Statistical Methods
for Economists
Lecture 10
Fractional Factorial Design
of Experiments
•David Bartl
•Statistical Methods for Economists
•INM/BASTE

Outline of the lecture
•Fractional Factorial Design:  Motivation & Introduction
•One half (½) fraction design
•One quarter (¼) fraction design
•One eight (⅛) fraction design
•For specialists in algebra:  The general  2−p  fraction design

Fractional Factorial Design:  Motivation & Introduction
•Consider an observed quantity (such as a measure of quality, filtration rate
in chemistry or production, the lifespan of a product, etc.); we conjecture that
the observed quantity may depend upon the levels of many factors (such as
the day of the week, temperature, material, and so on).
•
•Our purpose is to carry out just a few experiments and to identify those factors
that influence the observed quantity most.  (In other words, we wish to identify
the factors with the most dominant effect on the quantity.)
•
•Once the effects are identified, we analyse them in greater detail then.

Fractional Factorial Design:  Motivation & Introduction



Fractional Factorial Design:  Motivation & Introduction



Fractional Factorial Design:  Motivation & Introduction



Fractional Factorial Design:  Motivation & Introduction
•We actually assume the following three principles:
•Hierarchical Ordering Principle
 — effects of lower orders are more likely to be important than
effects of higher orders; and
 — effects of the same order are equally likely to be important
•Effect Sparsity Principle  (Pareto Principle)
 — the number of relatively important effects in a factorial experiment is small
•Effect Heredity Principle
 — if an interaction is significant,
then at least one of its parent factors is significant

Fractional Factorial Design:  Motivation & Introduction



Fractional Factorial Design:  Motivation & Introduction



Fractional Factorial Design:  Motivation & Introduction



Fractional Factorial Design:  Motivation & Introduction



One half (½) fraction design
•
•

½ fraction design



½ fraction design



Full design
No.
A
B
C
D
 1
−
−
−
−
 2
+
−
−
−
 3
−
+
−
−
 4
+
+
−
−
 5
−
−
+
−
 6
+
−
+
−
 7
−
+
+
−
 8
+
+
+
−
 9
−
−
−
+
10
+
−
−
+
11
−
+
−
+
12
+
+
−
+
13
−
−
+
+
14
+
−
+
+
15
−
+
+
+
16
+
+
+
+

½ fraction design



½ fraction design



½ fraction design
No.
A
B
C
D = ABC
1
−
−
−
−
2
+
−
−
+
3
−
+
−
+
4
+
+
−
−
5
−
−
+
+
6
+
−
+
−
7
−
+
+
−
8
+
+
+
+

½ fraction design



½ fraction design



½ fraction design



½ fraction design
No.
I = ABCD
A = BCD
B = ACD
C = ABD
AB = CD
AC = BD
BC = AD
ABC = D
1
+
−
−
−
+
+
+
−
2
+
+
−
−
−
−
+
+
3
+
−
+
−
−
+
−
+
4
+
+
+
−
+
−
−
−
5
+
−
−
+
+
−
−
+
6
+
+
−
+
−
+
−
−
7
+
−
+
+
−
−
+
−
8
+
+
+
+
+
+
+
+

½ fraction design



½ fraction design



½ fraction design
No.
I + ABCD
A + BCD
B + ACD
C + ABD
AB + CD
AC + BD
BC + AD
ABC + D
1
+
−
−
−
+
+
+
−
2
+
+
−
−
−
−
+
+
3
+
−
+
−
−
+
−
+
4
+
+
+
−
+
−
−
−
5
+
−
−
+
+
−
−
+
6
+
+
−
+
−
+
−
−
7
+
−
+
+
−
−
+
−
8
+
+
+
+
+
+
+
+
We then use the three aforementioned principles
to decide which factors and interactions are significant.

Fractional Factorial Design:  The Three Principles
•We assume the following three principles:
•Hierarchical Ordering Principle
 — effects of lower orders are more likely to be important than
effects of higher orders; and
 — effects of the same order are equally likely to be important
•Effect Sparsity Principle  (Pareto Principle)
 — the number of relatively important effects in a factorial experiment is small
•Effect Heredity Principle
 — if an interaction is significant,
then at least one of its parent factors is significant

½ fraction design:  Remarks



½ fraction design:  Remarks



Fractional Factorial Design:  Resolution of the design



Fractional Factorial Design:  Resolution of the design



Fractional Factorial Design:  Resolution of the design



Fractional Factorial Design:  Resolution of the design
No.
I = ABC
A = BC
B = AC
D = ABCD
C = AB
AD = BCD
BD = ACD
CD = ABD
1
+
−
−
−
+
+
+
−
2
+
+
−
−
−
−
+
+
3
+
−
+
−
−
+
−
+
4
+
+
+
−
+
−
−
−
5
+
−
−
+
+
−
−
+
6
+
+
−
+
−
+
−
−
7
+
−
+
+
−
−
+
−
8
+
+
+
+
+
+
+
+
Here the interactions of the 2nd order are confounded with
the main factors as well as with some interactions of the 3rd order.

Fractional Factorial Design:  Resolution of the design
•Maximal Resolution Principle:
•
•The higher the resolution is
the better the fractional factorial design is.

One quarter (¼) fraction design
•
•

¼ fraction design



¼ fraction design



¼ fraction design



¼ fraction design



One eight (⅛) fraction design
•
•

⅛ fraction design



⅛ fraction design



For specialists
in algebra:
The general  2−p  fraction design
•
•

The general  2−p  fraction design



The general  2−p  fraction design



The general  2−p  fraction design



The general  2−p  fraction design



The general  2−p  fraction design
A
B
C
K

The general  2−p  fraction design
AB
AC
ABC

The general  2−p  fraction design



The general  2−p  fraction design



The general  2−p  fraction design



The general  2−p  fraction design



The general  2−p  fraction design



The general  2−p  fraction design



The general  2−p  fraction design:  Example



The general  2−p  fraction design:  Example



The general  2−p  fraction design:  Example



The general  2−p  fraction design:  Example



The general  2−p  fraction design:  Example



The general  2−p  fraction design:  Example



The general  2−p  fraction design:  Example



The general  2−p  fraction design:  Example



The general  2−p  fraction design
A
B
C
K

The general  2−p  fraction design



The general  2−p  fraction design



The general  2−p  fraction design



The general  2−p  fraction design



The general  2−p  fraction design



The general  2−p  fraction design



The general  2−p  fraction design



The general  2−p  fraction design



The general  2−p  fraction design



The general  2−p  fraction design
A
B
C
K

The general  2−p  fraction design



The general  2−p  fraction design:  Example
No.
I
A
B
C
D
E
AB
AC
AD
AE
BC
BD
BE
CD
CE
DE
ABC
ABD
ABE
ACD
ACE
ADE
BCD
BCE
BDE
CDE
ABCD
ABCE
ABDE
ACDE
BCDE
ABCDE
 1
+
−
−
−
−
−
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
+
+
+
+
+
−
 2
+
+
−
−
−
−
−
−
−
−
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
−
−
−
−
−
−
−
−
+
+
 3
+
−
+
−
−
−
−
+
+
+
−
−
−
+
+
+
+
+
+
−
−
−
+
+
+
−
−
−
−
+
−
+
 4
+
+
+
−
−
−
+
−
−
−
−
−
−
+
+
+
−
−
−
+
+
+
+
+
+
−
+
+
+
−
−
−
 5
+
−
−
+
−
−
+
−
+
+
−
+
+
−
−
+
+
−
−
+
+
−
+
+
−
+
−
−
+
−
−
+
 6
+
+
−
+
−
−
−
+
−
−
−
+
+
−
−
+
−
+
+
−
−
+
+
+
−
+
+
+
−
+
−
−
 7
+
−
+
+
−
−
−
−
+
+
+
−
−
−
−
+
−
+
+
+
+
−
−
−
+
+
+
+
−
−
+
−
 8
+
+
+
+
−
−
+
+
−
−
+
−
−
−
−
+
+
−
−
−
−
+
−
−
+
+
−
−
+
+
+
+
 9
+
−
−
−
+
−
+
+
−
+
+
−
+
−
+
−
−
+
−
+
−
+
+
−
+
+
−
+
−
−
−
+
10
+
+
−
−
+
−
−
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
+
+
−
+
+
−
−
11
+
−
+
−
+
−
−
+
−
+
−
+
−
−
+
−
+
−
+
+
−
+
−
+
−
+
+
−
+
−
+
−
12
+
+
+
−
+
−
+
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
+
−
+
−
+
+
+
13
+
−
−
+
+
−
+
−
−
+
−
−
+
+
−
−
+
+
−
−
+
+
−
+
+
−
+
−
−
+
+
−
14
+
+
−
+
+
−
−
+
+
−
−
−
+
+
−
−
−
−
+
+
−
−
−
+
+
−
−
+
+
−
+
+
15
+
−
+
+
+
−
−
−
−
+
+
+
−
+
−
−
−
−
+
−
+
+
+
−
−
−
−
+
+
+
−
+
16
+
+
+
+
+
−
+
+
+
−
+
+
−
+
−
−
+
+
−
+
−
−
+
−
−
−
+
−
−
−
−
−
17
+
−
−
−
−
+
+
+
+
−
+
+
−
+
−
−
−
−
+
−
+
+
−
+
+
+
+
−
−
−
−
+
18
+
+
−
−
−
+
−
−
−
+
+
+
−
+
−
−
+
+
−
+
−
−
−
+
+
+
−
+
+
+
−
−
19
+
−
+
−
−
+
−
+
+
−
−
−
+
+
−
−
+
+
−
−
+
+
+
−
−
+
−
+
+
−
+
−
20
+
+
+
−
−
+
+
−
−
+
−
−
+
+
−
−
−
−
+
+
−
−
+
−
−
+
+
−
−
+
+
+
21
+
−
−
+
−
+
+
−
+
−
−
+
−
−
+
−
+
−
+
+
−
+
+
−
+
−
−
+
−
+
+
−
22
+
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
+
23
+
−
+
+
−
+
−
−
+
−
+
−
+
−
+
−
−
+
−
+
−
+
−
+
−
−
+
−
+
+
−
+
24
+
+
+
+
−
+
+
+
−
+
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
−
+
−
−
−
+
−
−
−
−
25
+
−
−
−
+
+
+
+
−
−
+
−
−
−
−
+
−
+
+
+
+
−
+
+
−
−
−
−
+
+
+
−
26
+
+
−
−
+
+
−
−
+
+
+
−
−
−
−
+
+
−
−
−
−
+
+
+
−
−
+
+
−
−
+
+
27
+
−
+
−
+
+
−
+
−
−
−
+
+
−
−
+
+
−
−
+
+
−
−
−
+
−
+
+
−
+
−
+
28
+
+
+
−
+
+
+
−
+
+
−
+
+
−
−
+
−
+
+
−
−
+
−
−
+
−
−
−
+
−
−
−
29
+
−
−
+
+
+
+
−
−
−
−
−
−
+
+
+
+
+
+
−
−
−
−
−
−
+
+
+
+
−
−
+
30
+
+
−
+
+
+
−
+
+
+
−
−
−
+
+
+
−
−
−
+
+
+
−
−
−
+
−
−
−
+
−
−
31
+
−
+
+
+
+
−
−
−
−
+
+
+
+
+
+
−
−
−
−
−
−
+
+
+
+
−
−
−
−
+
−
32
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+

The general  2−p  fraction design:  Example



The general  2−p  fraction design:  Example
No.
I + ABD − BCE − ACDE
A + BD − ABCE − CDE
B + AD − CE − ABCDE
C + ABCD − BE − ADE
D + AB − BCDE − ACE
E + ABDE − BC − ACD
AC + BCD − ABE − DE
AE + BDE − ABC − CD
1  ( 2)
+
+
−
−
−
−
−
−
2  ( 7)
+
−
+
+
−
−
−
+
3  ( 9)
+
−
−
−
+
−
+
+
4  (16)
+
+
+
+
+
−
+
−
5  (19)
+
−
+
−
−
+
+
−
6  (22)
+
+
−
+
−
+
+
+
7  (28)
+
+
+
−
+
+
−
+
8  (29)
+
−
−
+
+
+
−
−
The defining equations: