4. seminář
Derivace reálné funkce jedné reálné proměnné
Studijní materiál k seminářům Kvantitativní metody v ekonomické praxi
* motivační, dobrovolné
A. Aplikace základních vzorců, derivování c-násobků, rozdílů a součtů
V následujících cvičeních vypočítejte derivaci funkce 𝑓(𝑥).
1. konstantní a lineární funkce
(a) 𝑓(𝑥) = 9𝑥 + 4 (e) ∗ 𝑓( 𝑥) = 15 − 𝜋𝑥
(b) 𝑓(𝑥) = 23 − 5𝑥 (f) ∗ 𝑓(𝑥) = 9π
(c) 𝑓(𝑥) = −8 (g)
𝑓(𝑥) = 1 −
3𝑥
4
(d) 𝑓(𝑥) = 0 (h)
𝑓(𝑥) =
2𝑥 + 1
3
2. polynomické funkce
(a) 𝑓(𝑥) = 3𝑥5
− 5𝑥4
+ 𝑥3 (e) 𝑓(𝑥) = 13𝑥3
− 3√2
(b) 𝑓(𝑥) = −𝑥2
− 𝑥 − 1 * (f) 𝑓(𝑥) = 𝑋6
𝑙𝑛2 − 1
(c) 𝑓(𝑥) = −𝑥20
+ 5𝑥7
(g)
𝑓(𝑥) =
4𝑥3
− 3𝑥2
+ 18
12
(d) 𝑓(𝑥) = 𝑥23
+ 12𝑥3
− 9𝑥 (h)
𝑓(𝑥) = 5𝑥 −
3
4
∙ 𝑥2
3. racionální funkce
(a)
𝑓(𝑥) =
1
4𝑥4
(e)
𝑓(𝑥) =
𝑥3
− 3𝑥2
+ 2𝑥
2𝑥
(b)
𝑓(𝑥) =
1
𝑥5
+
1
𝑥7
(f)
𝑓(𝑥) =
3
𝑥4
−
𝑥5
15
(c)
𝑓(𝑥) = 2𝑥−12
+
1
2𝑥
(g)
𝑓(𝑥) = 25𝑥 −
1
𝑥3
(d)
𝑓(𝑥) =
𝑥5
− 2
𝑥2
+
1
5𝑥8
4. seminář
Derivace reálné funkce jedné reálné proměnné
Studijní materiál k seminářům Kvantitativní metody v ekonomické praxi
* motivační, dobrovolné
4. iracionální funkce
(a) 𝑓(𝑥) = √ 𝑥5 − √ 𝑥43
(e) 𝑓(𝑥) = 9√ 𝑥
3
+ √𝑥113
(b)
𝑓(𝑥) =
1
√𝑥23
(f)
𝑓(𝑥) =
2
√ 𝑥
(c)
𝑓(𝑥) =
5
3√𝑥34 + √ 𝑥 + 3
* (g)
𝑓(𝑥) =
5𝑥2
√𝑥25 + 30 √ 𝑥
15
−
6
√ 𝑥
3
(d) 𝑓(𝑥) =3√𝑥23
* (h)
𝑓(𝑥) =
3
𝑥2
+ 4√ 𝑥4
5. kombinace s exponenciálními a logaritmickými a goniometrickými funkcemi
(a) 𝑓(𝑥) = 2𝑒 𝑥
− 2 𝑥
+ 7𝑒2𝑥
(e) 𝑓(𝑥) = sin(𝑥) − 2 cos(𝑥)
(b) 𝑓(𝑥) = 5𝑒 𝑥
+ 𝑥4
+ 4 𝑥
(f) 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔(𝑥) − 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥)
(c) 𝑓(𝑥) = 7 ln(𝑥) + log(𝑥) + 2 (g)
𝑓(𝑥) = −12𝑥 + 𝒔𝒊𝒏 𝟐(𝒙) +
3
𝑥
(d) 𝑓(𝑥) = 5 sin(𝑥) − 20𝑥2
− 𝑥
6. kombinace s cyklometrickými funkcemi
(a) 𝑓(𝑥) = sin(𝑥) + 2 arccos(𝑥)
(b) 𝑓(𝑥) = 5𝑡𝑔(𝑥) + 7𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥)
(c) 𝑓(𝑥) = arcsin(𝑥) − 5𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥)
* (d) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥2)) − 6𝑥
B. Derivování součinů a podílů
(a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2
∙ 𝑡𝑔(𝑥) (h) 𝑓(𝑥) =
cosx
1 − 𝑠𝑖𝑛𝑥
(b) 𝑓(𝑥) = (𝑥2
+ 1) ∙ ln (𝑥) (i)
𝑓(𝑥) = −
𝑥
2
+
1 + 𝑥2
2
∙ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥)
(c) 𝑓(𝑥) = √ 𝑥 ∙ cos(𝑥) (j) 𝑓(𝑥) =
2 − 𝑥
3𝑥 + 4
(d) 𝑓(𝑥) = √ 𝑥23
∙ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥) (k)
𝑓(𝑥) =
𝑥3
1 + 𝑥2
4. seminář
Derivace reálné funkce jedné reálné proměnné
Studijní materiál k seminářům Kvantitativní metody v ekonomické praxi
* motivační, dobrovolné
(e) 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 (l)
𝑓(𝑥) =
𝑒 𝑥
sin (𝑥)
(f) 𝑓(𝑥) = sin (𝑥) ∙ (𝑥2
− 2𝑥)
(g) 𝑓(𝑥) = 𝑥 ∙ ln(𝑥)
C. Derivování složených funkcí
(a) 𝑓(𝑥) = 2𝑒3𝑥
(f) 𝑓(𝑥) = (𝑥2
− 1)3
(b) 𝑓(𝑥) = sin (𝑥5
+ 4𝑥 − 1) (g) 𝑓(𝑥) = ln cos 𝑥
(c) 𝑓(𝑥) = ln (tg(𝑥3)) (h) 𝑓(𝑥) = ln (1 + 𝑥6)
(d) 𝑓(𝑥) = 3ln (5𝑥) (i) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛2
𝑥
(e)
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛
𝑥 − 2
2