Posloupnosti


Nekonečnou číselnou

posloupností prvků číselné množiny je funkce, která

každému přirozenému číslu n přiřazuje reálné číslo.


definiční obor –  N

obor hodnot - R




 Zápis:










Zadání posloupnosti:

1)      n-tým členem

    ,


2)      výčtem prvků



3)      rekurentně



4)      graficky

Grafem posloupnosti je množina izolovaných bodů.


Aritmetická posloupnost

-      rozdíl mezi dvěma po sobě jdoucími členy je konstantní, nazývá se diference d



-      platí:     1)


2)


Příklad. Sečtěte všechna přirozená čísla od 1 do 1000.





                                      Geometrická posloupnost

-      podíl mezi dvěma po sobě jdoucími členy je konstantní, nazývá se kvocient q


- platí:        1)


                2)




                             Součet nekonečné geometrické posloupnosti




                                      POSLOUPNOST KONVERGUJE


Příklad.

Určete součet posloupnosti:

a)


b)    2, 4, 8, 16, …


                                     Monotónnost posloupnosti

a)      je rostoucí, jestliže



b)    je klesající, jestliže



                                      Omezenost posloupnosti

                                          (shora i zdola)

                          a)                   je omezená shora, jestliže

                          b)                  je omezená zdola, jestliže


                                     !!!!!!!! Příklad !!!!!!!!

Je dána posloupnost .

Určete:

a)     ,        ,


             ,



b) monotónnost posloupnosti


c) max P =    , min P =         ,


    sup P =      , inf P


d) Je posloupnost omezená?


                                        Limita posloupnosti


a)  se blíží konečnému číslu A,   zapisujeme , jedná se o vlastní limitu.

Posl.    je konvergentní.



b)  se blíží nevlastnímu číslu , resp. ,   zapisujeme , resp. ,  jedná se o nevlastní limitu.

Posl.    je divergentní.



c)                    Posloupnost nemusí mít ani vlastní ani nevlastní limitu.

       Posl.    je divergentní.

Např.



Definice vlastní limity posloupnosti





Definice nevlastní limity posloupnosti



Pravidla pro výpočet limit – strana 110, 111.


Neurčité výrazy:  str.112




                                          Výpočet  limit




A)







Příklad.


1)


2)


3)



4)



5)


6)


7)


8)



B)

1)


2)



3)



C)


D)

                    Eulerovo číslo