Zkouškový test MATEMATIKA


1.      Užitím integrálního počtu vypočítejte:

 a) obsah trojúhelníku zobrazeného níže,

nápověda: ,

 b) objem rotačního tělesa, které vznikne rotací trojúhelníku zobrazeného níže kolem osy x,

nápověda: ,

 c) určete délku přepony trojúhelníka zobrazeného níže,

nápověda:   .



Výsledek:  S=                           V=
L=                                                      12b



 2. Závislost ceny jednotky produktu od počtu prodaných produktů určuje funkce . Víte, že ,   a

Stanovte cenu jednotky daného produktu tak, aby zisk z prodeje byl maximální.


Výsledek:  Zisk je maximální zisk, pokud cena jednotky produktu
P=______                                7b






4. Určete obecný integrál diferenciální rovnice:

                                                 .


Návod:

Řešíme separací proměnných, to znamená, že převedeme proměnnou y nalevo a proměnnou x napravo, a
zintegtujeme:

. Integrál vlevo integrujeme jako racionální funkci, integrál vpravo per partes. Proměnnou y ale
nepůjde vlevo osamostatnit (budou tam mocniny y a ještě logaritmus), proto necháme výsledek tak,
jak vyjde po integraci.


Výsledek:
                                                12b



5. Určete obor konvergence a obor absolutní konvergence funkční řady

                                      .


Výsledek:   IK= (-3,-1)                     OAK=     <-3,-1>                           OK=
<-3,-1>              9b


6. Vypočtěte neurčité integrály:

a)



b)


c)
                                         10b



7. Stanovte vázané extrémy funkce , které vyhovují podmínce .


V bodě  nastává vázané_______________.
                  7b


Výsledek: extrém nastává v bodě [2,-3], ne [2,1], a jedná se o minimum.



8. Graficky znázorněte definiční obor funkce                                           4b






9. Na základě výpočtu rozhodněte, zda číselná řada  konverguje.
   3b

Výsledek: podílové kritérium: L = 0, konverguje.




10. Napište rovnici tečny a normály funkce    v bodě  .


                                                          6b