E platí, že se v něm poptávka rovná nabídce: D(Q) = S(Q) (grafy obou funkcí se protínají), platí tedy: a-bP = c + dP. a — c Odtud můžeme určit rovnovážnou cenu Pe: Pe =- (1.1) b + d A z rovnovážné ceny lze stanovit rovnovážné množství Qe: a-c ab + ad - ab + be ad + bc QE =a- bPE =a-b b + d b + d b + d 0'=STT- <12) b + d Výrazy (1.1) a (1.2) jsou dobře definovány, neboť jejich jmenovatele se nemohou rovnat nule, jelikož b > 0 a zároveň d > 0. ŘEŠENÁ ÚLOHA 1.11 (Zimka, 1999). Zahrádkář chce na trhu prodat celou svou úrodu jahod, tedy 300 kg. Pokud by zahrádkář nabízel 1 kg jahod za 30 Kč, prodal by všechny jahody. Za každé další zvýšení ceny 1 kg o 1 Kč prodá o 6 kg jahod méně. Najděte lineární funkci poptávky, která je modelem popsané situace. Řešení: Poptávka je lineární funkcí, je tedy Q = a-bP . Neznámé koeficienty a ab vypočteme ze dvou rovnic, které získáme z údajů o množství a ceně ze zadání: Víme, že při ceně P = 30 Kč/kg se prodá množství Q = 300 kg jahod: 300 = a - 30b. Dále víme, že pro P = 31 Kč/kg je Q = 294 kg jahod: 294 = a - 3 lb . Tuto soustavu rovnic vyřešíme: a = 480,b = 6 . 30 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii Dostáváme tedy rovnici poptávky: Q = 480 - 6 P, resp. P = 80 -— . ■ 6 ŘEŠENÁ ÚLOHA 1.12 (Chen, 2007). Předpokládejme, že QD =10-i5 a Qs =-2 + P. Najděte rovnováhu mezi poptávkou a nabídkou. Řešení: Rovnováha mezi poptávkou a nabídkou nastane, když QD = Qs : 10 - P = -2 + P, Odtud dostaneme PE=6 a QE =4 (k řešení můžeme použít i vztahy (1.1) a (1.2), které jsou však v tomto případě zbytečně komplikované). Celkový příjem TR = PE ■ QE = 6 • 4 = 24 jednotek. Grafické řešení je znázorněno na Obr. 1.15. Nyní nechť je vládou stanovena nej nižší cena 8 jednotek za jednotku množství. Pak ovšem QD =10-P = 2 a Qs=-2 + P = 6, nenastává tedy rovnováha, a celkový příjem TR = P-QD = 8- 2 = 16. Celkový příjem se tedy vládním zásahem snížil. Je možné ukázat, že vládní zásahy do tržní rovnováhy vždy vedou ke snížení příjmu. ■ 0 2 4 6 8 10 X Obr. 1.15. Rovnováha mezi poptávkou a nabídkou. 31 Funkce jedné reálné proměnné RESENA ÚLOHA 1.13 Nechť funkce poptávky je dána jako D(P) = 24 - 2P a funkce nabídky S(P) = 4P + 6 Najděte rovnovážnou cenu a množství. Řešení: D(P) = S(P) 24-2^ = 4^ + 6 P = 3 A tedy PE = 3, Q = D(P) = S(P) = 18. ■ ŘEŠENÁ ÚLOHA 1.14 Nechť funkce poptávky je dána jako D(P) = 110 - &P a funkce nabídky S(P) = P2 + 5 . Najděte rovnovážnou cenu a množství. Řešení: D(P) = S(P) \\0-&P = P2 +5 Tuto kvadratickou rovnici si nejprve upravíme: P2 + &P -105 = 0 . Dále pravou stranu rozložíme na součin (nebo můžeme použít vzorec pro kořeny kvadratické rovnice): (P + \5)(P-7) = 0 Nulové body závorekjsou řešením příslušné rovnice: Pl =-l5,P2 =7 .Řešení Pl =-15 ale nedává ekonomicky smysl (cena nemůže být záporná), rovnovážná cena je tedy P2 = PE = 7 . Odpovídající rovnovážné množství QE = 110 - SP = P2 + 5 = 54 . ■ Při analýze rovnováhy mezi poptávkou a nabídkou se nemusíme omezovat pouze najeden trh (komoditu). Následující příklad se týká dvou trhů (komodit). RESENA ÚLOHA 1.15 (Dowling, 2012). Mějme dva trhy s hovězím basem (označeném indexem „B" jako „beef') a vepřovým masem (označeném indexem „P" jako „pork"). Oba trhy jsou propojené: zvýšená poptávka po hovězím mase snižuje poptávku po vepřovém mase, a opačně. Poptávky a nabídky na obou trzích jsou zadány následovně: 32 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii DB=%2-3PB+PP DP=92 + 2PB-4PP SB=-5 + \5PB SP=-6 + 32Pp Pro rovnováhu na obou trzích platí: DB = SB Dp = Sp 82 - 3PB + Pp = -5 +15PB 92 + 2PB - 4PP = -6 + 3PP \%PB-PP=%1 36PP-2PB=98 Nyní z posledních dvou rovnic vytvoříme soustavu pro dvě proměnné: ISPB-PP =87 36PP-2PB=98 Řešení této soustavy (získané například eliminační metodou) je PB = 5 a PP = 3, což jsou hledané rovnovážné ceny. Odpovídající rovnovážné množství obou druhů masa můžeme vypočítat dosazením této rovnovážné ceny do funkcí poptávky nebo nabídky (výsledek je stejný): QB =-5 + \5PB =-5 + 15-5 = 70, a QP =-6 + 32Pp =-6 + 32-3 = 90. ■ ŘEŠENÁ ÚLOHA 1.16 (Dowling, 2012). Předpokládejme jednoduchý dvousektorový model ekonomiky 7 = C +I;C = C0 +bY a I=I0, kde 7 je příjem, C je spotřeba, / označuje investice a C0,b,I0 j sou zadané konstanty. Najděte rovnovážný příjem YE . Řešení: do rovnice Y = C + 1 dosadíme za C rovnici C = C0+bY a za / dosadíme 70: Y = C0+bY + I0 Následně osamostatníme Y: (l-b)Y = C0+I0 C +1 Y — o E~ l-b Řešení v této podobě se nazývá řešení v redukované formě a vyjadřuje závislost endogenní (závislé, v rámci modelu určené) proměnné 7 na exogenních (nezávislých, určených mimo model) proměnných C0,I0 a parametru b. Nechť je nyní C0 =85, /0 =55 ab = 0.9. Potom je rovnovážný příjem YE dán jako: 33 Funkce jedné reálné proměnné rI = W±«=M00. . E 1-09 SAMOSTATNÝ ÚKOL 1. Načrtněte dané funkce. Z náčrtku určete jejich definiční obor a obor hodnot. a) y = x2 -3, [/)(/) = i?, if (/) = (- 3,»)] b) y=-, X [D(f)=H(f) = R-{0] ] c) y = x2 + 2x + 4, [D(/) = i?,if(/) = (3,^)] d) y = x3+2, [D(f) = H(f) = R] e) y = ex-\ [D(f) = R,H(f) = (0,co)] f) y = -e\ [D(f) = R,H(f) = (-co,0)] g) y = \n(x-3) [D(f) = (3,n),H(f) = R] 2. ) Určete vrchol paraboly y = x2 + 4x -1. [V =[-2,5].] 3. Jsou dány funkce /(x) = —!— a g(x) = yfx . Určete složené funkce ^[/(x)] a /[g(x)] x-1 a jejich definiční obory. 34 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii [/(gW) Vjč-i , D(f) = R-{\},g(f(x)) 4. Najděte nulové body polynomů, upravte polynomy na součin: a) x2-3x-4 [nulové body: -1 a 4, x2 - 3x - 4 = (x + l)(x - 4) ] b) jc3+3jc2-10jc [nulové body: -5, 0 a 2, x3 +3x2 -lOx = x(x +5)(x-2)] c) 64x2 - 25 [nulové body: -5/8, 5/8, 64x2 - 25 = (8x - 5)(8x + 5) ] 5. Určete definiční obor funkcí: a) y -+ V2x-3 x-2 b) y = \og(\-x) [D(f) = (-^\)] c) y = yj\6-x2 [D(f) = (-4,4)] d)y = \n x + 3 x-3 [/)(/) = H,-3) u (3, x)] e) y = ^jx2 -4x [D(/) = (-x,0)u(4,x) ] 4 yj-x2 - 5x - 6 [Z)(/) = (^o,-3)u(-2,oo)] 35 Funkce jedné reálné proměnné g) y = 47^l u>(/H°>°°)] h) y = arccos x + l [D(f) = (-1,4) ] 6. Najděte rovnovážnou cenu a množství, je-li funkce poptávky: D(P) = 83-3P a funkce nabídky: S(P) = 2P + 3 . Úlohu řešte početně i graficky. [Pe = 16, QE = S(P) = D(P) = 35] 7. Najděte rovnovážnou cenu a množství, je-li funkce poptávky: D(P) = 50 - 2P a funkce nabídky: ^(i5) = 20 + 4P. Úlohu řešte početně i graficky. [Pe=5,Qe = S(P) = D(P) = 40] 8. Za jak dlouho se zdvojnásobí hodnota veličiny, která každý rok roste o 3%? [za přibližně 30 let] 9. Za jak dlouho se zdvojnásobí hodnota nemovitosti, jestliže trh roste stabilně o 4% ročně? [za přibližně 18 let] 36 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii 2 ÚVOD DO DIFERENCIÁLNÍHO POČTU FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Kapitola obsahuje úvod do oblasti diferenciálního počtu jedné proměnné. Jejím obsahem je pojem derivace, derivace implicitní funkce, derivace složené funkce a derivace vyšších řádů. Dále je v kapitole ukázáno, jak lze derivace využít k hledání extrémů funkce nebo průběhu funkce včetně ekonomických aplikací. CÍLE KAPITOLY Cílem této kapitoly je, aby student získal následující dovednosti: • Určit derivaci funkce, a to jak derivaci základních funkcí, tak i funkcí složitějších (implicitní, složené, ve tvaru zlomku, apod.). • Najít extrémy funkce a určit monotónnost funkce. • Najít Taylorův rozvoj dané funkce. • Aplikovat znalosti o derivacích na ekonomické funkce, jakou jsou funkce nabídky, poptávky, nebo produkce. KLÍČOVÁ SLOVA KAPITOLY Funkce, derivace funkce, extrémy funkce, monotónnost funkce, průběh funkce, Taylorova řada, ekonomické funkce. ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU 6-8 hodin 37 Úvod do diferenciálního počtu funkce jedné reálné proměnné 2.1 Derivace funkce Mějme funkci y = f(x). Změnu (přírůstek) hodnot funkce y = f(x) značíme Ay, změnu argumentu x pak Ax . Podíl — udává průměrnou změnu y připadající na jednotkovou Ax změnu x na intervalu Ax . Pokud je y například cena akcie firmy ABC během časového období Ax = 3 měsíce je změna ceny akcie Ay = +120 Kč, potom podíl — = = 40 Kč/měsíc vyja- Ax 3 dřuje, že průměrně se cena akcie za dané období zvýšila o 40 Kč za 1 měsíc. Pokud se bude Ax zmenšovat k nule (Ax —>■ 0), získáme změnu veličiny y v daném bodě (tedy její okamžitou změnu). Výraz: nazýváme derivací funkce y = f(x). Geometrický význam derivace je patrný z Obrázku 1.1. Přímka p = AB]e sečna. Bude-li se však X2 blížit k xi (bod B k bodu^4), tj. Ax se bude blížit nule, přej de zmíněná sečna v tečnu. Derivace v daném bodě má tedy názorný geometrický význam: je rovna směrnici tečny v tomto bodě. DEFINICE- DERIVACE FUNKCE (Derivace funkce): Nechť funkce y =f(x) je spojitá na intervalu J cií a x0 g J. Dále frx +h)- fix ) nechť existuje podíl---—, kde h značí (malý) přírůstek argumentu x. Pakde- h rivací funkce y = f(x) v bodě xo nazýváme následující limitu: lim/(x0+/0-/(x0) h^o h ° (Index 0 uxose na pravé straně obvykle vynechává). Derivaci funkce je zvykem značit čárkou: y',f (x), nebo psát jako podíl diferenciálů: — dx (čteme dy podle dx), — (čteme df podle dx). Pokud derivujeme podle času, označuje se dx derivace tečkou místo čárky. 38 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii Obr. 1.1. Geometrický význam derivace funkce. Poznámka: Derivací funkce je obecně opět nějaká funkce. Derivaci v konkrétním bodě x (např. x = 2) určíme tak, že za toto x do derivace dosadíme, viz následující úloha. ŘEŠENÁ ÚLOHA 2.1 Určete derivaci funkce y = x3+2x v bodě x = 2. Řešení: Derivací funkce y = x3 + 2x je funkce y'= 3x2 + 2 . Dosazením x = 2 dostaneme: y (2) = 14. Výsledek je možné interpretovat tak, že v bodě x = 2 je poměr změny y ku změně x roven 14, nebo ještě jinak: proAx = l vboděx = 2bude Ay = \4. m Poznámka: Poslední tvrzení předešlého příkladu však platí pouze přibližně, neboť derivace vyjadřuje (přesně) změnu funkce v daném bodě, ale jen přibližně změnu funkce v blízkosti daného bodu (na nějakém intervalu). Čím jsme od daného bodu dále (čím delší interval použijeme), tím je nepřesnost větší. Tečna v bodě x0 se s rostoucí vzdáleností od x0 více a více odchyluje od grafu dané funkce. ŘEŠENÁ ÚLOHA 2.2 Určete rovnici tečny ke křivce y = x2 v bodě [2,4]. Řešení: 39 Úvod do diferenciálního počtu funkce jedné reálné proměnné Rovnice tečny má tvar y = kx + q, kde k a q jsou hledaná neznámá reálná čísla. Víme, že derivace v daném bodě (nyní máme bod x = 2) je rovna směrnici tečny v tomto bodě, a tedy k = y (2). Funkce y = x2 má derivaci y = 2x. Derivace v bodě x = 2: y'(2) = 2x = 2- 2 = 4. Směrnice tečny v bodě [2,4] je tedy rovněž 4: k = 4. Rovnice tečny má nyní tvar: y = 4x + q . Zbývá určit q. Protože je dán tečný bod [2,4], který leží na dané křivce i na hledané tečně, musí jeho souřadnice splňovat rovnici tečny y = 4x + q. Dosazením x = 2 a y = 4 vyjde q = -4. Tečna má rovnici: y = 4x-4. ■ RESENA ÚLOHA 2.3 Užitím definice derivace odvoďte derivaci funkce y = x2. Řešení: i ,v (x + hf-x2 x2 +2hx + h2 -x2 ,. +2hx + h2 ,. „ , „ x ) = hm----= hm-= hm-= hm2x + /z = 2x ^ ' A->0 li A->0 li A->0 li A->0 Protože je výpočet derivací pomocí definice derivace často zdlouhavý, používáme pro derivování základních funkcí již odvozené vzorce, které najdete v Tabulce 2.1. K ZAPAMATOVANÍ Nechť funkceX*) ag(x) mají derivaci na intervalu J cií.K výpočtu derivací součtu, rozdílu, součinu a podílu těchto funkcí používáme následující pravidla: i) ii) iii) iv) v) [c ■/(*)]-= c ■/'(*) [f(x)±g(x)}=f(x)±g(x) [/(*) • g(*)]= fix) ■ g(x) + f(x) ■ g\x) f\x)-g(x)-f(x)-g\x) g(x)*0 [f(g(x))}=f{g{x)yg\x) 40 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii Pravidlo i) říká, že koeficient c před funkcí se při derivování pouze opíše, pravidlo ii) říká, že můžeme derivovat „člen po členu", pravidlo iii), že součin dvou funkcí provedeme tak, že první funkci derivujeme a druhou opíšeme, napíšeme plus, a postupujeme obráceně. Pravidlo iv) okamžitě plyne z pravidla iii), když si uvědomíme, že dělit výrazem g(x) je totéž jako násobit výrazem —-— . Pravidlo v) se týká derivace složené funkce. Složenou funkcí je například funkce y = ln {x2 +1) . Tato funkce obsahuje vnitřní funkci (závorku) a vnější funkci (logaritmus). Pravidlo v) říká, že v takovém případě derivujeme nejprve vnější funkci (jako logaritmus), a pak ji násobíme derivací vnitřní (kvadratické) funkce. Body i) až v) je samozřejmě možné zobecnit pro tři a více funkcí. Ilustrace výše uvedených pravidel je obsahem následujícího příkladu. ŘEŠENÁ ÚLOHA 2.4 Derivujte následující funkce: a) y = 4x-\ b) y = x2 + 5x c) y = 6x3 d) y = 4x5 + sin x + 2x e) y = x2 ■ ex lnx f) y = — x g) y = ln(x2+l) Řešení: Využijeme pravidla i) až v) výše a Tabulku 2.1 základních derivací. a) Derivujeme nejprve člen 4x (derivace je 4) a pak konstantu -1 (derivace konstanty je nula). Proto dostáváme: y'= 4. b) Derivujeme nejprve členx2: exponent napíšeme dopředu, a pak exponent o jedničku zmenšíme, a dostaneme 2x. Pak derivujeme člen 5x na 5. Obdržíme tak: y = 2x + 5 . 41 Úvod do diferenciálního počtu funkce jedné reálné proměnné c) /=18x2. d) y = 20x4 +cosx + 2 . e) Derivujeme jako součin funkcí podle pravidla iii): y'= 2xex + x2ex = [x1 + 2x}ex. — • x - ln x • 1 . , v 1 — ln x f) Derivujeme jako podíl funkcí podle pravidla iv): y'=-;-=-;—. x x g) Derivujeme jako složenou funkci podle pravidla v), nejprve vnější funkci (logaritmus), 1 2x potom vnitřní funkci (kvadratickou): y'=—7--2x x2+l x2+l Tabulka 2.1. Přehled derivací elementárních funkcí. A*) f(x) konstanta 0 X 1 x" nx"-1 ď ď ln x 1 X ď ď • ln a 1 xlna sinx cosx cosx -sinx tgx 1 cos2 X cotgx 1 sin2 x arcsinx 1 Vl-x2 arccosx 1 Vl-x2 arctgx 1 1 + x2 arccotgx 1 1 + x2 42 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii 2.2 Derivace vyšších řádů Derivací funkce získáme další funkci, kterou opět můžeme derivovat. Takto můžeme vypočítat první, druhou, třetí a další derivace. Derivace vyšších řádů se značí počtem čárek: /(x),f'(x),f "(x) atd. Význam mají především první a druhá derivace, užití vyšších derivací je v ekonomii spíše výjimečné. Jestliže první derivace vyjadřuje změnu dané veličiny (např. vyjadřuje růst inflace), pak druhá derivace udává, jak se mění tato změna (růst inflace se může zvyšovat nebo snižovat). ŘEŠENÁ ÚLOHA 2.5 Vypočtěte první, druhou a třetí derivaci funkce y = x3 + 4x2 -1. Řešení: Derivujeme člen po členu podle pravidla o derivaci mocniny: /=3x2 +8x, y"= 6x + 8, y"'=6. ■ PRO ZÁJEMCE Historická poznámka: Americký prezident R. Nixon použil v roce 1972 v jednom televizním přenosu v rámci prezidentské kampaně následující argument: „Tempo růstu inflace zpomaluje." Jistý komentátor to okomentoval: „Je to poprvé v historii, co americký prezident použil pro své znovuzvolení argument obsahující třetí derivaci." Je tomu opravdu tak: Pokud inflaci považujeme za danou veličinu (y), pak její růst je první derivace, tempo tohoto růstu druhá derivace a zpomalování tohoto tempa pak představuje třetí derivaci. Podobně můžeme z televizní obrazovky slýchat, že „růst nezaměstnanosti zpomaluje" nebo „pokles stavební výroby zrychluje", což jsou vlastně druhé derivace. 43 Úvod do diferenciálního počtu funkce jedné reálné proměnné 2.3 Diferenciál funkce Diferenciálem funkce y = f (x) nazýváme funkci df (x) = /'(x) dx . Diferenciál funkce závisí na x a dx, a vyjadřuje přibližně přírůstek funkce df při změně argumentu x o dx v bodě x. (Toto přibližné vyjádření je tím přesnější, čím menší je dx). ŘEŠENÁ ÚLOHA 2.6 Určete přírůstek funkce y = x3 v bodě x = 3 pro přírůstek argumentu dx = 0,2 pomocí diferenciálu funkce. Řešení: Nejprve vypočteme derivaci zadané funkce: y'= 3x2, odtud derivace v bodě x = 3: y= 3 • 32 = 27 . Je tedy df = f'(x)dx = 27• 0,2 = 5,4. Přírůstek funkce v bodě x = 3 pro změnu argumentu x o dx = 0,2 činí 5,4 jednotek. Podívejme se ještě, jaká je přesná změna funkce mezi body x = 3 ax = 3,2: Af = /(3,2)-/(3) = 3,23 - 33 = 5,768 . Tento výsledek není příliš odlišný od dříve vypočteného přírůstku 5,4 jednotek. ■ 2.4 Logaritmická derivace Některé funkce není možné derivovat pomocí pravidel uvedených v Tabulce 2.1. Typickým příkladem jsou funkce ve tvaru y = f (x)g(x), tedy funkce, v nichž se proměnná x nachází jak v základu mocniny, tak v exponentu. Nemůžeme použít pravidla pro derivaci mocniny ani exponenciální funkce (daná funkce není ani jedno, ani druhé). Můžeme však využít následující dva speciální postupy: i) Použijeme úpravu y = f(x)g(x) = e8(x)]D-f(x) a derivujeme jako exponenciální funkci. ii) Funkci y nejprve logaritmujeme: y = f (x)g(x) =í> ln y = ln /(x)g(x) ^> \ny = g(x)\nf(x), a pak derivujeme: — = g'(x) ln f(x) + g(x)^J^-. y f (x) Tento postup si ukážeme v následující úloze. 44 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii ŘEŠENÁ ÚLOHA 2.7 Derivujte: y = xx. Řešení si ukážeme oběma způsoby. První způsob: nejprve upravme zadanou funkci na exponenciální: y = xx= exlnx, a pak derivuj eme j ako složenou funkci: y'= ex'lax ■ j\ • ln x + x • — j = xx ■ (ln x +1) . Druhý způsob: danou funkci logaritmujeme a upravíme: ln^ = lnxx —► ln y = x-lnx. Nyní derivujeme obě strany: — = 1-lnx + x-— = lnx + l, y x a rovnici vynásobíme^: y = y-(\nx + íj = xx -(lnx + l). Výsledek je samozřejmě stejný. ■ 2.5 Derivace implicitní funkce U některých funkcí se může stát, že y nejde vyjádřit jako funkci x. Například u funkce f(x, y) = xy2 + log (x - ý) není možné vyj ádřit (osamostatnit vlevo) y. V takovém případě hovoříme o implicitní funkci (pokud lze vyjádřit^ jako funkci x, pak hovoříme o explicitních funkcích). Implicitní funkce derivujeme podle Věty 2.1. VĚTA O DERIVACI IMPLICITNÍ FUNKCE (VĚTA 2.1) Nechť f (x, y) = 0 je implicitní funkce, která má v bodě C konečné parciální derivace df(Q df(C) . , df(C) „ „ . . , • , . ^ -a —■^-L, a necht —■^-L ^ 0. Derivace implicitní junkce v bode L je pak dejino- ôx dy dy df(C) vána takto: vYC)= (2.1) df(C) dy Symboly — a — ve vztahu (2.1) označují parciální derivace, kterými se budeme podrob- ôx dy něji věnovat v Kapitole 4. Nyní jen zmíníme, že parciální derivace není nic jiného než obyčejná derivace aplikovaná na vybranou proměnnou. 45 Úvod do diferenciálního počtu funkce jedné reálné proměnné RESENA ÚLOHA 2.8 Derivujte funkci /(x, y) = sin y + 2xy. Řešení: Nejdříve musíme ověřit splnění podmínek Věty 2.1. Poté derivujeme podle x ay: dx df — (x, y) = cosj + 2x, dy Derivování podle x (respektive y) provádíme tak, že x (y) považujeme za proměnnou, zatímco y (x) za konstantu. Ze vztahu (2.1) nakonec obdržíme výslednou derivaci: -2 y y =---, pro cos y+ 2x^0 ■ cos y + 2x 2.6 Taylorova a Maclaurinova řada Složité funkce, které mají derivace až do n-tého řádu, můžeme přibližně nahradit (aproximovat) Taylorovou řadou (Taylorovým polynomem) stupně n v okolí zvoleného bodu a. Vyjádření funkce pomocí polynomu (mnohočlenu) je jednodušší a usnadňuje výpočty. V ekonomii se tento postup často používá například ke zjednodušení nelineárních funkcí na funkce lineární. Taylorův polynom funkce f (x) v bodě a je definován takto: Tn(f,a,x) = f(a) + ^(x-a) + ^-(x-af + ... 1! 2! n\ (2.2) kde Rn(x) se nazývá zbytek řady. Pokud zvolíme a = 0, dostaneme Maclaurinovu řadu: Tn(fAx) = f(0) + ^x + £^r+ ... +^-x"+Rn+l(x) 1! 2! n\ (2.3) Ne každou funkci lze vyjádřit pomocí jejího Taylorova rozvoje. Funkce musí splňovat dvě podmínky: 1. ) Musí mít derivace všech řádů až do řádu n v okolí bodu a. 2. ) Zbytek Rn+i(x) musí konvergovat k nule pro n jdoucí do nekonečna. Například funkci y = ypx není možné vyjádřit Maclaurinovou řadou v bodě a = 0, neboť tato funkce není definována na levém okolí bodu 0 (nesplňuje podmínku 1). 46 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii Maclaurinův rozvoj vybraných funkcí je uveden v Tabulce 2.2 i s příslušným oborem konvergence odpovídající funkční řady. Tabulka 2.2. Mocninné rozvoje vybraných funkcí. Funkce Maclaurinův rozvoj Obor konvergence sinx jc3 x' x"1 (—00,00) cosx 1 "óT+" (—00,00) ď 2 3 1 + —+-+-+ ... 1! 2! 3! (—00,00) ln(jc + l) x2 jc3 jc4 \n(x + \) = x--+---+ ... 2 3 4 (-u> V následující úloze si ukážeme, jak určit Maclaurinův rozvoj funkce. RESENA ÚLOHA 2.9 Určete Maclaurinův rozvoj funkce /a) y = ex, b) y = VxTT . Řešení: a) Nejdříve vypočteme hodnotu dané funkce v bodě x = 0: /(O) = 1, a pak první a vyšší derivace, které jsou v tomoto případě všechny shodné: f(x) = f"(x) = f"(x) = ... = ex Do derivací dosadíme za x nulu (neboť a = 0) a získáme: ./(O) ./ (0) ./ (0) ... 1. 2 3 x x x Výsledek dosadíme do (2.3): ex = ! + — + — + — + ... 12 6 b) Vypočteme hodnotu dané funkce v bodě x = 0: f(®) ~ ^, a pak první a vyšší derivace: 1 „..... 3 1 f'(x) 2^xTl V(x + 1)3 8>/(^+l) atd. 47 Úvod do diferenciálního počtu funkce jedné reálné proměnné Do derivací dosadíme za x nulu (neboť a = 0) a získáme: /'(o) = |, /"(o) = /'"(o) = I. - X X jX x + l =1 +---+-+ ... 2 8 48 Nakonec si můžeme ukázat, jak je tato aproximace odmocniny mocninnou řadou přesná. Zvolme například x = 0,3. Pro tuto hodnotu je /(0,3) = a/0,3 +1 = 1,140, zatímco z řady výše dostáváme pro její první čtyři členy: Vx + l = 1 + - + = 1,054. Rozdíl obou hodnot tedy činí 0,085. Větší přesnosti 2 8 48 bychom dosáhli tím, že bychom sečetli více členů řady. ■ Derivace funkce se využívá k především určení vlastností funkcí (viz Kapitola 3). Dále lze derivaci funkce využít k přibližnému určení růstu funkce - diferenciálu funkce. V následujících kapitolách se zaměříme na ekonomické aplikace derivace funkce. Jak již bylo zmíněno, v ekonomii používáme derivaci k výpočtu všech veličin s přívlastkem mezní {marginální), jakou jsou například mezní příjmy, mezní náklady, z celkových veličin, viz např. Fuchs a Tuleja (2004), Mezník (2011) nebo Holman (2011). Závisí-li nějaká veličina na čase, například kapitál, pak derivací kapitálu podle času získáme jeho tok (či intenzitu). Dalším významným ekonomickým užitím derivace je problém optimalizace, tedy nalezení maxima (například maxima zisku), nebo minima (např. minima nákladů) jisté účelové funkce. V dalším textu bude preferováno značení ekonomických funkcí a veličin dle publikace Mezník (2011), tedy celkový příjem bude označován jako TR (z anglického Total Revenue), apod. K zopakování ekonomických pojmů lze doporučit všechny výše zmíněné publikace. 2.7 Elasticita funkce Mějme funkci y = f(x). Nyní nás bude zajímat, jak změna proměnné x ovlivňuje změnu Ax proměnné y. Zavedeme poměrnou (proporcionální) změnu veličiny x: — a poměrnou x (proporcionální) změnu veličiny y: —. y Podíl poměrných změn definovaný následovně: 48 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii v x Ay , T~ =--- (2.4) Ax y Ax X se nazývá průměrná poměrná změna y. Nyní provedeme ve výrazu (2.4) limitní proces Ax —>■ 0, a dostaneme elasticitu funkce: x Ay x dy x , E(x)=hm-— = -— = -y (2.5) A*^0 y Ax y ax y Elasticita funkce udává přibližnou procentní změnu y odpovídající jednotkové procentní změně x (Mezník, 2011). Kladná změna znamená růst, záporná pokles. RESENA ÚLOHA 2.10 Určete elasticitu funkce y = x2 v bodě x = 3. Řešení: Nejprve vypočteme hodnotu y: y = 32 = 9, a pak derivaci funkce y v bodě x = 3: /(3) = 2-3 = 6. 3 Nyní už dosadíme do vztahu (2.5) pro elasticitu funkce: E(3) = — -6 = 2. Výsledek interpretujeme takto: vzroste-li x o 1 % (z hodnoty x = 3), vzroste y o 2 %. 2.8 Cenová elasticita poptávky a nabídky Elasticitu funkce zavedenou v předchozí kapitole můžeme aplikovat ke zkoumání cenové elasticity poptávky nebo nabídky. Snížení nebo zvýšení ceny totiž vede ke změně poptávaného respektive nabízeného množství zboží. Nechť poptávané množství jistého zboží Q závisí na jeho ceně P. Cenovou elasticitu poptávky, krátce elasticita poptávky (price elasticity of demand) definujeme takto: E{P) = -L^Q (2.6) QdP J E(P) udává, o kolik procent se změní poptávané množství, jestliže se cena změní o 1 %. Znaménko mínus ve vztahu (2.6) se zavádí proto, aby výsledná elasticita byla kladné číslo. 49 Úvod do diferenciálního počtu funkce jedné reálné proměnné RESENA ÚLOHA 2.11 Je dána funkce poptávky Q(P) = 80 - 4P. Určete elasticitu poptávky obecně a pak v bodě P = 5. Řešení: P dO P 4P Použijeme vztah (2.6): E(P) =---— =---(-4) Pro hodnotu P = 5 dostáváme: E(5) Q dP 80-4P v ' 80-4P 4-5 20 1 80-4-5 60 3 Výsledek si přeložíme takto: když se při ceně P = 5 jednotek zvýší cena o 1 %, pak se poptávané množství sníží (množství se mění obráceně než cena) o 1/3 procenta. ■ Podle hodnoty elasticity poptávky při dané ceně i5 rozlišujeme poptávku: • elastickou, j e-li E(P) > 1, • jednotkově elastickou, je-li E(P) = \ , • neelastickou, je-li E(P) < 1. V příkladu výše se jednalo o poptávku neelastickou. Obecně platí, že s rostoucí cenou elasticita poptávky roste. Cenová elasticita nabídky, krátce elasticita nabídky (price elasticity of supplý) se definuje podobně jako cenová elasticita poptávky: E(P) = -*2, (2.7) QdP kde Q = S (P) je funkce nabídky. Protože funkce nabídky je rostoucí a P a Q jsou kladné, neobjevuje se ve vztahu (2.7) znaménko mínus. Nabídku dělíme na elastickou, jednotkově elastickou a neelastickou analogicky jako poptávku. Podobně platí, že s rostoucí cenou elasticita nabídky roste. ŘEŠENÁ ÚLOHA 2.12 Je dána nabídka Q = 0,5P2 +120 . Určete elasticitu nabídky obecně a pro i5 = 40. Dále ověřte (například náčrtkem), že funkcemi5) je rostoucí. Řešení: 50 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii Elasticitu nabídky vypočteme ze vztahu (2.7): Pro P = 40 dostáváme: £(40) = 2 = = 1,74. Q dP 0,5P2 +120 0,5PZ +120 402 _1600 0,5-402 +120 ~ 920 Při zvýšení ceny o 1 % (při ceně P = 40) se nabídka zvýší o 1,74 %. Náčrtkem nebo po- P2 mocí první derivace (viz Příklad 3.1) lze snadno ověřit, že funkce E(P) =---je 0,5P2 +120 rostoucí. ■ 2.9 Elasticita produkční funkce Elasticita produkční funkce y = f(x) je definována jako relativní změna produkce (y) ku relativní změně množství výrobního faktoru (x), a udává, o kolik procent se zvýší produkce, jestliže se množství výrobního faktoru změní o jedno procento: y Tento vztah je totožný se vztahem (2.5). ŘEŠENÁ ÚLOHA Je dána produkční funkce y = 3x2, určete elasticitu v bodě [10, 300]. Řešení: Nejprve vypočteme derivaci funkce: y'= 6x, dosadíme za x = 10: y(10) = 6 • 10 = 60 Poté dosadíme do (2.5): £(10,300) = 60- — = 2 . 300 Jestliže se tedy x zvětší o 1 % (z 10 na 10,1 jednotek), zvětší se y o 2 % (z 300 na 306 jednotek). ■ Podrobněji se budeme produkčními funkcemi zabývat v následující kapitole a v Kapitole číslo 4. 51 Úvod do diferenciálního počtu funkce jedné reálné proměnné 2.10 Produkční funkce, mezní a průměrný produkt práce Uvažujme produkci v krátkém časovém intervalu, kdy můžeme zanedbat změny kapitálu. Pak je produkce Q závislá pouze na práci L: Q = Q(L). Grafem produkční funkce je produkční křivka. Mezní produkt práce (marginal product oflabouf) MPl je derivace funkce produkce podle práce: MPL=^- = Q'(L) (2.8) dL Mezní produkt práce udává, jak se (přibližně) změní produkce při dané práci L, pokud se práce zvětší o 1 jednotku (jednoho pracovníka) na L + 1. ŘEŠENÁ ÚLOHA 2.14 Je dána produkce Q = 12L2 - L3. Určete mezní produkt práce MPl obecně a pro L = 2, respektive Z = 8. Řešení: MPL vypočteme ze vztahu (2.8): MPL =^- = 24L - 3L2. dL Nyní dosadíme! = 2: MPi(2) = 24-2-3-22 =48-12 = 36. Nyní dosadíme L = 8: MPL (8) = 24 • 8 - 3 • 82 = 192 -192 = 0 . Výsledek MPl = 36 interpretujeme tak, že při zvýšení práce z L = 2 o 1 jednotku na L = 3 se přibližně zvýší produkce o 36 jednotek. Výsledek MPl = 0 interpretujeme tak, že při zvýšení práce z L = 8 o 1 jednotku na L = 9 se produkce nezmění (zvýšení počtu pracovníků nevede k vyšší produkci). Funkce Q, MPl a APl jsou znázorněny v Obrázku 2.2. ■ 52 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii 012345678L Obr. 2.2. Na rozdíl od křivky elasticity, která je stále rostoucí, dochází u křivky produkce v jistém bodu k poklesu a MPl mění znaménko z kladného na záporné. Tato skutečnost se charakterizuj e jako zákon klesajících výnosů: Roste-li některý ze vstupů, budou přírůstky výstupu odjistého bodu klesat. Průměrný produkt práce APl (average product of labouf) se vypočte jako podíl produkce Q a práce Z: APL=£ (2.9) Lze ukázat, že v bodě maxima APl platí: APL=MPL (2.10) Vztah (2.10) se nazývá princip maximalizace průměrného produktu práce. V bodě maxima APl se tedy křivky MPl a APl protínají, viz též Obrázek 2.2. ŘEŠENÁ ÚLOHA 2.15 Dokažte platnost vztahu (2.10). Řešení: Derivujeme (2.9) jako podíl: APL'= 53 Úvod do diferenciálního počtu funkce jedné reálné proměnné Dále nechť AP, '= ®L' ® = O, což platí, pokud j e Q L - Q = 0 Ľ Poslední rovnici upravíme: Q L = Q Nyní si uvědomíme, že Q'=MPL a Q = APL - Q, a dosadíme: MPL-L = APL-L. Z posledního vztahu po zkrácení nenulovým výrazem L plyne požadovaná rovnost. ■ 2.11 Celkový, průměrný a mezní příjem, maximalizace príjmu Celkový příjem TR (total revenue)]e součinem množství Q a ceny za jednotku množství P: TR = Q-P (2.11) V podmínkách dokonalé konkurence je tržní cena i5 neměnná, v opačném případě j e funkcí poptávky, P = D(Q), a v tom případě je celkový příjem dán jako: TR = Q-D(Q) (2.12) Křivka celkového příjmu prochází počátkem, a pokud je funkce poptávky lineární, má tvar paraboly, kde vrchol paraboly je maximem celkového příjmu. ŘEŠENÁ ÚLOHA 2.16 Najděte maximum celkového příjmu, je-li dána poptávka D(Q) = 60 - 3Q . Řešení: Nejdříve vyjádříme celkový příjem: TR(Q) = (60 - 3Q) ■ Q = 60Q - 3Q2. Funkci TR derivujeme: = 60 - 60 . dQ V bodě extrému (v našem případě maxima) je první derivace rovna nula: 60 - 6Q = 0, odkud dostáváme = 10 . Celkový příjem tedy bude maximální (TR^ =300) pro množství Q = 10. ■ 54 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii Dále lze definovat další ekonomické veličiny následovně: Průměrný příjem AR (average revenue)]e podíl celkového příjmu a množství: AR=^- (2.13) Q Snadno lze ukázat, že průměrný příjem se rovná poptávce: Q Q Mezní příjem MR (marginal revenue)]e definován jako derivace celkového příjmu: MR-^Sl (2.14) dQ Mezní příjem vyjadřuje (přibližně), jak se změní celkový příjem, jestliže se množství Q změní o jednotku. RESENA ÚLOHA 2.17 Nechť celkový příjem je TR(Q) = -2Q2 + &0Q . Určete mezní příjem: a) obecně, b) pro Q = 10. Řešení: a) MR(Q) = dTRiQ) = -4Q + 80 dQ b) Mft(10) = 40. Výsledek úlohy b) můžeme interpretovat tak, že při zvýšení množství o 1 (z 10 na 11), se celkový příjem zvýší (přibližně) o 40 jednotek. Pro úplnost: přesné zvýšení celkového příjmu je 38 jednotek, neboť ZR(ll) = 638 a TR(\0) = 600. ■ ŘEŠENÁ ÚLOHA 2.18 Celkový příjem je TR(Q) = -0,5Q2 + 25Q. Určete: a) průměrný a mezní příjem obecně, b) průměrný a mezní příjem pro 2=10, 55 Úvod do diferenciálního počtu funkce jedné reálné proměnné c) hodnotu Q, pro kterou je TR maximální. Řešení: a) ^(0=ííM = _o,5O + 25 dQ b) dosadíme 2=10: AR(\0) = -0,5 -10 + 25 = 20 M7?(10) = -10 + 25 = 15 c) TR'(Q) = -Q + 25, odkud snadno získáme maximum TR pro Q = 25. ■ 2.12Celkové, průměrné a mezní náklady, minimalizace nákladů Celkové náklady TC (total cost) jsou všechny náklady nutné pro realizaci Q jednotek. Celkové náklady lze rozložit na celkové variabilní náklady JVC {total variable cost) a fixní náklady FC (fixed cost): TC(Q) = TVC(Q) + FC Fixní náklady nezávisí na množství Q, zatímco variabilní náklady ano. Průměrné náklady AC (average cost) jsou podílem celkových nákladů a množství Q: AC{g)=EM-_EC+EC Q Q Q Průměrné náklady můžeme opět rozložit na průměrné fixní náklady (AFC) a průměrné variabilní náklady (AVC): Q Q Mezní náklady MC (marginal cost) jsou derivací celkových nákladů: dTC MC dQ Racionální chování firem předpokládá minimalizaci nákladů. Princip minimalizace průměrných nákladů se formuluje takto: V bodě minima průměrných nákladů je AC = MC 56 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii Obdobné tvrzení platí i pro průměrné variabilní náklady: V bodě minima průměrných variabilních nákladů je AVC = MC. ŘEŠENÁ ÚLOHA Jsou dány celkové náklady TC(Q) = 50 + 2Q - 5Q2 + Q3. Určete FC, TVC, AC,A VC, AFC aMC. Řešení: Fixní náklady jsou ta část funkce TC(Q) , která nezávisí na Q, tedy 50: FC = 50 . Zbylé náklady závisejí na Q, a jsou tedy variabilní (proměnlivé): TVC(Q) = 2Q- 5Q2 + Q3 TC(Q) 50 Průměrné celkové náklady jsou: AC(Q) = —^-J- = — + 2-5Q + Q2. Průměrné variabilní náklady: AVC(Q) = 2-5Q + Q2 Průměrné fixní náklady: AFC(Q) = ^ . Mezní náklady: MC(Q) = 2-\0Q + 3Q2. Můžeme si všimnout, že průměrné fixní náklady se s rostoucím množstvím Q zmenšují (v limitě k nule). Funkce TC a TVC bývají v ekonomii obvykle kubické a AFC má tvar hyperboly, křivka MC protíná křivky AC a AVC v jejich minimech (viz např. Obr. 2.2). ■ RESENA ÚLOHA 2.20 Jsou dány celkové náklady tc(q) = 54 - 6Q + q3. Minimalizujte průměrné náklady. Řešení: Vyjádříme průměrné náklady: ac(q) = = 5a~6q + q =^1_6 + q\ 57 Úvod do diferenciálního počtu funkce jedné reálné proměnné 54 K určení minima funkci AC derivujeme: AC\Q) =---+2Q, a najdeme nulové body Q 54 54 první derivace (body podezřelé z extrému): AC\Q) =--- + 2Q = 0 , odkud je —- = 2Q a Q Q nakonec Q = 3 . Pro Q = 3 jsou průměrné náklady AC minimální a rovny 21. ■ ŘEŠENÁ ÚLOHA 2.21 Ověřte, že pro celkové náklady z předchozího příkladu platí princip minimalizace průměrných nákladů. Řešení: Máme ověřit, že v bodě minima průměrných nákladů je A C = MC. 54 Vyjádříme AC a dosadíme Q = 3: AC(3) = — -6 + 32 =30. Vypočteme mezní náklady: MC(Q) = -6 + 3Q2 A dosadíme doMCzag = 3: MC(3) = -6 + 3-32 =30. Platí tedy, že AC = MC. ■ 2.13Zisk, maximalizace zisku ZiskPR (profit) se vypočte jako rozdíl celkového příjmu a celkových nákladů: PR(Q) = TR(Q)-TC(Q) Bod, v němž se vyrovnají celkové příjmy a celkové náklady (a zisk je tedy nulový), se nazývají body zvratu. Geometricky lze najít body zvratu jako průsečíky křivek TR a TC, výpočtem pak jako řešení rovnice: PR = TR-TC = 0 Racionálním chováním firem je maximalizovat zisk. Maximální zisk lze určit z funkce PR(Q) pomocí první (druhé) derivace, nebo pomocí principu maximalizace zisku: V bodě maxima zisku je MR = MC. 58 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii V maximu tedy platí, že mezní příjem je roven mezním nákladům. RESENA ÚLOHA 2.22 Jsou dány celkové náklady TC(Q) = Q2+5Q + 4 a celkové příjmy TR(Q) = 45Q -Q2. Určete: a) maximum zisku, b) ověřte, že v bodě maxima je MR = MC. Řešení: a) Vyjádříme funkci zisku: PR(Q) = TR{Q) -TC(Q) = 45Q-Q2-(Q2+5Q + 4) = -2Q2+40Q-4. Pomocí první derivace najdeme „bod podezřelý z extrému": PR'(Q) = -4Q + 40 = 0, odkud dostáváme Q= 10. Pomocí druhé derivace (která vyjde záporně) ověříme, že se jedná skutečně o maximum. Maximální zisk má hodnotu: PR(\0) = 196. b) Vypočteme mezní příjem a mezní náklady: MR(Q) = 45 - 2Q, MC(Q) = 2Q + 5. Nyní do obou mezních veličin dosadíme Q= 10: M7?(10) = 45-20 = 25 MC(0 = 20 +5 = 25 Tím jsme danou rovnost ověřili. ■ ŘEŠENÁ ÚLOHA 2.23 Určete maximální zisk firmy, jestliže celkové příjmy jsou popsány funkcí TR = 2000-40 a celkové náklady funkcí 77? = 100 + 0,2Q2. Řešení: Zisk firmy: PR(Q) = 77?(0 -TC(Q) = 200Q - 40 - (100 + 0,2Q2) = -0,2Q2 + 200Q -140 Nyní budeme hledat maximum této funkce pomocí první derivace: ^'(0 = -0,4g + 200. V maximu (minimu) je první derivace nulová: -0,4Q + 200 = 0, a tedy Q = 500. Pomocí druhé derivace, která je záporná (-0,4) ověříme, že se jedná skutečně o maximum. Firma dosáhne maximálního zisku, pokud vyrobí 500 ks daného výrobku, a tento zisk je 49 860 peněžních jednotek (například korun). ■ 59 Úvod do diferenciálního počtu funkce jedné reálné proměnné 2.14 Jiné úlohy na maximum a minimum funkce Maximum (minimum) funkce nemusíme hledat jen u ekonomických funkcí, ale také v mnoha situacích z „běžného života". Dva takové problémy jsou řešeny níže. ŘEŠENÁ ÚLOHA 2.24 Zahrádkář má k dispozici 120 metrů pletiva a chce oplotit pozemek ve tvaru obdélníka (případně čtverce) tak, aby měl maximální rozlohu. Najděte tvar pozemku tak, aby měl maximální plochu. Řešení: Obvod pozemku je 120 m. Označme jednu stranu (délku) pozemku x a druhou stranu (šířku) y. Obdélník má tedy obvod o = 120 = 2x + 2y, a odtud získáme y = 60 - x. Plocha S obdélníka: S = x-y = x-(60-x) = 60x-x2. Sje tedy funkcí x, maximum najdeme derivací S podle x: S'= 60 -2x . V maximuje první derivace nulová, a tedy x = 30 m. Pro .y dostáváme: y = 60 - x = 30 m. Pozemek bude mít maximální plochu, pokud bude čtvercový se stranou 30 m, a maximálni plocha bude 900 m2. Ještě bychom měli ověřit, že nalezený extrém je skutečně maximum. Vypočteme druhou derivaci S: S"= -2 < 0, a jde tedy opravdu o maximum. ■ ŘEŠENÁ ÚLOHA 2.25 Určete rozměry bazénu se čtvercovým dnem tak, aby plocha dláždění jeho stěn a dna byla minimální. Bazén má mít objem 64 m3. Řešení: Označme stranu bazénu jako x a jeho hloubku y. Objem bazénu F vypočteme jako plochu dna krát výšku (hloubku): V = S ■ v = x2 ■ y = 64. Plocha S k vydláždění zahrnuje 4 stěny (každá má plochu Sstgna =x-y) a dno (Sdno =x2): ,S' = 4x-^ + x2. Máme tedy najít minimum S za podmínky že x2 • y = 64 . 64 Vyjádříme_y ze vztahu pro V: y = — ,a dosadíme do S: x 60 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii S = 4x-^- + x2 = + x2. Nyní už můžeme derivovat S podle x: x x 256 „ -256 + 2x3 „ , , . „,. , , , , S =--— + 2x =---. První derivace S je rovna nula, když je roven nule čitatel: x x -256 + 2x3 =0, a odtud x = -37í28=5 ,04m. Pro hloubku bazénu y máme: 64 64 n rA n _ , „ . , , . . w , , v = —r = .-= 2,54 m. Pro overení, ze se edna o minimum, štaci ukázat, ze druha den- x2 ^/128 vace S je pro x = 5,04 kladná (zkuste si sami). 2.15 Užití derivace při optimalizaci (Metoda gradientního sestupu) Optimalizační algoritmy využívají metodu gradientního sestupu (angl. Gradient Descent Method) k nalezení lokálního minima funkce obvykle více proměnných v situacích, kdy nalezení minima (nebo maxima) je analyticky příliš obtížné nebo nemožné. Gradient (česky též spád) udává směr nejprudšího růstu dané funkce. Myšlenkou metody je posouvat se z výchozího bodu po krocích vždy v opačném směru gradientu funkce v daném bodě (při hledání lokálního minima, u lokálního maxima je tomu obráceně), protože to je směr nej strmějšího klesání její hodnoty. Jak metoda funguje je ukázáno v následující úloze. PRO ZÁJEMCE Mějme funkci /(x) = —xsinx, u níž chceme najít lokální minimum pomocí metody gradientního sestupu. Řešení: Funkci derivujeme: f'(x) = —sinx — xcosx. Graf dané funkce, její první a druhé derivace je znázorněn na Obrázku 2.3. Metoda gradientního sestupu nyní funguje takto: řekněme, že se nacházíme v bodě x = 6. V tomto bodě se lokální minimum nenachází. Hodnota f (6) = —6 ■ sm6 = —1,676. Nalezneme nové x pomocí vztahu: Xnové ~ %staré ~ (^0 (2-15) Tento vztah nás posune z bodu x = 6 do nového bodu, který bude blíže k lokálnímu minimu (z Obrázku 2.3 je vidět, že toto lokální minimum se nachází v bodě x = 8). Hodnota e udává délku posunu (kroku) a většinou se volí jako velmi malé kladné reálné číslo. Nechť e = 0,2. Pak ze vztahu (2.15) dostaneme: 61 Úvod do diferenciálního počtu funkce jedné reálné proměnné Xnové = Xstaré ~ £/'(*) = 6 - 0,2 [- sin(6) - 6 ■ cos(6)] = 7,09. Dostali jsme se do nového bodu x = 7,09, který je k lokálnímu minimu blíže než původní bod. Nyní můžeme celý proces (algoritmus) opakovat, dokud se nedostaneme do lokálního minima (důležité je, aby e bylo velmi malé, aby se nám nestalo, že lokální minimum „přeskočíme"). V lokálním minimu je první derivace dané funkce rovna nule, což znamená (viz vztah 2.15), že jakmile se algoritmus dostane do lokálního minima, už v něm také zůstane. 10 -10 '-1-1-1-'-1 0 2 4 6 8 10 x Obr. 2.3. Grafy funkce^íx) ajejích derivací. Zdroj: https://machinelearningmastery.com/appli- cations -of-derivative s/ SAMOSTATNÝ ÚKOL 1. Derivujte: a) y = 1 + x + x2 + x3 + x4 [/=l + 2x + 3x2 +4x3] b) j = 24x5-3x2+8x-4 [/=120x4-6x + 8] 62 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii .111 r '=-J_-A_J_i x2 x3 X d) y = Vx + Vx +yfx + ^= y/x 1111 [y=—j=+—?=+—p=+—p=] 2^ 3ífr 4^7 6^/x7 3 4 e) y = ^-2 JeJíž graf je na Obrázku 3.2. Tato funkce má minimum v bodě x = 0, ale v tomto bodě derivace neexistuje, neboť daná funkce má v x = 0 „hrot". 69 Průběh funkce Obr. 3.1. Graf funkce y = X3. Obr. 3.2. Graf funkce y= X Funkce je konvexní, jestliže tečna ke grafu funkce leží vždy pod grafem funkce. Příkladem může být funkce y = x2 (mnemotechnická pomůcka: x2 je konveXní). V opačném případě je funkce konkávni. 70 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii Nebo ještě jinak: konvexní funkce má tvar „údolí", zatímco konkávni tvar „kopce", viz Obr 3.3. Inflexní bod je bod, v němž se konkávnost mění v konvexnost nebo naopak, a tečna přechází zjedná strany grafu na druhou. DEFINICE- KONVEXNOST A KONKÁVNOST Nechť má funkce y = f(x) v každém bodě x z intervalu {a,ti) kladnou druhou derivaci, pak je na tomto intervalu konvexní. Nechť má funkce y = f (x) v každém bodě x z intervalu {a,ti) zápornou druhou derivaci, pak je na tomto intervalu konkávni. ▼ Obr. 3.3. Konkávni a konvexní funkce Můžeme si všimnout, že v okolí maxima je funkce konkávni, zatímco v okolí minima je funkce konvexní. Pomocí druhé derivace tedy můžeme rozhodnout, zda daný stacionární bod je maximem nebo minimem funkce: 71 Průběh funkce DEFINICE Nechť je v bodě x = a f\d) = 0 a navíc f"{a) > 0, pak je v x = a lokální minimum. Nechť je v bodě x = a f'(a) = 0 a navíc f"{a) < 0, pak je v x = a lokální maximum. Pokud je v bodě x = a f'{a) = 0 a navíc /"(a) = O, neumíme podle druhé derivace rozhodnout, zda se jedná o extrém nebo inflexní bod. RESENA ÚLOHA 3.1 H 0,5i52 +120 Dokažte, že cenová elasticitaE(P) = 2—je rostoucí funkce pro kladné hodnoty P. Řešení: 2P(0 5P2 +120)-P2 P Funkci derivuj eme j ako podíl: E'(P) = - A upravíme: E\P) (0,5P2+120) 240P (0,5P2 +120) Protože je P kladné (P je cena, a ta je vždy kladná), je \E'(P) kladné, což znamená, že funkce E(P)]e rostoucí na celém svém definičním oboru. ■ RESENA ÚLOHA 3.2 Určete extrémy funkce: a) y = x2 - 6x b) ^ = x3-4x2 c) y = ex+\ d) j = 501nJC-5jc + 40 e) y = 120x-4a/x 72 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii f) y = x6 -12x4 g) y - x2 \nx Řešení: a) Funkci derivujeme: y'= 2x-6. Najdeme nulové body první derivace: y'= 2x - 6 = 0, a tedy x = 3. Pomocí druhé derivace ověříme, že se jedná o minimum: y"= 2 > 0 (neboť druhá derivace je kladná). b) Funkci derivujeme: y'= 3x2 - 8x = x(3x -8) . Najdeme nulové body první derivace: x1=0, x2 = 8/3 . Pomocí druhé derivace ověříme (zkuste si sami), že v bodě x1 = 0 je maximum a v bodě x2 = 8 / 3 minimum dané funkce. c) Funkci derivujeme: y'=ex. Nulové body první derivace však neexistují (ex je vždy kladné), a proto daná funkce nemá žádný extrém. d) Funkci derivujeme: y'= — -5. První derivace v bodě extrému je rovna nule: x 0 = —-5, odkud postupně dostaneme — = 5 a 5x = 50, řešením je x = 10. Pomocí x x druhé derivace rozhodneme o povaze tohoto „podezřelého" bodu: y"= a po dosazení x za x = 10 dostáváme y"=—— = -0,5. Protože je druhá derivace záporná, nachází se 100 v bodě x = 10 maximum zadané funkce. 2 2 e) Funkci derivujeme: y = 120—j=. Položíme první derivaci rovnu nule: 0 = 120—1=, ■yjX ■yjX . Po úpravě máme: 120 = —j=, a tedy \20«Jx = 2, a po zkrácení dvěma obdržíme 60Vx =1 -Jx , a následně -Jx = — . Nakonec umocníme na druhou a získáme nulový bod (stacionární 60 1 1 bod) x =-. O povaze tohoto bodu rozhodneme pomocí druhé derivace: v = —;=, 3600 Vx7 která je kladná pro všechna x > 0 (včetně x = —-—). Stacionární bod x = —-— je tedy 3600 3600 minimem zadané funkce. 73 Průběh funkce f) Funkci derivujeme: y=6x5-48x3. První derivace v bodě extrému je rovna nule: 0 = 6x5 - 48x3, odkud úpravou dostaneme: 0 = 6x3(l-8x2). Nulové body jsou: x1 = —s/Š, x2 = 0, x3 = VŠ. O charakteru extrému rozhodneme v daných bodech pomocí druhé derivace y"= 30x4 -144x2: y"(—JŠ) = 768, v tomto bodě se tedy nachází lokální minimum. y"(0) = 0, nelze rozhodnout. y"(yf%) = 768 , v tomto bodě se nachází lokální minimum. Podle druhé derivace nedokážeme rozhodnout o charakteru bodu x2 = 0, neboť i druhá derivace je v tomto bodě rovna nule. Užitím vyšších derivací se však dá ukázat, že se v to-moto bodě nachází lokální maximum. 2x ln x - x (lnx)2 g) První derivace je: y'= —---2—. Najdeme body, pro něž je první derivace nulová: 2x ln x - x (lnx)2 0 = —---—, a tedy čitatel musí být roven 0: 2x ln x - x = 0 V poslední rovnici vytkneme x: x(2 ln x -1) = 0. Odtud plyne, že jedním kořenem (řešením) je bod xl = 0, a další kořen získáme jako nulový bod závorky (2 ln x -1) . Nechť tedy 2 ln x -1 = 0 . Na levé straně osamostatníme logaritmus: ln x = . Z poslední rovnice plyne, že x = ein, což je druhý bod podezřelý z extrému. Znaménkovou metodou rozhodneme o charakteru obou stacionárních bodů (nakreslete si obrázek). Z ní plyne, že xl=0 je lokálním maximem, zatímco bod x2 = e112 je lokálním minimem. ■ 74 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii ŘEŠENÁ ÚLOHA 3.3 Určete hodnotu práce L, pro kterou dosahuje funkce produkce Q = \2L2 -L3 svého maxima. Řešení: V maximu funkce platí, že první derivace je nulová. Danou produkční funkci derivujeme: Q'= 24L-3L2 A položíme rovnu nule: 24L-3L2 =3Z(8-Z) = 0 Odtud máme dva nulové body první derivace (body podezřelé z extrému): L1=0 a L2 = 8 . Pomocí druhé derivace (Q"=24-6L) ověříme, že bod Z = 0 je bodem minima produkční funkce (protože (7'(0) = 24 > 0), zatímco druhý bod L = 8 je bodem maxima (protože g'(8) = -24<0). Pro L = 8 dosáhne produkce svého maxima Q = 256 jednotek. ■ 3.2 Asymptoty funkce Asymptotami funkce y = f (x) nazýváme přímky, pro které platí, že jejich vzdálenost od grafu funkce se pro x jdoucí do nekonečna blíží nule. Představu o asymptotách si můžeme vytvořit na příkladu grafu funkce y = —. Vidíme, že hodnoty této funkce se v nekonečnu x blíží k ose x, která je tedy vodorovnou asymptotou dané funkce, a zároveň pro x jdoucí k nule se hodnoty funkce blíží do plus (mínus) nekonečna, a tedy osa_y je svislou asymptotou. Asymptoty existují svislé, vodorovné a šikmé. Svislou asymptotu určíme z definičního x oboru. Je-li daná funkce například y =-, pak x ^ 1 a právě přímka x = 1 je svislou x-1 asymptotou dané funkce. Vodorovnou asymptotu lze považovat za speciální případ šikmé asymptoty (směrnice je nulová). Šikmá asymptota má obecnou rovnici stejnou jako lineární funkce (je to přímka!), tedy y = ax + b . Koeficienty a a b se vypočtou pomocí následujících limit: 75 Průběh funkce a = lim /(*) , resp. a = lim /(*) (3.1) x x \f(x) - ax] , resp. b = lim f/(x) - axl (3.2) Výpočet asymptot funkce je ilustrován v následující kapitole věnované průběhu funkce. 3.3 Postup při určování průběhu funkce Při určování průběhu funkce obvykle postupujeme podle následující osnovy: 1. D(f), sudost, lichost, periodičnost. 2. Limity (jednostranné) v bodech nespojitosti a v nevlastních bodech. 3. Průsečíky s osami x a y, znaménka funkčních hodnot. 4. První derivace, její nulové body. 5. Lokální extrémy a intervaly monotónnosti. 6. Druhá derivace a její nulové body. 7. Inflexní body, konkávnost, konvexnost. 8. Asymptoty. 9. Omezenost funkce, H(f). 10. Graf funkce. Vyšetřování průběhu funkce si ukážeme na následujících příkladech. ŘEŠENÁ ÚLOHA 3.4 Určete průběh funkce/ y = x3 - 6x2 + 9x . Řešení: 1. Protože/je mocninná, je D(f) = R. (Připomínáme, že definiční obor není roven R jen u funkcí obsahujících neznámou ve jmenovateli, pod odmocninou, v logaritmu, a u funkcí arcsin a arccos. Daná funkce nepatří do žádné zmíněné kategorie). Ověříme sudost funkce: musí platit rovnost f(x) = f (-x) pro všechna x z definičního oboru, a tedy: 76 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii x3 - 6x2 +9x = (-x)3 - 6(-x2) + 9(-x), což upravíme takto: x3 - 6x2 + 9x = -x3 - 6x2 - 9x. Vidíme, že pravá strana se nerovná levé (nejsou stejná znaménka), funkce sudá není. Podobně ověříme lichost funkce: musí platit f(x) = -f(-x) pro všechna x z definičního oboru, což znamená, že všechny členy na levé a pravé straně rovnice musí mít opačné znaménko. Využijeme výsledek z předešlého odstavce: x3 - 6x2 + 9x = -x3 - 6x2 - 9x. Clen u 6x nemá opačné znaménko, proto funkce není lichá. Periodická funkce/není, periodické jsou pouze goniometrické funkce. 2. Body nespojitosti funkce nemá, proto spočteme limity pouze v nevlastních bodech, tedy v +QO: lim x3 - 6x2 + 9x = +co , lim x3 - 6x2 + 9x = -co X—>+GO X—>-GO Při výpočtu těchto limit jsme využili faktu, že o výsledku rozhodne nej větší člen, tedy x3, který pro x rostoucí do plus nekonečna roste rovněž do plus nekonečna, zatímco u druhé limity pro x jdoucí do mínus nekonečna je x3 záporné. 3. Průsečíky grafu funkce s osami x ay určujeme tak, že nejprve položíme x = 0, a dopočítáme z předpisu funkce y (tím určíme průsečík s osou .y), a pak položíme^ = 0 a dopočítáme x (průsečík s osou x): x = 0: dosazením vyjde okamžitě y = 0. Máme tedy první průsečík P\ [0,0]. Graf funkce prochází počátkem soustavy souřadnic. y = 0: dosazením získáme rovnici třetího stupně 0 = x3 -6x2 +9x , kterou musíme vyřešit. Nejprve vytkneme x a upravíme: 0 = x(x2 - 6x + 9) = x(x -3)2 Z posledního tvaru rovnice obdržíme kořeny: x1 = 0 a x23 = 3 . Našli jsme tedy průsečíky s osou x: Pi [0,0] a P3 [3,0]. Avšak průsečíky P\ a Pi splývají. Máme tedy jen dva různé průsečíky. Jak uvidíme vzápětí, bod P3 [3,0] nebude průsečíkem, ale pouze dotykovým bodem grafu funkce a osy x. Ještě musíme určit znaménka funkčních hodnot pro zadanou funkci: nulové body x = 0 a x = 3 naneseme na číselnou osu, která se tím rozdělí na tři intervaly. Z každého intervalu vybereme jedno libovolné číslo, pomocí kterého zjistíme znaménko dané funkce: 77 Průběh funkce V intervalu (-00,0) vybereme například x = -10, dosadíme do předpisu funkce y = x3 - 6x2 + 9x = x(x - 3)2 a vyjde záporná hodnota (-1690). Nad interval (-00,0) napíšeme znaménko U intervalů (0, 3) a (3,00) zjistíme znaménko "+". Můžeme tak učinit závěr, že pro kladná x nabývá daná funkce kladných hodnot, pro záporná x je funkce záporná a prox = Oje rovněž = 0. Proto musí být bod P3 [3,0] dotykový bod, a ne průsečík. 4. První derivace funkcef. y'= 3x2 - 12x + 9. Nulové body první derivace, což jsou „body podezřelé z extrému", najdeme řešením kvadratické rovnice 0 = 3x2 -\2x + 9: x: = 1 ax2=3 (řešíme pomocí diskriminantu nebo rozkladem na součin kořenových činitelů: 0 = 3x2 - \2x + 9 = 3(x-l)(x-3) . 5. Body x1 = 1 a x2 = 3 naneseme na číselnou osu, čímž získáme tři intervaly (bez nulových bodů): (-oo,l), (1,3) a (3,00), viz Obr. 3.4. Nyní rozhodneme o znaménku první derivace v každém intervalu tak, že zvolíme libovolné číslo z daného intervalu a dosadíme ho do 1. derivace. Postupně obdržíme znaménka "+" "-" a "+". Víme, že pokud je první derivace v nějakém intervalu kladná, pak je daná funkce na tomto intervalu rostoucí. Proto nad intervaly se znaménkem "+" načrtneme šipku směrem vzhůru. Obdobně nad intervaly se znaménkem "-" načrtneme šipku směrem dolů, což symbolizuje, že daná funkce na tomto intervalu klesá, viz Obr. 3.4. 1 3 Obr. 3.4. Znaménka první derivace. Z „šipkového" schématu okamžitě vidíme, že v bodě x = 1 má funkce maximum, zatímco v bodě x = 3 je minimum. Další extrémy funkce nemá. Pro monotónnost platí: Pro x g (1,3) je funkce klesající, Pro x g (-oo,l) u (1,00) je funkce rostoucí. 6. Druhá derivace: y'= 6x-12, nulový bod druhé derivace: x = 2 . 78 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii 7. Nulový bod druhé derivace, tedy x = 2, můře být inflexním bodem dané funkce, pokud se v něm mění konvexnost na konkávnost nebo obráceně. To ověříme pomocí znaménka druhé derivace: na číselné ose opět vyznačíme nulový bod x = 2, čímž dostaneme dva intervaly: (-oo,2) a (2,oo), viz Obr. 3.5. V prvním intervalu zvolíme například x = 0, druhá derivace vyjde záporná (-12). Nad interval zapíšeme U druhého intervalu zvolíme například x = 10 , druhá derivace vyjde kladná (+48). Nad interval zapíšeme "+". Protože v bodě x = 2 se mění znaménko druhé derivace, je tento bod inflexním bodem. V intervalu (-oo,2) je funkce konkávni, v intervalu (2,oo) konvexní (podívejte se na graf této funkce níže!). Obr. 3.5. Znaménka druhé derivace. 8. Asymptoty: Svislou asymptotu určíme z definičního oboru: protože D(/) = R, svislá asymptota neexistuje. Šikmou asymptotu vypočteme ze vztahů (3.1) a (3.2). Protože je daná funkce spojitá, stačí vypočítat limity do plus nekonečna. V našem případě obdržíme: f(x) ,. x3-6x2+9x ,. t , „ \ a = lim = lim-= lim [x -6x + 9) = +oo . x—>+CO J£ x—>±CO J£ x—>±co \ ' Pokud nám vyjde koeficient a nebo b nekonečný, znamená to, že šikmá asymptota neexistuje. Koeficient b už nemusíme počítat. 9. Funkce není omezená, a H(f) = R. 10. Graf viz Obrázek 3.6. ■ Poznámka: graf funkce je lepší kreslit průběžně. Vždy, když o funkci něco zjistíme (například polohu lokálního maxima), je vhodné si tento fakt zakreslit do grafu, neboť tak získáme lepší představu o dané funkci již během určování průběhu funkce. 79 Průběh funkce Obr. 3.6. Graf funkce y = x3 - 6x2 + 9x . ŘEŠENÁ ÚLOHA 3.5 Určete průběh funkce y =-. x-1 Řešení: 1. Začneme definičním oborem: jsou to všechna reálná čísla bez 1 (nulový bod jmenovatele), což zapíšeme D(f) e 7?-{l}, nebo jednoduše x ^ 1. Ověříme sudost: /(x) = /(-x) 2 2 X X -*- x-1 -x-1 Funkce tedy sudá není. Ověříme lichost: f(x) = -f(-x) x2 x2 --- x-1 -x-1 Funkce není ani lichá. Dále funkce není periodická, neboť periodické jsou pouze goniometrické funkce. 2. Vypočteme limitu v bodě nespojitosti, a to limitu zleva i zprava: 80 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii 2 2 x X lim-= +oo , lim-= -oo x-\ x^1- x-\ Vypočteme limity v nevlastních bodech: 2 2 X X lim-= +oo , lim-= -oo X_>.+Oo X — \ í->-°° X — 1 3. Průsečíky funkce s osami xay: Průsečík s osou .y najdeme tak, že položíme x = 0: y- O2 0-1 2 x Průsečík s osou x najdeme tak, že položíme y = 0: O =-, a tedy x = 0. jc — 1 Oba průsečíky splývají, funkce prochází počátkem soustavy souřadnic. Kladnost/zápornost funkce: ze zadání je zřejmé, že pokud zvolíme x>l, bude funkce kladná, a pro x < 1 záporná. 4. První derivace: ,_ J_ _ 2x-(x-l)-x2-l _ x2-2x y=x-l= (x_i)2 =(x_i)2 Nulové body první derivace: x2 -2x y'=-- = 0 pro xl = 0 a x2 = 2. Tyto body j sou stacionární (podezřelé z extrému). (x-1) 5. K určení, o jaké body jde, nám pomůže monotónnost (nebo 2. derivace, viz další bod postupu). Vyneseme oba body x1=0 a x2 = 2 na číselnou osu a určíme monotónnost první derivace v každém ze tří intervalů. Vybereme libovolné číslo z pravého intervalu, například 10, a dosadíme ho do první derivace. Vyjde číslo kladné (80/81), nad interval nakreslíme „+". Podobně určíme další dvě znaménka. Nad interval se znaménkem „+" nakreslíme šipku nahoru, která znázorňuje, že zde funkce roste. Nad interval se znaménkem „-" nakreslíme šipku dolů, která znázorňuje, že zde funkce klesá. Nyní je už jasné, že v bodě x1=0 je maximum, protože do tohoto bodu funkce roste. Podobně v bodě x2 = 2 je minimum. Monotónnost funkce: Pro x g (-oo,O) oi(2,oo) je funkce rostoucí, 81 Průběh funkce Pro xg (0,l)o>(l,2) je funkce klesající. 6. Druhá derivace: (2jc-2)-(jc-1)2-(jc2-2jc)-2-(jc-1) 2 y 7. Nulový bod druhé derivace: x = 1. Pro x g je funkce konkávni, Pro x g (l, 00) je funkce konvexní. Funkce nemá inflexní bod (bod x = 1 je bodem nespojitosti funkce). 8. Svislou asymptotu určíme z definičního oboru: protože x ^ 1, dostáváme svislou asymptotu x = 1. Šikmou asymptotu vypočteme ze vztahů (3.1) a (3.2): 1- f(X) 1- x-l 1- x a = hm = lim = lim •(x-l) b = lim [/(x) - ax] = lim x x-l x 2 2 x - x + x lim ■ ;—>+co JC-1 lim- Šikmá asymptota má tedy rovnici y = x + \. 9. Obor hodnot: H{f) = (- 00, o) u (4,00) 10. Graf funkce je na Obrázku 3.7. 82 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii y + 6 5 4 3 2 1 x-1 Obr. 3.7. Graf funkce y- X X-l RESENA ÚLOHA 3.6 Určete průběh funkce y ■ x Řešení: 1. Definiční obor: protože ve jmenovateli nemůže být 0 pro žádné x, ]eD(f) = R. x Sudost a lichost: f(x)= — , f (-x): —. Odtud vidíme, že oba výrazy si nejsou rovny ani se neliší o znaménko, proto daná funkce není ani lichá, ani sudá. Periodičnost: periodické jsou pouze goniometrické funkce. 2. Body nespojitosti nejsou, limity funkce v nevlastních bodech: x2 lim — = 0 (protože jmenovatel roste rychleji než čitatel, také je možné použít ĽHospita-lovo pravidlo) x2 lim — = +oo (protože pro záporná x se člen ď posune do čitatele a jeho hodnota roste do X-»-CO 0X nekonečna) 83 Průběh funkce 3. Průsečíky: x = 0:y = O^Pi [0,0]. y = 0:x = 0^P2 [0,0]. Oba průsečíky splývají. Jak uvidíme dále, tento průsečík je ve skutečnosti pouze dotykovým bodem osy x. Znaménka funkčních hodnot: protože x2 i ď jsou pro všechna x kromě 0 kladné, je i daná funkce všude kladná s výjimkou x = 0, kde je rovna 0. Tento výjimečný bod je zmíněným dotykovým bodem P. Graf funkce tedy bude ležet všude nad (na) osou x. 4. První derivace (derivujeme jako podíl): , 2x - x2 x(2 - x) y =-= — ex ex Nulové body první derivace: zlomek je roven nule, když je čitatel roven nule, a tedy: x(2-x) = 0 Odtud x1 = 0 a x2 = 2. 5. Vyneseme „podezřelé" body x1 = 0 a x2 = 2 na číselnou osu (nakreslete si!) a znaménkovou metodou zjistíme monotónnost: Funkce je rostoucí pro x e(0,2) Funkce je klesající pro xe(-oo,0)o>(2,oo). Z monotónnosti (nakreslete si šipky) odvodíme extrémy: 4 Maximum: 2 v x2 -4x + 2 Minimum: [0,0] 6. Druhá derivace: y- e Nulové body druhé derivace vypočteme z rovnice x2 - 4x + 2 = 0 (čitatel zlomku musí být 0): xl =2-V2 a xl =2 + y/2 . 84 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii 7. Vyneseme oba body xl = 2-\Í2 a xl = 2 + \[l na číselnou osu (nakreslete si!) a znaménkovou metodou rozhodneme o kladnosti (zde je funkce konvexní) respektive zápornosti (zde je funkce konkávni) druhé derivace: Konvexní je funkce pro x g ^-co,2-V2Jo^2 + V2, co j Konkávni pro x g Body xx=2- y/Ť. ai,=2 + yfŤ. j sou inflexní body. 8. Asymptoty: svislá asymptota neexistuje, šikmá asymptota: X % x % a = lim — = lim — = 0 resp. a = lim — = lim — = +co X—>+cO "V* X—>+cO , x—>-co v* x—>-CO i ô = lim — -Ox 0, resp. b = lim --Ox +00 Nekonečné hodnoty však nemají smysl, proto máme a = b = 0. Rovnice (vodorovné) asymptoty tedy je: y = 0. Asymptotou je tedy osa x (v kladném směru). 9. Funkce je omezená zdola, H(f) = (O, co). 10. Graf funkce viz Obrázek 3.8. 85 Průběh funkce -3 -2 -1 O 1 2 3 4 x x2 Obr. 3.8. Graf funkce y = —. ex 3.4 Ekonomické aplikace: extrémy funkce příjmů, nákladů a zisku Znalost průběhu funkce (produkční, příjmů, nákladů, zisku, apod.) je v ekonomii užitečná při hledání maxima produkce, příjmů a zisku, nebo naopak k určení minima nákladů. Zvláštností ekonomických funkcí je, že ekonomické veličiny, jako je například cena, práce, kapitál, množství apod., obvykle nemohou být záporné, a proto se vyšetřování průběhu funkce omezuje pouze na první kvadrant soustavy souřadnic. V dalším výkladu se zaměříme pouze na vyšetřování nej důležitěj ších vlastností ekonomických funkcí: extrémů a monotónnosti, a to pomocí první (druhé) derivace. Samozřejmě by bylo možné určit i zbývající vlastnosti, ale ty již většinou nemají ekonomický význam. Je vhodné nakreslit si k dané ekonomické funkci její graf, neboť z grafu jsou okamžitě patrné její vlastnosti. ŘEŠENÁ ÚLOHA 3.7 Je dána produkční funkce Q = 6Ĺ2 -4L3. Určete její extrémy a monotónnost, funkci načrtněte. Nezapomeňte, že u ekonomických funkcí předpokládáme, že hodnoty Q i Z, jsou nezáporné. 86 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii Řešení: Funkci derivujeme: Q'=\2L - \2L2 Najdeme nulové body první derivace: Q'= 12L -12Ĺ2 = 0 . To j sou hodnoty L = 0 a L = 1. Pomocí znaménkové metody (nebo pomocí druhé derivace) zjistíme povahu těchto podezřelých bodů: v bodě L = 0 je minimum a v bodě L = 1 je maximum. Funkce Q = 6Ĺ2 -4L3 má ovšem ještě jedno minimum, a to v bodě L = 1,5, který je krajním bodem definičního oboru! Funkce je rostoucí pro x g (0,1) a klesající pro x g (l,oo). Graf funkce viz Obrázek 3.9. ■ ŘEŠENÁ ÚLOHA 3.8 Je dána funkce nákladů TC(Q) = 2Q3 - 6Q2 + 30Q + 5. Určete Q, pro které j sou mezní náklady MC(Q) minimální. Načrtněte průběh funkceMC(Q). Řešení: Vypočteme mezní náklady jako první derivaci celkových nákladů: MC(Q) = 6Q2 -12Q + 30. 87 Průběh funkce Mezní náklady derivujeme a položíme rovny nule: MC'(Q) = 12(9 -12 = 0, odkud získáme nulový bod Q = 1. V tomto bodě je minimum mezních nákladů (MC = 24). Grafem mezních nákladů je parabola s vrcholem v bodě [1,24]. ■ ŘEŠENÁ ÚLOHA Je dána funkce celkových příjmů PR(Q) = -2QA + 400Q2. Určete maximum této funkce. Řešení: Funkci derivujeme a položíme rovnu nule: PR'(Q) = -8g3 +800g = -%Q{Q2 -100) = 0. Obdržíme tři kořeny: Q\ = 0, Qi = -10, Q3 = 10. Pouze třetí kořen má ekonomický smysl. Znaménkovou metodou nebo pomocí druhé derivace (PR" (10) = -1600) zjistíme, že v bodě Q= 10 nastává maximum. ■ ŘEŠENÁ ÚLOHA 3.10 (Dowling, 2012). Je dána funkce celkových příjmů (revenue) R = 4000g -33Q2 a funkce celkových nákladů (cost) C = 2Q3 - 3Q2 + 400Q + 5000. Určete maximum funkce zisku (profit) n = R-C. Řešení: Funkce zisku má tvar: ic = (4000g -33Q2) - (2Q3 -3Q2 + 400Q + 5000) = -2Q3 -30Q2 + 3600g - 5000 Funkci zisku derivujeme a položíme rovnu nule: 7r'=-6Q2 -60Q + 3600 = 0 Tato kvadratická rovnice má dva kořeny: Ql=-30 a Q2 = 20 . Záporný kořen Ql =-30 však nemá ekonomický smysl, proto je řešením úlohy pouze Q2 =20. Maximálního zisku se tedy dosáhne při množství Q2 =20, a tento zisk je: tt(20) = -2 ■ 203 - 30 • 202 + 3600 • 20 - 5000 = 39000. ■ 88 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii SAMOSTATNÝ UKOL 1.) Vypočtěte první derivaci funkce a určete monotónnost funkce v zadaném bodě: a) /(x) = x2,/'(4) = ? [ f'(x) = 2x, /'(4) = 2-4 = 8, funkce j e v bodě x = 4 rostoucí] b) /(x) = 2x2-3x + l,/'(3) = ? [ f'{x) = 4x - 3, /'(3) = 4-3-3 = 9, funkce j e v bodě x = 4 rostoucí] c) /(*) = -,/'(-2) = ? x 4 [ /'(x) = —7, / (~2) = 1, funkce j e v bodě x = -2 rostoucí] x d) /(x) = 31nx + l,/'(-l) = ? 3 [/'(x) = —,/'(-1) = -3, funkcejevboděx = -l klesající] x 2. Určete lokální maxima a minima funkce: a) /(x) = x2-8x + 4 [minimum: x = 4] b) /(x) = -2x2+12x [maximum: x = 3] c) f(x) = x-ex [minimum: x = -1] d)/(x) (x + l)2 [maximum: x = 1] d) /(x) = x3+3x2+l [maximum: x = 0, minimum: x = 2] 3.) Určete průběh funkce: 89 Průběh funkce a) y = x4 - 2x2 [l.D(f) = R, sudá, 2. lim x4-2x2 =+oo; 3. průsečíky s osami: [0,0] a ,0 , funkce X-»±oo L J je kladná: x g (-oo,-V2~)u(>/2,oo), záporná: x g (-V2,o)^(o,V2~), 4./=4x3-4x, 5. max: [0,0],min: [-1,-1] a[1,-1],rostoucí: xg (-l,o)u(l,co),klesající: xg (-oo,-l)u(o,l) 6. y=12x2-4, 7. inflexní body x = ±J—, konvexní: x e -»-Vi 1 —,oo 3 J f konkávni: x e 8. asymptoty nejsou, 9. H (f) = (-1, oo), omezená zdola] 1 .s 1.11 1 \. ..... o.s -1.0 -o.s / -o.s -1.0 'N. n.s 1.0 h.s (je frorm -1.5 to 1.5) Cornputed by Wolfram |AI p h a b) y = x-ex [l.D(f) = R, ani sudá, ani lichá, 2. lim xex = +, lim xex =0,3. průsečíky s osami: [0,0], X—>+-CO funkce je kladná: x g (o, oo) , záporná: x g (-oo,o), 4.y'= (x + l)ex, 5. min: [-1,-1/e], maximum není, rostoucí: xg(-1,oo), klesající: xg(-oo,-1). 6. y"= (x + 2)ex , 7. inflexní body x = -2, konvexní: x g (- 2,oo), konkávni: x g (- oo,-2) , 8. vodorovná asymptota y = 0, 9. H (f) = (-1 /e, oo), omezená zdola]. 90 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii 25 j an 1 5 m i 5 j—i—i—i—........j—■—i— —^j"trj|_1_1_1_1_1_1_1_1_1_1_1_1_ 1.x frorn -3 to 3) -3-2-1 1 Z 3 Cornputed by Wolfram |AI p h a 4. Využijte znalosti průběhu funkce k načrtnutí grafu funkce y =—: x 0.15 0.10 0.05 _1—1—1—1—I—1—1—1—i—1—1_1__ -6 -4 -2 -0.05 -0.10 ■ -0.15 Cornputed by Wolfram|Alpha 5. Určete maximum celkových příjmů TR(Q) = -1400 + &0Q-Q2. [0 = 40] 6. Určete minimum celkových nákladů TC(Q) = 100 - 60Q + Q2 [2 = 30] 7. Určete maximum zisku PR(Q) = 100 + 64Q - 4Q2 [0 = 8] 8. Určete maximum zisku, je-li funkce celkového příjmu R = 600 + 100Q + 0,5Q2 a funkce celkových nákladů C = 200 + 2,5Q2. [Q = 25, tt = 1650] 91 Reálná funkce dvou reálných proměnných 4 REÁLNÁ FUNKCE DVOU REÁLNÝCH PROMĚNNÝCH RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Kapitola zavádí základní pojmy z oblasti diferenciálního počtu funkce dvou reálných proměnných, j ako j sou například parciální derivace. Obsahuje problematiku určení definičního oboru, mezního produktu práce a kapitálu, a mezního užitku. Dále obsahuje problematiku nalezení tečné roviny a normály k dané ploše. CÍLE KAPITOLY Cílem této kapitoly je, aby student získal následující dovednosti: • Určit definiční obor funkce dvou proměnných. • Určit první a druhé parciální derivace. • Použít totální diferenciál k výpočtu přírůstku funkce. • Určit mezní produkt kapitálu a práce, a mezní užitek. • Najít rovnici tečny a normály k dané ploše. KLÍČOVÁ SLOVA KAPITOLY Funkce dvou proměnných, definiční obor, parciální derivace, totální diferenciál, hes-sián. ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU 6-8 hodin 92 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii Dosud jsme se zabývali situacemi, kdy jedna veličina závisela pouze na jedné jiné veličině (y záviselo na x). V mnoha reálných situacích však jedna veličina může záviset na více veličinách. Například Cobb-Douglasova produkční funkce Q závisí na práci L a kapitálu K. Celkový zisk firmy (PR) závisí na celkovém příjmu (TR) a celkových nákladech (TC). Částka naspořená na účtu v bance závisí na výši vkladu, úrokové míře a počtu úrokovacích období, atd. My se omezíme pouze na problematiku funkcí dvou reálných proměnných. Teorie funkcí více než dvou proměnných je vybudována analogicky k teorii funkcí dvou proměnných. 4.1 Definiční obor funkcí dvou proměnných Definičním oborem funkce /(x, y) proměnných x ay rozumíme všechny uspořádané dvojice [x,j]g7?2, pro které má daná funkce smysl. Definiční obor obvykle znázorňujeme graficky v pravoúhlé soustavě souřadnic jako (vyšrafovanou) část roviny. Typickým funkcemi, u kterých je nutné určit definiční obor, jsou odmocniny, logaritmus, racionální lomené funkce, arcsin a arccos. Určování definičního oboru si ukážeme v následujících úlohách. ŘEŠENÁ ÚLOHA 4.1 Určete definiční obor funkce /(x,y) = -yjx + y-2 . Řešení: Definiční obor zadané funkce zjistíme z podmínky pro odmocninu: výraz pod odmocninou musí být nezáporný: x + y - 2 > 0 . Řešením této nerovnice o dvou neznámých je polorovina s hraniční přímkou x + y - 2 = 0 (rovnici přímky můžeme upravit na častěji používaný tvar y = -x+ 2). Načrtneme tuto přímku (viz Obr. 4.1). Přímka nám rozděluje rovinu na dvě poloroviny, z nichž jedna představuje definiční obor funkce, a druhá ne. Mezi oběma polorovinami se rozhodneme takto: zvolíme si libovolný bod, o kterém s jistotou víme, ve které polorovině se nachází. Můžeme použít například bod [0,0], který leží v „levé" polorovině. Dosadíme souřadnice zvoleného bodu do nerovnice x + y-2>0 a dostaneme -2 > 0, což j e nepravdivý výrok. Bod [0,0] nesplňuje podmínku x + y-2>0 pro definiční obor, leží proto v nesprávné polorovině. Definičním oborem je tedy „pravá" polorovina, kterou vyšrafu-jeme (v Obrázku 4.1 je tato polorovina znázorněna šedým stínováním). Díky znaménku 93 Reálná funkce dvou reálných proměnných „=" v podmínce x + y - 2 > 0 patří do definičního oboru i samotná hraniční přímka. Graficky příslušnost k definičnímu oboru vyznačíme tak, že přímku obtáhneme plnou čarou. Pokud by přímka do definičního oboru nepatřila, nakreslili bychom ji čarou přerušovanou. Obr. 4.1. ŘEŠENÁ ÚLOHA 4.2 Určete definiční obor funkce /(x, y) = yjx2 + y2 - 9 . Řešení: Podmínka nezápornosti výrazu pod odmocninou je: x2 + y2 -9 > 0. Řešením této nerovnice o dvou neznámých je část roviny ohraničená hraniční křivkou x2 + y2 -9 = 0. Touto křivkou je tentokrát kružnice se středem v bodě [0,0] a poloměrem r = 3. Tato kružnice nám vymezuje dvě části roviny: vnitřek kružnice a oblast vně kružnice. O tom, která z těchto oblastí je definičním oborem zadané funkce, opět rozhodneme pomocí jednoho vhodně zvoleného bodu. Tímto bodem může být opět bod [0,0], který leží uvnitř kružnice. Dosazením tohoto bodu do nerovnice x2 + y2 - 9 > 0 zjistíme, že -9 > 0, což není pravda, a tedy bod [0,0] neleží v definičním oboru dané funkce. Definičním oborem 94 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii je tedy oblast vně kružnice včetně samotné kružnice (díky znaménku „=" v nerovnici), viz Obr. 4.2. ■ Obr. 4.2. ŘEŠENÁ ÚLOHA 4.3 Určete definiční obor funkce /(x,y) = log(x2 - . Řešení: Pro výraz uvnitř logaritmu máme podmínku: x2 -y > 0 (logaritmus je definován jen pro kladné hodnoty). Hraniční křivka má rovnici x2 -y = 0, v níž po úpravě na tvar = x2 poznáme parabolu s vrcholem v počátku soustavy souřadnic. Tato parabola nám opět vymezuje v rovině dvě oblasti pro definiční obor („pod" a „nad" parabolou), mezi kterými musíme rozhodnout. Zvolíme například bod [0,l], který očividně leží nad parabolou a je tedy reprezentantem této oblasti. Bod [0,l] však nesplňuje nerovnost x2 -y > 0, a proto je definičním oborem dané funkce oblast „pod" parabolou. Samotnou parabolu obtáhneme přerušovanou čarou, neboť do definičního oboru nepatří (v podmínce x2 -y > 0 není obsažena rovnost). Výsledek viz Obr. 4.3. ■ 95 Reálná funkce dvou reálných proměnných Obr. 4.3. ŘEŠENÁ ÚLOHA 4.4 Určete definiční obor funkce /(x, y) = arcsin (x - y). Řešení: Pro výraz uvnitř funkce arcsinus máme podmínku: -1 Jx + y + yjx-y . Řešení: Z první odmocniny obdržíme podmínku x + y > 0, z druhé odmocniny podmínku x-y > 0. Obě podmínky vymezují v pravoúhlé soustavě souřadnic poloroviny s hraničními přímkami x + y = 0 a x-y = 0. První z obou přímekje osou 2. a 4. kvadrantu, druhá přímka je osou 1. a 3. kvadrantu. Opět zvolíme jeden vhodný bod a pomocí něj rozhodneme, která polorovina tvoří definiční obor. Protože definiční obor zadané funkce musí splňovat obě podmínky zároveň, je řešením ta část roviny, která je průnikem obou řešení (část roviny, v níž se nám obě šrafovaní překryjí). Výsledek je zobrazen na Obrázku 4.5. ■ 97 Reálná funkce dvou reálných proměnných Obr. 4.5. 4.2 Derivace funkce dvou proměnných Nechť funkce /(x, y) j e funkcí dvou proměnných xay. Derivaci funkce dvou proměnných podle jedné z nich nazýváme parciální derivace. Pro parciální derivace funkce f(x,y) podle x respektive y užíváme následující značení: ,;(*,,), // .respektive^, /;(,,,), // Definice parciálních derivací se zavádí obdobně jako derivace funkce jedné proměnné: />,jO=lim/(X + ^f-/(XA a*->o Ar fAx,y)=hm H*>y + M-Hx>y\ Při výpočtu parciální derivace podle x postupujeme tak, že y považujeme za konstantu (pouze ji opisujeme) a funkci f(x,y) derivujeme podle x. Při výpočtu parciální derivace podle y postupujeme přesně opačně. 98 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii RESENA ÚLOHA 4.6 Vypočtěte parciální derivace funkce /(x, y) = x2y + 2y3. Řešení: df(x,y) df(x,y) 2 2 Derivujeme nejprve podle x: —--- = 2xy a poté podley: —--- = x +6y . dx dy RESENA ÚLOHA 4.7 Vypočtěte parciální derivace funkce f(x, y) = x2ey + ln (xy). Řešení: - 2xey J— dx df(x,y) 2 , x —--- = x e -\— fy y Význam parciálních derivací spočívá vtom, že udávají změnu hodnoty funkce f(x,y) spojenou se změnou (pouze) proměnné x, respektive (pouze)y. Ekonomický význam parciální derivace pro Cobb-Douglasovu produkční funkci je ilustrován v Kapitole 4.5. PRO ZÁJEMCE Geometrický význam parciálních derivací je následující: Mějme funkci z = f(x,y) definovanou na množině M cÄ2. Každému bodu o souřadnicích [ij]ěM je tedy přiřazen bod z. Graf funkce z = f(x,y) je dvojrozměrný objekt, který si můžeme představit jako „krajinu" nad vodorovnou rovinou (viz Obr. 4.6). Souřadnice z má roli výšky nad touto rovinou. Při parciální derivaci podle x považujeme y za konstantu, což znamená, že vedeme (daným bodem y) svislý řez rovnoběžně s osou x, řezem získáme křivku závislosti z na x, a příslušná derivace udává sklon této křivky. Bu-deme-li měnit y, bude se samozřejmě tato křivka i její sklon změnit. Význam parciální derivace podle y je analogický. 99 Reálná funkce dvou reálných proměnných 4.3 Druhé derivace funkce dvou proměnných První derivace funkce dvou proměnných můžeme znovu derivovat (pokud jsou druhé derivace definovány). Druhé parciální derivace značíme takto: d2f Druhá derivace podle x: Druhá derivace podle y: ar dy2 Smíšena derivace: -respektive dxdy dydx d2f d2f U smíšené derivace nezáleží na pořadí derivovaní, platí tedy: dxdy dydx Výpočet druhých parciálních derivací si budeme ilustrovat v následujících úlohách. RESENA ÚLOHA 4.8 Vypočtěte druhé parciální derivace funkce /(x, y) = 2x3 - 6xy + 5 . Řešení: Nejprve vypočteme první derivace: ^- = 6x2-6y dx — = -6x dy A poté druhé derivace: = \2x —2~ = 0 -= ~" -= ~" dx2 fy dxdy dydx ii i Smíšené derivace se samozřejmě rovnají. ■ 100 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii Důležitost prvních a druhých parciálních derivací spočívá v tom, že pomocí nich můžeme určit extrémy (maxima a minima funkce), což má značný ekonomický význam. Proto je této problematice věnována celá následující Kapitola 5. 4.4 Cobb-Douglasova produkční funkce Cobb-Douglasova1 produkční funkce udává závislost produkce Q na práci L a kapitálu K: Q = AKaLb (4.1) Ve vztahu (4.1) j sou A, a, b kladné konstanty. Konstanta^ souvisí s technologickým pokrokem: při stejnému a Z vyššia znamená, žeje produkce vyšší (ze stejného množství kapitálu a práce se vyprodukuje více díky efektivnějším technologiím). Konstanty musí být určeny empiricky (výzkumem). Podle hodnoty a + b říkáme o produkční funkci, že má: • konstantní výnosy z rozsahu, je-li a + b = 1 • rostoucí výnosy z rozsahu, je-li a + b > 1 • klesající výnosy z rozsahu, je-li a + b < 1. Předchozí tři body si vysvětlíme pomocí vztahu (4.1). Nechť se kapitál K zvýší p krát na pK a práce L se zvýší rovněž p krát na pL. Potom dosazením do (4.1) dostaneme: Q = A(pK)a-(pL)b =ApaKapbLb = pa+b ■ AKaLb Jestliže se tedy zvýší vstupy - práce a kapitál - p krát, potom se zvýší výstup, tedy produkce, pa+b krát. Jestliže je a + b = 1, pak při p násobném zvýšení vstupů (například dvojnásobnému) dojde k stejnému p násobnému (v naše příkladu tedy dvojnásobnému) zvýšení výstupů. Pro a + b > 1 by při dvojnásobném zvýšení vstupů byl výstup více než dvojnásobný, zatímco v případě a + b < 1 méně než dvojnásobný. Ve druhém případě tedy je výhodné produkci zvyšovat navyšováním práce a kapitálu, zatímco ve třetím případě ne. Pokud je a + b = 1, lze vztah (4.1) upravit následovně: Q = AKaĽ-a (4.2) Grafické znázornění Cobb-Douglasovy funkce viz Obr. 4.6. 1 Charles Cobb (1875-1949), americký ekonom, Poul Douglas (1892-1976), americký ekonom. 101 Reálná funkce dvou reálných proměnných Kromě Cobb-Douglasovy funkce se v literatuře používají i jiné produkční funkce, např. Leontiefova funkce nebo CES funkce (viz Chiang, 2008). Obr. 4.6. Graf Cobb-Douglasovy funkce. Zdroj: Wikipedia. 4.5 Mezní produkt práce a kapitálu Derivacemi produkční funkce podle práce respektive kapitálu získáme mezní produkt práce MPl respektive mezní produkt kapitálu MPk: MP, = — , resp. MPK = — L ÔL K ÔK (4.3) Pokud je produkční funkce dána rovnicí (4.1), pak pro mezní produkt práce respektive mezní produkt kapitálu dostaneme: MP, =^- = AKa(l-a)La =—[— L dL \-a\L MPK =ĚQ. = AaKa-lLl-a = Aa K dK y L Výpočet mezního produktu práce a kapitálu je ilustrován v následujících úlohách. 102 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii ŘEŠENÁ ÚLOHA 4.9 Je dána Cobb-Douglasova funkce Q = %0K°'3L0'7. Určete: a) mezní produkt práce a kapitálu, b) mezní produkt práce proK= 100 a Z = 50. Řešení: a) mp ĚQ_ = 80K°-30,7Z-0'3 = 56^ = 5ô(—) ' L ÔL Ľ [L] MPK =^ = 80-0,3-Jř-°'7-Z0'7 =24Í—V K ÔK [K] b) A4P£ =561-^1 = 56-20'3 =68,94. Tento výsledek můžeme interpretovat takto: pokud při produkci s hodnotami K = 100 a Z = 50 zvýšíme Z o jednotku, tedy na 51, zvýší se produkce o přibližně 69 jednotek. ■ 4.6 Izokvanty produkční funkce, mezní míra technické substituce Všechny dvojice [LJQ, pro něž nabývá produkční funkce stejné (kladné) hodnoty q tvoří v rovině indiferenční křivku zvanou izokvanta s rovnicí q = AKaLb Na této křivce najdeme všechny kombinace vstupů K a L, pro které je výstup Q shodný. Stejné produkce totiž můžeme dosáhnout například při práci 10 jednotek a kapitálu 5 jednotek, respektive například při práci 8 jednotek a kapitálu 9 jednotek, atd. Izokvanty pro Cobb-Douglasovy funkce mají typický tvar (viz Obr. 4.7) klesající konvexní funkce. 103 Reálná funkce dvou reálných proměnných qi q2 Obr. 4.7. Typický tvar izokvant Cobb-Douglasovy funkce. Mezní míra technické substituce (marginal rate of technical substitution, MRTS) vyjadřuje poměr, v němž je firma schopna nahrazovat kapitál prací při stejném výstupu (stejné produkci). Geometrickým vyjádřením MRTS, tzn. vzájemné nahraditelnosti, je sklon izokvanty. RESENA ÚLOHA (Dowling, 2012). Je dána funkce produkce proměnných K a L, výstupem je množství Q: Q(K,L) = \6K°'25L0'15. Nechť jedna izokvanta má rovnici 16K°'25L0'15 =2144 (tedy produkce Q = 2144). Určete MRTS. Řešení: 0 25 0 75 Budeme derivovat rovnici 16K ' Ľ =2144 podle L, K budeme považovat za funkci L: d(l6K°'25L0'15) ŕ+5, ^ = 3x2y2+l] dx dy c) /(*,;>) = ln(xy) + -x ■i£ = I__L <3x x x2 ' dy y x+y d) f(x,y) = e ck ' dy e) /(x,j) = ln(xj + /) rff y 1 * + 4/ L ^ 4 3 ' o. 4-1 ex xy + y x + y dy xy + y f) /(x,^) = ^2+cosi/ [-í- = 2xy, -f- = x2-siny,] dx dy g) /(x,j) = Vx2+/ + 5 113 Reálná funkce dvou reálných proměnných [) df y dx jx1 + y2 + 5 ' ty dxdyy b) f(x,y) = x3y2+y2,C[-2,3] [f (-2.3) = 108, |(-2,3) = -42, ^( 2.3) = -108, |^(-2,3) = |f(-2,3) = 72] dxdy dydx 5. Vypočtěte parciální derivace Cobb-Douglasovy produkční funkce: a) O = \0K°'5L0'5 114 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii dK dL b)Q = 25K°'7L0'3 [^ = 17^5^^0,3 dQ =? 5Ko,iL-o,i j ÔK ÔL 6. Je dána Cobb-Douglasova produkční funkce: Q = 6K0AL0'6. Určete a) mezní produkt práce a kapitálu proK= 50 aL= 10. [^- = 2,4K-°-6L0-6 =2,4- 50-°'6-100'6 =0,914, ÔK ^ = 3,6^°'4Z0'4 = 3,6 • 500'4 • 100'4 = 6,853 ] ÔL 7. Načrtněte alespoň dvě izokvanty Cobb-Douglasovy produkční funkce: Q = 2K°'5L0'5 (zvolte například Q = 2 a Q = 4). 8. Je dána Cobb-Douglasova produkční funkce Q(K,L) = 20K0'5 ■ L0'5. a) Určete parciální derivace podle K a L, b) Vyjádřete totální diferenciál funkce Q , c) Určete totální diferenciál v bodě C [4,1], d) Určete změnu Q v bodě C [4,1], jestliže dK = 0,2 a dL = 0,1. ař = ~Ť^' ~Ě = ^/L~ dQ = —^—dK + ^jj^dL ,c) dQ = 5dK + 20dL , d) ^0 = 3] 9. Matematický model příjmu i? (revenue) pro daný druh produktu jisté firmy je funkcí ceny(price) a nákladů na reklamu ^4 (advertising expenditures) (Kaňka a Henzler, 2003): D 54VI TT. it = —p^-. Určete: V/7 a) změnu příjmu R v závislosti na změně cenyp. b) změnu příjmu R v závislosti na změně nákladů na reklamu A. c) Předpokládejme, ze p = 9 a A = 64. Vyjádřete totální diferenciál a určete jeho hodnotu, jestliže ^ = -0,4 adA = 0,2. 115 Reálná funkce dvou reálných proměnných 8R Ilja 27 dA ,c)dR = -8dp + -dA = 3,425 ] 10. Je dána funkce /(x, y) = x3y2. a) Najděte rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě C [-2,2]. b) Určete normálu k této rovině v daném bodě. x = -2 + 48ř [a) 48x - 32y - z + 128 = 0, b) n = (48,-32,-1), normála: y = 2-32t , teR]. z = -32-t 11. Vypočtěte mezní užitečnost MUi a MUi pro funkci U = ■s[Ql ■ iJOi '■ a) obecně, b) pro gi = 9ae2 = 8. 12. Určete totální diferenciál funkce/(x,^) = x3 + 5xy obecně a v bodě C [-1,1]. 116 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii 5 LOKÁLNÍ A VÁZANÉ EXTRÉMY FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Kapitola je věnována problematice nalezení extrémů funkce dvou proměnných (včetně vázaných extrémů) pomocí Hesseovy matice (hessiánu). CÍLE KAPITOLY Cílem této kapitoly je, aby student získal následující dovednosti: • Najít extrémy funkce dvou proměnných. • Najít vázané extrémy funkce dvou proměnných Umět sestavit Hesseovu matici (hessián) a použít ji ke zjištění charakteru stacionárních bodů. KLÍČOVÁ SLOVA KAPITOLY Hesseova matice (hessián), Sylvestrova věta, extrémy, vázané extrémy. ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU 6-8 hodin V této kapitole se budeme zabývat hledáním extrémů funkce /(x, y) dvou proměnných x a y. V ekonomii je typickým příkladem funkce dvou proměnných Cobb-Douglasova produkční funkce Q, která je funkcí kapitálu K a práce L. 5.1 Lokální extrémy funkce Podobně jako u funkce jedné reálné proměnné je nutnou podmínkou lokálního (a samozřejmě i globálního) maxima či minima nulová první derivace: ^ = ^ = 0 . Tato dx dy 117 Lokální a vázané extrémy funkce dvou proměnných podmínka však není postačující, neboť v daném bodě může být i inflexní (sedlový) bod. Existenci maxima (minima) funkce při splnění určitých podmínek zaručuje následující věta: VĚTA 5.1 (WEIERSTRASSOVA2). Nechtfunkce f (x, y) je spojitá na uzavřené a omezené oblasti M ci?2. Pak funkce f (x, y) nabývá na oblasti M (globálního) maxima i minima. Poznámka: Funkce může mít extrémy i v bodech, v nichž některá první parciální derivace neexistuje. Takové body se musí vyšetřit zvlášť a v dalším výkladu se jimi nebudeme zabývat. Bod, v němž má funkce všechny první derivace nulové, se nazývá stacionární bod nebo též bod podezřelý z extrému, a bude značen C (z anglického critical point). Jak už bylo řečeno, je v tomto bodě maximum, minimum nebo inflexní bod. O tom, která alternativa nastává, rozhodneme na základě druhých parciálních derivací, z nichž sestavíme Hesseovu3 matici a její determinant zvaný hessián: d2f d2f dxcy _ sTL ôyôx ôy2 dx2 32f Do hessiánu dosadíme souřadnice bodu C a označíme: Di lf_ dx2 (C) aD2 = Hj(C).d2)e determinant Hesseovy matice. Pro určení extrému pak platí následující pravidlo: > D2 > 0: v bodě C je EXTRÉM, a to (lokální ostré) MINIMUM, pokud je Di > 0; a (lokální ostré) MAXIMUM, pokud je Z); < 0. > ľ2 < 0: v bodě C je sedlo (inflexní bod). > D2 = 0: v daném bodě může (ale nemusí) být extrém, o extrému se musí rozhodnout jiným způsobem, například pomocí totálního diferenciálu druhého či vyššího řádu. Určování lokálních extrému si ukážeme v následujících úlohách. 2 Carl Weierstrass (1815-1897), německý matematik. 3 Ludwig Otto Hesse (1811-1874), německý matematik. 118 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii RESENA ÚLOHA 5.1 Určete lokální extrémy funkce: /(x, y) = x3 - 2xy Řešení: df df Vypočteme první derivace: — = 3x2 - 2y , — = -2x. Pro bod podezřelý z extrému musí dx dy platit, že obě první derivace jsou nulové: f = 3x2-2^ = 0, dx ^ = -2x = 0, dy Z druhé rovnice plyne, že x = 0, a dosazením do první rovnice získáme y = 0. Máme tedy podezřelý bod C [0,0]. Ke zjištění, o jaký bod se jedná, vypočteme druhé derivace a sestavíme hessián: dx' ' dy2 dxdy dydx 6x -2 -2 0 Do hessiánu dosadíme bod C: Hj(0,0) 0 -2" -2 0 Protože D 2 = -4 , což je menší hodnota než Oje bod C inflexním (sedlovým) bodem. Daná funkce nemá žádné lokální maximum ani minimum. ■ ŘEŠENÁ ÚLOHA 5.2 Určete lokální extrémy funkce: /(x, y) = x2 - 2xy + y . Řešení: Vypočteme první derivace a položíme je rovny nule: ^ = 2x-2^ = 0, dx df ^- = -2j + l = 0 dy Řešením této soustavy je bod C [1/2,1/2]. Ke zjištění, o jaký bod sejedná, vypočteme druhé derivace a sestavíme hessián: 119 Lokální a vázané extrémy funkce dvou proměnných dx2 dy2 ôxôy HÁ^y) 2 -2 -2 O Protože ľ2 = -4 , což je menší hodnota než Oje bod C inflexním (sedlovým) bodem. Daná funkce nemá žádné lokální maximum ani minimum. ■ RESENA ÚLOHA 5.3 Určete lokální extrémy funkce: /(x, y) = 2x4 + _y4 . Řešení: Vypočteme první derivace a položíme je rovny nule: ^ = 8x3=0,^ = 4y=0. dx dy Řešením této soustavy je bod C [0,0]. Vypočteme druhé derivace a sestavíme hessián: ^í = 24x2 dx2 dy2 ôxôy \2y2 HAxy) 24x2 0 0 12/ Dosadíme bod C do hessiánu: Hj(C) 0 0 0 0 Protože ľ2 = 0, podle pravidla uvedeného výše nelze o povaze stacionárního bodu rozhodnout. Přesto je snadné ukázat, že se vdaném bodě nachází minimum. Funkce 120 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii f(x,y) = 2x +y je nezáporná: ať do ní dosadíme jakékoli hodnoty x a y, vždy bude hodnota funkce větší nebo rovna nule (kvůli čtvrtým mocninám). Nula je tedy nej menší hodnota, kterou daná funkce může nabývat. A toto minimum lze dosáhnout pouze pro x = y = 0, což je bod c. ■ RESENA ÚLOHA 5.4 Určete lokální extrémy funkce: f(x,y) = 4x2 + lny — 16x — lOy + 100. Řešení: Nejdříve vypočteme první derivace podle xay: 10. S£ = 8x-l6,2£ = i ox oy y Položíme je rovny 0: df -z- = 8x - 16 = 0 -s ox x = 2 df 1 tt- = -- 10 = 0 ^y = 1/10 oy y Kritický bod je tedy C = [2,1/10]. Nyní vypočítáme druhé derivace: d2f dx2 d2f W = 8 A následně sestavíme hessián: T8 0 Hf(x,ý) = 0 —2 y. r8 0 to 100 Do hessiánu dosadíme souřadnice bodu C: "/(O = [[ Určíme D2: D2 = 8 - (-100) - 0 = -800 Protože je D2 záporné, má daná funkce v bodě c inflexní bod. 121 Lokální a vázané extrémy funkce dvou proměnných RESENA ÚLOHA 5.5 Určete lokální extrémy funkce: /{x, y) = ln (xy) - x2 + y Řešení: Vypočteme první derivace a položíme je rovny nule: 5/1 1 „ n čf 1 , 1 , n — =--y-2x =--2x = 0, — =--x + l = —+ 1 = 0. dx xy x dy xy y Z první rovnice dostáváme: — = 2x Z druhé rovnice dostaneme y = -1. Máme tedy dva kritické body: C1 a C, Vypočteme druhé derivace a sestavíme hessián: —J— =---2 &2 x2 —— = 0 ôxôy HAxy) 0 0 7 Dosadíme do hessiánu bod G: "-4 0" 0-1 122 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii Protože d2 = 4, má funkce v bodě G extrém. Protože je D\ záporné (-4), jedná se o maximum. Snadno se ověří, že rovněž v bodě Ci je maximum. ■ RESENA ÚLOHA 5.6 Mějme dánu funkci /(x,y), jejíž extrémy chceme zjistit, stacionární bod C [1,1] a Hes- "4 0" seovu matici HAC) = . Určete, zda bod C je maximem, minimem nebo inflexním [o oj bodem dané funkce. Řešení: Z pravidla o znaméncích determinantu d2 na začátku kapitoly plyne, že pro d2 = 0 neumíme o povaze stacionárního bodu rozhodnout. K určení bodu C však můžeme využít totální diferenciál. Totální diferenciál prvního řádu df df df = —dx-\--dy, který vyjadřuje přírůstek funkce f(x,ý), je v bodě C roven 0, neboť dx dy první parciální derivace jsou ve stacionárním bodě dle definice nulové. Zkusíme sestavit totální diferenciál druhého řádu: d2f , d2f d2f d2f(C, dx, dy) = -f (C)d2x + 2—L- (C)dxdy + -L (C)d2y, dx dxdy dy kde všechny parciální derivace druhého řádu výše již jsou obsaženy (vypočteny) v Hesse-ově matici. Obdržíme tedy: d2f (C, dx, dy) = 4d2x + 2 ■ Odxdy + Od2 y = 4d2x. Totální diferenciál druhého řádu je tedy v bodě C vždy kladný (4d2x > 0), což znamená, že při posunu z bodu x o dx se hodnoty funkce vždy zvětší, odkud logicky vyplývá, že v bodě C je minimum funkce. ■ 5.2 Vázané extrémy Vázané extrémy označují situaci, kdy kromě funkce f(x,y) je ještě zadána vazba (omezující podmínka pro x a y) ve tvaru g(x, y) = 0. Hledáme extrémy funkce /(x, y), které jsou vázány (leží na ní) křivkou g(x,y) = 0. Budeme používat dvě metody: 123 Lokální a vázané extrémy funkce dvou proměnných a) Dosazovací metoda: z vazby g(x, y) = 0 vyj ádříme x nebo y a dosadíme do /(x, y) , čímž získáme funkci jedné proměnné, a extrémy tedy hledáme podobně jako u funkce jedné proměnné. Tuto metodu použijeme v případě, že z rovnice vazby lze osamostatnit x nebo .y. b) Lagrangeova metoda: sestavíme Lagrangeovu funkci Z(x, y,A) = f (x, y) + Ag(x, y), kde X j e Lagrangeův multiplikátor. Poté vypočteme parciální derivace L a položíme je rovny 0. Jako třetí rovnici pro tři neznámé x, y, X použijeme rovnici vazby. Vyřešíme soustavu a výsledné „podezřelé" body C dosadíme do hessiánu, pomocí kterého rozhodneme, zda se jedná o maximum, minimum nebo inflexní bod. Lagrangeova metoda je početně náročnější než dosazovací, za to je obecnější, a používá se v případech, kdy z rovnice vazby nelze osamostatnit ani x ani y. Pro určení extrému platí následující pravidlo: > D2 > 0: v bodě C je EXTRÉM, a to (lokální ostré) MINIMUM, pokud je navíc Di > 0; a (lokální ostré) MAXIMUM, pokud je Di < 0. > Di < 0: o extrému se musí rozhodnout jiným způsobem. U Lagrangeovy metody můžeme o charakteru kritického bodu C rozhodnout i bez hessiánu, pokud jsou splněny podmínky Věty 5.1, tedy pokud je funkce definovaná na omezené a uzavřené oblasti: spočteme hodnotu všech kritických bodů, a bod s největší (nejmenší) hodnotou bude vázaným maximem (minimem) dané funkce. Omezenou a uzavřenou oblastí může být například kružnice, elipsa, úsečka, apod. ŘEŠENÁ ÚLOHA 5.7 Určete vázané extrémy funkce /(x,y) = x2 + y2, g(x,y):x-y + \ = 0. Řešení: Z vazbové podmínky je možné osamostatnit^ i x, proto použijeme dosazovací metodu: Vyj ádříme y: y = x +1 a dosadíme do funkce f(x, y) = x2 + y2: f(x) = x2 +(x + l)2 =2x2 +2x + l. Dosazením jsme získali funkci jedné proměnné (x). Podezřelé body musí mít první derivaci nulovou: /'(*) = 4*+ 2 = 0. odtud x = -l/2, y = 1/2. 124 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii Tento bod je minimem dané funkce, o čemž se můžeme přesvědčit druhou derivací funkce f(x) (která vyjde kladná). ■ RESENA ÚLOHA 5.8 Určete vázané extrémy funkce f(x, y) = x + y + 3, g(x, y) : x2 + y2 - 2 = 0. Řešení: Protože z rovnice vazby nelze jednoduše osamostatnit x ani y, budeme postupovat Lagran-geovou metodou. Sestavíme Lagrangeovu funkci: L = x + y + 3 + l[x2 + y2 -2) Vypočteme první derivace podle x a y a položíme je rovny nule: dl — = \ + 2Áx = 0 dx — = 1 + 2Áy = 0 dy X2 +y2 -2 = 0 Obě derivace jsme doplnili o rovnici vazby a získali jsme tím soustavu tří rovnic o tří neznámých. Jejím řešením jsou body podezřelé z extrému s odpovídající hodnotou X. Z prvních dvou rovnic vidíme, že x = y (rovnice jsou symetrické vzhledem k proměnným x ay). Dosadíme za_y do třetí rovnice: x2 +x2 -2 = 0, 2x2 =2 x12=±l, a proto také y12=+l. Máme dva podezřelé body: Cl =[l,l],/tj = a Cl = [-1,-1], ^2 = (hodnotu X vypočteme z první nebo druhé rovnice soustavy). Vypočteme druhé derivace funkce L: dx2 125 Lokální a vázané extrémy funkce dvou proměnných cťL ôy2 d2L 2Á O dxdy Sestavíme hessián: LÁxy) 2X O O 2/1 Dosadíme bod C v. L/Ci) Dostáváme: Di = 1, funkce má v bodě G extrém. -1 0 0 -1 Protože je Z)i záporné (-1), má funkce v bodě G maximum (jeho hodnota je 5). Dosadíme bod d: Lj{C\) 1 0 0 1 Dostáváme: Di = 1, funkce má v bodě Ci extrém. Protože je Z)i kladné (+1), má funkce v bodě Ci minimum (jeho hodnota je 1). Tato úloha má názornou geometrickou interpretaci. Funkce f(x, y) = x + y + 3 představuj e v trojrozměrném prostoru rovinu. Funkce g(x,y) :x2+y2-2 = 0 představuje v dvojrozměrném prostoru kružnici, v trojrozměrném prostoru jde o válcovou plochu (představíme si, že kružnici „táhneme" nahoru a dolů, čímž vznikne plocha válce). Průnik obou objektů je elipsa, která se zvedá „šikmo" vzhůru, a proto má nejvyšší a nejnižší bod: maximum a minimum dané funkce. ■ ŘEŠENÁ ÚLOHA 5.9 Určete vázané extrémy funkce /(x, y) = x2 + y2 s vazbou g(x, y) : x2 + 2y2 -1 = 0. Řešení: Protože z rovnice vazby nelze jednoduše osamostatnit x ani y, budeme postupovat Lagran-geovou metodou. Sestavíme Lagrangeovu funkci: L = x2 + y2 + á(x2 + 2y2-l) Vypočteme první derivace podle x a y a položíme je rovny nule: dL — = 2x + 2Áx = 2x(l + á) = 0 ôx 126 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii dL_ dy 2y + 4Áy = 2y(\ + 2X) = O x2+2/-l = 0 Nyní najdeme řešení této soustavy tří rovnic o třech neznámých: body podezřelé z extrému. Z první rovnice plyne, že buď x = 0 nebo A = -l (jeden z výrazů v součinu musí být roven nule). I. Nejprve se budeme věnovat prvnímu případu, pro který platí, že x = 0. Je-li x = 0, dostáváme ze třetí rovnice postupně: O2+2/-1 = 0, 2 1 y =t> A nakonec: yl 2 = ±J— \ /r ľ /TI _°'+V2_ aC2 = _°'"V2 Máme tedy dva podezřelé body: Ct Ještě dopočítáme odpovídající hodnoty Lagrangeových multiplikátorů X z druhé rovnice soustavy, nejprve pro bod G: 2X1 + 2/1) = (1 + 2/1) = 0 , odtud\ = -i. A poté analogicky pro bod d: í W\ 2y{\ + 2Á) = 2 íl) 1 ^— (l + 2/1) = 0, odtud rovněž /l, = -— v ' y II. Nyní se budeme věnovat druhému případu, pro který platí, že X = -1. Je-li X = -1, dostáváme ze druhé rovnice soustavy y = 0 (první rovnici nevyužijeme, protože by v závorce vyšla 0). Ještě zbývá určit x. Ze třetí rovnice soustavy obdržíme: x2+2-02-l = 0, a tedyx34 =±1. Získali jsme další dva podezřelé body: C3 =[l,0] a C4 =[-1,0], =-1. 127 Lokální a vázané extrémy funkce dvou proměnných Nakonec musíme rozhodnout o povaze všech čtyř podezřelých bodů, v tomto případě můžeme využít jak Větu 5.1., tak metodu hessiánu jako v předešlé úloze. Zde zvolíme první možnost: vypočteme hodnoty funkce /(x,y) = x2 + y2 ve všech čtyř bodech Ci až C4 (dosadíme souřadnice těchto bodů do dané funkce), a najdeme mezi nimi maximum a minimum. f(C1) = 0 n2 1 2 4 n2 1 2 1 2) 4 /(C3) = l2+02=1 /(C4) = (-1)2 + 02=1 Odtud je zřejmé, že v bodech G a Ci nastává vázané minimum funkce a v bodech C3 a C4 vázané maximum funkce. Pokud bychom zvolili metodu hessiánu, obdrželi bychom hessián ve tvaru (ověřte si): LÁxy) 2 + 2Á 0 0 2 + 4/1 Po dosazení bodů G až C4 však determinant Di = 0, a tedy o povaze těchto bodů nelze na základě hessiánu rozhodnout. I tato úloha má názornou geometrickou interpretaci. Funkce /(x,y) = x2 + y2 představuje plochu rotačního paraboloidu (tělesa, které vznikne rotací paraboly kolem osy z), zatímco vazba x2 +2y2 -1 = 0 je v rovině elipsa se středem v bodě [0,0] a v trojrozměrném prostoru válcová plocha, která vznikne „vysunutím" elipsy nahoru a dolů ve směru osy z. Body Ci a Ci jsou vedlejší vrcholy této elipsy a C3 a C4 jsou hlavní vrcholy. Protože hlavní vrcholy jsou více vzdáleny od středu elipsy, a funkce f(x,y) = x2+y2 roste s rostoucí vzdáleností od středu, můžeme očekávat v hlavních vrcholech maxima a ve vedlejších vrcholech minima této funkce. A to nám také vyšlo. ■ 5.3 Maximalizace příjmu a užitku Určování extrémů funkcí dvou (a více) proměnných lze v ekonomii využit při maximalizaci příjmů, produkce, užitku nebo zisku, respektive minimalizaci nákladů, pokud jmenované funkce závisí na více než jedné proměnné. S vázanými extrémy se v ekonomii setkáváme 128 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii tehdy, pokud jsou na příjmy, náklady, užitek a podobně kladena nějaká omezení (obvykle finanční, množstevní, časová, atd.). Při maximalizaci užitku se racionální spotřebitel snaží za daných podmínek a omezení užitečnost maximalizovat. V modelu pro dva druhy zboží Qi a q2 s jednotkovými cenami zboží P\ & Pi, a důchodem spotřebitele 7, je užitečnost omezena rozpočtovým omezením: y = p1-Q1+p2-Q2 (5-1) Maximalizovat užitek za podmínky (5.1) znamená řešit úlohu na vázaný extrém s funkcí U = (Qi,Q2) a vazebnou podmínkou (5.1). Analogicky lze přistupovat k maximalizaci příjmů a dalších ekonomických funkcí. RESENA ÚLOHA 5.10 Firma vyrábí dva druhy zboží, jejich množství označme Q\ a Qi. Příjem firmy je dán funkcí TRiQ^Qi) = 50Q1 + 20Q2-2Ql-5Q22. Najděte maximum příjmu. Řešení: Začneme tím, že vypočteme parciální derivace TR podle Q\ a Qi: dTR(QuQ2) dTR(QltQ2) dQ2 50 -4& 20-10g2 Najdeme nulové body obou prvních derivací: Q\ = 12,5; q2 = 2, a získáme stacionární bod C[12,5;2]. Vypočteme druhé parciální derivace příjmu a sestavíme Hesseovu matici: -4 0 0 -10 Protože D2 = 40 > 0, má funkce v bodě extrém. Protože Dl=-4< 0 Jedná se o maximum. V bodě C bude zadaný příjem maximální. ■ 129 Lokální a vázané extrémy funkce dvou proměnných RESENA ÚLOHA 5.11 (Mezník, 2011). Je dána funkce užitečnosti U = (Qi,Q2) = Q\Qi , jednotkové ceny zboží P\ = 2 aP2 = 5, a důchod Y= 100. Maximalizujte užitek za podmínky 100 = 2Ql + 5Q2. Řešení: Úlohu můžeme řešit dosazovací i Lagrangeovou metodou. Zde úlohu vyřešíme Lagrange-ovou metodou, čtenář nechť si zkusí využít dosazovací metodu. Sestavíme Lagrangeovu funkci L = Ql • Q2 + A (l00 - 2Ql - 5Q2) Vypočteme parciální derivace podle Q\ a Qi, položíme je rovny nule, a přidáme rovnici vazby: 01 Q2-2A = 0 dQ1 ÔL Q1-5A = 0 SQ2 100-2Q-5£2=0 Z první a druhé rovnice vyjádříme Q\ a Qi pomocí lambda a dosadíme do třetí rovnice: 100-10^-10^ = 0 Odtud máme postupně: A = 5, Q\ = 25, Qi = 10. Pro tyto hodnoty nabývá funkce užitku svého maxima: U= 250. ■ ŘEŠENÁ ÚLOHA 5.12 Pan X může investovat do dvou statků, jejich množství je x a y. Funkce užitku pana X je dána jako U = f (x, y) = 2x2y . Jednotka statku x stojí 2 peněžní jednotky (například eura), statku y pak 3 peněžní jednotky. Zdroje pana X jsou omezené: celkově může vydat pouze 102 peněžní jednotky. Maximalizujte užitek pana X. Řešení: Máme dánu funkci f(x,y) = 2x2y a vazbu g(x, y) = 2x + 3y = 102. Rovnice vazby ( 2x + 3y = 102 ) představuj e přímku, ale protože x ani y nemohou být v kontextu úlohy záporné, redukuje se vazbová podmínka na úsečku s krajními body [51, 0] a [0, 34] (jde o průsečíky dané přímky s osami x a y). 130 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii Podle Věty 5.1 tedy bude funkce f(x,y) = 2x2y nabývat na této úsečce svého maxima i minima, a k určení extrémů nepotřebujeme druhé derivace ani hessián. Ke zjištění extrémů použijeme dosazovací metodu: z rovnice vazby osamostatníme y.y_ 102^ ^ a dosadíme do funkce užitku /(x, y) = 2x2y : ,102-2x 2/ ,\ f(x) = 2x2 = j("2x3 +102x2) . Body podezřelé z extrému mají první derivaci nulovou: /'(x)=-^-(-6x2+204x) = 0, Rovnici upravíme na součinový tvar: f\x) = (-6x2 + 204x) = -6x(x - 34) = 0 Z poslední rovnosti plynou dvě řešení xi = 0 a xi = 34. Odpovídající hodnoty y vypočteme 102-2x ze vztahu y =- . 3 Tím získáme dva podezřelé body: G [0, 34] a Ci [34, 34/3]. Funkce užitku pro první bod: /(x, y) = 2x2y = 2-0-34 = 0. Funkce užitku pro druhý bod: /(x,y) = 2x2y = 2- 34-34/3 = 770,7 . Bod Ci [0, 34], pro který je užitek nulový, je tedy vázaným minimem dané funkce, a bod Ci [34, 34/3] je vázaným maximem dané funkce. Pokud bychom tuto úlohu řešili pomocí Lagrangeovy metody, získali bychom i hodnoty r)x dy Lagrangeova multiplikátoru Á, pro které platí: \ = , A2 = , kdepi&pi označují cenu Pi Pi za jednotku statku x ay. Proto je v ekonomii multiplikátore interpretován jako mezní užitek peněz (marginal utility of money). *. 5.4 Minimalizace nákladů Podobně jako bylo v předchozí kapitole hledáno maximum funkce příjmu respektive užitkuje u funkce nákladů rozumné hledat její minimum. Postupujeme přitom stejně jako v předchozích úlohách, hledáme tedy extrém funkce, který se při správné formulaci úlohy ukáže být minimem. 131 Lokální a vázané extrémy funkce dvou proměnných RESENA ÚLOHA 5.13 Jsou dány celkové náklady dvou proměnných: TC(x,y) = 200 -30x -40y + 0,5x2 + y2. Najděte minimum nákladů. Řešení: Vypočteme parciální derivace funkce TC(x,y) podle x a y a položíme je rovny nule: ÔTC dx dTC oy -30 + x = 0. -40 + 2j = 0. Bod podezřelý z extrému je tedy C [30,20]. Dále vypočteme druhé parciální derivace a sestavíme Hesseovu matici: HAxy) 1 0 0 2 VHesseově matici jsou obsaženy pouze konstanty, proto do ní nedosazujeme souřadnice bodu C. Protože D2=2>0, má funkce v bodě C extrém. Protože D1=l>0, má daná funkce v bodě C minimum. ■ ŘEŠENÁ ÚLOHA 5.14 Jsou dány celkové náklady: TC{x, y) = 100 - 32x - 30^ + x4 + 3_y2. Najděte minimum nákladů. Řešení: Vypočteme parciální derivace funkce TC(x,y) podle x a y a položíme je rovny nule: -= -32 + 4x3 =0, dx -= -30 + 6y = 0. dy Bod podezřelý z extrému je tedy C [2,5]. Dále vypočteme druhé parciální derivace a sestavíme Hesseovu matici: 132 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii HÁxy) \2x2 O O 6 Dosadíme bod C: 48 0 0 6 Protože D2 = 288 > 0, má funkce v bodě C extrém. Protože Dl = 48 > 0, má daná funkce v bodě C minimum. SAMOSTATNÝ ÚKOL 1. ) Najděte lokální extrémy (inflexní body) funkce: a) f(x,y) = x2+2y2-6x + S [minimum [3,0].] b) f(x,y) = x3-xy + y [inflexní bod [1,3].] c) f(x,y) = 2xy-3x2-2y2 +10 [maximum [0,0].] x3 d) f{x,y) = y-—+^n(x-y) [inflexní bod [2,7/4].] e) f{x,y) = é» [inflexní bod [0,0].] f) f(x,y) = (x-3)2-(y + 2)1 [minimum [3,2].] 2. ) Určete vázané extrémy funkce: a) f(x,y) = xy, g(x,y):x + y + 2 = 0 [maximum [-1,-1].] b) f(x,y) = 2x + y-l, g(x,y):x2 +y2-4 = 0 133 Lokální a vázané extrémy funkce dvou proměnných ~ 4 2 " 4 2 " , minimum c) /(^^) = ^4-2/, g(x,.y):2x-.y = 0 [minimum [-2, -4] a [2,4], maximum [0,0].] d) f(x,y) = e*+\ g(x,y):x2+y2-1 = 0 [minimum [-1/2, -2]. ] e) f(x,y) = x2 +y2, vazba: úsečka s krajními body [4,0] a [0,4]. [minimum [2,2], maximum je v krajních bodech: [4,0] a [0,4].] 3. ) Maximalizujte příjem TR = x2 -2xy za podmínky x-y = \00. [maximum: x = 100 ] 4. ) Je dána funkce užitku U = {Q\?Qi) = yjQi" Qi Jednotkové ceny zboží P\ = 5 &Pi = 10 a disponibilní důchod 7= 400. Najděte maximum užitku. [maximum: Q1 = 40,Q2 = 20 ] 5. ) Najděte minimum nákladů TC(x,y) = 60 - 120x -80^ + 2x2 + 0,4/ . [minimum: x = 30, y = 100 ] 134 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii 6 NEURČITÝ INTEGRAL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Kapitola obsahuje základní pojmy z oblasti integrálního počtu a zavádí pojmy primitivní funkce a neurčitý integrál. Dále jsou v této kapitole ukázány základní integrační metody, konkrétně integrace pomocí parciálních zlomků a integrace součinu funkcí pomocí metody per partes. CÍLE KAPITOLY Cílem této kapitoly je, aby student získal následující dovednosti: • Určit neurčitý integrál základních funkcí. • Vypočítat neurčitý integrál užitím parciálních zlomků. • Vypočítat neurčitý integrál užitím metody per partes. • Aplikovat neurčitý integrál k výpočtu celkových příjmů, celkového zisku nebo celkových nákladů. KLICOVA SLOVA KAPITOLY Primitivní funkce, neurčitý integrál, metoda parciálních zlomků, metoda per partes, celkový zisk, celkové náklady. ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU 6-8 hodin 6.1 Pojem neurčitého integrálu, základní vlastnosti Funkce F(x) se nazývá primitivní funkcí k funkci f{x) na otevřeném intervalu J cií právě tehdy, když F'(x) = f (x) pro všechna x e J . Primitivní funkce existuje ke každé spojité funkci na J. 135 Neurčitý integrál Hledání primitivní funkce se označuje jako integrování, což je proces opačný k derivování, viz schéma na Obrázku 6.1. ŘEŠENÁ ÚLOHA 6.1 Najděte primitivní funkci k funkci /(x) = 2x. Řešení: Primitivní funkcí je funkce F(x) = x2, ale také další funkce: G(x) = x2 +1, H{x) = x2 -10, atd., protože derivace konstanty za členem x2 je nula. ■ Výsledek Příkladu 6.1. můžeme zobecnit: Primitivních funkcí k dané funkci je nekonečně mnoho, a vzájemně se liší o jistou konstantu, kterou označíme C. Množina všech primitivních funkcí k dané funkcifix) se označuje jako neurčitý integrál k funkci fix), a značí se takto: kde J je integrační znak, x integrační proměnná, fix) integrovaná funkce neboli integrand, F(x) primitivní funkce k f(x), C integrační konstanta. Neurčitý integrál je lineární operátor, což znamená, že splňuje následující dvě podmínky: integrování 2x <- derivování Obr. 6.1. 136 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii ii) {[/(*) ± g(x)]dx =\f{x)dx±\g{x)dx Podmínka i) znamená, že konstantu v integrandu je možné „vytknout" před integrál, zatímco podmínka ii) nám umožňuje integrovat součet nebo rozdíl funkcí „člen po členu". V následující tabulce jsou uvedeny nej používanější integrály (primitivní funkce plus integrační konstanta). Tyto vzorce platí na průniku definičního oboru dané a primitivní funkce. Tabulka 6.1. Základní integrály. řádek A*) \f(x)dx 1 0 C 2 1 x + C 3 x" n+l x +c n + l 4 ď ex+C 5 1 X ln|x|+ C 6 1 ax + b —lnlŕoc + él + C a 7 ax ď +c lna 8 sinx -cosx + C 9 cosx sinx + C 10 1 cos2 X tgx + C 11 1 sin2 x cotgx + C 12 1 1 + x2 arctgx + C 13 1 2 2 a + x 1 x „ —arctg—h C a a 14 1 Vl-x2 arcsinx + C 15 1 Vl-x2 arccosx + C 16 1 Vl + x2 ln x + yjl±x2 +C 137 Neurčitý integrál V následujících úlohách si ukážeme integraci základních funkcí. RESENA ÚLOHA 6.2 x3 Integrujte: a) |x2í/x = + C b) j"(x3 +2x2 +6x + Ý)dx. c) ^ifxdx. d) ľ—rí&. J x e) j" j 2x + —Jí/x . f) j"(5sinx-2cosx + 3x^jdx. x2 g) í^—rdx x +1 h) í——i-dx. J x2+4x + 8 Řešení: x3 a) | x2í/x = — + C . Pokud integrujeme mocninu, používáme 3. řádek tabulky výše. Mnemotechnická pomůcka při řešení: „exponent zvětši o 1, novým exponentem vyděl, a napiš + C". b) j"(x3 +2x2 +6x + rjdx. Nyní použijeme pravidla i) a ii) výše a opět vzorec pro integraci mocniny: 4 3 2 j"(x3 + 2x2 + 6x + rjdx = j"x3í/x + 2J"x2í/x + 6^xdx + Jlí/x = —+ 2—+ 6—+ x + C . (U třetího členu si ještě proveďte krácení). 138 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii c) ^yfxdx. Při integraci výrazu s odmocninou nejprve převedeme odmocninu na mocninu s racionálni ním (zlomkovým) exponentem: ifx = x3 a integrujeme opět jako mocninu: ^ifxdx = {x3dx = — = -—— + C . I 4 4 3 d) \\dx J X Výraz \ převedeme na X í x~3dx = X „ = —í— + C ' (-4) 4x4 e) J 2x + — |í/x . x J Integrál rozdělíme na dva, pro první použijeme pravidlo o derivaci mocniny (3. řádek), a pro druhý integrál 5. řádek tabulky: J^2x + — jí/x = x2 + 5ln|x| + C f) |^5sinx-2cosx + 3x^jdx. Využijeme vzorce na řádcích 4, 8 a 9 Tabulky 6.1: K5sinx-2cosx + 3x)tĎc =-5cosx-2sinx + ——h C . ' ln3 f x2 f(x2+l)-l f(x2 +l) f i f f i g) —-dx = -—-—-—dx = \—^--dx- —-dx = Idx- —-dx =x - arctgx + C Jx2+1 J x2+l J x2+l Jx2+1 J Jx2+1 Při této integraci j sme ve druhém kroku použili „trik": přičtení a odečtení 1, aby se integrál rozdělil na dvě jednodušší části. Využili jsme pak řádek 12 Tabulky 6.1. h) ľ—;—i-dx J x2+4x + 8 Tento zlomek nelze rozložit na parciální zlomky (viz následující kapitola, diskriminant kvadratického troj členu ve jmenovateli je totiž záporný), a v takovém případě vede integrál na funkci arctgx, viz Tabulka 6.1, řádek 13. Kvadratický troj člen upravujeme tak, aby měl podobu x2 + a2, kde místo x může být i závorka, viz níže. 139 Neurčitý integrál 1 dx =— arctg (x+2) + C m x2 + 4x + 8 (x + 2)2 + 4 2 Poznámka: O správnosti integrace se můžeme snadno přesvědčit tak, že výsledek (napravo od „=") zderi vujeme a musíme získat výraz uvnitř integrálu (výraz vlevo od „="). V následujících kapitolách budou vysvětleny některé integrační metody k řešení složitějších integrálů. 6.2 Integrace racionálních funkcí (metoda parciálních zlomků) P(x) Racionální funkcí rozumíme výraz -, kde P(x) a Q(x) j sou polynomy proměnné x. Q(x) (Jsou to zlomky obsahujících integrační proměnnou v čitateli i jmenovateli). V dalším textu budeme předpokládat, že stupeň polynomu P(x) je menší než stupeň polynomu Q(x). Takové racionální funkce se nazývají ryzí. Pokud by tato podmínka nebyla splněna, provedeme dělení polynomu P(x) polynomem Q(x), čímž získáme požadovanou ryzí racionální funkci. K integraci (ryzích) racionálních funkcí se využívá metoda rozkladu na parciální zlomky. Smyslem této metody je rozložit zadanou (a obvykle složitou) racionální funkci na součet „nejjednodušších" (parciální znamená „částečný") zlomků. ŘEŠENÁ ÚLOHA 6.3 Při úpravě jsme zadaný zlomek v integrálu převedli na dva jednodušší zlomky. O správnosti rozkladu se lze snadno přesvědčit uvedením obou zlomků zpět na společný j menova- Řešení: Integrovat tento zlomek okamžitě je obtížné. Proto provedeme tuto úpravu: tel. Nyní je už integrace snadná: 140 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii ľ—-—dx + ľ——dx = ln|x-2| + 61n|x + 3| + C. Jx-2 Jx+3 11 11 Oba zlomky j sou právě ony parciální zlomky. Otázkou tedy zůstává už j en to, j ak tyto parciální zlomky najít. To si ukážeme v následujících příkladech. ■ RESENA ÚLOHA 6.4 r JX + J Vypočtěte --—-rdx. JF J(x + 2)(x-l) Řešení: Nejprve rozložíme integrovanou funkci na dva parciální zlomky, teprve poté budeme in- 3x + 3 A B tegrovat: -;-r-;-r =--1- (x + 2)(x-l) x + 2 x-1 Konstanty A a i? určíme tak, že levou stranu převedeme zpět na společný jmenovatel: 3x + 3 A B _A{x-\) + B{x + 2) (x + 2)(x-l) x + 2 x-1 (x + 2)(x-l) První a poslední zlomek se samozřejmě musejí rovnat, proto se musí rovnat i jejich čitatele: 3x + 3 = A(x-\) + B(x + 2) Roznásobíme závorky a pak na pravé straně zvlášť sečteme členy obsahující x a zvlášť členy bez x: 3x + 3 = (A + B)x + (2B-A) Protože levá i pravá strana se mají rovnat, musí být koeficienty před x na obou stranách rovnice shodné, a totéž platí pro absolutní členy, tedy 3 vlevo a závorku (2B - A) vpravo. Porovnáním obou stran rovnice máme: 3 = A + B 3=2B-A Takto jsme dostali soustavu dvou rovnic o dvou neznámých, kterou vyřešíme například eliminační metodou s výsledkem: A = \,B = 2. Druhý způsob, jak určit konstanty A a B, spočívá v dosazení vhodné hodnoty x do výchozí rovnosti čitatelů 3x + 3 = A(x -1) + B(x + 2). Obvykle volíme nulové body závorek: 141 Neurčitý integrál x = 1: 6 = O + 3B, odtud B = 2 x = -2:-3 = -3A + 0, odtud A = 1 Zde jsme využili toho, že daná rovnost musí platit pro všechna x, a tedy i pro zvolené hodnoty 1 a -2. Máme tedy rozklad původního zlomku na dva parciálni zlomky: 3x + 3 1 2 ■ + - (x + 2)(x-l) x + 2 x-1 Nyní můžeme integrovat. K integraci parciálních zlomků využijeme tabulkový integrál na f 1 ii řádku 6 z Tabulky 6.1, neboť -dx =ln \x + a\ + C, proto píšeme rovnou výsledek: J x + a f-—^tt^—rdx= í—-—dx+ f ^ dx = ln|x + 2| + 21n|x-l| + C. ■ J(x + 2)(x-l) Jx + 2 Jx-1 11 11 P(x) V obecném případě máme za úkol integrovat racionální funkci-, kde P(x) a Q(x) jsou Q(x) dva polynomy. /Yx) K rozložení- na parciální zlomky musíme upravit jmenovatel Q(x) na součin kořeno- Q(x) vých činitelů, tedy na součin závorek, v nichž je vždy (x - kořen Q), nebo nerozložitelný kvadratický dvojčlen či trojčlen. Při rozkladu Q(x) mohou nastat tyto případy: a) Všechny kořeny Q(x), označíme je xi, xi až Xk jsou reálná čísla, a žádný kořen se neopakuje (má násobnost jedna). Pak píšeme: P(x) P(x) Q(x) (x-xj^x-x^-.^x-x^) Rozklad na parciální zlomky vypadá následovně: P(x) P(x) A B K - - ■ +-+ ... + - Q(x) (x-x1)-(x-x2)-...(x-xir) x-xl x-x2 x-xk Každému kořenovému činiteli (každé závorce) ve jmenovateli odpovídá jeden parciální zlomek s konstantou v čitateli. Vzniklé parciální zlomky okamžitě integrujeme pomocí přirozeného logaritmu. Tento případ nastal v obou úvodních Příkladech 6.3 a 6.4. 142 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii b) Všechny kořeny Q(x), označíme je xi, xi až Xk jsou reálná čísla, ale některý kořen, například xi se opakuje «-krát (říkáme, že má násobnost rí). Pak máme následující rozklad: p(x) _m_ Q(x) (x-xl)"-(x-x2)-...(x-xk) A parciální zlomky vytvoříme následovně: Píx) Píx) A A, A B K —=-—-=----1-----h ... H--—--1---h ... H-- Q(x) (x-Xj)" -(x-x2)-...(x-xk) x-Xj (x-Xj)2 x~x2 (X~Xk) Vidíme, že pro kořen vyšší násobnosti nezjedná tvoříme navíc parciální zlomky s jmenovatelem (x-Xj)1, (x-Xj)2, až (x-Xj)*. Další parciální zlomky tvoříme stejně jako v předchozím případě. Pokud by tedy například x = 3 bylo dvojnásobným kořenem Q(x), pak musíme mít parciální zlomky s jmenovatelem (x-3)1 a (x-3)2. V čitateli je vždy konstanta, kterou si můžeme označit libovolně (obvykle velkým písmenem a abecedně). Řešení tohoto typu integrálu je ukázáno v Příkladu 6.5. c) Poslední možnost, kterou se budeme zabývat, nastává, když se v rozkladu polynomu Q(x) objeví nerozložitelný kvadratický dvoj člen nebo troj člen násobnosti jedna. Příkladem budiž například x2 +1 nebo x2 + 2x + 4. Pokud se budeme snažit najít kořeny těchto mnohočlenů, vyjde nám záporný diskriminant, a rozklad tedy nelze (v reálných číslech) provést. V takovém případě ponecháme tento dvojčlen nebo trojčlen ve jmenovateli, v čitateli pak píšeme místo konstanty lineární funkci x. Vše ostatní zůstává stejné jako v předchozích bodech: P(x)__P(x)_ Ax + B | C Q(x) (ax2 +6x + c)-(x-Xj)... (ax2 +bx + cj x-x1 Pro řešení tohoto typu viz Příklad 6.6. RESENA ÚLOHA 6.5 f6x3+21x2+18x + 5 , Integrujte -5-ax. Řešení: 6x3 +21x2 +18x + 5 Nejprve rozložíme racionální funkci-5-na parciální zlomky: (x + l) x 143 Neurčitý integrál 6x3+21x2+18x + 5 _ A B C D (x + lfx ~(^ + 1) + (jc + 1)2+(jc + 1)3+7 Pravou stranu upravíme na společný jmenovatel: 6x3 +21x2 +18x + 5 _ ^(x + l)2x + J8(x + l)x + Cx + Z)(x + l)3 (x + l)3x (x + l)3x Nyní budeme volit vhodná x tak, abychom získali konstanty .4, B, C, D. Dosazujeme do čitatele obou zlomků výše (které se musí rovnat) Nechť x = -1: 2 = 0 + 0-C + 0, odkud máme C =-2. Nechť x = 0: 5 = 0 + 0 + 0 + 1), odkud dostáváme D = 5. Nechť x=l: 50 = 4^4 + 25 + C + 8Z), za C a D dosadíme vypočtené hodnoty: 50 = 4A + 2B - 2 + 40 , čímž obdržíme rovnici pro A a B: 12 = 4A + 2B . Potřebujeme ještě jednu rovnici (máme dvě neznámé). Nechť x = -2: 5 = -2A + 2B - 2C - D , za C a D opět dosadíme: 5 = -2A + 2B + 4 - 5, a obdržíme druhou rovnici pro AaB: 6 = -2A + 2B . Řešíme soustavu: 12 = 4.4 + 25 6 = -2 A + 2B Řešením této soustavy je A = 1 a B = 4. Nyní můžeme přikročit k integraci jednotlivých parciálních zlomků: r6x3 +21x2 +18x + 5 , f 1 , f 4 , f -2 , f5 , ---dx =---dx+ -■—tUx+ --dx+ —dx = J (x + l)3x J(* + l) J(x + 1)2 J(x + 1)3 J* i i 4 1 - , = ln x + 1--+-- + 5 ln x + C . ■ 1 ' x + 1 (x + 1)2 1 1 144 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii RESENA ÚLOHA 6.6 c3x2-3x + 27 Integrujte: -;-dx j x +x Řešení: Zadanou racionální funkci rozložíme na parciální zlomky: 3x2-3x + 2 Ax + B C - + — x +x x +1 x Ve jmenovateli prvního parciálního zlomku musí být lineární funkce, ne jen konstanta! Dále postupujeme podobně jako v předchozích příkladech, hledáme konstanty^, B a C: 3x2-3x + 2 Ax2+Bx + Cx2+C x3 + x x3 + x Nechť x = 0: dostáváme ihned C = 2. Nechťx = 1: dostáváme 2 = A + B + 4,poúpravě: -2 = A + B. Nechť x = -1: dostáváme 8 = A-B + 4, po úpravě: 4 = A-B . Řešením soustavy pro A a B obdržíme: A = l, B = -3 . Nyní můžeme přejít k integraci: ■3x2-3x + 2 . r jc-3 . r2 (•JJC-JJC + Z, fl-J , fZ, -r—-dx = dx+ \ —dx j x +x j x +1 J x Označme první integrál na pravé straně h a druhý integrál h. Integrál h je tabulkový integrál: f 2 i i I2 = \ —dx = 2ln\x\ + C. J v* Při integraci h postupujeme následovně: nejprve integrál rozdělíme na dva, a každý integrujeme zvlášť: c x — 3 c x rl /, = \ —-—dx= —-dx-3\—-dx Jx2+1 Jx2+1 Jx2+1 První integrál na pravé straně je typu f ^ ^ dx, pokud jej vhodně upravíme: — f fX dx J fix) 2 J x +1 f(x) Integrace je pak už snadná: 1 f 2x , 1 — —-dx = - 2Jx2+l 2 ln x2 +1 +C 2 145 Neurčitý integrál Druhý integrál je tabulkový integrál (pro funkci arctgx): f 1 -3 —--dx = -3arctgx. J x +1 Výsledek shrneme: f3x2-3x + 2 , „, i i 1, 2 , o --r—-dx = 21n x H—ln x +1 -3arctgx. m J x3+x 11 2 Obecně platí, že tento typ integrálu téměř vždy vede na funkce logaritmus a arctangens. 6.3 Integrace součinu funkcí (metoda per partes) Smyslem této metody je rozložit jeden složitější integrál na dva jednodušší členy (odtud název metody: per partes je latinsky „po částech"). Vzorec, který používáme při integraci per partes, si odvodíme z pravidla pro derivaci součinu dvou funkcí, které označíme u(x) a v(x). (u • v)'= uv + uv Nyní osamostatníme vlevo člen uv': uv'= (uv)'-u'v, a tuto rovnost integrujeme: | uvdx = | (uv)'dx - ^uvdx Prostřední člen obsahuje integrál i derivaci, proto se tyto dvě operace vyruší, a dostaneme: | uvdx = uv-j uvdx Zopakujme, že smysl metody spočívá v tom, že složitý integrál vlevo je nahrazen součinem obou funkcí a jednodušším integrálem vpravo. Důležitá je správná volba funkcí u a v'. Nesprávná volba funkcí vede k tomu, že složitost úlohy naroste. V takovém případě je zapotřebí zvolit funkce u a v' opačně. 146 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii RESENA ÚLOHA 6.7 Vypočtěte: J x • exdx. Řešení: Zvolíme u = x a v' = ex: u = x, v'= e* í x ■ exdx u'= \,v = ex xe ■ J1 • exdx = xex - ex + C = (x -1) ex + C Při per partes si tedy nejprve vytvoříme tabulku s funkcemi u, uv a v'. Poté dosadíme tyto funkce do odvozeného vztahu pro per partes výše. Při správné volbě m a v' se integrovaný výraz zjednoduší natolik, že jeho výpočet již není problémem. ■ RESENA ÚLOHA 6.8 Vypočtěte: J x • ln xdx Řešení: | x ln xdx - u = ln x, v'= x 1 x2 u = —, v = — x 2 x2 1 x2 x2 1 x2 x2 — ln x----dx = — ln x--xdx = — ln x---h C . ? J x 2 ^ ^J ^ ^ RESENA ÚLOHA 6.9 Vypočtěte: j x sin xí/x . Řešení: |xsinxí& u = x, v = sin x w'= 1, v = - cos x -x cos x -|(-cosx)dx = -x cos x + sin x + C. 147 Neurčitý integrál RESENA ÚLOHA 6.10 Vypočtěte: ^arctgxdx . Řešení: Uvnitř integrálu je pouze jediná funkce, arctgx, proto by se mohlo zdát, že per partes není vhodná metoda pro výpočet. Použijeme však „trik": arctgx = arctgx-1, a zvolíme v' = 1: | arctgxdx u = arctgx, v = 1 1 l + x1 ,v = x f x 1 xarctgx - J--jdx = xarctgx - — ln ■C. Analogicky se vypočte například ln xdx. PRO ZÁJEMCE Vypočtěte: Xnxdx. RESENA ÚLOHA 6.11 Vypočtěte: J sin xexdx . Řešení: ^sinxexdx ■ u = sin x, v = e u'= cos x, v = e" ■ ex sin x -1 ex cos xí/x : w = cos x, v = e u'= - sin x, v = e" e sinx- ex cos x + |ex sin xdx = ex sin x - ex cos x - |ex sin xdx Použili jsme dvakrát per partes, a může se zdát, že výpočet skončil ve slepé uličce, neboť na pravé straně jsme získali stejný integrál jako zadaný integrál. Ve skutečnosti j sme však už blízko řešení: označme hledaný integrál / a rovnici prepíšme: / = ex sin x - ex cos x -1. 148 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii Nyní stačí už jen na pravé straně osamostatnit/: 21 = ex sin x - ex cos x, A po dělení 2 obdržíme výsledek: T sin xex - cos xex „ 1 =-+ C m 2 Složitější integrály řešíme pomocí substituce (substituce je totéž co náhrada): složitý výraz nahrazujeme jednodušším. Typicky se substituce využívají při integraci složených funkcí, odmocnin (Eulerovy substituce) a goniometrických funkcí (kde se používá univerzální sub- x stituce t = tg—). Substitucím je věnována samostatná Kapitola 7, proto je prozatím vynecháme. 6.4 Celkové náklady a celkové příjmy V ekonomii lze (neurčitý) integrál využít k výpočtu celkových příjmů nebo celkových nákladů, pokud jsou známy (dány) mezní příjmy respektive mezní náklady. Jak již bylo zmíněno v Kapitole 2, mezní veličiny jsou derivacemi celkových veličin, a tedy celkové veličiny jsou naopak integrály mezních veličin. Tyto integrály mohou být buď neurčité - když hledáme pouze funkční závislost celkových veličin na množství, nebo určité, pokud máme zadány integrační meze a chceme celkové náklady vyčíslit. V této kapitole se omezíme pouze na první případ, určitý integrál je tématem Kapitoly 8 a 9. Funkce celkových nákladů TC(x) a funkce mezních nákladů MC(x), kde x je počet výrobků, spolu souvisejí vztahem: TC(x) = JMC(x)dx + C (6.1) Vztah (6.1) říká, že celkové náklady jsou součtem mezních nákladů. Integrační konstanta C se určí z jedné známé hodnoty TC(x) pro dané x. Stejný vztah platí také pro celkové příjmy TR(x) a mezní příjmy MR(x): TR(x) = ^MR(x)dx + C (6.2) Výpočet celkových nákladů, respektive celkového příjmu si ukážeme v následujících úlohách. 149 Neurčitý integrál ŘEŠENÁ ÚLOHA 6.12 Určete funkci celkových nákladu, jestliže funkce mezních nákladů MC (x) = \40e°'2x a náklady na produkci 10 výrobků činí 6000 Kč. Řešení: Použijeme vztah (6.1): „0,2x TC(x) = ÍU0e02xdx + C = U0Íe02xdx + C = 140-+ C = 700e°'2x + C . J J 0,2 Nyní ještě určíme konstantu C z podmínky, že náklady na produkci 10 výrobků činí 6000 Kč, a je tedy x = 10 a TC(x) = 6000: 6000 = 700e2+C, A odtud C = 828. ■ ŘEŠENÁ ÚLOHA 6.13 Určete funkci celkových nákladů, pokud je dána následující funkce mezních nákladů, kde x znamená množství: a) MC = 4x + 5, když víme, že náklady na produkci 5 kusů činí 200 euro, b) MC = x2+-^-. x + 3 Řešení: a) Mezní náklady integrujeme: TC = J (4x + 5)dx = 2x2 + 5x + C, a z dané podmínky určíme konstantu C: 7T(5) = 200 = 2-52 +5-5 + C, odkudjeC= 125. x3 b) Mezní náklady integrujeme: TC =--h 81n x + 3 + C . m 150 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii RESENA ÚLOHA 6.14 Mezní příjmy jsou popsány funkcí MR = 140 - 6x + 2, najděte funkci celkového příjmu. Řešení: Mezní příjem integrujeme: TR = j"(l40 - 6x)í/x = 140x-3x2 + C . SAMOSTATNÝ UKOL 1. Integrujte: a) f(x) = 3x2 + 2x +1 [x3 +x2 +x + C] b) /(x) = x4-5x + 8 [ —--x2+8x + C] 5 2 c) f(x) = 4e*+-x [4ex+51nx + C] d) f(x) = -^ + 2l/x + 2x x [_1+2V7+—+c] x 2 ln 2 e) f(x) = 4sinx-3cosx [ 4 sin x - 3 cos x + C ] x +1 [I0arctgx + C ] g)/00=-^T x +6 [ln(x2+6)] 151 Neurčitý integrál 2. Rozložte na parciálni zlomky následující racionální lomené funkce: 5x + 2 a) x2 +x r5x + 2 2 3 n [—-= - +-ľ] x +x x x + l b). 4x-n (x + l)(x-4) r 4x-ll 3 1 n [-=-+-] (x + l)(x-4) x + l x-4 -2x2 + 8x + 4 x2(2 + 3x) -2x2+8x + 4 1 2 5 x2(2 + 3x) x x2 2 + 3x 3x2-4x + 5 } (x-3)(x2+l) 3x2-4x + 5 _ 2 x-1 (x-3)(x2+l)~lT^ + ~ŕ+í] 3. Vypočtěte: a) ľ————dx J x2 +4x-5 [31n|x + 5|-21n|x-l| + C] , x f5x -17x + 12 , b) —;-ô-dx J x3-4x2+4x 3 2 1 1 [ — dx + -dx- -T-dx = 3 lnlxl + 2ln|x — 2| H---h C ] J x J x-2 J (x-2) M 1 1 x-2 4. Vypočtěte: a) í——^-dx J x2 + 4x + 5 [arctg(x + 2) + C] 152 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii b) í——--dx J x2+2x + 5 r3 x + 1 ~n —arctQ--h C 2 2 5. Řešte metodou per partes: a) jx2exdx [(x2-2x + 2)ex+C] b) \(2x + í)exdx [(2x-l)ex+C] c) | x3 ln xdx [—lnx- — + C] 4 16 d) jlnxí/x [ x ln x - x + C ] e) ľ^^dx J x [--lnx-- + C] x x 6. Jsou dány mezní náklady MC(x) = 25e0,4x, určete funkci celkových nákladů, jestliže výroba 10 kusů výrobků stojí 3500 Kč. [ TC(x) = 62,5e°'4x+ 88 Kč] 153 Speciální substituce v neurčitém integrálu 7 SPECIÁLNÍ SUBSTITUCE V NEURČITÉM INTEGRÁLU RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Obsahem kapitoly jsou vybrané substituce v neurčitém integrálu. Konkrétně jde o substituce složené funkce, exponenciální a logaritmické funkce, a goniometrické substituce. CÍLE KAPITOLY Cílem této kapitoly je, aby student získal následující dovednosti: • Poznat, kdy je daný integrál vhodné řešit substituční metodou. • Vybrat vhodnou substituční metodu a správněji aplikovat. KLÍČOVÁ SLOVA KAPITOLY Neurčitý integrál, substituce, substituční metoda. ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU 4-6 hodin V předcházející kapitole jsme zavedli neurčitý integrál a ukázali jsme si integraci j ednodu-chých (základních) funkcí. Mnoho integrálu je však složitějších a k jejich řešení se musí použít vhodná integrační metoda. Jednou z integračních metod je metoda substituční. V této kapitole si ukážeme některé často používané substituce v neurčitém integrálu. Substituce znamená náhradu výrazu s původní proměnnou (x) za nějaký výraz s novou proměnnou (nejčastěji označenou ť). Cílem substituce je zjednodušit integrovanou funkci a převést ji na integraci racionální lomené funkce (zlomku). Substituci provádíme typicky v těchto případech: • Je-li v integrálu složená funkce (v závorce), pak nahrazujeme vnitřní funkci (tedy onu závorku), • Je-li v integrálu odmocnina, pak nahrazujeme celou odmocninu nebo výraz pod odmocninou, 154 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii • Jsou-li v integrálu různé goniometrické funkce, pak provedeme substituci tak, abychom dostali buď jednu goniometrickou funkci nebo racionální funkci bez goniometrických funkcí. Poznámka: při substituci nezapomeneme nahradit i diferenciál dx diferenciálem nové proměnné (dt)\ V této kapitole si ukážeme užití některých speciálních substitucí. 7.1 Integrace složených funkcí Na úvod jen připomeňme, že složená funkce je funkce ve funkci, viz Kapitola 1.5. Stejně j ako u derivování j e při integraci důležité si uvědomit, která funkce j e vnitřní, a která vněj ší. RESENA ÚLOHA 7.1 Vypočtěte |(2x +1)4 dx . Řešení: zavedeme substituci 2x + \ = t, potřebujeme ještě nahradit dx za dt, což se provede tak, že substituční vztah zderivujeme (vlevo podle x a vpravo podle ť) a za každou stranu rovnice napíšeme příslušný diferenciál (tomuto postupu se říká diferencovat rovnici): 2dx = Idt. Při řešení integrálu se tyto pomocné výpočty obvykle zapíší do tabulky ohraničené zleva a 2x+\=t 2dx = dt zprava svislou čarou: j(2x + \y dx Provedeme substituci a pokračujeme: j(2x + \)4dx- 2x+l=t 2dx = dt \ŕ^=Uŕdt J 2 2J 2 5 + C 10 ■ + C: (2jc + 1)5 +c. Na závěr se nesmíme zapomenout vrátit k původní proměnné x. Můžeme si ověřit i správ- f(2x + l)5 nost výsledku derivováním: derivací výrazu J -— + C opravdu vyjde původně zadaná funkce (2x + l)4. ■ 155 Speciální substituce v neurčitém integrálu RESENA ÚLOHA 7.2 Vypočtěte: JVx+3í/x. Řešení: 3dx ■ 2x + 3 = t 2dx = dt :|V .± = lUdt = }-e< +C=-e2x+3 +C J o o J 9 9 RESENA ÚLOHA 7.3 Vypočtěte: j"cos(5x-4)g-2=> = \t +1 2 dt= ľÍÄ = lnM + C = ln J 2t ŕ+\ h '' x 'g2 + C. 7.4 Integrace iracionálních funkcí Iracionální funkce jsou funkce obsahující proměnnou pod odmocninou. V tomto případě obvykle nahrazujeme celou odmocninu. RESENA ÚLOHA 7.12 Vypočtěte: J"a/4x + Xdx. Řešení: Substituci si opět zapíšeme do pomocné tabulky. První řádek je substituční vztah, druhý řádek získáme umocněním prvního řádku na druhou. Třetí řádek vznikne derivací druhého řádku podle x (vlevo) a podle t (vpravo), kde za obě strany připíšeme diferenciál dx respektive dt (říkáme, že rovnici diferencujeme). Poté již provedeme samotnou substituci a integraci. jV4x+k&: V4x + 1 =/ 4x + l = r2 4dx = 2tdt Ítdt 1 r 7. i ŕ _ ŕ _ t--= -\t2dt=--+ C= — + C 2 2J 2 3 6 (V4x + l)3 + C 160 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii RESENA ÚLOHA 7.13 Vypočtěte: jx-Jx^-ldx. Řešení: Opět provedeme substituci celé odmocniny: JxVx2 -Idx Vx2 -l=t x2-l = t2 2xdx = 2tdt xdx = tdt t \ 1 jt-tdt = jt2dt= — + C=--—+ C Vx7^)3 O správnosti integrace se opět můžeme přesvědčit zpětným derivováním. RESENA ÚLOHA 7.14 Vypočtěte: jVl-x2dx. Řešení: Provádíme substituci x = sin ŕ proto, abychom pod odmocninou dostali druhou mocninu. V průběhu výpočtu využíváme vztahy (1) a (5) z Tabulky 7.1. jVl-x2dx ■ x = sin t dx = cos t J cos tyji -sin2 tdt =|cosřVcos2 tdt =|cos2 tdt l + cos2r 7 1 sin2ŕ 1 . 1 r-7 ^ -dt = —t-\--= —arcsinx + —x-y/l-x +C . 2 2 4 2 2 Při zpětné náhradě zřnax bylo využito rovností: r = arcsinx, sin2/ = 2sin/cosř = 2x^J\-x2 . ■ Pozn. Obecně lze říci, že při integrování odmocnin se stejné odmocniny objeví i ve výsledku. 161 Speciální substituce v neurčitém integrálu Pro složitější iracionální funkce obsahující kvadratické funkce můžeme použít i jiné speciální substituce, jako jsou Eulerovy substituce, viz např. Skrášek a Tichý (1986) nebo Černý (2002). SAMOSTATNÝ UKOL 1 .) Vypočtěte: |(3x - lf dx . (3x-2)5 [--L+C] 15 2.) Vypočtěte: j"sin(l - 5x)dx cosíl - 5x) [—^-—l+C] ^ \ -r j „ „ r ln2 x , 3. ) Vypočtete: -dx. J x [—+ C] 3 4. ) Vypočtěte: Jcos3 xdx. . sin3x [sinx---hC 1 3 5. ) Vypočtěte: ^2x+5dx J(2x + 5)3 3 6. ) Vypočtěte: Jx-y/x2 + 2dx 7. ) Vypočtěte: -r = 7 x = 0->r = l r 3 dt 1 r 3 . 1 : \ř — = -\řdt = - 1 Yl 7 1 f 74 ť 1 2 4 1 " 2 v4 4, 1 2400 2 4 300. 172 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii RESENA ÚLOHA 8.14 Vypočtěte: Jx-v/x2 +2dx. Řešení: ^x-Jx2 + 2dx ■ ■yjx2 +2= t x2 +2 = t2 2xdx = 2tdt x = 0^t = 42 X = l^t = y/3 : J ŕdt •h V?_(V3) (V2) _^-242 VI 3 3 3 RESENA ÚLOHA 8.15 ji Vypočtěte: jsin2 xcosxí/x Řešení: sin2 xcosxí/x : sinx = t cos xdx = dt ^ŕdt sin x 0-0 = 0. RESENA ÚLOHA 8.16 r 2 Vypočtěte: -dx J xlnx Řešení: xlnx ■dx lnx = t —dx = dt x e 2 J 2ří/ř = [ř2 ] =[lnx£ = lne2 - lne = 2-1 = 1. 173 Určitý integrál 8.5 Nevlastní integrál V předchozích kapitolách o určitém integrálu j sme předpokládali, že obě integrační meze a a b jsou konečné, a také, že integrovaná funkce je v daném intervalu spojitá a nabývá pouze konečných hodnot. • Pokud není splněna první podmínka, hovoříme o nevlastním integrálu vlivem integrační meze. • Pokud není splněna druhá podmínka, hovoříme o nevlastním integrálu vlivem nespojit o sti funkce. V nevlastním integrálu je tedy buď integrační mez nekonečná, nebo integrovaná funkce nabývá nekonečné hodnoty v bodě nespojitosti. Připomeňme, že pojmem „vlastní" se označují konečné hodnoty (reálná čísla), zatímco pojem „nevlastní" označuje plus nebo mínus nekonečno. Odtud tedy pojmenování tohoto typu integrálu. Hodnota nevlastního integrálu může být konečná, v tom případě říkáme, že konverguje. V opačném případě říkáme, že integrál diverguje. Výpočet nevlastního integrálu vlivem horní meze se provádí pomocí následujícího vztahu: +GC (8.5) a Výpočet nevlastního integrálu vlivem dolní meze se provádí analogicky. ŘEŠENÁ ÚLOHA 8.17 Vypočtěte: \—dx. Řešení: — dx = lim--= lim 0 + 1 = 1. Daný nevlastní integrál tedy konverguje. ■ 174 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii RESENA ÚLOHA 8.18 Vypočtěte: \—dx. Řešení: Použijeme vztah (8.5): \—dx = lim lnlxlí = limílnr - lni) = qo - 0 = qo . Nevlastní integrál v tomto případě diverguje. RESENA ÚLOHA 8.19 Vypočtěte: j"o,5xdx. Řešení: 0,5xdx = lim 0,5X ln 0,5 0,5ř 0,5* lim t-**, ln Q 5 in o, 5 0—^- = 0,721. In0,5 Nevlastní integrál konverguje (neboť exponenciální funkce klesá velmi rychle). SAMOSTATNÝ ÚKOL 1. Vypočtěte následující určité integrály: 4 a) |x3í/x 0 [64] 4 b) J(6x2 +4x-l)dx 1 [153] 3 c) J (x3 - x) í/x -3 [0] 175 Určitý integrál d) ľ—dx [2] n e) j"sinxy = x [s = 9/4] 3. Vypočtěte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací křivky y = x + \ na intervalu (0,2). 4. Vypočtěte přebytek spotřebitele a přebytek výrobce (v podmínkách dokonalé konkurence) za předpokladu, že funkce nabídky S(Q) = Q2 + 1 a funkce poptávky D(Q) =11-30. [0£ = 2, cs=6,ra= 16/3. ] 5. Vypočtěte celkový příjem vlastníka pozemku v čase t = 0 až 20 let, je-li hodnota renty dána funkcí f(t) = 1 OOOOíT0'1' Kč. [86467 Kč] 189 Nekonečné číselné řady 10 NEKONEČNÉ ČÍSELNÉ ŘADY RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Tato kapitola se věnuje problematice nekonečných číselných řad. Zavádí nové pojmy, jako je součet řady, konvergence řady, divergence řady nebo kritéria konvergence. Dále je v kapitole demonstrováno užití nekonečných číselných řad v ekonomii. CÍLE KAPITOLY Cílem této kapitoly je, aby student získal následující dovednosti: • Rozumět pojmu nekonečná číselná řada. • Umět určit konvergenci či divergenci dané řady. • Umět určit součet nekonečné geometrické řady. • Umět aplikovat nekonečnou řadu v ekonomické oblasti. KLÍČOVÁ SLOVA KAPITOLY Nekonečná číselná řada, konvergence, divergence, součet řady. ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU 6-8 hodin 10.1 Pojem nekonečné číselné řady Číselnými řadami se zabývali matematikové již od starověku, například Archimédes znal vzorec pro součet nekonečné geometrické řady. Známý je Zénónův paradox o Achillově a želvě: Achilles závodí s želvou a dají na začátku náskok 10 metrů. Když uběhne těchto 10 metrů, želva uběhne metr. Achilles uběhne tento metr, ale želva je stále před Achillem o 10 centimetrů, po uběhnutí těchto 10 cm bude stále želva napřed o 1 cm, a příběh pokračuje do nekonečna. Podle Zénóna Achilles želvu nikdy nedožene. 190 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii Starověcí matematikové byli přesvědčeni, že nekonečný součet kladných čísel (doba běhu Achilla, respektive želvy) musí být nekonečný. V tom se ale mýlili. Nekonečné řady mohou mít za jistých podmínek konečný součet, a problematikou součtu nekonečně mnoha čísel (nekonečné číselné řady) se budeme zabývat v této kapitole. Nejprve si definujeme základních pojmy: n Číselnou řadou nazýváme součet (reálných) čísel ax + a2 + a3 +... + an = ^ai . 1=1 Je-li počet sčítanců konečný, mluvíme o konečné číselné řadě, je-li počet sčítanců nekonečný {n —» oo), jedná se o nekonečnou řadu: co a1 + a2+a3+... = ^jan (101) n=l V dalším výkladu se budeme až na výjimky zabývat nekonečnými číselnými řadami (krátce jen „řadami"). n Veličina sn = ^jaj se nazývá n-tý částečný součet řady. Je to součet prvních n členů řady. i=i Součet řady s je pak limitou posloupnosti částečných součtů sn: Mmsn=s (10.2) Chceme-li určit součet nekonečné řady podle vztahu (10.2), sečteme nejprve první 2 členy řady (získáme si), pak první 3 členy {si), první 4 členy {si), a tak dále. Hodnota, ke které se blíží tyto částečné součty, je pak hledaný součet řady. Jestliže má daná řada konečný součet, nazývá se konvergentní. V opačném případě, kdy je součet nekonečný nebo vůbec neexistuje, je řada divergentní. Radu mohou obecně tvořit kladné i záporné členy, a proto musíme ještě rozlišovat neabso- co lutní konvergenci a absolutní konvergenci: řada konverguje absolutně, jestliže kon- n=l CO CO CO verguje i řada ^|«„| • Jestliže řada ^an konverguje, ale řada ^|«„| ne, pak daná řada n=l n=l n=l konverguje neabsolutně. Absolutní konvergence je tedy „silnější", a je tomu tak proto, že u řady bez absolutních hodnot se mohou kladné a záporné členy řady částečně odečíst. O konvergenci řad platí tato tvrzení: 1. Vynechání nebo přidání konečného počtu členů nemá vliv na konvergenci či divergenci řady. 2. Pokud daná řada konverguje absolutně, pak také konverguje neabsolutně. Opačné tvrzení neplatí. 191 Nekonečné číselné řady Konvergenci (divergenci) řad zjišťujeme pomocí podmínek konvergence a/nebo užitím kritérií konvergence, které jsou obsahem následující kapitoly. resena úloha 10.1 Příklad 10.1. Uvažujme dělení pizzy, při kterém nejprve ukrojíme polovinu pizzy, pak ukrojíme polovinu z toho, co zbylo (tedy čtvrtinu původní pizzy), pak ukrojíme polovinu zbytku (tedy osminu původní pizzy), atd. Tímto dělením získáme nekonečnou řadu: 1111 — + — + - + — + ... 2 4 8 16 Částečné součty této řady jsou: 1 ^ 113 2 tř 1 2 4 4' V 1 1 1 7 *A s, = y a, = —i---h — = —, ata. 3 1 2 4 8 8 Tyto částečné součty se blíží k jedné, a podle vztahu (10.2) je tedy součet řady 5=1. Nakonec odkrojíme celou pizzu (jednotku). Tento ilustrační příklad ukazuje, že nekonečná řada skutečně může mít konečný součet, a tedy být konvergentní. Následující dvě ukázky představují divergentní řady. ■ řešená úloha 10.2 Určete součet následující nekonečné řady (takzvaná Grandiho řada): co ^-l)"1 =1-1 + 1-1 + 1-1... n=l Řešení: Vypočteme částečné součty této řady: s1 = 1, s2 = 0, s3 = 1, 54 =0, atd... Podle vztahu (10.2) je součtem řady 5 limita této posloupnosti, v níž se střídají 1 a 0. Taková posloupnost ale limitu nemá (členy této posloupnosti se neblíží ani k 1 ani k 0, neustále mezi nimi oscilují). Zadaná řada je tedy divergentní. ■ 192 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii ŘEŠENÁ ÚLOHA 10.3 co Určete součet následující nekonečné řady: ^«=1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + .... n=l Řešení: Jedná se o řadu všech přirozených čísel. Je zřejmé, že tato řada bude mít nekonečný (a kladný) součet, neboť neustále přičítáme větší a větší (kladná) čísla. Rada je proto divergentní. ■ Příklady uvedené výše nás mohou vést k následujícím obecným otázkám týkajících se nekonečných řad: • Má daná nekonečná řada konečný součet? (Jak to můžeme poznat?) • Pokud ano, j aký j e tento součet? Odpověď na první otázku je předmětem následující kapitoly. 10.2 Podmínky konvergence řad, kritéria konvergence Když se zamyslíme nad tím, proč je součet řady z příkladu 10.1 konečný a z příkladu 10.3 nekonečný, můžeme dojít k závěru, že řada z příkladu 10.1 má konečný součet proto, že k prvním členům přičítáme stále menší a menší čísla, takže částečné součty řady rostou pomaleji a pomaleji, až se začnou blížit k nějaké mezní hodnotě (součtu řady s). V úloze 10.3 naopak přičítáme stále větší čísla, proto můžeme jen stěží očekávat, že by výsledný součet mohl být konečný. Aby tedy řada měla konečný součet (aby konvergovala), musí splňovat nutnou podmínku konvergence: lima„=0 (10.3) Podmínka (10.3) říká, že členy řady se musí zmenšovat k nule. Ale tato podmínka sama o sobě ke konvergenci nestačí, viz následující příklad. ŘEŠENÁ ÚLOHA 10.4 Určete součet harmonické řady: V — = 1 h---1---1---1---h... t-í/j 2 3 4 5 Řešení: 193 Nekonečné číselné řady Přestože se členy harmonické řady blíží k nule, a podmínka (10.3) je tedy splněna, ukážeme, že tento součet je nekonečný a harmonická řada je proto divergentní (tento důkaz podal již ve 14. století francouzský matematik Nicolas ďOresme). Součet prvních dvou členů je 3/2. Součet dalších dvou členů je větší než Ví, součet 5. až 8. členu je rovněž větší než Ví, součet 9. až 16. členu je opět větší než Ví, a tak můžeme pokračovat do nekonečna. Součet harmonické řady je tedy roven 3/2 plus nekonečnému násobku Ví, což dává nekonečný součet. ■ Nutná podmínka konvergence má následující smysl: jestliže ji daná řada nesplňuje, pak je tato řada nutně divergentní. Pokud řada naopak nutnou podmínku konvergence splňuje, nedokážeme říci, zda konverguje nebo ne, potřebujeme ještě nějakou další podmínku. ŘEŠENÁ ÚLOHA 10.5 Je řada V^!LLl konvergentní nebo divergentní? „=i 3/j-I Řešení: Pokud daná řada konverguje, musí splňovat nutnou podmínku konvergence (10.3). Avšak daná řada tuto podmínku nesplňuje: lim 2n + ^ = —, a proto diverguje. ■ «->-00 3n -1 3 Podmínka, která s jistotou zaručuje konvergenci řady, se nazývá postačující podmínka. Takovou podmínku nalezli v 19. století matematikové L. A. Cauchy7 a B. Bolzano8, a proto se nazývá Bolzano-Cauchyova nutná a postačující podmínka konvergence nekonečné řady: VĚTA 10.1 - bolzano-cauchyova podmínka co Řada ^Y_lan skladnými nebo zápornými členy je konvergentní právě tehdy, když ke kaž- n=l dému s > 0 existuje přirozené číslo N takové, že pro n> N a libovolné přirozené číslo p platí: \an+1 + an+2 +... + a \ bn pro všechna n větší než CO nějaký index k (tato podmínka říká, že od k-tého členu jsou všechny členy řady ^ an větší n=l CO CO než tytéž členy řady ^bn). Nechť dále řada je konvergentní. Potom také řada n=l n=l CO CO CO ^ bn konverguje. Radu ^ an nazýváme majorantou řady ^ bn. Srovnávací kritérium říká, že pokud k dané řadě bn) najdeme nějakou konvergentní n=l CO CO řadu C^jan ), jejíž členy jsou větší než členy dané řady, pak daná řada ^ bn konverguje n=l n=l co co (což je logické, neboť ^ an obsahuje větší členy, a její součet je konečný, tudíž řada ^ bn n=l n=l s menšími členy musí mít rovněž konečný (a menší) součet). Analogicky můžeme rozhodnout o divergenci dané řady, pokud její členy jsou větší než členy jiné divergentní řady. co -]| Často používanou řadou pro srovnávací kritérium je Dirichletova9 řada: ^ —. n=l n CO Tato řada konverguje pro a>\. To znamená, že například V——je konvergentní «=i n • co -]| (a = 1,2 > 1), zatímco řada ^ —j= je divergentní (a = 0,5). Pro a = 1 dostaneme ji mou harmonickou řadu, která je divergentní. liz zna- ' L.P. Dirichlet (1805-1859), francouzský matematik. 195 Nekonečné číselné řady RESENA ÚLOHA 10.6 Rozhodněte o konvergenci řady V--—-- pomocí srovnávacího kritéria. £ŕ(#i + l)(#i + 2) Řešení: 1 1 x 1 Zadaná řada má členy -,-r---, které jsou menší než členy — řady V—-. Tato řada (w + l)(w + 2) n je majorantou zadané řady, jedná se o Dirichletovu řadu, která je konvergentní (a = 2). Proto podle srovnávacího kritéria konverguje i zadaná řada. ■ RESENA ÚLOHA 10.7 CO Rozhodněte o konvergenci řady ^-- pomocí srovnávacího kritéria. n=l n ' 3 Řešení: 1 1 00 1 ~ 00 1 Zadaná řada má členy -, které jsou menší než členy — řady V — . Rada V— je n • j j n=i j n=i j tedy majorantou zadané rady Zároveň je to řada geometrioká s kvoeien.em , = I a tndíž je konvergentní. Proto konverguje i zadaná řada. ■ Nyní si uvedeme další kritéria konvergence řad pro řady s kladnými členy: podílové, od-mocninové a integrální kritérium. Na závěr pak uvedeme jedno kritérium pro řady s alternujícími členy (řady, ve kterých se střídají kladné a záporné členy). 10.3. - limitní podílové kriterium 00 a Nechťy] an je nekonečná číselná řada s kladnými členy, a nechť lim—— = L. Potom: • Je-li L < 1 => řada konverguje. 196 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii • Je-li L > 1 => řada diverguje. • Je-li L = 1 => nelze rozhodnout. Toto kritérium používáme především tehdy, když daná řada obsahuje faktoriál. RESENA ÚLOHA 10.8 co r^n Rozhodněte o konvergenci řady V— pomocí podílového kritéria. Řešení: 2"+1 (n + \)\ . 2 Nejprve vypočteme limituL. L = lim--— = lim--- = 0. n->co 2" «->°° ( n + lj n\ Podle limitního podílového kritéria řada konverguje. RESENA ÚLOHA 10.9 n=\ — pomocí podílového kritéria. Řešení: en+l ,r ~ v ■ r t v (n + lf v "V n5 en+1 , Vypočteme limitu L: L = lim--— = lim--— = lim--• lim-= 1 • e = e . "-*0 e_[_ + 1) e" "^(n + l) e" n5 Protože L > 1, řada diverguje. (Mimochodem, řada nesplňuje ani nutnou podmínku konvergence). ■ 197 Nekonečné číselné řady VETA 10.4 - LIMITNÍ ODMOCNINOVE KRITERIUM CO - Nechrl an je nekonečná číselná řada s kladnými členy, a nechť lim úan = L . Potom: n—>co n=l • Je-li L < 1 => ráí/a konverguje. • Je-li L > 1 => ráí/a diverguje. • Je-li L = 1 => «e/ze rozhodnout. Toto kritérium používáme především tehdy, když daná řada obsahuje « v exponentu. ŘEŠENÁ ÚLOHA 10.10 Rozhodněte o konvergenci řady ^ ^-j Použijeme limitní odmocninové kritérium: Z = lim=~ 3 Protože L = — < 1, řada konverguj e. Limitní podílové i odmocninové kritérium lze použít i pro řady se zápornými členy (v tom případě při výpočtu limity L počítáme s absolutními hodnotami členů řady). Následující integrální kritérium je univerzální vtom smyslu, že pro ně není požadován nějaký speciální tvar řady. Pomocí tohoto kritérium navíc dokážeme rozhodnout o konvergenci i u řad, pro něž předešlá kritéria selhávají (například u harmonické řady). 198 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii VETA 10.5 - INTEGRÁLNI KRITERIUM Nechť ^anje řada skladnými členy, an = f in), a nechť f{x) je spojitá a nerostoucí n=l funkce na intervalu (a, +00). Potom daná řada konverguje právě tehdy, když konverguje +00 nevlastní integrál J f(x)dx. RESENA ÚLOHA 10.11 Rozhodněte o konvergenci harmonické řady. | — dx = [ln^Q =+go-0 = +co Daný nevlastní integrál je nekonečný, proto řada diverguje. Pro alternující řady ve tvaru ^(-l)" «„ se používá Leibnizovo10 kritérium. Alternující 1 řady jsou řady, v nichž se střídají kladné a záporné členy. Střídání znamének členů řady způsobuje výraz (-1)". VETA 10.6 - LEIBNIZOVO KRITERIUM Nechť ^ (-l)" a„je alternující řada a nechť platí: 1 i) lim an = 0 ii) aB+1 fj ii) —!— <— ,V«e N ■ n + \ n 10.3 Operace s řadami Nekonečné řady můžeme za jistých podmínek násobit reálným číslem (různým od nuly), sčítat je a odčítat, nebo přerovnávat jejich členy. Následující příklad ukazuje, že při operacích s řadami musíme být opatrní. ŘEŠENÁ ÚLOHA 10.13 co Určete součet řady ^ (-1)"+1 =1-1 + 1-1 + ... i Řešení: co ^ Nejprve přerovnáme („uzávorkujeme" ) řadu takto: = (l-l) + (l-l) +... i V tomto případě je řada součtem všech závorek, ale ty jsou rovny nule, a proto součet řady s = 0. co ^ Nyní zkusíme j iné závorkování: ^(-l)"+ = 1 + (-1 +1) + (-1 +1).... Na začátku řady je 1, i všechny následující závorky jsou rovny nule, a dostáváme s= 1. 200 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii Součet řady se tedy liší v závislosti na tom, jak členy přerovnáme (uzávorkujme)! Příčinou tohoto paradoxního výsledku je, že zadaná řada je divergentní. Je možné dokázat, že vhodným přerovnáním členů nekonečné divergentní řady lze dospět k libovolnému součtu! U konvergentních řad k podobným paradoxům nedochází. ■ VĚTA 10.7- OPERACE S ŘADAMI co co Nechť ^Yaana ^Yu^n Jsou konvergentní nekonečné řady, k g R, k ^ 0. Potom platí: n=l n=l CO CO 0 = kY,an n=l n=l CO CO CO w Za«±Z6« = Z(a«±6«) n=l n=l n=l iii) Součet řady je nezávislý na přerovnání členů řady. Bod i) říká, že když vynásobíme všechny členy řady konstantou k, pak se součet řady změní k krát. Bod ii) říká, že nezáleží na pořadí sčítání členů obou řad. ŘEŠENÁ ÚLOHA 10.14 Řešení: = 2 + 3 = 5 . ■ Vypočtěte: ^ n=l 201 Nekonečné číselné řady 10.4Geometrická řada Jednou z nejjednodušších nekonečných řad je geometrická řada. Vznikne součtem členů geometrické posloupnosti. Připomeňme, že u geometrické posloupnosti je podíl každých dvou sousedních členů an a an+i stejný a roven kvocientu q: = q,V n e N . Příkladem geometrické posloupnosti je například následující posloupnost s kvocientem _ 2 4 8 16 q~r '3'9'27'- Geometrická řada je jednou z mála nekonečných řad, u které známe vzorec pro součet prvních n členů a také součet celé nekonečné řady. Součet prvních n členů geometrické posloupnosti lze vypočíst ze vztahu (10.4): Sn =a\' ~" (10.4) q-\ Součet nekonečné řady získáme ze (10.4) jako limitu pro n —» oo. Je-li |g| < 1, bude se člen q" ve vztahu (10.4) zmenšovat k nule, a po jednoduché úpravě obdržíme hledaný vztah pro součet nekonečné geometrické řady: (10.5) l-q Pokud je tedy kvocient q v absolutní hodnotě menší než 1, je geometrická řada konvergentní . Ve všech ostatních případech (pro |g| > 1) j e řada divergentní. Pro q > 1 budou totiž členy řady růst a nebude splněna nutná podmínka konvergence, pro q < -1 platí totéž, navíc bude řada střídat znaménka, pro q = 1 budou členy řady konstantní, a proto jejich součet bude nekonečný, a pro q = -l obdržíme řadu podobnou té z příkladu 2, která nemá součet (a je tedy divergentní). ŘEŠENÁ ÚLOHA 10.15 Určete součet s geometrické řady: s = !+— + —+ — +... 3 9 27 Řešení: 1 ct 1 3 Máme al=\, q = —, a podle vztahu (10.5) je součet s: s - ——--- — 3 * v 1 ■9 !_I 2 202 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii RESENA ÚLOHA 10.16 00 ( 2 Určete součet geometrické řady ^ — Řešení: Danou řadu můžeme rozepsat, abychom si ujasnili, jaký je její první člen a kvocient: třUJ {5) +UJ \5j + " 5 + 25 + 125 +'" 2 2 2 2 Vidíme, že a: = —, q = —, a podle vztahu (10.5) je součet: s=—^— = — .m 5 5 1 5 Následující příklad je varovný. RESENA ÚLOHA 10.17 00 f V2 ^ Určete součet geometrické řady ^ — n=0 •\/2 1 První člen a, = 1 (pozor, suma začíná pro n = 0!), g = —=—, s =-j=— = 1 - yfŤ, V2-1 V2 V2-1 Při řešení této úlohy jsme se dopustili vážné chyby: neověřili jsme, zdaje kvocient (v absolutní hodnotě) menší než 1! Ve skutečnosti je q větší než 1 (přibližně je q = 3,41), a tedy vztah (10.5) nesmíme použít! Zadaná řada je divergentní. ■ 203 Nekonečné číselné řady 10.5 Další speciální typy nekonečných řad Kromě geometrických řad lze určit součet řady i u takzvaných teleskopických řad. Těles- co kopičkou řadou nazýváme řadu ve tvaru: ^ (an - an+k ), kde k e N. Svůj název obdržela n=l řada proto, že pokud ji rozepíšeme člen po členu (vysuneme řadu jako teleskop), její členy se až na několik (k) členů na začátku řady vzájemně odečtou. Součet teleskopické řady pro nejjednodušší případ k = 1 lze určit takto: co Z(a» -a«+i) = ai-hma« (10-6) n=l CO Podmínkou konvergence teleskopické řady je tedy konvergence samotné řady ^an . n=l RESENA ÚLOHA 10.18 CO ^ Určete součet řady: V —-.-r-. B=1 n(n + l) Řešení: 00 1 °° (1 1 ^ 11111 Danou řadu upravíme takto: V —;-- = V---=1---1-----1-----h... třw(w + l) tíU n + l) 2 2 3 3 4 Vidíme, že počínaje druhým členem se členy řady postupně po dvojicích odečtou. Proto je součet řady 5=1. Stejný výsledek bychom obdrželi i použitím vztahu (10.6). ■ RESENA ÚLOHA 10.19 co ^ Určete součet řady: -. n=1n +2n Řešení: Daná řada, i když to na první pohled nemusí být patrné, je teleskopická, a její součet je 3/2: »2 ^2 ^fl 1^1111111 ,13 > —-= > -= >---=1 — +---+---+---+ ... = 1 + - = - . ■ tin2 + 2n tÍn(n + 2) j-{\n n + 2) 3243546 22 204 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii 10.6 Ekonomické aplikace nekonečných řad V ekonomii jsou samozřejmě všechny číselné řady konečné. Některé řady však mohou obsahovat velký počet stále menších a menších členů, takže je lze aproximovat (přibližně vyjádřit) pomocí nekonečných řad. Typickým ekonomickým odvětvím, ve kterém se setkáme s řadami, je bankovnictví a finance (a možná překvapivě i zábavní průmysl). Asi nej důležitější aplikací nekonečných řad je výpočet současné hodnoty pravidelně se opakujících (konstantních) plateb v budoucnosti, například anuity. Díky diskontovaní budoucnosti a inflaci se ve skutečnosti současná hodnota těchto plateb neustále snižuje, a takto vzniká nekonečná geometrická řada, jejíž součet je možné určit ze vztahu (10.5). RESENA ÚLOHA 10.20 Rentiér panXobdrží od společnosti 7každý rok 1000 eur až do své smrti. Jakou současnou hodnotu má celková částka, kterou obdrží pan X. První platbu obdrží pan Xdnes. Řešení: Nejprve si uvědomme, že 1000 eur dnes nemá tutéž hodnotu jako 1000 eur za rok nebo třeba za třicet let. Za prvé reálná hodnota jakékoli měny klesá kvůli inflaci, za druhé je nutné vzít v úvahu diskontovaní budoucnosti: 1000 eur v budoucnosti nepřikládáme stejnou hodnotu jako 1000 eur dnes (1000 eur v budoucnosti má menší hodnotu, protože tento čas je „ještě daleko"). Současná hodnota (present value) 1000 eur za 1 rok je rovna , kde zje inflace a r \ + i + r diskontní míra. Řekněme, že i' + r = 0,07 (7 %). Potom 1000 eur za rok má nyní hodnotu 1000 MA ^ , , ..... 1000 x , pouze-- = 934,6 euro. 1000 eur za dva roky ma dnes hodnotu-- a tak (l + i + r) (l + z + r) dále. Dostáváme tedy řadu: 1000 1000 1000 1000 = iooo+934,6+8714+.... (l + z + r) (l + z + r) (l + z + r) (l + z + r) Jaký je součet této řady? Předpokládejme, že panXbude žít ještě dlouho (dejme tomu 40 let), potom můžeme tento součet určit jako součet nekonečné geometrické řady s prvním členem a, = 1000 a kvocientem «=—!— = 0,93458 : 1,07 10W ,5286 1-0,93458 Současná hodnota celé renty pana Xje tedy přibližně 15 300 euro. Tato suma poskytuje důležitou informaci i pro společnost 7: částka je maximem toho, co firma panu Xvyplatí 205 Nekonečné číselné řady (rovnost by nastala, pokud by panXžil nekonečně dlouho). Výhodou užití nekonečné řady je rychlost a snadnost výpočtu, a také skutečnost, že při jiných hodnotách i a r nemusíme znovu provádět součet všech členů řady, ale stačí jen dosadit nové hodnoty do vztahu (10.4). Nevýhodou tohoto postupuje, že se dopouštíme určité chyby (nadhodnocení) při určení součtu řady (přesný součet této řady pro prvních 40 členů je 14 265 eur). ■ RESENA ÚLOHA 10.21 Příklad 10.21. Filmová studia mohou odhadnout celkové příjmy ze vstupného z daného filmu ze znalosti příjmů z prvního (premiérového) víkendu a předpokládaného procentuálního poklesu tržeb o dalších víkendech. Pokud při premiérovém víkendu film utrží například 70 milionů dolarů, a každý další víkend návštěvnost filmu klesá dejme tomu o 30 % (podle magazínů specializovaných na show business činí týdenní poklesy příjmů průměrně kolem 45-50 %). Určete horní odhad celkového příjmu filmu. Řešení: Celkové příjmy ze vstupného můžeme vyjádřit jako řadu (v milionech dolarů): 5 = 70 +49 +34,3 + 24+... Tato řada je geometrická s kvocientem q = 0,7. Je tedy konvergentní a bude mít konečný součet. Rada je samozřejmě konečná, protože film se nebude (ani nemůže) promítat nekonečně dlouho, obvykle trvá promítání v kinech půl roku, což je 26 týdnů. Rada tedy bude mít 26 sčítanců. Protože však jsou tyto sčítance menší a menší, nedopustíme se příliš velké chyby, pokud budeme řadu považovat za nekonečnou a aplikujeme na ni vztah (10.5) pro výpočet součtu nekonečné geometrické řady: 70 1 - -233 3 1-q 1-0,7 Film tedy utrží přibližně (pamatujeme, že jde o horní odhad) 233,3 milionu dolarů. Jak se tato hodnota liší od přesné hodnoty (součtu 26 sčítanců)? Jak by se změnily příjmy z filmu, pokud by počet diváků klesal jen o 10 % za víkend? [Odpověď na 1. otázku: rozdíl je naprosto zanedbatelný. Odpověď na 2. otázku: 700 mil. dolarů]. ■ Podobným způsobem by bylo možné vyčíslit příjmy například z prodeje knihy či hudebního nosiče, jejichž prodej rovněž postupně klesá. 206 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii PRO ZÁJEMCE Další možnou aplikací nekonečných řad je (přibližné) určení současné hodnoty životní pojistky, neboť jde také o konstantní platbu, která je prováděna většinou po velmi dlouhou dobu (do smrti pojištěnce), nebo dluhopisu. Současná hodnota (PV) dluhopisu s anuitou a a úrokovou mírou r se vypočte podle následujícího vzorce: PV = Ya(\ + ry=- (10.7) SAMOSTATNÝ UKOL 1. Prodej knihy klesá každý týden o 15 %. První týden se prodalo 220 kusů. Určete celkový prodej knihy. [1 467 knih] 2. Roční příjem je 20 000 Kč, a každým rokem se bude o 4 % zvyšovat. Určete celkový příjem za 10 let. [240 122 Kč] 3. Určete současnou hodnotu PV dluhopisu, je-li a = 1200 Kč a r = 5 %. [24 000 Kč] 4. Rozhodněte, zda-li je daná řada geometrická, pokud ano, určete její součet. a) 2J ž) [ano, «j =-, g = -, 5 = 2 ] 3 ' 1 3 n=0 V 3 J S 3 [ano'fll = 1'g = T'5=FVJ] c) ^ 3" • 22" 1 [ano, al = 6, q = 12 , 5 = +co (řada je divergentní)] n=l CO 2" _J_ °3 2^ CO í y d) ^-n— Ude o součet dvou geometrických řad: = — n=\ 6 „=16 „=i \3 207 Nekonečné číselné řady e) — ] [ano, a1 = —, q = —, s = + (řada je divergentní)] n=i v 5 J 25 5 f) 2^,- [není geometrická] n=l 2 g) ^ (4« - 3) [není geometrická] n=l ^ H+i x ^ x h ^ 3 3 h) Z(_1) 7 [ano, =-, qr = --, í = -] «=1 V5y 5 5 8 5. Určete součet řad: CO J a) T7-77-7 [5 = 1/2] CO ^ b) Z?-Ä7-v\ [5 = 3/2] ^i(w + l)(w + 2) 6. ) Rozhodněte o konvergenci/divergenci řady: co -| a) X- [diverguje podle srovnávacího kritéria] n=2\nn b) V— [diverguje podle srovnávacího kritéria] n=i n co c) ^— [konverguje podle podílového kritéria] °° n2 d) [konverguje podle odmocninového kritéria] n=l 8" co e) V- [diverguje, není splněna nutná podmínka konvergence] ^ n-2 f) > - [diverguje, není splněna nutná podmínka konvergence] 208 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii g) arctg(«2 +1H [diverguje, není splněna nutná podmínka konvergence] n=\ n2 h) ^--— [konverguje podle odmocninového kritéria] 2 + n ^ 2n i) y—7- [diverguje podle srovnávacího kritéria] T=Í n +1 ^ 1 j) > —— [diverguje podle integrálního kritéria] n=2n\nn co y k) ^-- [konverguje podle srovnávacího kritéria] «=i (n + l)2 , ^ 1 1) 2_t—/ [konverguje podle srovnávacího kritéria] n=\ nyjn + 1 7. Rozhodněte o konvergenci alternujících řad: 00 n s/n a) ^(-l) - [konverguje podle Leibnizova kritéria] TI ~~h 200 b) ~ [konverguje podle Leibnizova kritéria] c) ^(-l) 3" [diverguje, není splněna nutná podmínka konvergence] n=i 209 Nekonečné funkční řady 11 NEKONEČNÉ rýchly nahled kapitoly Tato kapitola se věnuje nekonečným funkčním řadám, které jsou zobecněním číselných řad z minulé kapitoly. Opět jsou zde zavedeny pojmy konvergence a divergence řady, a vhodná kritéria konvergence. cile kapitoly Cílem této kapitoly je, aby student získal následující dovednosti: • Rozumět pojmu nekonečná funkční řada. • Umět určit konvergenci, respektive divergenci řady na základě vhodného kritéria konvergence. • Umět určit součet nekonečné funkční geometrické řady. klíčová slova kapitoly Nekonečná funkční řada, konvergence, divergence, kritérium konvergence. čas potřebný ke studiu 6-8 hodin 11.1 Nekonečná funkční řada a její součet Pojem nekonečné číselné řady můžeme zobecnit: místo čísel jako členů řady můžeme uvažovat o funkcích. Nekonečná řada, jejíž členy jsou funkce, se nazývá nekonečná funkční řada. Souvislost mezi nekonečnou číselnou řadou a nekonečnou funkční řadou si ukážeme v následující úloze. 210 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii RESENA ÚLOHA - ILUSTRAČNÍ PŘIKLAD 11.1 n=l En 2 3 4 x =x + x +x +x +.... Vytvořte z této funkční řady číselné řady pro x = 1/2 a x = 2. Řešení: n 1111 Dosadíme nejprve x= 1/2: V — = — + — + — + — + .... Dostali isme tak úvodní číselnou tíUJ 2 4 8 16 řadu z předchozí Kapitoly 10, která ilustrovala dělení pizzy. Tato řada je konvergentní a její součet je 1. co Nyní dosadíme x = 2: ^2" = 2 + 4 + 8 + 16 + ... Tato řada je divergentní, neboť její součet n=l je plus nekonečno. Na základě tohoto příkladu můžeme konstatovat, že funkční řady jsou zobecněním číselných řad. Číselnou řadu získáme z funkční řady tak, že do funkční řady dosadíme za proměnnou x vhodné reálné číslo. Dále si můžeme všimnout, že pro některé hodnoty x je funkční řada konvergentní (v našem případě pro x = 1/2), zatímco pro jiné hodnoty x může být řada divergentní (například pro x = 2). I u funkčních řad má tedy smysl určovat, zda jsou konvergentní, nebo ne (ve skutečnosti patří tento problém mezi ty nej důležitější). Nyní si definujeme nej důležitější pojmy. Nechť f(x), f2(x), f3(x),... je posloupnost funkcí. Nekonečna funkční řada j e symbol: oo Součet funkční řady je funkce s(x), kterou získáme (stejně jako u nekonečných číselných řad) jako limitu posloupnosti částečných součtů: 00 £/„(*)= lim s„(x) = s(x) 00 Řada je konvergentní, jestliže funkční řada ^J„ {x) = f jx) +f7 (x)+... konverguj e n=l k funkci s(x) na jisté množině M. 211 Nekonečné funkční řady Pokud k s(x) konverguje i řada absolutních hodnot ^|/,(X)|, hovoříme o absolutní kon- n=\ vergenci. Množina všech x e M, pro které řada konverguje (konverguje absolutně), se nazývá obor konvergence (obor absolutní konvergence), a v dalším textu bude značen jako OK (OAK). K určení oboru (absolutní) konvergence používáme kritéria konvergence podobně jako u číselných řad (viz Kapitola 10). Nejčastěji používanými kritérii jsou podílové kritérium a odmocninové kritérium, resp. jejich limitní podoba: • podílové kritérium: L(x) = lim (11.1) n-"° \fn(X)\ • odmocninové kritérium: L(x) = lim^|/řl(x)| (11.2) Pokud L(x)<\, řada pro dané x absolutně konverguje, pro L(x)>\ diverguje a pro L(x) = 1 nelze podle daného kritéria rozhodnout. Pokud řada obsahuje pouze kladné členy, OAK splývá s OK. Pokud má řada i záporné členy, mohou se OK a OAK lišit v krajních bodech oboru konvergence. Přitom vždy platí, že OAK^OK. 11.2 Mocninná řada Mocninná řada je speciálním případem obecné funkční řady, a je dána následujícím předpisem: ^cn(x-a)" =c0 +c1(x-af + c2(x — áý +. n=0 Mocninná řada konverguje absolutně na intervalu (a-p,a + p), kde aje střed řady apje poloměr konvergence. Tento interval se nazývá interval konvergence (IK). Interval konvergence je souměrný podle středu a, a obsahuje všechna x, která mají od středu menší vzdálenost než p. Poloměr intervalu konvergencep se vypočte pomocí následujících limit: \c.. r«+i i >o = limf^7 (11.3) nebo /7 = lim_l=r (H.4) "■^ n \c ' 212 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii V krajních bodech intervalu a + p, a - p, řada může, ale nemusí konvergovat, a proto se tyto případy musí vyšetřit zvlášť. Obecně pak platí: IKc.OAKc.OK. RESENA ÚLOHA 11.2 Určete konvergenci řady ^«(x-2) n=l Řešení: Rada je mocninná se středem a = 2 a cn = n . Poloměr konvergence p určíme na základě vztahu (11.4): p = lim 1.— = lim 1— = 1 n->co „/I I n->co „/' 1 Tím dostáváme: IK = {a- p,a + p) = (2 -1,2 + 1) = (1,3). Zvolíme-li číslo z intervalu IK, například 2,5, můžeme se přesvědčit, že daná řada bude konvergentní. K určení oboru konvergence ještě musíme vyšetřit krajní body x = 1 a x = 3. Do zadané řady dosadíme nejprve x = 1: co co 2>(i-2)"=2>(-i)" Tato (číselná) řada je však divergentní, neboť nesplňuje nutnou podmínku konvergence. Nyní do dané řady dosadíme x = 3: co co IX3"2)" =J> = +oo Tato číselná řada je součtem všech přirozených čísel, a je tedy divergentní. Proto můžeme učinit závěr: OK = OAK = IK. ■ 213 Nekonečné funkční řady RESENA ÚLOHA 11.3 03 (x + 4V Určete konvergenci řady ^ -— Řešení: Řada je mocninná se středem a = -4 a c = —. Poloměr konvergence ,-4)lj (-3,oo), přičemž nulové body do řešení nepatří. Nyní, když máme vyřešeny obě nerovnice I. a II, určíme obor konvergence jako průnik řešení obou nerovnic. Pokud si řešení každé nerovnice vyznačíme graficky na číselné osy pomocí šipek, pak průnik najdeme jako tu část číselné osy, nad kterou se šipky překrývají. V našem případě dostáváme: OK = (-oo,-4) vj (-2,oo). Nakonec j eště určíme součet dané řady pro x g OK : 1 1 5(x) = -^ = -ͱL = I±3 = J_. - 1-q l__1_ x + 2 x + 2 x + 3 x+3 ŘEŠENÁ ÚLOHA 11.9 co Určete obor konvergence řady ^ ln" x . Řešení: Radu opět můžeme pro názornost rozvinout na jednotlivé členy: co ^ln"x = l + lnx + ln2x + ln3jc + ... Vidíme, že první člen al = 1 a kvocient q=\nx. Pro konvergentní geometrickou řadu platí, že \q \ < 1, a tedy |ln x| < 1. Tuto nerovnici rozdělíme na dvě jednodušší nerovnosti bez absolutní hodnoty: I. In x < 1 II. -l x x > = — (neboť ln — = -1). Dostali jsme pro x dvě podmínky: x < e a zároveň x > —. Oborem konvergence je tedy e interval -,e Ve J RESENA ÚLOHA 11.10 Určete obor konvergence řady ^_em . „=\ Řešení: Pro větší názornost řadu opět rozvineme: J^e™ =ex +e2x + e3x +... i,=\ Z rozvoje výše je zřejmé, že první člen a1 = ex a kvocient q = ex. Pro konvergentní geometrickou řadu platí, že \q\ < 1, a tedy ex < 1. Tuto podmínku opět rozdělíme na dvě jednodušší nerovnice: I. ex x<0 (neboť e =1). Řešení nerovnice II. je jednoduché: nerovnost —1 !(-') ^ [mocninnářada, IK = OAK = (-5,-1), OK = (-5,-\) ] \n+l )Z(-i)" e, n=l X lyX+2 XX X [geometrická řada, al =- , q =--IK = OAK = OK = (-l,oo), s(x) =-] x + 2 x + 2 2x + 2 co ^ [obecná řada, IK = OAK = OK = (-oo,-l)u (l,oo)] co H —r 223 Nekonečné funkční řady [mocninná řada, a = 0, p = 1, IK = OAK = (-1, l), OK = (-1, -1) ] co h) H = l (2« - l)(2n +1) [mocninná řada, a = 0,p=\, IK = (-1,1), OK = OAK = (- l,l) ] (x + 3)" ^ n2 n = l " [mocninná řada, a = -3, p = 1, //ŕ = (-4, -2), <9£" = OAK = (- 4,-2} ] co j)2>n+1(*+i) n=l [geometrická řada, a, = ln2 (x +1), g =ln(x + l), IK = OK = OAK = ln2(x + l) n s(x) =---— ] l-ln(x + l) 1-e V e 224 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii 12 ÚVOD DO OBYČEJNÝCH DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Tato kapitola je věnována úvodu do obyčejných diferenciálních rovnic. Zaměřuje se na metodu separace proměnných a variace konstanty. Ve druhé části je vysvětleno řešení lineárních diferenciálních rovnic a různé typy řešení. Nechybí ani ekonomické aplikace. CÍLE KAPITOLY Cílem této kapitoly je, aby student získal následující dovednosti: • Řešit jednoduché diferenciální rovnice metodou separace proměnných nebo variace konstanty. • Najít obecné i partikulární řešení diferenciální rovnice. • Řešit lineární diferenciální rovnice užitím rozboru charakteristické rovnice. KLÍČOVÁ SLOVA KAPITOLY Diferenciální rovnice, obecné řešení, partikulární řešení, separace proměnných, variace konstanty. ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU 8-10 hodin 12.1 Základní pojmy Mějme funkci jedné proměnné y = f(x). Diferenciální rovnice je rovnice, která kromě x a y obsahuje i derivaci (derivace) funkce y. Rád diferenciální rovnice je určen nejvyšší derivací, mocnina u nejvyšší derivace určuj e stupeň diferenciální rovnice. 225 Úvod do obyčejných diferenciálních rovnic Příklady: y'+5y = x2 je diferenciální rovnicí 1. řádu 1. stupně y'j - 6xy' - 5y = 0 je diferenciální rovnicí 1. řádu 2. stupně. y") ~{y') x2-ys+5x = 0 je diferenciální rovnice 2. řádu 3. stupně. Diferenciální rovnice lze dále dělit například na obyčejné a parciální (budeme se zabývat jen těmi prvními), a na lineární a nelineární (budeme se zabývat vesměs jen těmi prvními). Nej jednodušší m typem diferenciálních rovnic jsou rovnice se separovatelnými proměnnými (viz Kapitola 12.2), a lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty (viz Kapitoly 12.7 a 12.8). Rozlišujeme tři druhy řešení diferenciální rovnice: • Obecné řešení je funkce y = 0. Konstanty G a Ci lze určit z počátečních podmínek: ceny funkce y v čase t = 0, a změny ceny y' v čase t = 0. Zabývejme se nyní dynamikou vývoje tržní ceny P za předpokladu, že poptávka i nabídka jsou lineární funkce (viz Kapitola 1.8) a v čase t = 0 se tržní cena P nerovná rovnovážné ceně Pe. Jaký vývoj ceny P můžeme očekávat? Máme tedy následující funkce nabídky a poptávky: QD =a-bP, Qs =c + dP, a,b,c,d>0. 234 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii a — c Dále z Kapitoly 1.8 víme, že rovnovážná cena j e PE =-. b + d Nechť v čase t = 0 je převis poptávky nad nabídkou, a ten je přímo úměrný změně P. Za zmíněných předpokladů můžeme sestavit matematický model (diferenciální rovnici) vývoje tržní ceny P v závislosti na čase t: ^ = k(QD-Qsl (12.7) dt kde k je vhodná konstanta. Do diferenciální rovnice (12.7) dosadíme za funkce D a S: dP(t) t Upravíme dP(t) k[a-bP-c-dP] (kb + kd)P + (ka - ke) t A nakonec provedeme substituci závorek: ^)- = -AP + B,resp. ^- + AP = B, (12.8) dt dt kde (kb + kd^) = A, (ka -kc) = B . Rovnice (12.8) je obyčejnou diferenciální rovnicí prvního řádu s nenulovou pravou stranou. Při jejím řešení nejprve řešíme příslušnou homogenní rovnici pomocí separace proměnných: dt Odkud dostaneme obecné řešení P(t) = Ce~At. Nyní ještě potřebujeme najít buď partikulární integrál řešící rovnici s nenulovou pravou stranou, nebo můžeme provést variaci konstanty (viz Kapitola 12.6). Rychlejší je v tomto B_ A ním do (12.8). Úplné řešení dané rovnice (12.8) je tedy: případě uhádnout partikulární integrál: P tik = —, o čemž je snadné se přesvědčit dosaze- P(t) = CeAt+^ (12.9) 235 Úvod do obyčejných diferenciálních rovnic Ale — ve vztahu (12.9) není nic jiného než rovnovážná cena! A .„ B k(a-c) (a-c) Je totiž: — = —--- = --- = PF- A k(b + d) (b + d) E Vztah (12.9), který popisuje dynamiku vývoje tržní ceny, lze proto vyjádřiv ve tvaru: P(t) = PE+Ce~At (12.10) Názorná interpretace výsledku (12.10) je následující: druhý člen na pravé straně vyjadřuje odchylku tržní ceny P v čase t od rovnovážné ceny. Tento člen se ale exponenciálně zmenšuje s rostoucím časem, a proto se tržní cena P bude postupně blížit k rovnovážné ceně Pe. Rychlost, s jakou se budou obě ceny přibližovat, je pak závislá na hodnotě konstant použitých v modelu a na počátečním rozdílu obou cen. Další užití diferenciálních rovnic v ekonomii zahrnuje mimo jiné Solowův model růstu (nelineární diferenciální rovnice), vývoj měnového kurzu v závislosti na poptávce po měně, modely typu predátor-kořist, apod. 12.6 Lineární diferenciální rovnice prvního řádu Lineární diferenciální rovnice jsou diferenciální rovnice, v níž se všechny derivace vyskytují v první mocnině. V této kapitole se zaměříme na lineární diferenciální rovnice prvního a druhého řádu. Lineární diferenciální rovnice prvního řáduje definována takto: y'+p(x)y = q(x) (12.11) V rovnici (12.11) jsoup(x) a q(x) spojité funkce na intervalu (a, b). Nejprve se budeme zabývat případem, kdy q(x) = 0 : y+p(x)y = 0 (12.12) Rovnice (12.12) se též nazývá homogenní. Její řešení najdeme separací (oddělením) proměnných: dx — = -p(x)dx y ln|j| = -j" p(x)dx 236 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii A dostaneme výsledek: -\p{x)dx m n\ y = ces , (12.13) kde c je libovolná nenulová konstanta. RESENA ÚLOHA 12.10 Reste: y+xy = 0. Řešení: Při řešení postupujeme stejně jako výše: dy — = -xy dx — = -xdx y ln | y\ = - j" xdx i i x2 ln v =-—+ C 11 2 _y = e 2 = e 2 ■ ec = ce 2 Stejného výsledku bychom dosáhli, pokud bychom přímo dosadili do vztahu (12.13). RESENA ÚLOHA 12.11 Řešte: y-y sin x = 0 . Řešení: V tomto příkladě využijeme k řešení vztah (12.13), kde p(x) = sinx: -í-sinxíft y = ce ' =ce Řešení rovnice (12.11) s nenulovou pravou stranou (nehomogenní rovnice) je o něco ob-tížněj ší, využívá se při něm metoda variace konstanty. 237 Úvod do obyčejných diferenciálních rovnic Řešení předpokládáme opět ve tvaru y = ce \p{x)dx ? ale nyní je c funkcí x: , > - p(x)dx y = c(x)e' (12.14) Výraz (12.14) dosadíme do (12.11) a po úpravě získáme řešení zadané rovnice, viz následující příklad, který je variací Příkladu 12.10. RESENA ÚLOHA 12.10B Řešte: y'+xy = x. Řešení: 2 X Víme, že řešení příslušné homogenní rovnice je y = ce 2 . U nehomogenní rovnice budeme j_ v souladu s (12.14) předpokládat řešení ve tvaru y = c(x)e 2 . Toto řešení dosadíme do zadané rovnice: x2 x2 x2 č(x)e 2 +c(x)e 2 .(-x) + c(x)e 2 -x = x Prostřední dva členy se odečtou a zůstane: č(x)e 2 =x 2 X č(x) = e2 x Nyní integrujeme: x x c(x) = |e 2 xdx = e2 + C . Řešení dané rovnice je tedy: y ■ í ŕ *\ x2 e2 +C v J e 2 , po úpravě: y = l + Ce 2 RESENA ÚLOHA 12.12 Řešte: y---—y = x . x + 2 Řešení: l_ + Začneme řešením homogenní rovnice: x + 2 238 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii dy 1 — =-y dx x + 2 dy _ dx y x + 2 \n\y\ = ln|x + 2| + C y = C(x + 2) Nyní provedeme variaci konstanty, předpokládáme tedy, že y = C(x) -(x + 2): C(x)(x + 2) + C(x) ■ 1--—C(x) ■ (x + 2) = x x + 2 Prostřední členy se odečtou a zůstane: C(x)-(x + 2) = x Rovnici upravíme: x CM x + 2 A integrujeme: C(x) = f X dx= fx + 2dx+\^ 2^ 0 : hodnoty ta a ta j sou různá reálná čísla. Řešení lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty s nulovou pravou stranou má tvar: y = Cle* +C2ev, (12.17) kde Ci a Ci jsou reálná čísla. • D = 0 : rovnice (12.16) má dvojnásobný kořen X. Řešení má tvar: y = ClxeXx +C2eÁ\ (12.18) • D < 0 : hodnoty ta a ta j sou komplexně sdružená čísla: Al=m + ni, A2=m-ni. Řešení má tvar: y = C1emx sinnx + C2emx cosnx (12.19) ŘEŠENÁ ÚLOHA 12.14 Najděte obecné řešení rovnice: y"-5y'+6y = 0. Řešení: Charakteristická rovnice: A2-5/1 + 6 = 0,/) = 1, řešením jsou reálná čísla ta = 2 a ta = 3. Řešení dané rovnice má tvar (viz 12.17): y = Cxelx + C2e3x . ■ ŘEŠENÁ ÚLOHA 12.15 Najděte obecné řešení rovnice: y"-2y'-3y = 0 . Řešení: Charakteristická rovnice: A2 - 2A - 3 = 0, D = 16, 241 Úvod do obyčejných diferenciálních rovnic řešením jsou reálná čísla X\ = 3 a x2 = -1. Řešení dané rovnice má tvar (viz 12.17): y = Cle'x + C2e3x. ■ RESENA ÚLOHA 12.16 Najděte obecné řešení rovnice: y"-6y'+9y = 0. Řešení: Charakteristická rovnice: A2 - 6A + 9 = 0, D = 0, řešením je dvojnásobný reálný kořen X = 3. Řešení dané rovnice má tvar (viz 12.18): y = Cxxe3x + C2e3 RESENA ÚLOHA 12.17 Najděte obecné řešení rovnice: y"+4y'+5y = 0 . Řešení: Charakteristická rovnice: A2 +4A + 5 = 0, D = -4, řešením j sou komplexní čísla Xi = -2 + i, x2 = -2 - i. Je tedy m = -2,n=\. Řešení dané rovnice má tvar (viz 12.19): y = Cle"2x sinx + C2e~2x cosnx. RESENA ÚLOHA 12.18 Řešte: y"-y = 0. Řešení: Charakteristická rovnice: A2 -1 = 0, řešením j sou Xi= 1 a x2 = -1. Řešení dané rovnice: y = Cle~x + C2ex. m 242 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii RESENA ÚLOHA 12.19 Reste: y"+y = 0. Řešení: Charakteristická rovnice: A2 +1 = 0, řešením jsou ta = i a ta = -i. Řešení dané rovnice: y = Q sin x + C2 cosx . m RESENA ÚLOHA 12.20 Řešte: /'-4/=0. Řešení: Charakteristická rovnice: A2 - 4 A = 0, řešením jsou ta = 0 a ta = 4. Řešení dané rovnice: _y = Cl + C2e4x. ■ Místo obecného řešení můžeme v některých situacích hledat partikulární řešení diferenciální rovnice. To je řešení, které je omezeno tzv: počátečními podmínkami (podmínkami pro y ay' v nějakém bodě x, nejčastěji v x = 0). Partikulární řešení získáme z obecného řešení tak, že do něj dosadíme počáteční podmínky. Výsledkem je pakjediná funkce neobsahující konstanty C. ŘEŠENÁ ÚLOHA 12.21 Najděte partikulární řešení rovnice: y"+y'-20y = 0, jestliže y(0) = 1 a /(O) = 0. Řešení: Charakteristická rovnice: A2 + A - 20 = 0, D = 81, řešením jsou reálná čísla ta = 4 a ta = -5. Obecné řešení dané rovnice má tvar (12.17): y = Qe 4x + C2e5x. Nyní použijeme obě podmínky. Nejprve první podmínka y(0) = 1 znamená, že pro x = 0 má být_y = 1. Dosadíme x = 0 a y = 1 do obecného řešení y = Qe 4x +C2e5x: 243 Úvod do obyčejných diferenciálních rovnic \ = Cl+C2 Pro druhou podmínku y'(0) = 0 nejprve derivujeme obecné řešení: y = -4QíT4x +5C2e5x, a dosadíme: 0 = -4Q + 5C2 Dostali jsme tak soustavu dvou rovnic o dvou neznámých, kterou vyřešíme: Hledané partikulární řešení má tvar: y = —e x +—e x. m 9 9 12.8 Lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty a nenulovou pravou stranou Lineární diferenciální rovnicí druhého řádu s konstantními koeficienty a s nenulovou pravou stranou /(x) nazýváme rovnici ve tvaru: ay"+by + cy = f(x), (12.20) a,b,c g R,a ^ 0 Tento typ rovnice se též nazývá nehomogenní rovnice. Řešení nehomogenní rovnice (12.20) má tvar: Ciyi+C2y2+P(x), (12.21) kde Cxyx +C2y2 je řešení odpovídající homogenní rovnice, a P(x) je tzv. partikulární integrál. Partikulární integrál je řešením rovnice (12.20) ajeho význam spočívá v tom, že „vynuluje" pravou stranu rovnice (12.20). Partikulární integrál závisí na tvaru funkce f(x) , v některých případech je možné jej uhádnout. My si ukážeme, jak jej určit, pokud je funkce f(x) mnohočlen nebo exponenciální funkce. Nechť funkce f(x) je polynom n-tého stupně a nechť a A2 + b A + c = 0 je charakteristická rovnice pro rovnici (12.20) s nulovou pravou stranou. Pokud má charakteristická rovnice nenulové kořeny, potom partikulární integrál P(x) hledáme ve tvaru polynomu stejného stupně jako f(x) . Pokud má charakteristická rovnice jeden nulový kořen, partikulární integrál P(x) hledáme ve tvaru x • f (x). 244 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii ŘEŠENÁ ÚLOHA 12.22 Řešte: y"-y-2y = 4x. Řešení: Charakteristická rovnice: A2 - A - 2 = 0 , řešením j sou ta = 2 a ta = -1. Řešení dané homogenní rovnice: y = Cxe2x +C2e~x. Partikulární integrál P(x) hledáme ve tvaru polynomu stejného stupně jako f(x), tedy P(x) =ax + b . Dosadíme P(x) do zadané diferenciální rovnice (místoy): -a- 2(ax + b) = 4x Přerovnáme členy vlevo a vynásobíme (-1): 2ax + (a + b) = -4x Nyní porovnáme levou a pravou stranu (porovnáme koeficienty u členů s x a u absolutních členů), a dostaneme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých (a a b): 2a = -4 a + b = 0 Řešením je: a = -2,b = 2. Proto je P(x) = -2x + 2 . Obecné řešení příslušné diferenciální rovnice má tvar: y = Cxe2x + C2ex -2x + 2. ■ ŘEŠENÁ ÚLOHA 12.23 Řešte: y"+4y'=x2 -1. Řešení: Charakteristická rovnice: A2 + 4A = 0, řešením jsou Xi = 0 a ta = -4. Řešení dané homogenní rovnice: y = Cl +C2e~4x. Protože jeden z kořenů charakteristické rovnice je roven nule, hledáme partikulární integrál P(x) ve tvaru xf (x), tedy P(x) = x(ax2 + bx + c) = ax3 + bx2 + cx . Dosadíme P(x) do zadané diferenciální rovnice (místo_y) dostaneme: (6ax + 2b) + 4(3ax2 +2bx + c) = x2 -1, Sečteme: 245 Úvod do obyčejných diferenciálních rovnic \2ax2 + (6a + Sb)x + (2b + 4c) = x2 -1 Porovnáme koeficienty u odpovídajících si mocnin na obou stranách rovnice: 12a = 1 6a + 8/3 = 0 2b + 4c = -\ Řešením této soustavy obdržíme: a = — ,b =--,c =-- 12 16 32 P(x) = x (ax2 + bx + c) = ax3 + bx2 + cx Úplné řešení dané rovnice je: Q + C2e 4x + x 1_£Í 12 16 32 Nechť funkce f(x) na pravé straně rovnice (12.20) má tvar exponenciální funkce: /(x) = aebx. Partikulární integrál potom hledáme ve tvaru P(x) = Aebx Jestliže b není kořenem charakteristické rovnice. Pokud je b /c-násobným kořenem charakteristické rovnice, potom má partikulární integrál tvar: P(x) = Axkebx . ŘEŠENÁ ÚLOHA 12.24 Řešte: y"+4y'+3y = 3e2x . Řešení: Charakteristická rovnice: A2 + 4A + 3 = 0, řešením j sou Xi=-3 a ta = -1. Řešení dané homogenní rovnice: y = Cp~x + C2e~3x. Protože b = 2 není kořenem charakteristické rovnice, partikulární integrál hledáme ve tvaru P(x) = Ae2x. Dosadíme do zadané rovnice: 4Ae2x +SAe2x +3Ae2x =3e2x Vydělíme rovnici výrazem e2x : 4A + 8A + 3A = 3, 246 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii 1 1 2x Odtud dostáváme A = —, partikulární integrál je P(x) = —e x, a úplné řešení dané diferenciální rovnice je: y = Cle~x + C2e~3x +—e2x. m SAMOSTATNÝ UKOL 1. Najděte obecné a partikulární řešení rovnic: a) y'=3x2 +6x-l, .y(0)=l [obecné řešení: y = 6x + 3x2 -x + C, partikulární řešení: y = 6x + 3x2 - x +1 ] b) y = - + l,y(2) = 2 x [obecné řešení: j = 51n|x| + x + C, partikulární řešení: y = 51n|x| + x-51n2] c) b)/'=12x + 4, X0) = l,/(1) = 1 [obecné řešení: y = 2x3 + 2x2 + Qx + C2, partikulární řešení: y = 2x3 + 2x2 -9x +1 ] 2. Řešte rovnice se separovatelnými proměnnými: a) /-2j = 0,^(0) = 2 [obecné řešení: y = Ce2x, partikulární řešení: y = 2e2x ] b) xy' + 2y = 0,y(3) = 3 [obecné řešení: y = x 2 + C, partikulární řešení: y = x + — ] (x + 1) c) /-^-L = 0,y(2)= 1 y 2 2 X X [obecné řešení: y = — + x + C, partikulární řešení: y = — + x - 3 ] d)^2^ ,^(0) = 3 x + 1 247 Úvod do obyčejných diferenciálních rovnic [obecné řešení:(y-\) = C(x + \), partikulární řešení: (y -1) = 2(x +1) ] e) 2x(2 +y2) +y(4-x2)y' = 0 ,y (0) = 1 [obecné řešení: ln 4-x2 Iln 2 2-^2 +C , partikulární řešení: ln 4-x2 iln 2 2-y2 +ln4] , y y 3. Řešte homogenní rovnici y = —r-- x x [obecné řešení: y 2x 1-Cx: 4. Řešte homogenní lineární diferenciální rovnice prvního řádu: a) y-(x + 5)y = 0 -+5x [y = ce 2 ] y b) y- cos" x [y = cetgx] c) y+^ = o x x 5. Řešte homogenní lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty: a) y"+4y'-\2y = 0 [y = Cle-6x+C2e2x] b) 2/-10/=0 [y = Cle5x+C2] c) y+2y+5j = o [ _y = Cle'x sin 2x + C2ex cos 2x ] d) y"-ly+\0y = 0 [y = Cle5x+C2e2x] e) yw+4j = o [^ = C1e"2x+C2x^2x] 6. Naj děte partikulární řešení rovnice y '+y'-6y = 0, j estliže j(0) = 2 a y (0) = 1 248 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii 3 , 7 , [y = -e-3x +-e2x]. 5 5 7. Řešte lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty se speciální pravou stranou: a) y"+3y'+2y = x [y = C.e-2x +C,ex +-x--] 2 2 4 b) y"+6y+8y = 8jc2 + \2x + 2 [y = C1e-2x + C2e-ix + x2] c) y"+y'-2y = \0e3x [y = C1e2x +C2ex +e3x] 249 Závěr ZÁVĚR Předložená distanční studijní opora Matematika v ekonomii určená studentům navazujícího magisterského studia na Obchodně podnikatelské fakultě (OPF) v Karviné měla za cíl demonstrovat užití matematické analýzy v ekonomii, především pak při aplikaci ekonomických funkcí jako jsou příjmy, náklady, užitek a podobně. Podobně zaměřené učebnice na pomezí matematiky a ekonomie zaměřené primárně na studenty ekonomických oborů jsou v České republice spíše výjimkou (viz např. Mezník, 2011). Autor doufá, že učebnice bude pro studenty OPF v tomto směru přínosná. Dále autor děkuje Bc. Tomáši Fiedorovi z VUT Brno za pomoc při kreslení grafů, recenzentům za připomínky a své rodině za trpělivost. 250 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii Seznam použité literatury BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2008. ISBN: 80-200- 1448 -9. ČERNÝ, Ilja. Úvod do inteligentního kalkulu. Praha: Academia, 2002. ISBN: 80-200-1017-3. DOWLING, Edward, T. Introduction to Mathematical Economics. 3rd edition. New York, McGraw-Hill, 2012. FUCHS, Kamil, TULEJA, Pavel. Základy ekonomie. Praha: Ekopress, 2004. ISBN: 80-86119-88- 2 GODULOVÁ, Marie, JANŮ, Ivana., KOCÚRKOVÁ, Radmila. Matematika A. Karviná: OPF, 2000. ISBN 80-7248-073-1. GODULOVÁ, Marie, JANŮ, Ivana., KOCÚRKOVÁ, Radmila. Matematika B. Karviná: OPF, 2002. ISBN: 80-7248-143-6. HOLMAN, Robert. Ekonomie, 5. vydání. Praha: C. H. Beck, 2011. ISBN: 80-740-0006-0. CHIANG, Alpha C, Wainwright, Kevin Fundamental Methods of Mathematical Economics, 4th edition. New York: McGraw-Hill, 2005. CHEN, Chia-Hun. Principles of Macroeconomics. MIT lectures, 2007. KAŇKA, Miloš, HENZLER Jiří. Matematika 2. Praha: Ekopress, 2003. MEZNÍK, Ivan. Úvod do matematické ekonomie pro ekonomy. Brno: VUT, 2011. ISBN: 978-80-214-4239-9. POLÁK, Josef. Přehled středoškolské matematiky, 9. vydání. Praha: Prometheus, 2008. ISBN:80-719-6356-9. REKTORYS, Karel a kolektiv. Přehled užité matematiky I, II. Praha: SNTL, 1995. ISBN: 80-85849-92-5. SKRASEK, Josef, TICHY, Zdeněk. Základy aplikované matematiky II. Praha: SNTL, 1986. Wikipedia. [online], [cit. 2012-12-07]. Dostupné z: http://en.wikipedia.org/wiki/Cobb- Douglas. ZIMKA, Rudolf. Matematika I' - s aplikáciami v ekonomii. Bratislava: Mat-centrum, 1999. ISBN: 80-967-3153-X 251 Jiří Mazurek - Matematika v ekonomii 252 Název: Matematika v ekonomii Autor: doc. Mgr. Jiří Mazurek, Ph.D. Vydavatel: Slezská univerzita v Opavě Obchodně podnikatelská fakulta v Karviné Určeno: studentům SU OPF Karviná Počet stran: 251 Tato publikace neprošla jazykovou úpravou.