Spojitost  a  limita  funkce




lze definovat :


a)      pomocí okolí bodu (Cauchyova definice)


b)     pomocí posloupností (Heineova definice)











Funkce  f je v bodě C  spojitá, jestliže


                                               platí





Funkce  f  je spojitá, jestliže je spojitá v každém bodě svého definičního oboru.





Poznámka.

a) Každá elementární funkce je spojitá v libovolném bodě svého definičního oboru.


b) Funkce  není spojitá v bodě




















Bolzanova  věta

Nechť f  je spojitá v intervalu  taková, že   Potom existuje reálné číslo   tak, že  .



Weierstrassova  věta

Nechť f je spojitá v intervalu . Potom f  nabývá v intervalu  jak svého minima, tak i maxima.




Limita   funkce (příklady)


1)                         Z grafu funkce určeme limitu funkce v krajních bodech definičního oboru
funkce:

a)





















b)











2) a)



            b)



c)







3)


                                                                       0,       je-li


               , je-li

                        podíl ….,


a)


b)


c)


d)


e)


f)


g)


h)



4)            výraz

-                        úprava: rozklad v součin nebo použití vztahu




a)






b)








c)








d)







5)            výraz   Þ

    jednostranné limity

                            (počítají se v bodech nespojitosti funkce)


a)




             (dosadíme 1,1)

                                                      ,

     (dosadíme 0,9) .


b) Dokažte, že   .





6)  definice Eulerova čísla:







Asymptoty  funkce


Svislá asymptota:

v bodech nespojitosti funkce,



Vodorovná asymptota:



je-li limita v nevlastním bodě vlastní,pak existuje vodorovná asymptota a má rovnici

               resp.


Šikmá asymptota:

        (počítáme, jestliže neex.

         vodorovná asymptota)









Příklad.

Vypočtěte všechny asymptoty funkce:


a)


b)