MATEMATIKA V EKONOMII – PŘEDNÁŠKA Č. 6:
Neurčitý integrál, metoda per partes, integrace racionálních funkcí
Pojem neurčitého integrálu, základní vlastnosti
- Funkce F(x) se nazývá primitivní funkcí k funkci f(x) na otevřeném intervalu právě tehdy, když
pro všechna . Primitivní funkce existuje ke každé spojité funkci na J.
- Množina všech primitivních funkcí k dané funkci se nazývá neurčitý integrál, a značí se takto:
,
kde je integrační znak,
x integrační proměnná,
f(x) integrovaná funkce neboli integrand,
F(x) primitivní funkce k f(x),
C integrační konstanta.
Neurčitý integrál je lineární operátor, což znamená, že splňuje následující dvě podmínky:
i) ,
ii)
Tabulka 6.1. Základní integrály.
řádek
f(x)
1
0
C
2
1
x + C
3
+ C
4
+ C
5
+ C
6
7
+ C
8
sinx
–cosx + C
9
cosx
sinx + C
10
tgx + C
11
cotgx + C
12
arctgx + C
13
14
arcsinx + C
15
arccosx + C
16
+ C
___________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
Příklad 6.2. Integrujte:
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
Integrace součinu funkcí (metoda per partes)
Smyslem této metody je rozložit jeden složitější integrál na dva jednodušší členy (odtud název
metody: per partes je latinsky „po částech“).
- Vzorec, který používáme při integraci per partes, si odvodíme z pravidla pro derivaci součinu
dvou funkcí, které označíme a .
Nyní osamostatníme vlevo člen uv´: , a tuto rovnost integrujeme:
Prostřední člen obsahuje integrál i derivaci, proto se tyto dvě operace vyruší, a dostaneme:
- Důležitá je správná volba funkcí u a v´. Nesprávná volba funkcí vede k tomu, že složitost úlohy
naroste. V takovém případě je zapotřebí zvolit funkce u a v´ opačně.
___________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
Příklad 6.7. Vypočtěte: .
___________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
Příklad 6.8. Vypočtěte: .
___________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
Příklad 6.10. Vypočtěte: .
___________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
Příklad 6.11. Vypočtěte: .
Integrace racionálních funkcí (metoda parciálních zlomků)
- Racionální funkcí rozumíme výraz , kde P(x) a Q(x) jsou polynomy proměnné x. Budeme předpokládat,
že stupeň polynomu P(x) je menší než stupeň polynomu Q(x). K integraci (ryzích) racionálních funkcí
ve využívá metoda rozkladu na parciální zlomky. Smyslem této metody je rozložit zadanou (a obvykle
složitou) racionální funkci na součet „nejjednodušších“ (parciální znamená „částečný“) zlomků.
___________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
Příklad. Vypočtěte .
___________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
Příklad. Vypočtěte:
___________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
Příklad. Integrujte .
___________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
Příklad. Integrujte: .
Celkové náklady a celkové příjmy
- V ekonomii lze (neurčitý) integrál využít k výpočtu celkových příjmů nebo celkových nákladů,
pokud jsou známy (dány) mezní příjmy respektive mezní náklady.
- Funkce celkových nákladů TC(x) a funkce mezních nákladů MC(x), kde x je počet výrobků, spolu
souvisejí vztahem:
(6.1)
Vztah (6.1) říká, že celkové náklady jsou součtem mezních nákladů. Integrační konstanta C se určí
z jedné známé hodnoty TC(x) pro dané x. Stejný vztah platí také pro celkové příjmy TR(x) a mezní
příjmy MR(x):
(6.2)
___________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
Příklad 6.12. Určete funkci celkových nákladů, jestliže funkce mezních nákladů a náklady na
produkci 10 výrobků činí 6000 Kč.
___________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
Příklad 6.14. Mezní příjmy jsou popsány funkcí , najděte funkci celkového příjmu.