Slezská univerzita v Opavě
Obchodně podnikatelská fakulta v Karviné
KVANTITATIVNÍ METODY
Pro prezenční formu studia
Radmila Stoklasová
Karviná 2012
Projekt OP VK č. CZ.1.07/2.2.00/28.0017
„Inovace studijních programů na Slezské univerzitě,
Obchodně podnikatelské fakultě v Karviné“
Obor: Matematika.
Anotace: Publikace představuje studijní oporu základního vysokoškolského kurzu matematiky pro
bakalářské studium na vysoké škole ekonomického zaměření. Obsahově pokrývá základní
témata: jazyk matematiky, operace s maticemi, determinanty, soustavy lineárních algebraických
rovnic, posloupnosti, funkce, limity, derivace funkce jedné reálné proměnné, vyšetřování
funkcí, neurčitý a určitý integrál jedné reálné proměnné. Součástí textu jsou řešené a neřešené
příklady.
Klíčová slova: matice, determinanty, soustavy lineárních algebraických rovnic, posloupnost a její limita,
funkce a její limita, diferenciální počet jedné reálné proměnné, neurčitý integrál jedné reálné
proměnné
© Doplní oddělení vědy a výzkumu.
Autor:
Mgr. Radmila Stoklasová, Ph.D.
Recenzenti: Doplňte jména a příjmení včetně titulů
ISBN Doplní oddělení vědy a výzkumu.
- 3 -
OBSAH
ÚVOD ........................................................................................................................................ 6
1 JAZYK MATEMATIKY............................................................................................... 7
1.1 MATEMATICKÁ LOGIKA ........................................................................................................... 7
1.2 ČÍSELNÉ MNOŽINY ................................................................................................................... 8
1.3 OPERACE S MNOŽINAMI ......................................................................................................... 12
1.4 PŘÍKLADY K PROCVIČENÍ....................................................................................................... 15
1.5 ŘEŠENÍ PŘÍKLADŮ .................................................................................................................. 16
2 ALGEBRAICKÉ VÝRAZY ........................................................................................ 18
2.1 OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY ............................................................................ 18
2.2 LOMENÉ VÝRAZY ................................................................................................................... 22
2.3 MOCNINY A ODMOCNINY....................................................................................................... 24
2.4 ABSOLUTNÍ HODNOTA ........................................................................................................... 27
2.5 PŘÍKLADY K PROCVIČENÍ....................................................................................................... 27
2.6 ŘEŠENÍ PŘÍKLADŮ .................................................................................................................. 30
3 ROVNICE A NEROVNICE ........................................................................................ 31
3.1 POJEM ROVNICE ..................................................................................................................... 31
3.2 LINEÁRNÍ ROVNICE ................................................................................................................ 31
3.3 SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC............................................................................................ 33
3.4 LINEÁRNÍ NEROVNICE............................................................................................................ 35
3.5 SOUSTAVY LINEÁRNÍCH NEROVNIC ....................................................................................... 36
3.6 KVADRATICKÁ ROVNICE........................................................................................................ 37
3.7 KVADRATICKÉ NEROVNICE.................................................................................................... 39
3.8 PŘÍKLADY K PROCVIČENÍ....................................................................................................... 40
3.9 ŘEŠENÍ PŘÍKLADŮ .................................................................................................................. 41
4 MATICOVÝ POČET................................................................................................... 43
4.1 OPERACE S MATICEMI ............................................................................................................ 43
4.1.1 ROVNOST MATIC....................................................................................................... 44
4.1.2 SČÍTÁNÍ MATIC ......................................................................................................... 44
4.1.3 NÁSOBENÍ MATICE REÁLNÝM ČÍSLEM...................................................................... 45
4.1.4 NÁSOBENÍ MATICE MATICÍ........................................................................................ 46
4.2 TRANSPONOVANÁ MATICE.................................................................................................... 47
4.3 HODNOST MATICE ................................................................................................................. 48
4.4 INVERZNÍ MATICE .................................................................................................................. 51
4.5 MATICOVÉ ROVNICE .............................................................................................................. 53
4.6 PŘÍKLADY K PROCVIČENÍ....................................................................................................... 56
4.7 ŘEŠENÍ PŘÍKLADŮ .................................................................................................................. 60
5 DETERMINANTY ....................................................................................................... 63
5.1 VLASTNOSTI DETERMINANTU ................................................................................................ 64
5.2 CRAMEROVO PRAVIDLO......................................................................................................... 70
5.3 PŘÍKLADY K PROCVIČENÍ....................................................................................................... 71
5.4 ŘEŠENÍ PŘÍKLADŮ .................................................................................................................. 74
6 SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC ................................. 75
6.1 NEHOMOGENNÍ SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC .................................................................. 76
6.2 PŘÍKLADY K PROCVIČENÍ....................................................................................................... 80
6.3 ŘEŠENÍ PŘÍKLADŮ .................................................................................................................. 81
- 4 -
7 POSLOUPNOST A LIMITA POSLOUPNOSTI ...................................................... 83
7.1 POSLOUPNOST ........................................................................................................................ 83
7.2 LIMITA POSLOUPNOSTI........................................................................................................... 87
7.3 PŘÍKLADY K PROCVIČENÍ....................................................................................................... 96
7.4 ŘEŠENÍ PŘÍKLADŮ .................................................................................................................. 97
8 FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ............................................................... 98
8.1 VLASTNOSTI FUNKCÍ ............................................................................................................. 99
8.2 ELEMENTÁRNÍ FUNKCE ........................................................................................................ 105
8.2.1 ALGEBRAICKÉ FUNKCE .......................................................................................... 105
8.2.2 TRANSCENDENTNÍ FUNKCE.................................................................................... 108
8.3 DEFINIČNÍ OBOR FUNKCE..................................................................................................... 113
8.4 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY ............................................................................................................... 114
8.5 PŘÍKLADY K PROCVIČENÍ..................................................................................................... 119
8.6 ŘEŠENÍ PŘÍKLADŮ ................................................................................................................ 121
9 LIMITA FUNKCE ..................................................................................................... 122
9.1 SPOJITOST FUNKCE.............................................................................................................. 122
9.2 LIMITA FUNKCE................................................................................................................... 124
9.3 ASYMPTOTY FUNKCE .......................................................................................................... 126
9.3.1 SVISLÁ ASYMPTOTA........................................CHYBA! ZÁLOŽKA NENÍ DEFINOVÁNA.
9.3.2 VODOROVNÁ ASYMPTOTA (ASYMPTOTA BEZ SMĚRNICE) ...................................... 126
9.3.3 ŠIKMÁ ASYMPTOTA (ASYMPTOTA SE SMĚRNICÍ) .................................................... 126
9.4 VĚTY O LIMITÁCH FUNKCE.................................................................................................. 126
9.5 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY................................................................................................................ 127
9.6 PŘÍKLADY K PROCVIČENÍ..................................................................................................... 139
9.7 ŘEŠENÍ PŘÍKLADŮ ................................................................................................................ 141
10 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ............. 143
10.1 POJEM DERIVACE FUNKCE.................................................................................................... 143
10.1.1 VLASTNÍ A NEVLASTNÍ DERIVACE ............................................................................ 145
10.1.2 JEDNOSTRANNÉ DERIVACE ..................................................................................... 145
10.1.3 VZTAH MEZI DERIVACÍ A SPOJITOSTÍ FUNKCE V BODĚ............................................. 146
10.1.4 PRAVIDLA PRO DERIVOVÁNÍ FUNKCÍ....................................................................... 147
10.1.5 DERIVACE SLOŽENÉ FUNKCE.................................................................................. 151
10.2 DERIVACE VYŠŠÍCH ŘÁDŮ.................................................................................................... 154
10.3 PŘÍKLADY K PROCVIČENÍ..................................................................................................... 155
10.4 ŘEŠENÍ PŘÍKLADŮ ............................................................................................................... 157
11 UŽITÍ DIFERENCIÁLNÍHO POČTU .................................................................... 159
11.1 L’HOSPITALOVO PRAVIDLO ................................................................................................. 159
11.1.1 LIMITY TYPU


,
0
0
............................................................................................ 159
11.1.2 LIMITY TYPU 0 ............................................................................................. 162
11.1.3 LIMITY TYPU  ........................................................................................... 163
11.1.4 LIMITY TYPU

 0,,1 0
.................................................................................... 164
11.2 DIFERENCIÁL FUNKCE.......................................................................................................... 165
11.3 TAYLORŮV POLYNOM .......................................................................................................... 167
11.4 PRŮBĚH FUNKCE ................................................................................................................. 169
- 5 -
11.4.1 MONOTÓNNOST FUNKCE........................................................................................ 169
11.4.2 LOKÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCÍ.................................................................................. 170
11.4.3 INFLEXNÍ BODY FUNKCE....................................................................................... 172
11.4.4 KONVEXNOST A KONKÁVNOST FUNKCE................................................................... 174
11.4.5 POSTUP PŘI VYŠETŘOVÁNÍ PRŮBĚHU FUNKCE ........................................................ 175
11.5 PŘÍKLADY K PROCVIČENÍ..................................................................................................... 181
11.6 ŘEŠENÍ PŘÍKLADŮ ................................................................................................................ 183
12 INTEGRÁLNÍ POČET.............................................................................................. 186
12.1 NEURČITÝ INTEGRÁL ........................................................................................................... 187
12.2 PRAVIDLA PRO VÝPOČET INTEGRÁLU, ZÁKLADNÍ VZORCE A JEJICH UŽITÍ .......................... 188
12.3 INTEGRACE SUBSTITUČNÍ METODOU.................................................................................... 194
12.4 INTEGRACE METODOU PER PARTES...................................................................................... 197
12.5 URČITÝ INTEGRÁL................................................................................................................ 200
12.5.1 UŽITÍ INTEGRÁLNÍHO POČTU V GEOMETRII............................................................. 203
12.6 PŘÍKLADY K PROCVIČENÍ..................................................................................................... 207
12.7 ŘEŠENÍ PŘÍKLADŮ ................................................................................................................ 209
ZÁVĚR.................................................................................................................................. 211
SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY................................................................................ 212
PŘÍLOHA Č. 1 ..................................................................................................................... 213
PŘÍLOHA Č. 2 ..................................................................................................................... 214
- 6 -
ÚVOD
Tento text představuje studijní oporu pro studium kvantitativních metod ekonomických
studijních programů v bakalářském studiu na Slezské univerzitě, Obchodně podnikatelské
fakultě v Karviné.
Skriptum je rozděleno do 12 kapitol. Jednotlivé kapitoly odpovídají obvyklým
12 výukovým týdnům jednoho semestru a jsou přibližně stejně obsahově rozsáhlé a obtížné.
Takový rozsah učiva odpovídá klasické dvouhodinové přednášce v prezenčním studiu na
vysoké škole ekonomického zaměření.
První kapitola se zabývá výstavbou matematiky a jsou zde uvedeny základní pojmy, se
kterými se v dalším textu pracuje. Kapitola druhá a třetí je opakováním učiva střední školy
a shrnuje znalosti algebraických výrazů a jsou zde uvedeny různé typy rovnic a nerovnic
a jejich řešení. Lineární algebře jsou věnovány kapitoly 4 – 6, ve kterých jsou uvedeny
základní vlastnosti matic, determinantů a řešení soustav lineárních algebraických rovnic.
Kapitola sedmá rozšíří Vaše znalosti o číselných posloupnostech a jejich limitách. Důležitá je
následující kapitola osmá, která je věnována funkcím jedné reálné proměnné. Jsou zde
uvedeny grafy elementárních funkcí a jejich vlastnosti. V další kapitole se dovíte, jak
vypočítat limitu funkce, seznámíte se také mimo jiné s pojmem jednostranná limita. Mezi
jednu z nejdůležitějších patří kapitola 10, která je věnována diferenciálnímu počtu funkce
jedné reálné proměnné a další kapitola se zabývá užitím diferenciálního počtu. Ve dvanácté
kapitole se seznámíte s neurčitým integrálem funkce jedné reálné proměnné, dále s určitým
integrálem a jeho užitím v geometrii.
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 7 -
1 JAZYK MATEMATIKY
1.1 MATEMATICKÁ LOGIKA
Základem každé teorie je systém výroků, které přijímáme jako pravdivé a které můžeme
nazývat axiomy (nebo postuláty). V matematice další tvrzení vyplývají jedno z druhého
a z axiomů a jsou zpravidla provázeny úvahami, které mají zajistit jejich platnost. O úvahách
tohoto druhu hovoříme jako o důkazech, a tvrzení, jejichž platnost zajišťují, nazýváme věty
(nebo teorémy).
Existují termíny, s nimiž se setkáváme jak v úvahách běžného života, tak i ve všech možných
odborných disciplínách; zde náleží slova „a“, „ne“, „nebo“, „je“, „každý“, „některý“ a mnoho
jiných. Obor logika, který pokládáme za základ všech ostatních věd, má za úkol stanovit
přesný význam takových termínů a formulovat nejobecnější zákony, jimiž se tyto termíny
řídí. Jde vlastně o nauku o jazyce zabývající se jak jeho strukturou (syntax), tak i jeho
významovou stránkou a vztahem jazyka k realitě (sémantika).
Logika se vyvinula v samostatnou disciplínu dříve než aritmetika a geometrie. Na druhé
straně teprve „nedávno“ se tento obor začal znovu rozvíjet. Mohutný impuls dostala logika
v minulém stolení rozvojem algebraických metod v logice. Tak vznikla matematická
(formální nebo symbolická) logika.
Matematická logika se zabývá tím druhem činnosti, kterou matematici vyvíjejí při
dokazování. Matematická logika studuje povahu důkazu a pokouší se předvídat všechno
možné, co budou vůbec kdy matematici dokazovat, a všechno, co nikdy nebudou moci
dokázat.
Výrok je primitivní pojem matematické logiky. Výrok je tvrzení, pro které má smysl otázka
o jeho pravdivosti. Jde o nejjednodušší a základní stavební kameny výrokové logiky, nebo
také výrokového počtu. Mezi termíny logické povahy patří vybraná skupina slov jako „ne“,
„a“, „nebo“, „jestliže..., pak...“, „... právě tehdy, jestliže ...“.
Všechna tato slova jsou prostředkem vytváření složených výroků z jednodušších výroků.
Výroky budeme označovat zpravidla malými písmeny řecké abecedy ,...,, 
Z jednotlivých výroků vytváříme složitější výroky užitím logických operací pomocí logických
spojek.
Uvedeme nejdůležitější spojky výrokové logiky. Předpokládejme, že , jsou výroky.
Známe pět logických operací (negaci, disjunkci, konjunkci, implikaci, ekvivalenci), které
jsou reprezentovány logickými spojkami (  ,,,, ). V tabulce 1 naleznete
jednotlivé logické spojky, jejich užití v logických operacích při vytváření logických souvětí
a také jak tyto spojky čteme.
Poznámka. Spojku nebo v českém jazyce je možno chápat jako spojku vylučovací nebo
nevylučovací. V matematice ji budeme vždy chápat v nevylučovacím smyslu.
1 Jazyk Matematiky
- 8 Tabulka
1-1: Logické operace a logické spojky
Logická operace Zápis Čteme Česky
Negace  non   není pravda, že 
  není pravdivé
  neplatí
Disjunkce    vel   nebo 
Konjunkce    et    a 
  a současně 
Implikace    implikuje   jestliže , potom 
  je postačující podmínka pro 
  je nutná podmínka pro 
Ekvivalence    je
ekvivalentní 
  právě tehdy, jestliže 
  tehdy a jen tehdy, jestliže 
  je nutná a postačující
podmínka pro 
Velice důležité je používání proměnných v matematice a vyjádření toho, že nějaká
vlastnost je splněna „pro všechny“ nebo „pro některé“ prvky určité množiny.
Symbol „ “ se nazývá obecný (univerzální, velký) kvantifikátor.
Zápis Mx čteme „pro všechna“ (pro každé, pro libovolné) x z množiny M.
Symbol „ “ se nazývá existenční (malý) kvantifikátor.
Zápis čteme „existuje“ (aspoň jedno) x z množiny M.
1.2 ČÍSELNÉ MNOŽINY
Množina přirozených čísel
Množina celých čísel
Množina racionálních čísel Q je rozšířením množiny celých čísel o všechna necelá racionální
čísla tvaru kde jsou nesoudělná celá čísla.
Množina reálných čísel Někdy namísto používáme a tento symbol se
nazývá „plus nekonečno“.
Množina iracionálních čísel Jsou to čísla, která jsou reálná, ale nejsou racionální.
Například Ludolfovo číslo .
Poznámka. Termíny racionální a iracionální čísla vznikly z latinského slova ratio, tj. rozum.
Proto racionální čísla jsou čísla „rozumná“ a iracionální čísla jsou čísla „nerozumná“.
Nerozumného však na nich nic není!
 ,,...n,...,,,N 321  .,...n,...,,,N 2100 
 .,...,,,,...,Z 21012 
,
p
p
2
1
 0221 pp,p
 .,R   
.QR 
32,,
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 9 Kvůli
zjednodušení se v tomto textu využívá také běžná součtová a součinová
symbolika nebo též sumační a multiplikační symbolika
Pro zápis součtu více sčítanců nebo součinu více činitelů se používá symbolika, která
podstatně zjednodušuje vyjadřování.
Nechť , . Potom značíme symbolem
a. součet
b. součin
Index i se nazývá součtový (resp. součinový) index, číslo 1 se nazývá dolní mez
a číslo n horní mez tohoto součtu (resp.součinu).
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 1
Zapište pomocí sumační symboliky aritmetický průměr čísel .
Řešení.
Aritmetický průměr
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 2
Vypočtěte: a. , b. .
Řešení.
a.
b.
Rozšířená číselná osa
Je to množina taková, že tj. k množině R přidáme 2 prvky ,
takové, že pro platí:
Nn  Ra,...,a,a,a n 321


n
i
ia
1
,a...aaa n 321
i
n
i
a
1
 .a...a.a.a n321
na,...,a,a,a 321
.a
nn
a...aa
a
n
i
i
n





1
21 1


3
1
2
i
i
 42
5
3



i
n
i
,
i
i
2
31
222222 32101
3
1
 


  ...i
n
i
168014121042
5
3




R

R  ,,RR 
,
Rx 
 .xx 
1 Jazyk Matematiky
- 10 Prvky
množiny budeme nazývat zobecněná reálná čísla, přičemž nazveme
nevlastní reálná čísla.
Na množinu lze rozšířit některé operace definované na množině všech reálných čísel R.
Definujeme:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Toto rozšíření operací je účelné zejména pro výpočet limit v kapitole 9. Některé
operace nejsou definovány například: .
V takovém případě hovoříme o neurčitých výrazech.
Dalšími důležitými pojmy jsou pojmy suprémum a infimum množiny.
Nejprve definujme pojmy:
I) horní a dolní závora množiny,
II) minimum a maximum množiny, pak přejdeme k definici
III) supréma a infima a uvedeme některé jejich vlastnosti.
DEFINICE 1
Nechť množina , . Řekneme, že:
a. a je horní závora množiny M, jestliže
b. b je dolní závora množiny M, jestliže
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 3
Určete horní a dolní závory množin:
a. všech reálných čísel R,
b. prázdné množiny,
c.  .,10
Řešení.
a. Horní závorou je nevlastní číslo , dolní závorou je nevlastní číslo
b. Horní i dolní závorou prázdné množiny je každé číslo

R ,

R
 ,aaa:Ra  
 ,aaa:Ra  
,
a
:Ra 







 0
    ,a..aa:Ra  
0
    ,a..aa:Ra  
0
  ,
.
  



 1,,0,
0
,
0
0
,,.0, 00k

 RM 
 Rb,a
 ,ax:Mx 
 .bx:Mx 
 .
.Ra 

Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 11 c.
Horní závorou intervalu jsou čísla Dolní závorou jsou např.
čísla .
Vidíme, že horní či dolní závora množiny není jednoznačně určena. Navíc horní či dolní
závora může být i prvkem této množiny (příklad c).
DEFINICE 2
Nechť množina , . Řekneme, že:
a. a je maximum množiny M právě tehdy, jestliže a a je horní závora množiny M,
b. b je minimum množiny M právě tehdy, jestliže a b je dolní závora množiny M.
Množina M má nejvýše jedno maximum a nejvýše jedno minimum. Maximum množiny
M budeme značit max(M). Analogicky značíme minimum, tedy min(M).
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 4
Určete maximum a minimum množiny:
a. všech reálných čísel R,
b. prázdné množiny,
c.  .,10
Řešení.
a. Množina nemá maximum ani minimum.
b. Množina nemá maximum ani minimum.
c. Maximem intervalu je číslo 1, minimum daného intervalu neexistuje.
DEFINICE 3
Nechť množina , . Řekneme, že:
a. a je suprémum množiny M, jestliže a je minimem množiny horních závor množiny M,
b. b je infimum množiny M, jestliže b je maximem množiny dolních závor množiny M.
Suprémum množiny M budeme značit symbolem sup(M) a infimum symbolem inf(M).
.,,, 155000
102250  ;;,
RM  Rba ,
Ma 
Mb 

 RM 
 Rb,a
1 Jazyk Matematiky
- 12 Uvědomte
si platnost následujících tvrzení:
 Existuje právě jedno suprémum a existuje právě jedno infimum množiny .
Suprémum i infimum množin vždy existují v .
 sup(M) = inf(M) právě tehdy, jestliže množina M je jednoprvková.
 sup(M) právě tehdy, jestliže existuje maximum množiny M, přičemž platí max(M) =
sup(M).
 inf(M) právě tehdy, jestliže existuje minimum množiny M, přičemž platí min(M) =
inf(M).
DEFINICE 4
Množina M je shora omezená, jestliže sup(M) <  ,
množina M je zdola omezená, jestliže inf(M) >  ,
množina M je omezená, jestliže je současně zdola i shora omezená.
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 5
Určete suprémum a infimum množiny:
a. všech reálných čísel R,
b. prázdné množiny,
c.  .,10
Řešení.
a. sup(R)= , inf(R)= ,
b. sup()=  , inf()= , (promyslete)
c.  ,11,0sup   .01,0inf 
1.3 OPERACE S MNOŽINAMI
Základním vztahem mezi prvkem a množinou je vztah „býti prvkem množiny“
značíme jej symbolem a  A. Symbolem a  A označujeme skutečnost, že prvek x nepatří
do množiny A.
Množinou rozumíme souhrn libovolných objektů, které jsou vzájemně rozlišitelné.
Objekty tvořící množinu se nazývají prvky (elementy) množiny. Základní vlastností množiny
je jednoznačné určení množiny jejími prvky. O každém objektu (abstraktním nebo reálném)
můžeme jednoznačně rozhodnout, zda do dané množiny patří nebo nepatří. Množiny
označujeme velkými písmeny, prvky malými písmeny. Pro zadání množin používáme složené
závorky.
Zadání množin
a. výčtem (vyjmenováním) prvků množiny, např. ,

 RM
*
R
M
M
 cba ,,
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 13 b.
uvedením charakteristické vlastnosti, společné všem prvkům množiny. Žádný jiný prvek
(nepatřící do množiny) tuto vlastnost nemá, např. .
Podle počtu prvků dělíme množiny na konečné, nekonečné a množinu prázdnou.
Prázdná množina neobsahuje žádný prvek. V teorii množin má obdobný význam jako nula
v teorii čísel.
Základní vztahy mezi množinami jsou vztahy:
a. rovnosti: A = B  (x  A  x  B),
b. inkluze (být podmnožinou): A  B  (x  A  x  B).
Operace s množinami:
a. sjednocení množin A, B: A  B = x  A  x  ,
b. průnik množin A, B: A  B = x  A  x  ,
c. rozdíl množin A, B: A – B = x  A  x  ,
d. doplněk množiny A v základní množině Z: ,
e. kartézský součin množin A, B: A B =  x  A  y  .
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 6
Určete pomocí intervalů prvky množin A, B, C, D, ,
kde , ,
, .
Řešení.
Množina A: 
.
Množina B:

 103;  xRx
 ;x B
 ;x B
 ;x B
 AxZx; xA 
   yx, B
B, ADB,, CBC,A 






 7
2
642
x
x;RxA








 1
2x
x
;RxB
 0822
 xx;RxC  012
 xx;RxD
42 x 7
2
6 
x
1412
712
2
1


x
x
6,2x     ,226,x
      6222662 ,,,,A 
1
2
11
2



 x
x
x
x
1
22
1 




x
x
x
x
2
22
0



x
x
0
2
2



x
1 Jazyk Matematiky
- 14 -
.
Množina C:
Řešením kvadratické nerovnice je , tedy .
Množina D:
Protože diskriminant je záporný jsou řešením nerovnice v oboru
reálných čísel buď všechna reálná čísla, nebo množina prázdná.
V našem případě je D = R.
,
,
,
.
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 7
Graficky znázorněme množiny A, B, C, D, E, F, G, , kde
,
,
,
,
,
,
.
Řešení.
Množina A je kruh se středem a poloměrem r = 3, bez své hranice.
Množina B je vnější oblast paraboly, která má vrchol v bodě a větve paraboly jsou
směrem nahoru.
Množina C je průnikem poloroviny x < 0 (hranicí je osa y, která do množiny C nepatří)
a poloroviny (hranicí je přímka , která do množiny C nepatří).
Množina D je průnikem dvou oblastí: 1) vnější oblastí pásu, který je omezen přímkami
které do množiny D nepatří, 2) vnitřní oblastí pásu, který je omezen
přímkami které do množiny D patří.
Množina E je plocha „pod přímkou“, která prochází body Přímka do množiny
E patří.
       ,,,,B 1212
0822
 xx
   024  xx
2,4x 24,C 
012
 xx
 3D
  2462 ,,CA
    11  ,,,BRB
 14124  ,,,BC
  ,,,BA 1162
A
  9222
 yx;Rx,yA
  yx;Ry,xB  22
  102
 yx;Ry,xC
  122
 yx;Ry,xD
  222
 yx;Ry,xE
  22
yx;Ry,xF 
  02
 yyx;Ry,xG
 00S ,
 00V ,
1y 1y
,y,y 11 
,x,x 22 
   .,,, 0210
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 15 Množina
F je parabola, která má vrchol v bodě a větve paraboly jsou směrem
doprava.
Množina G je průnikem dvou polorovin: 1) dolní polorovina, která je omezena přímkou
, přičemž přímka do množiny G nepatří, 2) horní polorovina, která je omezena přímkou
(osa x), která do množiny G patří.
Množina je doplňkem množiny A, tj. vnější oblast kružnice se středem a poloměrem
r = 3, včetně hranice kružnice.
1.4 PŘÍKLADY K PROCVIČENÍ
PŘÍKLAD 1
Vypočtěte .
PŘÍKLAD 2
Vypočtěte následující výraz, je-li : .
PŘÍKLAD 3
Ve kterém z následujících případů se jedná o neurčitý výraz?
a. , b. , c. ,
d. , e. , f. .
PŘÍKLAD 4
Určete maximum, minimum, suprémum a infimum množin:
a. množina přirozených čísel N,
b. ,
c.
d.
Na základě vypočtených hodnot rozhodněme, zda jsou tyto množiny omezené, omezené
shora, omezené zdola.
 00V ,
xy 
,y 0
A  00S ,
 

3
1
1
1
32
j
j
i
i
Ra      aaV 

a
 

.
0
5 0
5 0
0
83,B 
 ,,C 4
   .,D 516 
1 Jazyk Matematiky
- 16 PŘÍKLAD
5
Určete horní a dolní závory množiny všech racionálních čísel a množiny všech iracionálních
čísel.
PŘÍKLAD 6
Určete prvky množin A, B, C, D, , kde:
, ,
, .
PŘÍKLAD 7
Graficky znázorněte množiny A, B, C, D, E, F, G, H, , kde
,
,
,
,
,
,
,
.
1.5 ŘEŠENÍ PŘÍKLADŮ
1) , , .
2) Postupně vypočteme
Tedy .
3) Neurčité výrazy představují operace uvedené po písmenem b., d., f.
4) sup(N)=, max(N) neexistuje, neboť to musí být číslo z R, inf(N)= 1 = min(N),
množina N není omezená, je omezená pouze zdola,
sup(B)= 8 = max(B), inf(B)= 3 = min(B), množina B je omezená, tj. je omezená
shora i zdola,
DCB,C, AA, B, BD,A 
 26232  xx;RxA









 1
5
1
x
x
;RxB
 01032
 xx;RxC  0252
 x;RxD
EHB,, AA 
  4222
 yx;Rx,yA
  yx;Rx,yB  22
  002
 yx;Rx,yC
  23;, 2
 yxRyxD
  1;, 2
 yxRyxE
    22
2;,  yxRyxF
  1105;, 2
 yxRyxG
      912;,
222
 yxRyxH
  01.20.2122
1
1
i
i 3327933
3
1
j
j
3332
3
1
1
1
   j
j
i
i
  .,  aa
        .aaV
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 17 sup(C)=
4, max(C) neexistuje, inf(C)= , min(C) neexistuje, množina C není
omezená, je omezená pouze shora,
sup(D)= 6 = max(D), inf(D)= 1, min(D) neexistuje, množina B je omezená, tj. je
omezená shora i zdola.
5) Horní závorou množiny všech racionálních čísel a množiny všech iracionálních čísel
je nevlastní číslo , dolní závorou množiny všech racionálních čísel a množiny
všech iracionálních čísel je nevlastní číslo .
6)
7) Množina A je kruh se středem S[0,0] a poloměrem r = 2,
množina B je vnitřní oblast paraboly s vrcholem V[0,0], hlavní osa je rovnoběžná
s osou x,
množina C je IV. kvadrant roviny R2
bez souřadnicových os,
množina D je sjednocením dvou částí pásu, který je ohraničen přímkami ,
x = 3, , y = 2, přímky , y = 2 do množiny D nepatří,
množina E je dolní část roviny R2
ohraničená přímkou, jejíž průsečíky s osami jsou
Px[1,0], Pz[0,1],
množina F je vnitřní oblast paraboly s vrcholem V[0,2], hlavní osa je rovnoběžná
s osou y,
množina G je úsečka s krajními body [5,1], [5,-1],
množina H je vnější oblast kruhu se středem S[2,-1] a poloměrem r = 3.



  ,O, D,, C,, B,A  52245
  R,D,,,A  45
   
 

,,DC
,,B, A,C, B,,AB
52
455245
3x
2y 2y
2 Algebraické výrazy
- 18 -
2 ALGEBRAICKÉ VÝRAZY
Algebraický výraz je zápis, který je složen z čísel a písmen vyjadřujících jednotlivé
proměnné (neznámé). Čísla a písmena jsou spojována znaky operací sčítání, odčítání,
násobení, dělení, umocňování či odmocňování. Algebraický výraz může dále obsahovat
závorky, které stanovují pořadí jednotlivých početních operací.
Příkladem výrazu je např. √ +7, atd.
S úpravami algebraických výrazů souvisí nutnost stanovení definičního oboru proměnných,
tj. vymezení, kdy má daný výraz smysl. Nejčastěji se budeme setkávat s určením podmínek
řešitelnosti pro lomené výrazy, kdy jmenovatel zlomku nesmí nabývat nulové hodnoty.
Úprava algebraického výrazu představuje nahrazení výrazu výrazem jiným, který se mu rovná
v definičních oborech proměnných. Zjednodušení algebraického výrazu je situace, kdy nový
výraz obsahuje menší počet členů, proměnných, atd.
2.1 OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY
Pod pojmem jednočlen chápeme výraz, který obsahuje pouze operace násobení
a umocňování. Jedná se tedy o součin určitého čísla (koeficientu) a mocnin jedné popř. více
proměnných s přirozenými mocniteli.
Mnohočlen neboli polynom je potom součet konečného počtu jednočlenů (členů
mnohočlenu). Stupeň mnohočlenu je dán nejvyšším exponentem proměnné. Mnohočlen, který
obsahuje pouze exponent , je mnohočlen nultého stupně. Mnohočleny jsou si rovny, jestliže
mají všechny členy shodné. Hodnotu mnohočlenu získáme tak, že za proměnnou dosadíme
konkrétní reálné číslo.
Pro všechna čísla a, b, c z množiny všech reálných čísel R platí:
neutrálnost
komutativnost
asociativnost
distributivnost
Při součtu či rozdílu mnohočlenů slučujeme odpovídající si členy, při násobení násobíme
každý člen s každým.
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 19 ŘEŠENÝ
PŘÍKLAD 1
Sečtěte jednočleny:
Řešení.
( ) ( )
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 2
Sečtěte mnohočleny:
{[ ] } [ ]
Řešení.
{[ ] } [ ]=
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 3
Vynásobte a upravte:
{ [ ]}
Řešení.
{ [ ]}
{ [ ]}
{ }
{ }
2 Algebraické výrazy
- 20 Dělení
mnohočlenu probíhá následujícím způsobem. Člen nejvyššího stupně dělence se dělí
členem nejvyššího stupně dělitele. Tímto postupem získáme první člen neúplného podílu,
kterým zpětně vynásobíme dělitele. Vzniklý výsledek odečteme od dělence, jehož stupeň se
provedenou úpravou sníží. Dále postupujeme stejným způsobem.
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 4
Vydělte:
a)
b)
Řešení.
a)
0
podmínka:
b)
0
podmínka:
Rozklad mnohočlenu na součin je možný pomocí vytýkání společného činitele před
závorku, využití rozkladu dle vzorců pro mnohočleny nebo pomocí rozkladu kvadratického
trojčlenu. Cílem je úprava původního mnohočlenu na součin několika jednodušších
mnohočlenů.
Při úpravách algebraických výrazů se budete setkávat s následujícími vzorci:
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 21 Výrazy
jsou výrazy v oboru reálných čísel
nerozložitelné.
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 5
Upravte:
a)
b)
c)
d)
e)
Řešení.
a)
b)
c)
d)
e)
Rozklad kvadratického trojčlenu
Pod pojmem kvadratický trojčlen rozumíme výraz . Setkávat se budete rovněž
s pojmem normovaný kvadratický trojčlen ve tvaru .
Kvadratický trojčlen lze rozložit na součin lineárních dvojčlenů v množině všech reálných
čísel R za podmínky, že diskriminant neboli výraz resp. . Kořeny
kvadratického trojčlenu se označují a a platí, že:
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 6
Upravte na součin:
a)
b)
c)
2 Algebraické výrazy
- 22 -
d)
e)
f)
g)
Řešení.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
2.2 LOMENÉ VÝRAZY
Lomené výrazy jsou výrazy ve tvaru podílu dvou výrazů, tj. podíl .
Výraz a se nazývá čitatel zlomku a výraz b jmenovatel zlomku. U lomených výrazů je nutné
stanovit definiční obor proměnné. Podmínkou je, že jmenovatel lomeného výrazu nesmí
nabývat nulové hodnoty.
Početní operace s lomenými výrazy
Pro všechna čísla a,b,c,d z množiny všech reálných čísel R , kde b ≠ 0,d ≠ 0 platí:
Sčítání a odčítání lomených výrazů:
Násobení lomených výrazů:
Dělení a úprava složeného zlomku:
Často bude výhodné využít před operacemi sčítání, odčítání, násobení a dělení tzv. krácení
zlomku v podobě , kde
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 23 ŘEŠENÝ
PŘÍKLAD 7
Upravte algebraické výrazy a stanovte podmínky řešitelnosti:
Řešení.
a)
podmínka:
b)
podmínky:
c)
podmínky:
Složený zlomek
Složený zlomek představuje podíl dvou jednoduchých zlomků. Složený zlomek dělíme,
jestliže násobíme jeho převrácenou hodnotu. V některých případech bude nutné nejdříve
složený zlomek upravit, tj. rozšířit a stanovit nejmenší společný jmenovatel v čitateli
a jmenovateli složeného zlomku (tj. ve jmenovatelích jednoduchých zlomků). Stejně jako
u jednoduchého zlomku nesmíme ovšem zapomenout na vymezení podmínek řešitelnosti.
2 Algebraické výrazy
- 24 ŘEŠENÝ
PŘÍKLAD 8
Upravte složené zlomky a stanovte podmínky řešitelnosti.
Řešení.
a)
podmínka:
b)
podmínky:
2.3 MOCNINY A ODMOCNINY
Mocniny
Výraz znamená, že se jedná o opakování násobení téhož činitele a n-krát. Výraz
a nazýváme základ mocniny (mocněnec) a n mocnitel (exponent). Pro všechna přípustná
reálná čísla a,b,m,n platí následující vztahy:
( )
√
√
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 9
Upravte výraz a stanovte podmínky řešitelnosti:
[ ] [ ]
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 25 -
Řešení.
[ ] [ ] ( ) ( )
√
podmínky:
Odmocniny
Pro každé číslo n z množiny všech přirozených čísel N nazýváme n-tou odmocninou
z nezáporného čísla a takové nezáporné číslo b , pro něž platí .
Z definice vyplývá, že √ . Číslo n označujeme výrazem odmocnitel (exponent
odmocniny) a číslo a jako odmocněnec (základ odmocniny).
Pro
√ √ √
√
√
√
√ √ √
√ √
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 10
Upravte výrazy:
√ √ √
Řešení.
a) √ √ √ √ √
√
√
√
√
√
Odmocniny můžeme převést rovněž na mocniny. K převodu na mocniny využijeme vztahu
√ . Jinou metodou řešení je převod všech odmocnin na jednu společnou odmocninu.
2 Algebraické výrazy
- 26 ŘEŠENÝ
PŘÍKLAD 11
Upravte výrazy a stanovte podmínky řešitelnosti:
a) √
b) √ √ √ √
c) √ √ √ √
d) √ √ √
Řešení.
a) √ √ √ √ √
podmínka:
b) √ √ √ √ √ √ √
√ √
podmínka:
c) √ √ √ √ √ √
podmínka:
d) √ √ √ √
podmínka:
Usměrňování lomených výrazů
Usměrňování lomených výrazů znamená, že se snažíme ze jmenovatele zlomku odstranit
výraz obsahující odmocninu. Za tímto účelem je nutné zlomek rozšířit na početní výraz, který
je mu roven, ale již neobsahuje odmocninu. V případě, že se jedná o samotnou odmocninu, je
nutné rozšířit výraz toutéž odmocninou. V případě součtu (rozdílu) obsahujícího odmocninu
popř. odmocniny rozšiřujeme součtem (rozdílem) téhož výrazu dle vztahu
.
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 12
Usměrněte lomené výrazy:
√ √ √ √
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 27 -
Řešení.
√ √
√
√
√
√ √ √ √
√ √
√ √
√ √ √ √
√ √
√
√
√ √
√
2.4 ABSOLUTNÍ HODNOTA
Absolutní hodnota reálného čísla a se označuje výrazem | | a znamená, že | | = a pro a ≥ 0
a | | = −a pro a 0.
Absolutní hodnota nechává nezáporná čísla beze změny a záporná čísla násobí (−1) . Platí, že
| | ≥ 0 . Hodnota čísla a je tedy při dosazování kladných i záporných čísel stále nezáporné
číslo. Absolutní hodnota nuly se rovná nule.
Absolutní hodnota je z grafického hlediska vzdálenost čísla a od 0, tj. od počátku.
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 13
Vypočtěte absolutní hodnotu reálných čísel:
a) | | b) | | c) | | | | | | | |
Řešení.
a) | |
b) | |
c) | | | | | | | |
2.5 PŘÍKLADY K PROCVIČENÍ
PŘÍKLAD 1
Sečtěte mnohočleny:
PŘÍKLAD 2
Vynásobte a upravte:
{ [ ]}
2 Algebraické výrazy
- 28 PŘÍKLAD
3
Upravte na součin:
PŘÍKLAD 4
Vydělte:
PŘÍKLAD 5
Upravte algebraický výraz a stanovte podmínky řešitelnosti:
( ) ( )
PŘÍKLAD 6
Upravte algebraický výraz a stanovte podmínky řešitelnosti:
[ ( )]
PŘÍKLAD 7
Upravte složený zlomek a stanovte podmínky řešitelnosti:
PŘÍKLAD 8
Upravte složený zlomek a stanovte podmínky:
( ) ( )
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 29 PŘÍKLAD
9
Upravte složený zlomek a stanovte podmínky:
PŘÍKLAD 10
Upravte složený zlomek a stanovte podmínky:
PŘÍKLAD 11
Upravte algebraický výraz a stanovte podmínky řešitelnosti:
[
( )
] [
√ √
( )
]
PŘÍKLAD 12
Upravte algebraický výraz:
√ √ √
PŘÍKLAD 13
Upravte algebraický výraz a stanovte podmínky řešitelnosti:
(
√ √
√ √
√ )
√
√ √
2 Algebraické výrazy
- 30 PŘÍKLAD
14
Upravte algebraický výraz a stanovte podmínky řešitelnosti:
√
√
√
√
√
2.6 ŘEŠENÍ PŘÍKLADŮ
1)
2)
3)
4) ; podmínka:
5) ; podmínky:
6) ; podmínky:
7) ; podmínka:
8) ; podmínky:
9) 1; podmínky:
10) 0; podmínky:
11) ; podmínky:
12) √( )
13) 1; podmínky:
14) ; podmínky:
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 31 -
3 ROVNICE A NEROVNICE
3.1 POJEM ROVNICE
Pod pojmem rovnice rozumíme zápis rovnosti dvou výrazů. Znamená to tedy, že se levá
strana rovnice rovná pravé straně rovnice, tj. L(x) = P(x), kde x je proměnná.
Rovnice řešíme na oboru proměnné, což je některý z číselných oborů (R, N, Z, atd.).
Neznámou (proměnnou) označujeme písmeny, nejčastěji písmenem x. Jestliže budeme řešit
rovnici v oboru (množině) reálných čísel R, tak platí zápis x R.
Kořen rovnice (řešení rovnice) je hodnota proměnné, tj. číslo, pro které platí, že po dosazení
do rovnice vytvoří rovnost. Levá strana rovnice se bude rovnat pravé straně rovnice. Množinu
všech kořenů (řešení) rovnice nazýváme K a je vždy podmnožinou oboru proměnné. Při
řešení rovnic se používají ekvivalentní úpravy. Jedná se o úpravy rovnic, při kterých se
množina kořenů K nemění.
Ekvivalentní úpravy:
- vzájemná výměna stran rovnice,
- nahrazení vybrané strany rovnice výrazem, který je jí v celém definičním oboru řešení
rovnice roven,
- přičtení téhož výrazu nebo reálného čísla k oběma stranám rovnice,
- vynásobení obou stran rovnice týmž reálným číslem různým od nuly popř. týmž výrazem,
který je definován v celém oboru řešení rovnice.
Ekvivalentní úpravy nemění množinu řešení rovnice. Při řešení iracionálních rovnic, kdy se
proměnná x nachází pod odmocninou, je nezbytné použít neekvivalentní úpravy a obě strany
rovnice umocnit. Umocňování a odmocňování neřadíme mezi ekvivalentní úpravy. Zkouška
je nezbytnou součástí řešení, jestliže v průběhu řešení rovnice byly použity neekvivalentní
úpravy. V případě, že při řešení byly použity pouze ekvivalentní úpravy, zkouška není nutná.
Zkoušku je ovšem možné provést, a to z důvodu kontroly numerické správnosti výsledku.
Existuje několik druhů rovnic – lineární, kvadratické, exponenciální, logaritmické či
goniometrické rovnice. Pro účely našeho studia se budeme zabývat rovnicemi lineárními
a kvadratickými.
3.2 LINEÁRNÍ ROVNICE
Lineární rovnicí o jedné neznámé nazýváme každou rovnici , pro ,
.
V případě, že se neznámá nachází ve jmenovateli, je nezbytné stanovit podmínky řešitelnosti
rovnice. Řešením rovnice v množině R může být jedno číslo, nekonečně mnoho řešení popř.
rovnice nemusí mít řešení žádné:
jediným řešením (kořenem) je
rovnice má nekonečně mnoho řešení, tj. množina R
rovnice nemá řešení
3 Rovnice a nerovnice
- 32 ŘEŠENÝ
PŘÍKLAD 1
V množině R řešte rovnici:
Řešení.
Obě strany rovnice vynásobíme nejmenším společným jmenovatelem , abychom
odstranili zlomky. Rovnice má po ekvivalentní úpravě následující tvar:
Rovnice má jeden kořen K = { }
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 2
V množině R řešte rovnici:
Řešení.
Hodnota ve jmenovateli nesmí být rovna 0, proto je nutno vymezit podmínky
Výraz upravíme a obě strany rovnice vynásobíme společným jmenovatelem
Vzhledem ke skutečnosti, že dle podmínek se , nemá daná rovnice řešení, tj. kořenem
rovnice je prázdná množina
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 33 -
3.3 SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC
Soustava rovnic je situace, kdy hledáme více neznámých (proměnných), které vyhovují všem
rovnicím současně.
Soustava dvou lineárních rovnic o dvou neznámých x, y má následující tvar:
Řešením soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých je uspořádaná dvojice [ ]
Řešením soustavy tří lineárních rovnic o třech neznámých je uspořádaná trojice [ ]
Metody řešení soustav lineárních rovnic:
1. metoda dosazovací – z vybrané rovnice se vyjádří jedna neznámá pomocí druhé neznámé
a dosadí se do rovnice druhé. Po následném vyřešení jedné z proměnných dojde ke zpětnému
dosazení vypočtené proměnné do první rovnice a určení chybějící neznámé.
2. metoda sčítací – jedna popř. obě rovnice soustavy se vynásobí vhodným číslem tak, aby se
po sečtení rovnic jedna z proměnných vyloučila. Po vypočtení jedné neznámé lze tuto metodu
již zkombinovat s metodou dosazovací, tj. vypočtenou neznámou dosadit do libovolné
rovnice a dopočíst chybějící proměnnou.
3. metoda srovnávací – z každé rovnice se vyjádří jedna proměnná a získané výrazy se položí
do rovnosti. Vypočtenou neznámou pak dosadíme do libovolné rovnice a dopočítáme
chybějící proměnnou.
4. metoda maticová – do maticového schématu doplníme číselné koeficienty jednotlivých
proměnných a postupujeme pomocí úprav na trojúhelníkový tvar.
5. metoda grafická – na základě grafického znázornění soustavy rovnic hledáme řešení (např.
v případě soustavy lineárních rovnic se jedná o průsečík přímek).
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 3
Řešte v R2
soustavu rovnic:
Řešení.
řešíme metodou dosazovací
y =
Řešením soustavy rovnic je uspořádaná dvojice [2; 3].
3 Rovnice a nerovnice
- 34 ŘEŠENÝ
PŘÍKLAD 4
Řešte v R2
soustavu rovnic:
Řešení.
Řešíme metodou sčítací.
Řešením soustavy rovnic je uspořádaná dvojice [ ]
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 5
Řešte v R2
soustavu rovnic:
Řešení.
Řešíme metodou srovnávací, tj. z každé rovnice vyjádříme proměnnou x:
Řešením soustavy rovnic je uspořádaná dvojice [ ]
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 35 -
3.4 LINEÁRNÍ NEROVNICE
Pod pojmem nerovnice rozumíme zápis nerovnosti dvou výrazů, v nichž se vyskytuje
neznámá. Nerovnice se tedy liší od rovnice znaky nerovnosti
Při řešení nerovnic používáme ekvivalentní úpravy:
- výměna stran nerovnice se současnou změnou znaku nerovnice,
- nahrazení strany nerovnice výrazem, který je jí v celém oboru řešení nerovnice roven,
- přičtení téhož výrazu nebo reálného čísla k oběma stranám nerovnice,
- vynásobení obou stran nerovnice týmž reálným číslem různým od nuly.
Lineární nerovnice se může vyskytovat ve tvaru , 0,
nebo , kde .
POZOR! Násobíme-li obě strany nerovnice stejným kladným číslem, znak nerovnosti se
nezmění. Jiná situace ovšem nastává, násobíme-li obě strany nerovnice stejným záporným
číslem, pak se znak nerovnosti obrátí.
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 6
V množině R řešte nerovnici:
Řešení.
Množina všech řešení lineárních nerovnice je K = ; .
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 7
V množině R řešte nerovnici:
3 Rovnice a nerovnice
- 36 -
Řešení.
Nerovnici je nutné převést do anulovaného tvaru, kdy na pravé straně nerovnice bude číslo 0.
Pak je třeba na levé straně nerovnice stanovit společný jmenovatel a nerovnici upravit.
Po ekvivalentních úpravách nerovnice postupujeme netodou nulových bodů. Zjistíme, kdy se
čitatel a jmenovatel rovná nule. Tyto nulové body rozdělí množinu reálných čísel na intervaly.
Ve vymezených intervalech budeme pomocí dosazování libovolného čísla z intervalu
zjišťovat kladnou či zápornou hodnotu čitatele, jmenovatele a výsledného podílu.
Nulové body:
4x – 12 – – +
x + 6 – + +
+ – +
Dle posledního řádku v tabulce zjistíme, který interval vyhovuje nerovnici. V našem případě
se jedná o prostřední interval, kde se nachází znaménko mínus, neboť výraz má být záporný.
Nulové body do množiny všech řešení dle zadání nerovnice
nepatří, tj. kořenem je .
3.5 SOUSTAVY LINEÁRNÍCH NEROVNIC
Soustavu lineárních nerovnic řešíme analogicky jako samotnou nerovnici. Každou nerovnici
soustavy vyřešíme zvlášť. Množinou všech řešení soustavy nerovnic je průnikem řešení
jednotlivých nerovnic soustavy.
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 37 ŘEŠENÝ
PŘÍKLAD 8
Řešte soustavu nerovnic:
Řešení.
( )
( ) ( 〉
3.6 KVADRATICKÁ ROVNICE
Kvadratická rovnice má tvar Čísla nazýváme
koeficienty kvadratické rovnice:
kvadratický člen
lineární člen
absolutní člen
Řešením této rovnice je
√ √
pro D ≥ 0.
Výraz označujeme pojmem diskriminant:
rovnice má dva různé reálné kořeny,
rovnice má jeden dvojnásobný reálný kořen,
rovnice nemá v oboru reálných čísel řešení,
(řešení existuje v oboru komplexních čísel).
Hodnota diskriminantu D rozhoduje o počtu řešení kvadratické rovnice.
Kvadratickou rovnici lze zapsat rovněž jako součin kořenových činitelů:
3 Rovnice a nerovnice
- 38 ŘEŠENÝ
PŘÍKLAD 9
V oboru reálných čísel R řešte rovnici:
= 3
Řešení.
√ √ √
√
√ √ √
√
{ √ √ }
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 10
V oboru reálných čísel R rozložte kvadratické rovnice na součin kořenových činitelů:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Řešení.
a)
b)
c)
d)
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 39 -
e)
f)
g)
3.7 KVADRATICKÉ NEROVNICE
Kvadratická nerovnice má jeden z následujících tvarů:
Postup při řešení kvadratické nerovnice spočívá v metodě nulových bodů, které rozdělí
číselnou osu na intervaly. V těchto intervalech zjišťujeme pomocí dosazení libovolného čísla
z daného intervlu hodnotu kladnou nebou zápornou.
Kvadratické nerovnice lze řešit rovněž pomocí grafického znázornění kvadratické funkce,
kdy zjišťujeme, která část funkce leží nad osou x
popř. pod osou
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 11
V množině reálných čísel řešte nerovnici:
Řešení.
Nulové body:
(2; 4) (4;
Hledané intervaly vyhovující dané nerovnice jsou oba krajní intervaly. Vzhledem ke
skutečnosti, že se nerovnice může rovnat nule, patří do množiny všech
řešení nerovnice rovněž vymezené nulové body , tj. (- 〉 〈
3 Rovnice a nerovnice
- 40 -
3.8 PŘÍKLADY K PROCVIČENÍ
PŘÍKLAD 1
Řešte v R rovnici:
PŘÍKLAD 2
Řešte v R rovnici:
PŘÍKLAD 3
Řešte v R rovnici:
PŘÍKLAD 4
Řešte v R3
soustavu rovnic:
PŘÍKLAD 5
Řešte v R3
soustavu rovnic:
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 41 PŘÍKLAD
6
Řešte v R nerovnici:
PŘÍKLAD 7
Řešte v R nerovnici:
PŘÍKLAD 8
Řešte v R nerovnici:
PŘÍKLAD 9
Řešte v R kvadratické nerovnice:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
3.9 ŘEŠENÍ PŘÍKLADŮ
1) { }
2) { }
3)
4) { }
5) { }
6)
7)
3 Rovnice a nerovnice
- 42 -
8)
9) a)
b) 〈 〉
c)
d)
e)
f)
g) { }
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 43 -
4 MATICOVÝ POČET
4.1 OPERACE S MATICEMI
Začněme příkladem matice typu (3,4). Takto zapíšeme typ matice, která má 3 řádky a
4 sloupce. Konkrétním příkladem může být například tato matice













0854
5632
7412
A .
DEFINICE 1
Maticí typu (m,n) nazýváme množinu prvků aik uspořádaných do m řádků a n sloupců,
tj. schéma
.
.....
......................
......................
.......
.......
21
22221
11211












mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
Stručněji zapisujeme: A = (aik), i = 1, 2,...,m, k = 1, 2,...,n .
Pro zápis matic se někdy používají ještě další 2 typy závorek:
A = aik , A =  aik .
První index „i“ se nazývá řádkový index, druhý index „k“ se nazývá sloupcový index.
Prvky matice mohou být reálná čísla, komplexní čísla, funkce, operátory, vektory a také
matice.
Hlavní diagonálu matice A tvoří prvky a11, a22,..., app ,kde p = min  nm, , vedlejší
diagonálu prvky a1n , a2 n-1, a3 n-2,...
Matice lze podle tvaru rozdělit na čtvercové (m = n) a obdélníkové (m n).
Matice typu (n, n) se nazývá čtvercová matice stupně (řádu) n.
Bodová matice je matice typu (1,1).
Typy matic:
a. nulová matice 0, jejíž prvky jsou nuly, tj. aik = 0, i, k,
b. diagonální matice je čtvercová matice, jejíž prvky neležící v hlavní diagonále jsou
nuly, tj. aik = 0 pro i  k,
c. jednotková matice E je diagonální matice, jejíž prvky v hlavní diagonále jsou jedničky, tj.
aik = 1 pro i = k, aik = 0 pro i  k,
d. trojúhelníková matice je matice, která má pod (resp. nad. hlavní diagonálou samé nuly, tj.
pro :
horní trojúhelníkovou matici je aik = 0 pro i  k,
dolní trojúhelníkovou matici je aik = 0 pro i  k,
4 Maticový počet
- 44 e.
symetrická matice je čtvercová matice , pro kterou platí aik = aki , i, k,
f. antisymetrická matice je čtvercová matice, pro kterou platí aik = kia , i, k,
4.1.1 ROVNOST MATIC
Matice A = (aik), B = (bik) téhož typu (m, n) se sobě rovnají, mají-li na stejných místech stejné
prvky: A = B  aik = bik , i, k.
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 1
Vypočtěte a, b, c  R, jestliže platí:
a a b
c b







 







3
2 5
2 6
.
Řešení.
Z podmínek o rovnosti odpovídajících si prvků v obou maticích sestavíme soustavu 4 rovnic:
a = 2,
a + b = 5,
c = ,2
3 + b = 6.
Řešením dostaneme: a = 2, b = 3, c = .2
4.1.2 SČÍTÁNÍ MATIC
Součtem matic A = (aik), B = (bik) téhož typu (m, n) rozumíme matici, jejíž prvky jsou
součtem odpovídajících si prvků v maticích A a B, tj.
A + B = (aik + bik), i, k.
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 2
Vypočtěte A + B, je-li dáno:
A 


 










2 1 3
1 0 4
3 2 1
,













 .
310
431
102
B
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 45 -
Řešení.













 .
213
832
214
BA
Vlastnosti sčítání matic:
A + B = B + A (komutativní zákon)
A + (B + C ) = (A + B) + C, (asociativní zákon)
A + 0 = 0 + A = A,
A + ( A ) = ( A ) + A = 0.
Všimněte si, že matice A, B musí být stejného typu, matice různých typů nelze sčítat! Dále 0
je nulová matice stejného typu jako matice A.
4.1.3 NÁSOBENÍ MATICE REÁLNÝM ČÍSLEM
Součinem čísla r a matice A typu (m,n) nazýváme matici rA = (raik), i, k. Výsledná
matice je téhož typu (m,n), přitom každý prvek původní matice vynásobíme číslem r.
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 3
Vypočtěte rA, je-li dáno r = 2 , A 








3 2
1 0
.
Řešení.
 





2
6 4
2 0
A .
Nechť p, q R a A, B jsou matice téhož typu. Pro násobení matice číslem platí:
pA = Ap,
( 1 ) A = A ,
p (A + B) = pA + pB,
(p + q) A = p A + qA,
p(qA) = (pq) A,
1A = A.
4 Maticový počet
- 46 -
4.1.4 NÁSOBENÍ MATICE MATICÍ
Součinem matice A typu (m,n) a matice B typu (n,p) v daném pořadí je matice C = A.B
typu (m,p), pro jejíž prvky cik platí: ....
1
2211

n
j
nkinkikijkijik babababac
Uvědomte si, že podmínkou existence definovaného součinu AB je rovnost počtu sloupců
matice A a počtu řádků matice B.
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 4
Vypočtěte AB, je-li dáno:
a. A  











2 1
1 3
0 2
, B 








1 3
2 4
,
b. A  











2 1
1 3
0 2
, B 






2
1
,
c. A  











2 1
1 3
0 2
, B 










2 1 3
0 1 2
3 2 6
.
Řešení.
a.
   
      
      


































4.23.0221.0
4.33.12.31.1
4.13.22.11.2
42
31
20
31
12
AB
.
84
157
20
8040
12361
4622


























b. AB =












20
31
12
2
1





 = .
2
1
5
20
32
14

























Násobili jsme matice typu (3,2)(2,1) a výsledkem je matice typu (3,1).
c. Nelze násobit matice typu (3,2)(3,3), protože počet řádků první matice není roven počtu
sloupců matice druhé. Součin BA je definován, neboť násobíme matice typu (3,3)(3,2)
a výsledná matice bude typu (3,2).
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 47 Vlastnosti
součinu matic:
EA = AE = A,
A (BC) = (AB)C,
A0 = 0A = 0,
p (AB) = (pA) B =A (pB),
A (B + C) = AB + AC,
(A + B) C = AC + BC.
Komutativní zákon obecně pro součin matic neplatí! Pokud dvě matice tento zákon
splňují, tj. platí pro ně rovnost AB = BA, pak se nazývají záměnné. Například každá
diagonální matice řádu n je záměnná s každou diagonální maticí téhož řádu.
4.2 TRANSPONOVANÁ MATICE
Transponovaná matice z matice A typu (m,n) je matice AT
typu (n,m), která vznikne z matice
A vzájemnou výměnou řádků a sloupců ve stejném pořadí (tj. překlopením prvků matice
kolem hlavní diagonály). Označujeme ji AT
.
Pro operace s transponovanou maticí platí:
(A + B)T
= AT
+ BT
,
(pA)T
= pAT
,
(AB)T
= BT
AT
.
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 5
Transponujte matici A 

 






3 2 0
1 4 3
.
Řešení.
AT














3 1
2 4
0 3
.
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 6
Vypočtěte matici C =  3 AT
+ 2BT
, je-li dáno:
A 








1 2 0
2 3 1
, B 








3 2 0
1 1 2
.
4 Maticový počet
- 48 -
Řešení.
Nejprve vypočítáme matice transponované a pak dosadíme do požadované rovnosti.
AT

 









1 2
2 3
0 1
, ,
20
12
13










T
B
 






















































 

10
1110
89
40
24
26
30
96
63
20
12
13
2
10
32
21
3C
4.3 HODNOST MATICE
Na řádky a sloupce matice se můžete dívat jako na řádkové a sloupcové vektory. Lineární
závislost a nezávislost řádků (sloupců) matice se pak definuje analogicky jako u vektorů.
DEFINICE 2
Hodnost h(A) matice A je maximální počet lineárně nezávislých řádků matice A. Hodnost
nulové matice 0 je nula. Hodnost matice je také možné definovat jako maximální počet
lineárně nezávislých sloupců matice. Obě definice jsou ekvivalentní.
Dvě matice, které mají stejnou hodnost nazýváme ekvivalentní a značíme A  B.
Hodnost matice se nezmění, jestliže v matici provedeme tzv. řádkové elementární úpravy:
1. vyměníme dva řádky matice,
2. násobíme řádek matice nenulovým číslem,
3. přičteme-li k jednomu řádku matice lineární kombinaci ostatních řádků,
4. vynecháme -li v matici řádek, který je lineární kombinací ostatních řádků.
Aniž by se změnila hodnost matice lze stejné úpravy provádět i se sloupci matice, neboť platí:
h(A) = h(AT
).
Určování hodnosti matice
Pomocí řádkových elementárních úprav převedeme matici A na horní (resp. dolní)
trojúhelníkovou matici B, která má všechny prvky na hlavní diagonále nenulové. Hodnost
h(A) matice A je pak rovna počtu řádků trojúhelníkové matice B.
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 49 ŘEŠENÝ
PŘÍKLAD 7
Určete hodnost matice .
0423
1021
1311
0123















A
Řešení.
Hodnost matice zjišťujeme zpravidla tak, že danou matici převedeme řádkovými
úpravami uvedenými výše na matici, která má v diagonále vesměs nenulové prvky a pod
diagonálou samé nuly. Hodnost matice je pak rovna počtu řádků.
Postupujeme tedy takto: vzájemnou výměnou prvního a posledního sloupce a potom prvního
a druhého řádku dostaneme nejprve matici















3420
1021
1311
3120
a potom matici .
3420
1021
3120
1311















V další úpravě se snažíme pod prvkem 011 a dostat samé nuly. Toho dosáhneme, když ke
třetímu řádku přičteme první:
.
3420
2330
3120
1311














Pro snazší výpočet bude jednodušší, když budeme mít .122 a Vyměníme druhý a třetí
sloupec:
.
3240
2330
3210
1131














Při dalších úpravách se opět snažíme, aby prvky pod 22a byly rovny nule, proto ke třetímu
řádku přičteme druhý řádek vynásobený číslem  3 a ke čtvrtému řádku druhý řádek
vynásobený číslem  4 . Dostaneme:
4 Maticový počet
- 50 -
.
9600
7300
3210
1131
















Prvek 033 a . Snažíme se, aby prvek pod prvkem 33a byl roven nule. Toho dosáhneme tak,
že ke čtvrtému řádku přičteme třetí řádek násobený číslem  2 :
.
5000
7300
3210
1131















Upravili jsme původní matici na matici horní trojúhelníkovou. Hodnost matice trojúhelníkové
i hodnost původní matice je h = 4 (počet nenulových řádků).
DEFINICE 3
Čtvercová matice A typu n se nazývá regulární, jestliže její hodnost je rovna počtu
řádků (sloupců), tj. h(A) = n. Čtvercová matice, která není regulární se nazývá singulární.
O regulárnosti či singulárnosti hovoříme pouze u čtvercových matic. Součin regulárních matic
je opět regulární matice.
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 12
Zjistěte, zda vektory u =  ,5,2,1  v =  ,2,1,3  w =  23,9,2  jsou lineárně závislé.
Řešení.
Dané vektory napíšeme jako řádky matice a vypočítáme její hodnost. Bude-li rovna počtu
daných vektorů, jsou vektory lineárně nezávislé, bude-li tomu naopak jsou vektory lineárně
závislé.
1 2 5
3 1 2
2 9 23
1 2 5
0 5 13
0 5 13
1 2 5
0 5 13




































h = 2  vektory u, v, w jsou lineárně závislé.
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 51 -
4.4 INVERZNÍ MATICE
V této kapitole začneme jednoduchým příkladem, na kterém budeme definovat pojem
inverzní matice. Najděte matici, která bude vyhovovat následující rovnosti:


















10
01
43
21
dc
ba
.
Násobíme matice na levé straně rovnosti a dostáváme:














10
01
4343
22
dbca
dbca
.
Dále řešíme soustavu rovnic:
143
043
02
12




db
ca
db
ca
Řešením je soustavy je a = – 2, b =1, 5,1c , 5,0d .
Hledaná matice je tvaru 















13
24
2
1
5,05,1
12
.
Tuto matici pak nazveme inverzní maticí k matici 





43
21
.
DEFINICE 4
Inverzní maticí k regulární matici A řádu n nazveme matici A-1
, pro kterou platí:
AA-1
= A-1
A = E,
kde E je jednotková matice řádu n.
Ke každé regulární matici existuje právě jedna matice inverzní.
Vlastnosti inverzních matic:
E-1
= E,
(A-1
)-1
= A,
(AB)-1
= B-1
A-1
.
Výpočet inverzní matice se provádí pomocí elementárních řádkových transformací.
4 Maticový počet
- 52 ŘEŠENÝ
PŘÍKLAD 13
Určete k dané matici A inverzní matici A-1
, je-li:
a. ,
52
13







A b. .
123
201
312













A
Řešení.
Každou matici A řádu n lze jen řádkovými (resp. jen sloupcovými) úpravami převést na
jednotkovou matici E. Jestliže se stejných úprav použije na řádky (resp. sloupce) jednotkové
matice E téhož řádu, pak z této jednotkové matice obdržíme inverzní matici A-1
. Výchozí
matice je tvaru (A, E).
a. V následujícím schématu upravujeme matici A tak, abychom na pozicích prvků 1221, aa
dostali nulové prvky a v hlavní diagonále jedničky.
  .
1052
0113
, 






EA
Následující čtyři úpravy vedou k výpočtu matice A-1
:
1. k  3 násobku 2. řádku přičteme  2 násobek 1. řádku,
2. k  17 násobku 1.řádku přičteme 1.řádek,
3. 1.řádek dělíme číslem  3 ,
4. oba řádky dělíme číslem .17
 
 .,
17
3
17
2
10
17
1
17
5
01
32170
15017
32170
315051
32170
0113
.
1052
0113
,
1













































AE
EA
Inverzní matice: .
32
15
17
11








A
b. Opět se budeme snažit získat nulové prvky na pozicích .,,,,, 121323323121 aaaaaa Přesně
v tomto pořadí. Postupujeme následovně:
1. k (2)násobku 2. řádku přičteme 1. řádek, k (2)násobku 3. ádku přičteme  3 násobek 1.
řádku,
2. k 3. řádku přičteme  1 násobek 2. řádku,
3. k  6 násobku 2. řádku přičteme 3. řádek, k (2)násobku 1. řádku přičteme 3. řádek,
4. k (3)násobku 1. řádku přičteme 2. řádek,
5. 1. řádek dělíme číslem (12), 2. řádek číslem (6), 3. řádek číslem  .6
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 53 -















100
010
001
123
201
312
),( EA 













203
021
001
710
110
312















224
021
001
600
110
312
















224
21410
222
600
060
024
















224
21410
82016
600
060
0012
 1
,
6
2
6
2
6
4
100
6
2
6
14
6
10
010
12
8
12
20
12
16
001





















AE
Po zkrácení zlomků a vytknutí
3
1
dostaneme A

 
 











1 1
3
4 5 2
5 7 1
2 1 1
.
Výsledek ověříme vypočtením součinu AA-1
= E.
4.5 MATICOVÉ ROVNICE
Maticová rovnice je rovnice, kde neznámá je matice. Při řešení maticových rovnic používáme
maticové operace součtu a součinu a nesmíme zapomenout, že pro součin matic obecně
neplatí komutativní zákon. To mimo jiné znamená, že při úpravách rovnic (pokud násobíme
rovnici libovolnou maticí), je nutné obě strany rovnice násobit danou maticí současně buď
zleva nebo zprava.
Připomínáme dva důležité vztahy, které budeme při řešení maticových rovnic používat:
1. pro regulární matici D platí: DD-1
= D-1
D = E,
2. pro matici X platí: XE = EX = X.
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 14
Řešte maticové rovnice:
a) ; kde ( ), ( )
b) ; kde ( ), ( )
4 Maticový počet
- 54 -
Řešení.
a) Z maticové rovnice vyjádříme matici X tak, že rovnici násobíme maticí zleva:
( )
( ) ( ) ( )
b) Z maticové rovnice vyjádříme matici X tak, že rovnici násobíme maticí zprava:
( )
( ) ( ) ( )
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 15
Řešte maticové rovnice:
a. ,2 CXDXBAX TT
 kde
,
10
21
,
21
03
,
32
10
,
12
01





 



















 DCBA
b. ,2 TT
XBCXA  kde
,
20
13
,
41
21
,
31
20





















 CBA
Řešení.
a. Nejprve vyjádříme z maticové rovnice neznámou matici X:
  .2
,2
,2
TT
TT
TT
DXCBA
DCXXBAX
CXDXBAX



Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 55 Označme
matici FCBA T
 a dostáváme:
.2
,2
)maticízlevarovnicimaticovou(násobíme,2
1
11
1
T
T
T
DFX
DFFXF
FDFX






Vypočteme matici 



















21
03
31
20
12
01
F 






02
24
F .
Vypočteme matici .
21
10
2
11








F
Dosadíme do rovnosti T
DFX 1
2 
 a dostáváme:
.
23
12
12
01
21
10
2
1
2 






















 XX
b. Řešíme stejným způsobem uvedeným výše:
  .2
,2
,2
CBAX
CXBXA
XBCXA
TT
TT
TT



Označme matici FBA TT
 a dostáváme:
.2
,2
)maticízpravarovicimaticovu(násobíme,2
1
11
1






CFX
CFXFF
FCXF
Vypočteme matici .
74
21
42
11
32
10





 












 
 FF
Vypočteme matici .
14
271








F
Dosadíme do rovnosti 1
2 
 CFX a dostáváme:
.XX 




















416
1450
14
27
20
13
2
4 Maticový počet
- 56 -
4.6 PŘÍKLADY K PROCVIČENÍ
PŘÍKLAD 1
Jsou dány matice:
A 











1 3
2 5
1 2
, B 












2 0
1 4
7 5
, C 












1 1
4 6
7 3
.
Určete matice:
a. 3A, b. A + B, c. ,CA  d. ,52 AC 
PŘÍKLAD 2
Jsou dány matice:
,
110
543
211












A B 











0 2 1
3 0 5
7 6 0
, C 











0 0 2
3 1 0
0 2 4
.
Určete matice:
a. BA 2 b. CA3 c. A + B + C
PŘÍKLAD 3
Najděte matici D třetího řádu tak, aby platilo A + B + C + D = 0. Matice A, B, C jsou
matice z příkladu 2.
PŘÍKLAD 4
Vypočtěte součiny AB a BA , kde A a B jsou následující matice:
a. A 







1 3
2 4
, B 






3 2
5 6
,
b. A 

 











1 2 0
3 1 2
1 1 3
, ,
021
110
232












B
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 57 c.
.
50
02
41
,
42
31
















 BA
PŘÍKLAD 5
Vypočtěte následující součiny matic:
a.
2 3
4 1
1 3 2
1 2 3












 , b.
3 2
1 2
0 1
2 0 1
1 3 2
















 ,
c.
   























1 2 3 4
2 1 3 1
1 2 0 1
4 1 2 3
1
2
3
4
, d.
2 1 2 1
1 2 1 2
1 1
2 2
1 1
2 2
 






















.
PŘÍKLAD 6
Jsou dány matice A, B, C :
A 










1 2 1
0 1 2
3 0 1
, B 












1 2 1
0 1 1
1 2 1
, C 











3 2 0
1 3 1
1 0 2
.
Určete matice D, F, G, jestliže platí:
 CBAD  , ,BAF T
 .BAG T

PŘÍKLAD 7
Zjistěte, pro která x, y R platí:
a. 















y
y
yx
yx
31
5112
41
523
4 Maticový počet
- 58 b.
.
81
30
1132
41
30
12



























y
yx
yx
y
PŘÍKLAD 8
Určete x, y R tak, aby matice B byla transponovanou maticí k matici A :
a. ,
42
32









y
yx
A B 






0 2
3 7
,
b. ,
42
32









y
yx
A 








49
42
B .
PŘÍKLAD 9
Určete hodnost matic:
A 


 










1 2 0
0 2 2
2 3 2
, ,
213
141
132













B

















1312
1213
2505
0121
C .
PŘÍKLAD 10
Určete inverzní matici A-1
k matici A:
a. ,
25
73







A b. ,
25
34





 
A c. ,
321
203
121













A
d. ,
220
112
024













A e.











445
012
421
A .
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 59 PŘÍKLAD
11
Z následující maticové rovnice vyjádřete neznámou matici X (A, B, C jsou dané matice
vhodného typu, tj. takové, aby následující operace byly definovány) a uveďte, pro které
matice A, B, C se dá matice X z této rovnice osamostatnit:
a. ,2 BAXCAX 
b. ,BAXAC 
c. ,CBXABX 3
d. .3 BXCXXA 
PŘÍKLAD 12
Řešte maticové rovnice:
a. ,
35
21
31
24













 
X
b. ,
41
25
52
23
















X
c. X
2 1 0
3 2 1
2 1 3
1 3 2
2 1 0
3 1 2















 











,
d. .
133
311
313
421
214
420



























X
PŘÍKLAD 13
Řešte maticové rovnice.
a. ,2 AEX  A 






1 2
3 4
b. ,3 BXA  A 






3 2
1 4
, B 






1 0
4 5
4 Maticový počet
- 60 c.
,25 EAX  A =
1 2 0
1 0 2
3 1 1











d. ,ABAX  A 






2 1
0 3
, B 







0 1
1 4
e. ,BAAX  A =
0 0 1
0 1 1
1 1 1










, B =
1 1 1
1 1 0
1 0 0










f. ,CBAX TT
 ,A














433
712
211
,B











100
010
201











302
110
002
C
4.7 ŘEŠENÍ PŘÍKLADŮ
1) a.










 63
156
93
b.












16
12
22
c.












78
93
31
d.













49
132
137
2) a.













11314
543
051
b.












750
15116
433
c.










 377
1059
511
3)
  
  
 










1 1 5
9 5 10
7 7 3
4) a. AB 






18 16
14 28
, 







397
17
BA
b. AB 
 

 










2 1 4
8 4 7
1 8 3
,














447
124
1235
BA
c. AB nedefinováno,











2010
62
199
BA
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 61 -
5) a.
5 0 5
3 14 11





 b.
8 6 1
0 6 5
1 3 2










c.














24
9
17
30
d.
0 0
0 0






6)











6106
861
4124
D ,













000
102
222
F ,













220
352
484
G
7) a. x = 1, y = 2 b. x = 2, y = 3
8) a. x = 1, 2y b. x = 3, 2y
9) h(A) = 3, h(B) = 2, h(C) = 2
10) a. 




 

35
72
41
11
A b. 







45
32
23
11
A
c.














646
547
444
4
11
A d.












042
242
120
4
11
A
e. A-1
neexistuje ( A je singulární )
11) a.    CBAEAX 
1
2 , je-li matice EA 2 regulární
b.   ,1
 ACBAX je-li matice A regulární
c.   ,3
11 
 AECBX jsou-li matice B, AE  regulární
d.   ,3
1
 CEABX je-li matice CEA 3 regulární
12) a. 








218
65
14
1
X b. 








74
66
2
1
X
c.














71520
41217
31518
3
1
X d.














321437
16211
16221
8
1
X
13) a.









2
3
2
3
10
X b.















3
1
1
3
2
3
4
X
4 Maticový počet
- 62 -
c.











326
412
043
5
1
X d. 








22
77
6
1
X
e.













321
111
110
X f.














8111
32145
44161
2
1
X
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 63 -
5 DETERMINANTY
Každé čtvercové matici je přiřazeno číslo, které nazýváme determinantem matice. Pokud
matice není čtvercová, tak determinant definován není. Pro determinant užíváme tato
označení:
det A = det   .
...
.........
...
1
111
nnn
n
ijij
aa
aa
aAa 
DEFINICE 1
Čtvercovou matici A nazýváme regulární  det A  0.
Čtvercovou matici B nazýváme singulární  det B = 0.
DEFINICE 2
Výpočet determinantu druhého řádu:
det A = .21122211
2221
1211
aaaa
aa
aa

Determinant se rovná rozdílu součinu prvků hlavní diagonály a součinu prvků vedlejší
diagonály.
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 1
Vypočtěte determinant .
25
13

Řešení.     .15.12.3
25
13


DEFINICE 3
Výpočet determinantu třetího řádu (Sarussovo pravidlo):
detA=
.312213322113332112312312322311332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa

5 Determinanty
- 64 Sarussovo
pravidlo je možno si zapamatovat tak, že k matici daného determinantu připíšeme
první dva sloupce, resp. první dva řádky matice jako čtvrtý a pátý sloupec resp. čtvrtý a pátý
řádek podle schematu :











3231
2221
1211
333231
232221
131211
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
resp.
232221
131211
333231
232221
131211













aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 2
Vypočtěte .
332
113
421


Řešení.
Řešíme Sarussovým pravidlem – připíšeme první dva sloupce:



32
13
21
332
113
421
             ............. 36332311214334212311 
5.1 VLASTNOSTI DETERMINANTU
V této části kapitoly uvedeme některé důležité vlastnosti determinantu matice. K daným
vlastnostem jsou uvedeny příklady, které si sami propočtěte.
1. Determinant matice A se rovná determinantu transponované matice AT
.
Platí: .
8913
367
1642
8316
964
1372

Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 65 -
2. Jestliže v matici vzájemně zaměníme dva řádky (resp. dva sloupce), změní determinant
matice znaménko.
Platí: .
8316
1372
964
8316
964
1372

3. Společného nenulového činitele k všech prvků jednoho řádku (resp. jednoho sloupce)
matice lze vytknout před determinant.
Platí: .
838
952
1371
2
8316
964
1372

Obráceně: 5 .
81516
9304
13352
8316
964
1372

4. Determinant matice se rovná nule, jestliže:
a. všechny prvky aspoň jednoho řádku(resp.jednoho sloupce) jsou rovny nule,
b. jeden řádek (resp. sloupec. matice je lineární kombinací řádků (resp. sloupců) s ním
rovnoběžných.
Platí: .0
533216
964
1372

Třetí řádek je součtem dvojnásobku prvního řádku a trojnásobku druhého řádku.
5. Jestliže k některému řádku (resp. sloupci) matice přičteme lineární kombinaci zbývajících
řádků (resp. sloupců), potom determinant nové matice je stejný, jako determinant původní
matice.
6. Jsou-li A, B čtvercové matice stejného řádu, platí: det (AB) = detA. det B.
Platí: .
234
012
120
.
141
052
321
1912
2110
7914







5 Determinanty
- 66 DEFINICE
4
Doplněk prvku ija
Ve čtvercové matici A vypustíme i-tý řádek a j-tý sloupec. Obdržíme tak matici typu
 1,1  nn . Její determinant označíme 
ijA a nazveme subdeterminantem prvku ija
v matici A. Číslo   
 ij
ji
ij AA 1 nazýváme doplňkem prvku ija v matici A.
Zapamatujte si, že doplněk (daného prvku) je subdeterminantem (tohoto prvku)
opatřený vhodným znaménkem.
Ve schématu

















............................
...
...
...
je naznačena symbolem +, resp. symbolem  „poloha“
prvků, jejichž subdeterminant a doplněk se sobě rovnají, resp. liší se znaménkem.
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 3
Určete v matici












213
712
631
doplněk prvku 23a a prvku a31.
Řešení.
Nejprve vypočteme příslušné subdeterminanty, které pak dosadíme do vztahu
  
 ij
ji
ij AA 1 .
    ,1010110
13
31 32
2323 

 
AA
  .1515115
71
63 13
3131  
AA
DEFINICE 5
Výpočet determinantu řádu n  3 (rozvoj determinantu podle prvků určitého řádku
resp. sloupce):
Vztah pro rozvoj determinantu podle prvků i-tého řádku :
det A = ....2211 ininiiii AaAaAa 
Vztah pro rozvoj determinantu podle j-tého sloupce:
det A = ....2211 njnjjjjj AaAaAa 
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 67 Pomocí
uvedených vztahů počítáme především determinanty řádu n > 3, protože pro výpočet
determinantů řádu n = 3 používáme Sarrusovo pravidlo. V následujícím příkladě vypočteme
determinant rozvojem.
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 4
Vypočítejte determinant
032
123
212
rozvojem podle třetího řádku.
Řešení.
     
.60126
23
12
1.0
13
22
1.3
12
21
1.2
032
123
212
332313

 
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 5
Vypočtěte determinant .
1
1
x
x
e
e

Řešení.
.011
1
1 0
 

eee
e
e xx
x
x
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 6
Vypočtěte determinant .
121
522
312


Řešení.
Řešíme Sarrusovým pravidlem:
        .91.2.12.5.21.2.32.2.31.5.11.2.2
21
22
12
121
522
312



5 Determinanty
- 68 ŘEŠENÝ
PŘÍKLAD 7
Určete parametr k R tak, aby:
a. matice A byla regulární,
b. matice B byla singulární.











k
A
25
101
123









23
27
k
k
B
Řešení.
a. Matice A je regulární  det A  0. Řešíme proto následující rovnici, kde determinant
vypočteme Sarrusovým pravidlem.
.30260
25
101
123
 kk
k
Matice A je regulární pro    .,33, k
b. Matice B je singulární  det B = 0. Řešíme rovnici:
   .0540200
23
27 2



kkkk
k
k
Matice B je singulární pro  .4,5k
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 8
Řešte nerovnici: .0
311
121
111



x
x
Řešení.
Sarrusovým pravidle vypočteme daný determinant:
       
   012
02
02
03121132
2
2




xx
xx
xx
xxxx
+ _ +
Řešení nerovnice je .1,2x
-
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 69 ŘEŠENÝ
PŘÍKLAD 9
Vypočteme determinant matice B = .
5310
2413
1321
4322
















Řešení.
V tomto příkladu budeme rozvíjet determinant podle prvního sloupce, ale nejdříve
determinant upravíme tak, aby na pozicích 3121,bb byly nulové prvky.
det B =
5310
2413
1321
4322


K  2 násobku druhého řádku přečteme první řádek. Protože druhý řádek je upravovaným
řádkem musíme determinant násobit převrácenou hodnotou čísla  2 tj. .
2
1







K třetímu řádku přečteme  3 násobek řádku druhého. Předtím jsme násobili řádek druhý,
ale protože se nejedná o řádek upravovaný, hodnota determinantu se nemění.
Dostáváme det B =
5310
5570
6320
4322
2
1








 , který rozvineme podle 1.sloupce.
det B =   .136
531
557
632
12
2
1 2









ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 10
Vypočteme determinant matice C = .
5000
2400
1320
4322















Řešení.
Pokud jsou pod hlavní diagonálou všechny prvky nulové, pak platí, že determinant je roven
součinu prvků na hlavní diagonále. To znamená 805422 CDet .
5 Determinanty
- 70 -
5.2 CRAMEROVO PRAVIDLO
Pomocí Cramerova pravidla můžeme řešit soustavu lineárních rovnic, je-li matice soustavy
regulární. Pro numerické výpočty není Cramerovo pravidlo výhodné, protože výpočet
determinantů je pracný. Výhodou Cramerova pravidla je explicitní vyjádření řešení, což
v mnoha úvahách v matematice i v aplikacích je důležité.
Nechť je dána soustava n rovnic o n neznámých
....
...............................
,...
11
11111
nnnnn
nn
bxaxa
bxaxa


Nechť matice A této soustavy je regulární (tj. det A 0 ). Potom soustava má právě jedno
řešení a platí:
A
B
x i
i
det
det
 pro všechna  ,,...,2,1 ni 
kde Bi je matice, která vznikne z matice A tak, že i-tý sloupec matice A nahradíme
aritmetickým vektorem pravých stran soustavy a ostatní sloupce ponecháme beze změny.
Tento postup ilustruje následující příklad.
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 11
Pomocí Cramerova pravidla řešte soustavu:
.1223
17532
72



zyx
zyx
zyx
Řešení.
Vypočteme příslušné determinanty:
detA= ,6
123
532
211




,18
1212
5317
217
det 



xB
,12
1123
5172
271
det 

yB .6
1223
1732
711
det 



zB
Daná soustava má právě jedno řešení:
,3
6
18
det
det

A
B
x x
,2
6
12
det
det



A
B
y
y
.1
6
6
det
det

A
B
z z
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 71 ŘEŠENÝ
PŘÍKLAD 12
Pomocí Cramerova pravidla řešte soustavu rovnic
32
532


yx
yx
.
Řešení.
Nejprve vypočteme příslušné determinanty a pak jejich hodnoty dosadíme do
příslušných vztahů.
134
21
32
det 


A ,
,1910
23
35
det 


xB 156
31
52
det 

yB .
Na základě Cramerova pravidla dostáváme:
1
1
1
det
det

A
B
x x
, 1
1
1
det
det



A
B
y
y
.
5.3 PŘÍKLADY K PROCVIČENÍ
PŘÍKLAD 1
Vypočtěte determinanty druhého řádu.
a.
42
83 
, b.
32
45


, c.
2
3
22
3
2
3
1

, d.
166
83


.
PŘÍKLAD 2
Vypočtěte Sarussovým pravidlem determinanty třetího řádu.
a.
132
251
023


, b.
2614
242
315


, c.
022
202
220
, d.
834
051
001
 .
5 Determinanty
- 72 PŘÍKLAD
3
Vypočtěte determinanty rozvojem podle vhodného řádku nebo sloupce.
a.
030
258
123
 , b.
xx
x
x
0
00
11
,
c.
2210
0221
1112
0211


, d.
1131
0274
1820
3812




,
e.
2101
2210
1211
1121



, f.
2134
4123
3412
4321
.
PŘÍKLAD 4
Řešte následující rovnice a nerovnice.
a. 0
11
32



xx
x
, b. 2
a
axx
xxa



,
c. 0
311
121
111



x
x , d. 0
211
121
23

xx
,
e. 0
135
210
20


x
x
, f. 4
111
11
1
x
xx
.
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 73 PŘÍKLAD
5
Upravte a vypočtěte determinanty.
a.
2
2
32
12
21
a
a
aaa
, b.
212
266
132



.
PŘÍKLAD 6
Pro která Ra  je determinant D roven nule?
1
2
2
24
11
2


a
a
a
D
PŘÍKLAD 7
Pro která Ra  je determinant D záporný ?
751
12
31



 a
a
D
PŘÍKLAD 8
Určete parametry v daných maticích tak, aby matice A, C byly singulární a matice B, D byly
regulární. Matice jsou:
.
012
12
111
,
122
110
12
,
6
63
,
51
46 2









































d
ddD
c
C
bb
b
B
aa
a
A
5 Determinanty
- 74 PŘÍKLAD
9
Cramerovým pravidlem řešte soustavy lineárních rovnic:
a. 24  zyx b. 322  zyx c. 132  zyx
,24232
10


zyx
zy
,324
43


zyx
zy
.83
2323


zyx
zyx
5.4 ŘEŠENÍ PŘÍKLADŮ
1) a. 28 b. –7 c. 2 d. 0
2) a. – 43 b. 0 c. 16 d. 40
3) a. – 42 b. – 2x2
c. – 24 d. 0 e. 5 f. – 60
4) a.
2
3
,1x b. ax  c.  1,2x d.   ,3x
e.   ,4x f.  3,1x
5) a. 34
2aa  b. 10
6)  2,0,2a
7)  17,2a
8)    






 1,
3
1
,0,3,12,2,13 RdcRba
9) a.  2,8,2  b.  1,1,1  c.  1,2,1 
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 75 -
6 SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC
DEFINICE 1
Soustavou m lineárních algebraických rovnic o n neznámých nazýváme soustavu
,...
............................................
,...
,...
2211
22222121
11212111
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa



(S)
kde  nkmiba iik ,...,2,1,,...,2,1,  jsou reálná čísla.
Řešením soustavy (S) nazýváme každou uspořádanou n-tici  nuuu ,...,, 21 reálných čísel
takovou, že po dosazení ii xu za do soustavy (S) dostaneme m identit.
Každou soustavu (S) lze zapsat v maticovém tvaru ,BAX  kde
,
...
................
...
1
111











mnm
n
aa
aa
A ,...
1











nx
x
X ....
1











mb
b
B
Matice











mnm
n
aa
aa
A
...
...............
...
1
111
se nazývá matice soustavy (S).
Matice











mmnm
n
r
baa
baa
A
...
.....................
...
1
1111
se nazývá rozšířená matice soustavy (S).
Soustavě lineárních rovnic (S) odpovídá právě jedna rozšířená matice soustavy rA a naopak.
Jinak řečeno každou soustavu lineárních rovnic lze charakterizovat rozšířenou maticí
soustavy. Všimněte si, že rozšířenou matici soustavy tvoří koeficienty u neznámých a sloupec
pravých stran rovnic soustavy, který pro větší přehlednost oddělujeme svislou přerušovanou
čarou.
6 Soustavy lineárních algebraických rovnic
- 76 DEFINICE
2
Pokud je vektor pravých stran    0,...,0,0,...,, 21 T
mbbb nazýváme soustavu (S)
nehomogenní soustavou lineárních rovnic, pokud je vektor pravých stran nulový, nazýváme
soustavu (S) homogenní soustavou lineárních rovnic.
V dalším textu budeme značit: h = hodnost matice soustavy (S),
rh hodnost rozšířené matice soustavy (S).
Buď platí 1nebo  hhhh rr . Jiný případ nastat nemůže. To plyne snadno z definice
hodnosti matice.
6.1 NEHOMOGENNÍ SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC
Ze zkušenosti víme, že při řešení soustavy (S) může nastat jeden ze tří případů:
- soustava lineárních rovnic (S) nemá řešení,
- soustava lineárních rovnic (S) má právě jedno řešení,
- soustava lineárních rovnic (S) má nekonečně mnoho řešení.
Kdy má soustava lineárních rovnic (S) řešení ?
Na tuto otázku odpovídá Frobeniova věta.
VĚTA 1
Soustava lineárních rovnic (S) má řešení právě tehdy, když hodnost matice soustavy je rovna
hodnosti rozšířené matice soustavy.
Jestliže zjistíte, že hodnosti daných matic A a Ar se rovnají, pak soustava má řešení. Kolik
řešení má daná soustava (S) ? Na tuto otázku Frobeniova věta neodpovídá!
Nechť soustava lineárních rovnic (S) má řešení, h je hodnost matice soustavy a n je počet
neznámých.
Nyní zodpovíme otázku o počtu řešení soustavy. Platí:
a. Jestliže h = n, potom soustava (S) má právě jedno řešení,
b. Jestliže h < n, potom soustava (S) má nekonečně mnoho řešení. Přitom lze řešení získat
tak, že za hn  neznámých lze dosadit libovolná reálná čísla a ostatní neznámé jsou pak
určeny jednoznačně.
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 77 ŘEŠENÝ
PŘÍKLAD 1
Najděte všechna řešení nehomogenní soustavy lineárních rovnic:
.10233
,32
,432
321
321
321



xxx
xxx
xxx
Řešení.
K řešení použijeme známou Gaussovu eliminační metodu. Použitím řádkových elementárních
úprav převedeme rozšířenou matici soustavy na horní trojúhelníkovou matici:
.
3000
5730
4321
2730
5730
4321
10233
3112
4321


































Matice soustavy A má po úpravách poslední řádek nulový, proto platí h = 2. Protože 3rh ,
není splněna Frobeniova podmínka a daná soustava nemá řešení.
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 2
Najděte všechna řešení nehomogenní soustavy lineárních rovnic:
.4
,52
,122
,0
4321
4321
4321
4321




xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
Řešení.
Zda soustava má řešení, prověříme stanovením hodností matic:





































42020
52010
14330
01111
41111
51121
12112
01111
.
66000
1610300
14330
01111


















6 Soustavy lineárních algebraických rovnic
- 78 Hodnost
matice soustavy h = 4, hodnost rozšířené matice soustavy 4rh a rovněž počet
neznámých n = 4. Proto má soustava právě jedno řešení: Najdeme jej tak, že poslední matici
přiřadíme soustavu rovnic:
,66
,16103
,1433
,0
4
43
432
4321




x
xx
xxx
xxxx
kterou řešíme postupně „zdola nahoru“.
Z poslední rovnice vypočteme .14 x Po dosazení 14 x do předposlední rovnice dostaneme
.23 x Analogicky z další rovnice je .32 x Nakonec z první rovnice soustavy vypočteme
.01 x Hledaným řešením soustavy je vektor  .1,2,3,0x
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 3
Najděte řešení soustavy dvou lineárních rovnic o 3 neznámých:
.1
,742
32
321


xx
xxx
Řešení.
Rozšířená matice soustavy má tvar: .
1110
7421








Hodnost rozšířené matice soustavy 2rh , hodnost matice soustavy h = 2, počet neznámých
n = 3. Protože h < n soustava má nekonečně mnoho řešení, závislých na 1 parametru, neboť
n – h = 3 – 2 =1. Můžeme zvolit .,3 Rttx  Po dosazení do druhé rovnice dostaneme:
.12 tx  Poslední neznámou vypočteme z rovnice první: .251 tx 
Všechna řešení soustavy se pak dají zapsat ve tvaru:
,
,1
,25
3
2
1
tx
tx
tx



kde Rt  . Výsledek můžeme zapsat také vektorově:
    .kde,1,1,20,1,5 Rtt x
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 79 ŘEŠENÝ
PŘÍKLAD 4
Najděte všechna řešení nehomogenní soustavy lineárních rovnic:
10323
12
63
321
321
321



xxx
xxx
xxx
.
Řešení.
Upravíme rozšířenou matici na horní trojúhelníkový tvar a na základě Frobeniovy věty
zjistíme, zda má soustava řešení.








































3300
11370
6131
8670
11370
6131
10323
1112
6131
Vidíme, že hodnosti matice soustavy i matice rozšířené se rovnají a proto soustava má řešení
a to jediné. Z posledního řádku vypočteme 13 x .
Z druhé rovnice 21137 232  xxx .
Z první rovnice 163 1321  xxxx .
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 5
Najděte všechna řešení nehomogenní soustavy lineárních rovnic danou rozšířenou maticí
soustavy:
.
11312
14501
55134
23211


















Řešení.
Matici upravujeme na trojúhelníkový tvar Gaussovou eliminační metodou:
.
37710
23211
37710
37710
37710
23211
11312
14501
55134
23211














































Protože 2 rhh je splněna Frobeniova podmínka a řešení soustavy existuje. Protože počet
neznámých je n = 4, má soustava nekonečně mnoho řešení závislých na  2 hn
6 Soustavy lineárních algebraických rovnic
- 80 parametrech.
Z druhé rovnice soustavy vidíme, že můžeme například volit
.,kde,, 43 Rtstxsx  Dosadíme do druhé rovnice a dostáváme tsx 7732  . Po
dosazení 432 ,, xxx do první rovnice získáme po úpravě .4511 tsx 
Řešení soustavy je:
,
,
,773
,451
4
3
2
1
tx
sx
tsx
tsx




kde Rst , , neboli       .,kde,1,0,7,40,1,7,50,0,3,1 Rstts x
6.2 PŘÍKLADY K PROCVIČENÍ
PŘÍKLAD 1
Určete řešení nehomogenní soustavy lineárních rovnic
a.
,63
,1523
,0
,92
41
4321
21
4321




xx
xxxx
xx
xxxx
b.
,723
,642
,12
,2232
321
21
321
321




xxx
xx
xxx
xxx
c.
,2152
,03
,722
321
321
321



xxx
xxx
xxx
d.
,572
,132
,232
421
431
4321



xxx
xxx
xxxx
e.
,223
,2
,43
4321
421
4321



xxxx
xxx
xxxx
f.
,352468
,27
,1223
54321
5431
54321



xxxxx
xxxx
xxxxx
g. ,4372 54321  xxxxx h.
,442
,222
,23
4321
4321
31



xxxx
xxxx
xx
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 81 PŘÍKLAD
2
Najděte všechna řešení nehomogenní soustavy lineárních rovnic bAx  s rozšířenou
maticí soustavy rA , kde:
a. ,
3101
1111
5111










rA b. ,
35174
4153
9312













rA
c. ,
31370
13031
31110
44321


















rA d. ,
41321
61132
42113
13211

















rA
e. ,
33203
12311
30533
21112


















rA f. .
1192483
103254
54653
13421


















rA
6.3 ŘEŠENÍ PŘÍKLADŮ
1)
a.  0,7,2,2 x
b.     Rtt  ,1,2,40,4,5x
c. 





 4,
7
1
,
7
9
x
d. soustava nemá řešení
e.     Rtsts 





 ,,0,1,
2
1
,
2
1
1,0,0,10,0,1,1x
f. soustava nemá řešení
g.           Rutsrutsr  ,,,0,0,0,1,10,0,1,0,20,1,0,0,71,0,0,0,30,0,0,0,4x
  Rtsts 











 ,0,1,
2
7
,31,0,
2
1
,00,0,3,2x
h.         Rtsrtsr  ,,0,0,1,4,10,1,0,7,41,0,0,3,10,0,0,3,1x
6 Soustavy lineárních algebraických rovnic
- 82 -
2)
a.     Rtt  ,1,0,12,2,1x
b. soustava nemá řešení
c.     Rtt  ,1,2,1,00,6,3,8x
d.  1,0,1,1 x
e.       Rtsts  ,1,0,1,10,3,7,21,0,1,2x
f.       Rtsts  ,1,0,5,70,1,6,80,0,2,5x
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 83 -
7 POSLOUPNOST A LIMITA POSLOUPNOSTI
7.1 POSLOUPNOST
DEFINICE 1
Nekonečnou číselnou posloupností prvků číselné množiny je funkce, která každému
přirozenému číslu n přiřazuje reálné číslo.
Jelikož je to funkce, má funkční předpis, definiční obor (je to množina přirozených čísel N),
obor funkčních hodnot (je to množina reálných čísel), graf (je to množina izolovaných bodů
v rovině).
V matematice se setkáváme také s posloupnostmi, jejichž prvky nejsou čísla, např.
s posloupnostmi bodů, úseček, funkcí a podobně. V této kapitole se budeme zabývat pouze
číselnými posloupnostmi, a proto přívlastek číselná u posloupnosti vynecháme.
Posloupnost můžeme zapsat například tak, že postupně za sebou píšeme prvky
,....,,, 321 aaa které tato funkce přiřazuje číslům 1, 2, 3 ..., nebo použitím zápisu  
1nna .
Nebude-li hrozit nedorozumění, budeme používat jednoduššího zápisu  na .
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 1
Napište první čtyři členy a 1na člen posloupnosti
  .
1
1






 
n
n
n
Řešení.
11 1,n a   
2
1
2 ,
2
n a  
3
1
3 ,
3
n a   
4
1
4 ,
4
n a  
 
1
1
1
1 .
1
n
nn n a
n



   

7 Posloupnost a limita posloupnosti
- 84 ŘEŠENÝ
PŘÍKLAD 2
Napište členy 1113 ,, aaa n posloupnosti .
12
10
1




 
nn
n
Řešení.
,
3
5
3
13.2
3 3 

 an
  ,
1
12
1
112
1 1





 
n
n
n
n
ann n
1111 an  neexistuje, posloupnost má jen 10 členů.
Budeme se zabývat zejména nekonečnými posloupnostmi, a proto přívlastek nekonečná
vynecháme. Pokud půjde o konečnou posloupnost, tak přívlastek konečná bude explicitně
uveden.
Zadání posloupnosti:
a. vzorcem vyjadřujícím n-tý člen posloupnosti na .
Například: Vzorcem
2
1


n
an je daná posloupnost, jejíž n-tý člen je na pro každé .Nn
3
1
1 a ,
4
1
2 a ,
5
1
3 a , atd.
b. rekurentně zadáním prvních n členů posloupnosti a rekurentního vzorce, který vyjadřuje
(n+k)-tý člen posloupnosti pomocí předchozích k členů. To znamená, že při rekurentním
zadání kromě vzorce musí být uvedeno i prvních k členů posloupnosti.
Vzorcem 1,0,2 2112   aaaaa nnn je daná posloupnost
1
2
3 1 2 1 1 1
4 2 2 2 2 1
5 3 2 3 3 1
6 4 2 4 4 1
0,
1,
2 0 2 1 2,
2 1 2 2 5,
2 2 2 5 12,
2 5 2 12 29,
atd.
a
a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
 
 
 
 


      
      
      
      
c. graficky, grafem posloupnosti je množina izolovaných bodů ),(A nn an .
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 85 -
A9
A8
A7
A6
A5
A4
A3
A1
A2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
na
n
Obrázek 7-1: Graf posloupnosti
Ze střední školy znáte dvě posloupnosti. Je to aritmetická posloupnost a geometrická
posloupnost.
DEFINICE 2
Aritmetická posloupnost přiřazuje číslu n hodnotu na lineární funkcí. Rozdíl mezi dvěma
po sobě jdoucími členy je konstantní, nazývá se diference aritmetické posloupnosti a značíme
ho d. Platí: dnaan )1(1  .
Součet prvních n členů je dán vzorcem:  nn aa
n
s  1
2
. Je to součet konečné aritmetické
posloupnosti.
Součet nekonečné aritmetické posloupnosti je vždy roven  , resp.  , v závislosti na
znaménku diference .0d Pro 0d v závislosti na znaménku 1a .
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 3
Sečtěte všechna přirozená čísla od 1 do 1000.
Řešení.
Čísla 1, 2, 3, ......, 1000 tvoří konečnou aritmetickou posloupnost s diferenci 1d  , prvním
členem ,11 a počet členů této posloupnosti je .1000n
Součet prvních 1000 členů je   .50050010001
2
1000
1000 s
7 Posloupnost a limita posloupnosti
- 86 DEFINICE
3
Geometrická posloupnost přiřazuje číslu n hodnotu na exponenciální funkcí. U geometrické
posloupnosti je konstantní poměr mezi libovolným členem na ( 2n ) a předcházejícím
členem 1na . Tuto konstantu značíme q, číslo q se nazývá kvocient geometrické posloupnosti.
Platí: 1
1

 n
n qaa .
Jestliže kvocient 1q , potom pro součet ns prvních n členů posloupnosti platí:
q
q
as
n
n



1
1
1 . Jedná se o součet konečné geometrické posloupnosti.
Jestliže 1q , lze sečíst i nekonečnou geometrickou posloupnost.
Pro součet s v tomto případě platí:
q
a
s


1
1
.
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 4
Nakreslete graf posloupnosti dané n-tým členem
2

n
n
an .
Řešení.
Je to posloupnost






,...
1002
1000
,...,
102
100
,...,
7
3
,
5
2
,
3
1
Je zřejmé, že členy posloupnosti se blíží k číslu 1, jak je znázorněno na Obr. 7.2.
Obrázek 7-1: Graf posloupnosti
2

n
n
an .
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 1314 15 1617 1819 20
na
n
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 87 -
7.2 LIMITA POSLOUPNOSTI
Pojem limita patří k základním pojmům matematické analýzy.
Posloupnost   1n n
a


se pro „n jdoucí do nekonečna“ (označujeme )n   může
"přibližovat" k reálnému číslu A (říkáme, že má vlastní limitu) nebo k nevlastnímu číslu
 -resp., (říkáme, že má nevlastní limitu). Posloupnost nemusí mít ani vlastní ani
nevlastní limitu, např. posloupnost  ,...6,5,4,3,2,1  , neboli  
 1)1( n
n
n . Nakreslete graf
této posloupnosti.
DEFINICE 4
Definice vlastní limity nekonečné posloupnosti
Nekonečná posloupnost   1n n
a


má vlastní limitu A, když k libovolnému reálnému číslu
0 existuje takové přirozené číslo 0n , že pro každé přirozené 0nn  je splněna nerovnost
 Aan .
Píšeme Aan
n


lim , užíváme při tom zkratky latinského slova limes.
Posloupnost, která má tu vlastnost, že se její členy, počínaje některým, libovolně málo liší od
čísla A, má v tomto čísle svou mezní hodnotu.
Když je limita nekonečné posloupnosti vlastní, pak říkáme, že posloupnost je konvergentní.
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 5
Na základě definice vlastní limity posloupnosti dokažte, že platí 1
2
lim 
 n
n
n
.
Řešení.
K libovolnému 0 musíme určit číslo 0n tak, aby pro každé 0nn  platila nerovnost


1
2n
n
.
Provedeme následující úpravy:
.
2
2
2
2
1
2






 nnn
n
Číslo 0n určíme jako nejmenší přirozené číslo, pro které platí
7 Posloupnost a limita posloupnosti
- 88 -
2
2
neboli
2
2

 
 n
n
.
,18číslohledanéje0,01Pro 0  n atd.199992
0001,0
2
je0001,0pro 0  n
DEFINICE 5
Definice nevlastní limity posloupnosti
Nekonečná posloupnost   1n n
a


má limitu  („plus“ nekonečno, označuje se také  ), když
k libovolnému reálnému číslu M > 0 existuje takové přirozené číslo 0n , že pro každé
přirozené 0nn  je splněna nerovnost Man  .
Píšeme 

n
n
alim .
Nekonečná posloupnost  na má limitu  (mínus nekonečno), když k libovolnému
reálnému číslu M > 0 existuje takové přirozené číslo 0n , že pro každé přirozené číslo 0nn 
je splněná nerovnost Man  .
Píšeme 

n
n
alim .
Pokud je limita nekonečné posloupnosti nevlastní nebo limita neexistuje, pak říkáme, že
posloupnost je divergentní.
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 6
Na základě definice nevlastní limity posloupnosti dokažte, že platí 

2
lim n
n
.
Řešení.
K libovolnému reálnému číslu M musíme určit N0 n tak, že pro každé přirozené 0nn 
platí nerovnost Mn 2
. Z této nerovnosti určíme číslo 0n .
Dostáváme 0; nMn  stanovíme jako nejmenší přirozené číslo, pro které platí Mn 0 .
Např. Pro 2
10M hledané číslo 0n je 10102
0 n .
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 89 DEFINICE
6
Posloupnost  na se nazývá ohraničená (též omezená), je-li ohraničená shora i zdola. Shora
je ohraničená tehdy, když existuje číslo k takové, že pro každé n platí kan  . Zdola je
ohraničená tehdy, když existuje číslo m takové, že pro každé přirozené n platí man  .
DEFINICE 7
Říkáme, že posloupnost   1n n
a


je neklesající, resp. rostoucí, jestliže
nm aa  pro všechna Nnm , , nm  , resp. m na a pro všechna Nnm , , nm  .
Říkáme, že posloupnost   1n n
a


je nerostoucí, resp. klesající, jestliže
nm aa  pro všechna Nnm , , nm  , resp. nm aa  pro všechna Nnm , , nm  .
Jestliže je posloupnost   1n n
a


buďto neklesající, rostoucí, nerostoucí nebo klesající, říkáme,
že je monotónní.
Pro monotónní posloupnosti platí:
1. Monotónní posloupnost má vždy limitu (vlastní nebo nevlastní).
2. Limita neklesající nebo rostoucí posloupnosti je rovna supremu této posloupnosti, tedy
 Nnaa nn
x


;suplim .
3. Limita nerostoucí nebo klesající posloupnosti je rovna infimu této posloupnosti, tedy
 Nnaa nn
x


;inflim .
Výpočet limit posloupností
K výpočtu limit posloupností využijeme znalosti limit jednoduchých základních posloupností,
základních vět o limitách a znalosti operací s prvky v R*, zejména s  a  .
Následující soubor 12 pravidel představuje matematické věty, které lze odvodit přímo
z definice limity. Pečlivě si je projděte a dobře si je zapamatujte! Budou se vám později hodit
k výpočtům příkladů limit.
Pravidla pro výpočet vlastních limit
Pro vlastní limity lim , lim , 0, ,n n
n n
a a b b q n N k R
 
     platí:
1. ,limlim)(lim bababa n
n
n
n
nn
n


2. ,limlim)(lim bababa n
n
n
n
nn
n


3. ,0,
lim
lim
lim 








b
b
a
b
a
b
a
n
n
n
n
n
n
n
7 Posloupnost a limita posloupnosti
- 90 -
4. l
n
l
n aa


nn
limlim , Nl 
5. n
n
n
n
aa

 limlim ,
6. ,limlim n
n
n
n
akka

 ,1lim,1lim 

n
n
n
n
qn
7. ,lim
lim n
nn
aa
n
qq 


8. je-li ,limlogloglimpak,1,0,0 n
n
cnc
n
n aacca


10. existuje-li   ,limlimpaklim
k
n
n
k
n
n
n
n
aaa


11. ,
1
1lim e
n
n
n








( 2,718e  je Eulerovo číslo, základ přirozených logaritmů),
12. je-li lim , resp. - , potom lim 1
an
k
n
n n
n
k
a e
a 
 
     
 
.
Pravidla pro výpočet nevlastních limit
Dále se budeme zabývat limitou součtu (součinu a podílu) dvou posloupností, přičemž
alespoň jedna nebo obě mají nevlastní limitu.
Uvažujme posloupnosti  1n n
a


,   1n n
b


a číslo Ra . Platí tato tvrzení:
1. Jestliže lim n
n
a a

 , lim , resp. limn n
n n
b b
 
   , potom  lim n n
n
a b

   .
Symbolicky lze toto tvrzení zapsat takto: „ a “.
2. Jestliželim n
n
a a

 , lim , resp. limn n
n n
b b
 
   , potom lim 0n
n
n
a
b
 .
Symbolicky: „ 0

a
“.
3. Jestliželim n
n
a a

 , 0a , lim n
n
b

  , potom lim n n
n
a b

  ,
pokud 0a , potom lim n n
n
a b

  .
Symbolicky: „ a pro 0a , a pro 0a “.
4. Jestliže lim n
n
a

  , lim n
n
b

  , potom lim n n
n
a b

   .
Symbolicky: „  “
5. Jestliže lim n
n
a

  , lim n
n
b

  , potom  lim n n
n
a b

   .
Symbolicky: „  “
6. Jestliže lim n
n
a

  , lim n
n
b

  , potom lim n n
n
a b

   .
Symbolicky: „  )( “
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 91 -
7. Jestliže lim n
n
a

  , lim n
n
b

  , potom  lim n n
n
a b

   .
Symbolicky: „     “
8. Jestliželim n
n
a

  , lim n
n
b

  , potom lim n n
n
a b

   .
Symbolicky: „  )()( “
Neurčité výrazy
Celkem rozeznáváme neurčité výrazy typů 0 00
, , , 0 ( ), 0 , ( ) , 1
0

     

.
Jestliže při výpočtu limit po dosazení limitní meze zjistíme, že limita je neurčitý výraz
musíme tento výraz vhodným matematickým obratem (dělením nebo rozšířením) převést na
„určitý“ výraz, tj. výraz, jehož limitu známe.
V následujících dvou příkladech vysvětlíme výpočet limit posloupností, ve kterých na je
podílem mnohočlenů (racionálním lomeným výrazem).
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 7
Vypočtěte 2
2
673
532
limlim
nn
nn
a
n
n
n 



.
Řešení.
Limita je neurčitý výraz


. Neboť 

)532(lim 2
n
nn a 2
n
lim(3 7 6 )n n

    . Výraz
pro n-tý člen posloupnosti upravíme tak, že čitatele i jmenovatele dělíme největší mocninou n.
3
1
6
2
lim
6lim
7
lim
3
lim
5
lim
3
lim2lim
673
532
lim
2
2
2
2
22
222
2











 n
nnn
nnn
n
nn
nn
n
n
n
n
n
nn
n
n
n
.
Uvědomte si, že .0
7
lim,0
3
lim,0
5
lim,0
3
lim 22

 nnnn nnnn
Uvedeným způsobem můžeme postupovat vždy v případě výpočtu limity posloupnosti, jejíž
n-tý člen má tvar racionálního lomeného výrazu obsahujícího proměnnou n, tj. v čitateli
i ve jmenovateli se nacházejí mnohočleny. Následující věta nám dává návod na velmi rychlé
a elegantní řešení.
7 Posloupnost a limita posloupnosti
- 92 VĚTA
1
Jestliže
)(
)(
nQ
nP
a
r
m
n  , kde m je stupeň mnohočlenu v čitateli, r je stupeň mnohočlenu ve
jmenovateli, potom:
pro
0 pro r
( )
lim podíl koeficientů
( )
při nejvyšších pro
mocninách
m
n
r
m r
m
P n
Q n
m r
n

 
 

 
 


ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 8
Vypočtěte
a. 235
23
24
2
limlim
nnn
nn
a
n
n
n 



,
b.
3
15
limlim
2



 n
nn
a
n
n
n
,
c. .
2275
8462
limlim 23
23



 nnn
nnn
a
n
n
n
Řešení.
a. 0
)(
)(
limlim
5
3

 nQ
nP
a
n
n
n
, protože stupeň mnohočlenu v čitateli je menší než stupeň
mnohočlenu ve jmenovateli, to znamená )(st)(st 53 nQnP  .
b. 
 )(
)(
limlim
1
2
nQ
nP
a
n
n
n
, protože stupeň mnohočlenu v čitateli je větší než stupeň
mnohočlenu ve jmenovateli, to znamená )(st)(st 12 nQnP  .
c.
5
2
)(
)(
limlim
3
3

 nQ
nP
a
n
n
n
, )(st)(st 33 nQnP  , koeficient u 3
n v čitateli je 2, ve
jmenovateli je 5.
Limity algebraických výrazů závisejí na členu, který nejrychleji roste pro rostoucí n a na
operaci s tímto členem prováděné. Pamatujte si, že ze známých funkcí nejpomaleji roste
funkce logaritmus nlog (argument je n), potom následuje mocnina ,( 0)a
n a  , rychleji roste
exponenciální funkce n
a ,( 1)a  , ještě rychlejší je faktoriál !n a nejrychlejší je n
n . Seřazeny
vzestupně podle rychlosti růstu (od nejmenšího k největšímu) mohou být takto:
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 93 
   .,...,!1,!,!1,...,4,3,2,...,,,,,,,,...,log 43234 nnnn
nnnn-nnnnnnnn 
V následujících příkladech vysvětlíme výpočet limit posloupností, ve kterých na je
iracionálním výrazem a zároveň se jedna o limitní typ „  “ Výraz určující na vhodně
rozšíříme. Použijeme identity známé z algebry: 2 2
( )( )a b a b a b    . To znamená místo
výrazu a b napíšeme výraz
2 2
a b
a b


.
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 9
Vypočtěte  nnna
n
n
n
2754limlim 2


Řešení.
Jedná se o limitní typ „  “ neboť  754lim 2
nn a  )2(lim n .
Limitní výraz vhodně rozšíříme
 
  2 2
2
2
2
2
4 5 7 2 4 5 7 2
lim lim 4 5 7 2 lim
4 5 7 2
7
5
5 7 5
lim lim .
45 74 5 7 2
4 2
n
n n n
n n
n n n n n n
a n n n
n n n
n n
n n n
n n
  
 
     
     
  


  
  
  
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 10
Vypočtěte .
8489
773
limlim
2
112




 n
n
nn
n
n
n
a
Řešení.
Poznamenejme, že   3933333 21212
 nnnn
.
Limitní výraz nejdříve upravíme tak, aby obsahoval stejné exponenty:
  8489
7
7
1
793
limlim



 nn
nn
n
n
n
a .
7 Posloupnost a limita posloupnosti
- 94 Čitatele
i jmenovatele dělíme exponenciálním výrazem s největším základem. V našem
případě je to n
9 a dostáváme
.3
9
84
81
8
1
9
7
7
1
9
7
3
limlim 


















n
n
n
n
n
n
n
a
Místo dělení exponenciálním výrazem s největším základem můžeme samozřejmě tento
výraz vytknout z čitatele i jmenovatele a zkrátit.
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 11
Vypočtěte .
345
1023
lim 1
22
nn
n
n 




Řešení.
5
3
4
3
25,14
4
10
75,04
lim
3425,05
10425,03
lim
345
1023
lim 1
22
























n
n
n
n
n
nnn
n
nnn
n
n
.
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 12
Vypočtěte .
5
1limlim
n
n
n
n n
a 







Řešení.
0
5
lim 
 nn
, proto 1
5
1lim 






 nn
. Je limitou posloupnosti
n
n
n
a 






5
1 číslo 1?
Takto uvažovat nelze, neboť v tomto případě se současně mění základ i exponent; n-tý člen
není ani mocninným, ani exponenciálním výrazem. Pro výpočet zadané limity posloupnosti
použijeme pravidlo 12 a přímo dostáváme výsledek:
.
5
1lim 5
e
n
n
n








Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 95 ŘEŠENÝ
PŘÍKLAD 13
Vypočtěte
n
n
n
n n
n
a
2
1
limlim 








.
Řešení.
.
1
)(
1
1
1lim
1
1
1lim
1
1
1lim
1
11
lim
1
lim
2
21
2
21
21122



































































e
e
n
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 14
Vypočtěte a.
8
2
7
lim










n
n n
n
, b.
n
n n
n








 23
13
lim .
Řešení.
a.
8 8 2 2 8
7 2 2 7 9
lim lim lim 1
2 2 2
n n n
n n n
n n
n n n
    
  
         
       
       
2 6
9
9
9 9 1
lim 1 lim 1 1 ,
2 2
n
n n
e
n n e


 
    
         
    
b.
 
(3 2) 2
3 2
3 3
3
3 1 1 1
lim lim 1 lim 1
3 2 3 2 3 2
n
n n
n n n
n
n n n

 
  
       
         
       
2
1
3
3 1 3
3
1 1
lim 1 1 .
3 2n
e e
n e




 
      
 
7 Posloupnost a limita posloupnosti
- 96 ŘEŠENÝ
PŘÍKLAD 15
Vypočtete
2
3
3
3
3
5
8
lim
n
n n
n









.
Řešení.
  5,42
3
3
2
3
3
2
3
3
2
3
3
3
3
33
5
3
1lim
5
3
1lim
5
8
lim ee
nnn
n
n
n
n
n
n
n
































.
7.3 PŘÍKLADY K PROCVIČENÍ
PŘÍKLAD 1
Vypočtěte limity posloupností:
a)
n
n
n 56
34
lim



b)
c) d)
e) f)
g) h)
i) j)
k) l)
m) n)
o) p)
q) r)
s) t)
83
)3)(2(
lim 2


 n
nn
n
)24)(13(
)42(
lim
2


 nn
n
n








nnn
43
lim
 
7
3
lim
2


 n
n
n 4
2
lim
2


 n
n
n
n
nn
n
22
4121
lim


)2)(1(
53
lim
2



nn
nn
n
n
n
n



1
1
lim
nnnn
274
1
lim
2

 nn
n


2lim  nnn
n
5lim 2


 3523lim 2
nnn
n


  nnn
n


1lim
12
54
lim 2
1


 n
n
n 145
823
lim 1
22




 n
n
n
794
135
lim
2


 n
n
n 2
21
3
32
lim 



n
nn
n
2
1
1
122
165
243
lim






n
n
nnn
n nn
nnn
n 295
273
lim
212

 

Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 97 u)
v)
w) x)
y) z)
7.4 ŘEŠENÍ PŘÍKLADŮ
1) a) – 0,8 b) c) d) 0 e) 1
f) g) h) i) j)
k) 0 l) m) n) o)
p) q) r) – 1 s) t)
u) 0 v) 0 w) x) y)
z)
!)!1(
!
lim
nn
n
n 
 
  !!2
!15
lim
nn
n
n 


 
 !1!
!17
lim


 nn
n
n
3
4
1lim









n
n n
2
85
2
2
1
1lim









n
n n
33
42
62
lim










n
n n
n
3
1
3
1
 22  3 1
7
4
5,2
3
1
2
1
4
1
5
48
4
5
4
1
1
7 4
e 5,2
e
15
e
8 Funkce jedné reálné proměnné
- 98 -
8 FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ
DEFINICE 1
Nechť  fD a  fH jsou dvě podmnožiny reálných čísel, tj.   RfD  ,   RfH 
a nechť  fDx  ,  fHy  . Předpis  xfy  se nazývá funkcí, jestliže ke každému
 fDx  existuje právě jedno  fHy  .
Nechť  fD a  fH jsou dvě podmnožiny reálných čísel, tj.   RfD  ,   RfH 
a nechť  fDx  ,  fHy  . Předpis  xfy  se nazývá funkcí, jestliže ke každému
 fDx  existuje právě jedno  fHy  .
Proměnná x se obvykle nazývá nezávisle proměnná nebo argument, kdežto proměnná y se
nazývá závisle proměnná.
Množina  fD se nazývá definiční obor funkce f, množina  fH se nazývá obor hodnot
(obor funkčních hodnot) funkce f.
Kromě uvedeného označení funkce se často používá také označení:
   
 
: ,
: ,
: .
f D f H f
f y f x
f x y


Funkce y = f (x) je definována (určena), když je dán její definiční obor )( fD a pravidlo, dle
kterého je ke každému číslu )( fDx  přiřazena právě jedna funkční hodnota )(xf . Toto
pravidlo může být vyjádřeno následujícími způsoby:
a) analyticky, tj. analytickým výrazem (vzorcem), resp. rovnicí nebo několika rovnicemi
platnými v definičním oboru, které prvkům )( fDx  přiřazují funkční hodnotu )( fHy  .
Je-li závisle proměnná y vyjádřena pomocí nezávislé proměnné x, říkáme, že funkce je dána
explicitně, například 2
3xy  .
Jinak mluvíme o implicitním zadání funkce, což obecně můžeme zapsat ve tvaru
0),( yxF , například 0)3( 32
 xy .
Funkci danou explicitně můžeme vždy převést na implicitní tvar. Nechť například je
funkce f zadaná explicitně rovnicí
xxy sincos5,0  .
Uvedenou funkci můžeme vyjádřit implicitně takto :
0sin2cos2  xxy .
Převod implicitního zápisu funkce na explicitní není vždy možný.
Například funkci f zadanou implicitně rovnicí
0ln  xy
exy
není snadné vyjádřit explicitně.
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 99 Poznamenejme,
že ne každou rovnicí 0),( yxF je určena funkce. Například rovnicí
0422
 yx není ve smyslu definice určena funkce, neboť hodnotám )2,2(x dle
uvedené rovnice odpovídají dvě různé hodnoty 21 a yy :
2
2
2
1 4,4 xyxy  .
b) tabulkou, která určuje hodnoty závislé proměnné pro jednotlivé hodnoty argumentu.
Tento druh určení funkce můžeme použít jenom tehdy, je-li definičním oborem dané funkce
konečná množina.
Tabulka může mít např. tvar:
x 2 5 8 9
y 5 8 1 3
c) grafem, což je množina všech bodů v rovině, jejichž souřadnice jsou  )(, xfx .
Grafem funkce f rozumíme množinu všech bodů uvedené vlastnosti a nakreslená křivka je
obrazem tohoto grafu.
8.1 VLASTNOSTI FUNKCÍ
DEFINICE 2
Funkce  xfy  se nazývá na oboru RM  ohraničená shora, existuje-li taková konstanta
h, zvaná horní závora funkce f na oboru M, že pro všechna Mx platí:   hxf  .
DEFINICE 3
Funkce  xfy  se nazývá na oboru RM  ohraničená zdola, existuje-li taková konstanta
d, konstantní pro všechna Mx , zvaná dolní závora funkce f na oboru M, že pro všechna
Mx platí:   dxf  .
DEFINICE 4
Funkce  xfy  je na oboru RM  ohraničená, právě když je součastně ohraničená zdola
i shora. Právě tehdy existuje taková konstanta ,0K že pro všechna Mx platí   Kxf  .
8 Funkce jedné reálné proměnné
- 100 ŘEŠENÝ
PŘÍKLAD 1
Rozhodněte, zda je kvadratická funkce 5)( 2
 xxf ohraničená v celém svém .)( RfD 
Řešení.
Protože 02
x , je 5)( xf pro všechna Rx . Funkce )(xf je zdola ohraničená.
Grafem uvažované funkce 5)( 2
 xxf je parabola, která má větve směrem nahoru, proto
funkce není shora ohraničená.
Na základě uvedeného můžeme již konstatovat, že )(xf není ohraničená na množině R.
DEFINICE 5
Funkce )(xf je sudá, jestliže pro všechna )( fDx  platí: )()( xfxf  .
Graf sudé funkce je osově souměrný podle osy y.
DEFINICE 6
Funkce je lichá, jestliže pro všechna )( fDx  platí: )()( xfxf  .
Graf liché funkce je středově souměrný podle počátku souřadnicového systému.
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 2
Sudé jsou například funkce:
xxf )( , neboť xx  ,
k
xxf 2
)(  , neboť kk
xx 22
)(  , Nk  ,
xxf cos)(  , neboť xx cos)cos(  .
Liché jsou například funkce:
x
xf
1
)(  , kde 0x , neboť
xx
11


,
12
)( 
 k
xxf , neboť 1212
)( 
 kk
xx , Nk  ,
xxf sin)(  , neboť xx sin)sin(  .
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 101 DEFINICE
7
Funkce )(xf se nazývá periodická funkce, právě když existuje takové reálné číslo 0p  , že
pro každé ( )x D f je též ( )x p D f  a platí ( ) ( )f x p f x  . Číslo p se nazývá perioda
funkce. Graf periodické funkce se posunutím podél osy x o hodnotu p nezmění. Typickým
příkladem periodických funkcí jsou goniometrické funkce.
DEFINICE 8
Monotónní funkce jsou takové funkce, které splňují pro každou dvojici čísel
x x x x M D f1 2 1 2  ( , ( )) následující podmínky:
jestliže
1 2
1 2
1 2
1 2
( ) ( ),
( ) ( ),
( ) ( ),
( ) ( ),
f x f x
f x f x
f x f x
f x f x
 
  
 
 
  
pak funkce f je v M
rostoucí,
klesající,
neklesající,
nerostoucí.







Funkce klesající a rostoucí nazýváme ryze monotónní.
DEFINICE 9
Funkce )(xf je na )( fD prostá (jednoznačná), jestliže ke každým dvěma hodnotám
2121 kde),(, xxfDxx  , přiřazuje hodnoty )()( 21 xfxf  .
Platí:
1. Jestliže je funkce prostá, pak každá přímka rovnoběžná s osou x protne její graf nejvýše
v jednom bodě.
2. Každá ryze monotónní funkce je prostá, však ne každá prostá funkce je ryze monotónní.
3. Sudá funkce není nikdy prostá. Lichá funkce může, ale nemusí být prostá.
8 Funkce jedné reálné proměnné
- 102 DEFINICE
10
Nechť funkce  xgu  je definovaná na množině 1M a funkce  ufy  na množině 2M .
Nechť M je takovou podmnožinou 1M , že pro každé číslo Mx patří příslušné číslo
 xgu  do 2M . Potom funkce  )(xgfy  se nazývá složená funkce. Funkci )(xgu 
říkáme vnitřní složka funkce, kdežto funkci  ufy  říkáme vnější složka složené funkce
 )(xgfy  .
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 3
Určete složenou funkci  xFy  , která má vnitřní složku 2
1 xu  a vnější složku
  .3
uufy 
Řešení.
Hledaná funkce je ve tvaru      32
1)( xxufxFy 
DEFINICE 11
Nechť )(xf je prostá funkce definovaná na )( fD . Obor jejích funkčních hodnot je )( fH .
Potom funkce, která přiřazuje každému )( fHy  hodnotu )( fDx  , pro kterou platí
)(xfy  , se nazývá inverzní funkcí k funkci )(xf a značíme ji )(1
xf 
. Platí
)(nebo),(1
ygxyfx  
.
Funkce )(),( fDxxfy  a )(),(1
fHyyfx  
se nazývají vzájemně inverzní funkce.
Jejich grafy jsou křivky osově souměrné dle osy 1. a 3. kvadrantu, tj. dle přímky y = x.
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 4
Inverzní funkcí k exponenciální funkci x
exf )( (na celém )( fD , jelikož exponenciální
funkce je prostá) je funkce logaritmická 1
( ) lnf x x
 . Obor funkčních hodnot exponenciální
funkce je množina všech kladných čísel, kterou označujeme 
R , proto definičním oborem
logaritmické funkce je také 
R , takže argument logaritmické funkce musí být vždy kladný.
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 103 ŘEŠENÝ
PŘÍKLAD 5
Ke kvadratické funkci 2
)( xxf  , jejímž RfD )( , inverzní funkce neexistuje, protože
kvadratická funkce v celém svém definičním oboru není prostá. V případě zúžení )( fD na
množinu ),0  je inverzní funkcí k funkci kvadratické xxf 
)(1
, kde ),0 x . Tyto
dvě funkce jsou znázorněny na Obr. 8. 1.
Obrázek 8-1: Graf inverzních funkcí
2
xy  a xy 
xy 
0

x
xy
0
2


x
xy
x
y
0 1
1
8 Funkce jedné reálné proměnné
- 104 DEFINICE
12
Funkce )(xf definovaná v intervalu J se nazývá ryze konkávní na J, když splňuje
podmínku: Pro každé tři body bca  patřící do )( fDJ  , leží bod  )(,C cfc na grafu
funkce (Obr. 8.2.) nad úsečkou s krajními body    )(,BaA bfba,f(a)  .
Obrázek 8-2: Konkávní funkce
A
B
C
a c b x
y
.
DEFINICE 13
Konvexní funkce na J je definována obdobně jako konkávní funkce, až na to, že bod C leží
pod uvedenou úsečkou nebo na ní. Analogicky se definuje ryze konvexní funkce na J , kde
se nepřipouští, aby bod C ležel na uvedené úsečce, viz Obr. 8.3.
Obrázek 8-3: Konvexní funkce
B
A
a c b
b
x
y
C
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 105 ŘEŠENÝ
PŘÍKLAD 6
Funkce 2
)( xxf  je konkávní na R, zatímco funkce 2
)( xxg  je konvexní na R.
8.2 ELEMENTÁRNÍ FUNKCE
Podle toho, jaké operace vytvářejí funkci )(xf z argumentu x, rozlišujeme dvě hlavní
skupiny funkcí: algebraické funkce a transcendentní funkce.
8.2.1 ALGEBRAICKÉ FUNKCE
Algebraickou funkcí rozumíme funkci, kterou lze vytvořit z konstant a z proměnné
x konečným počtem algebraických operací (tj.sčítáním, odčítáním, násobením, dělením
a umocňováním racionálním exponentem).
Algebraické funkce dělíme na racionální a iracionální (např. 3 2
xy  ).
Racionální funkce dělíme na polynomické funkce, též polynomy neboli mnohočleny
 822např. 3
 xxy a racionální lomené funkce (např. 2
12
x
x
y

 ), tj. funkce, které
vznikají podílem dvou polynomů.
Uveďme nejprve dva příklady polynomických funkcí:
Lineární funkce je funkce ve tvaru:
baxy  , , ,a b R kde ( ) .D f R
Grafem této funkce je přímka. Jednotlivé koeficienty mají tento význam:
tga - směrnice přímky, která je grafem lineární funkce,
b - úsek (vyťatý přímkou) na ose y, viz Obr. 8.4.
Obrázek 8-4: Graf lineární funkce baxy  .
Jestliže a = 0, potom hovoříme o funkcí konstantní.
a
y
x
b

baxy 
8 Funkce jedné reálné proměnné
- 106 Kvadratická
funkce je funkce ve tvaru
,2
cbxaxy  , , , 0,a b c R a  kde ( ) .D f R
Grafem je parabola. Jednotlivé koeficienty mají tento význam:
0a , pak parabola je konvexní funkce na R,
0a , pak parabola je konkávní funkce na R.
Racionální lomená funkce
Racionální lomenou funkcí nazýváme funkcí R(x), která je podílem dvou polynomických
funkcí, tj. má tvar
1 0
1 0
...
( )
...
n
n
m
m
a x a x a
R x
b x b x b
  

  
.
Mocninné funkce
Mocninné (potenční) funkce jsou funkce ve tvaru ,r
xy  kde ( ) (0, )D f   , tj: x > 0, r je
libovolné reálné číslo. Pro některé r budeme mocninnou funkci definovat i mimo interval
 ,0 .
Jestliže r je přirozené číslo, pak máme tyto případy:
a. Sudá mocninná funkce s kladným exponentem je funkce ve tvaru
2
, ,n
y x n N  kde ( ) .D f R
Grafem těchto funkcí je konvexní parabola (2n)-tého stupně s vrcholem v počátku souřadnic
Konkávní parabola (2n)-tého stupně s vrcholem v počátku souřadnic je grafem funkce
2
, kde .n
y x n N  
Obrázek 8-5: Graf paraboly šestého a sedmého stupně
x
y
0 1
1
6
xy 
1
1
x
y
0
7
xy 
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 107 b.
Lichá mocninná funkce s kladným exponentem je funkce ve tvaru
2 1
,n
y x n N
  , kde RfD )( .
Grafem funkce je parabola (2n+1)-ního stupně, která leží v 1. a 3. kvadrantu a jejímž středem
souměrnosti je počátek souřadnicového systému.
V případě 12 
 n
xy je grafem křivka osově souměrná podle osy x ke grafu funkce 12 
 n
xy .
Tato parabola (2n+1)-ního stupně leží ve 2. a 4. kvadrantu.
Když Nnnr  , , je n
n
x
xy
1
 
. Nastávají tyto případy:
c. Sudá mocninná funkce se záporným exponentem je funkce ve tvaru
2
, ,n
y x n N
  kde  ( ) 0D f R  .
Funkce n
x
y 2
1
 není definována pro 0x !
Grafem funkce je hyperbola (2n)-tého stupně, která leží v 1. a 2. Kvadrantu. V případě funkce
n
xy 2
 je grafem hyperbola (2n)-tého stupně, která leží ve 3. a 4. kvadrantu.
Obrázek 8-6: Graf hyperboly čtvrtého stupně
d. Lichá mocninná funkce se záporným exponentem je funkce ve tvaru
2 1
, ,n
y x n N 
  kde  ( ) 0D f R  .
Funkce 12
1

 n
x
y opět není definována pro 0x !
Grafem funkce je hyperbola (2n+1)-ního stupně, která leží v 1. a 3. kvadrantu. Zvláštním
případem je funkce
x
y
1
 (tj. 0n ), jejímž grafem je vám dobře známá rovnoosá hyperbola.
4
1
x
y 
x
y
0
8 Funkce jedné reálné proměnné
- 108 Obrázek
8-7: Graf hyperboly pátého stupně
8.2.2 TRANSCENDENTNÍ FUNKCE
Připomeňme, že funkce, která není algebraická, se nazývá transcendentní (nealgebraická).
Především nás budou zajímat exponenciální, logaritmické, goniometrické a cyklometrické
funkce.
Exponenciální funkce má (na rozdíl od mocninné funkce) proměnnou x v exponentu. Je to
funkce ve tvaru
, 0,x
y a a  kde ( ) , ( ) (0, )D f R H f   .
Pro 1a je to funkce rostoucí, tzn. ryze monotónní.
Pro 1a je to funkce konstantní 11  x
y .
Pro 10  a je to funkce klesající, tzn. taktéž ryze monotónní. Velmi důležitá je funkce
x
ey  se základem ...1782,2e , což je tzv. Eulerovo číslo. Toto číslo je iracionální,
podobně jako ...14159,3 , nelze jej vyjádřit jako podíl dvou celých čísel. Někde se setkáte
s názvem exponenciální funkce pouze pro funkci x
ey  . Funkci x
ay  se pak říká obecná
mocnina.
Obrázek 8-8: Graf rostoucí exponenciální funkce
x
y
5
1
x
y 
0
x
y
0
1
1

a
ay x
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 109 Obrázek
8-9: Graf klesající exponenciální funkce
Logaritmická funkce je funkce ve tvaru
log , 0, 1,ay x a a   kde ( ) (0, ), ( )D f H f R   .
Logaritmická funkce je inverzní k exponenciální funkci o tomtéž základu a. Pro 1a je to
funkce rostoucí, pro 10  a je to funkce klesající. Všimněte si, že jsme v definici vynechali
základ 1a . Je to proto, že příslušná exponenciální funkce 11  x
y je konstantní, a proto
k ní inverzní funkce neexistuje.
Obrázek 8-10: Graf rostoucí logaritmické funkce
Obrázek 8-11: Graf klesající logaritmické funkce
1
0 x
y
10 

a
ay x
x
y
0 1
1
log


a
xy a
x
y
0 1
1
log


a
xy a
x
y
0 1
log
 1,0a
 xy a
8 Funkce jedné reálné proměnné
- 110 Poznámka.
Při numerických výpočtech užíváme logaritmické funkce se základem 10a ,
píšeme zjednodušeně xy log . Tento logaritmus se nazývá dekadický. Jak bylo již řečeno
dříve, často užíváme logaritmické funkce o základu ea  . Kvůli rozlišení ho píšeme xy ln
a tento logaritmus nazýváme přirozeným logaritmem.
Z vlastností exponenciální funkce plynou následující vlastnosti pro všechna přípustná a:
.1ln,1log
,01log,1 a
0


ea
a
a
Velice často je využíván vztah fgg
ef ln
 , funkcekladnájekde f .
Goniometrické funkce
.cotg,tg,cos,sin xyxyxyxy 
Definice těchto funkcí je založena na vztazích mezi stranami pravoúhlého trojúhelníka
v kružnici o poloměru 1, která je znázorněna na Obr. 8.12.
Obrázek 8-12: Goniometrické funkce v jednotkové kružnici
Při měření úhlů v rovině používáme dvě míry, stupňovou a obloukovou. Oblouková míra má
větší využití při teoretických výpočtech.
Při stupňové míře je kružnice rozdělena na 360 stupňů, každý stupeň má 60 minut, každá
minuta má 60 vteřin. Pokud měříme úhel v obloukové míře, pod velikostí úhlu rozumíme
délku oblouku, který odpovídá úhlu v kruhové výseči v jednotkové kružnici. Jednotkou
obloukové míry je radián. Budeme používat pouze obloukové míry úhlů.
Vztah pro přepočet stupňů na radiány:  
180
stupeň1

 rad [radiánů].
Základní vztahy mezi goniometrickými funkcemi:
1. ,1cossin 22
 xx
2. ,1cotgtg xx
3. ,cossin22sin xxx 
4. ,sin21sincos2cos 222
xxxx 
1
x
-
1
-
1
1
1
xcos
xsin t
g x
c
otg x
0
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 111 -
5. ),2cos1(
2
1
sin2
xx 
6. ).2cos1(
2
1
cos2
xx 
Cyklometrické funkce jsou funkce inverzní ke goniometrickým funkcím v intervalech, kde
goniometrické funkce jsou ryze monotónní. Grafy těchto funkcí jsou znázorněny na
Obr. 8.13.
a) Funkce xy sin je rostoucí v intervalech  



kk 2
2
,2
2
a klesající
v intervalech  



kk 2
2
3
,2
2
, k je celé číslo. Zúžíme definiční obor funkce xy sin
na některý z těchto intervalů, konkrétně vybereme interval 
2
,
2

. Na tomto intervalu je
xy sin ryze monotónní (rostoucí) funkcí a proto k ní existuje funkce inverzní, která se
nazývá arkussinus.
Cyklometrická funkce arkussinus je funkce ve tvaru
arcsin ,y x kde ( ) 1,1 , ( ) ,
2 2
D f H f
 
      .
Funkce je ohraničená, rostoucí v celém )( fD . Graf funkce získáme překlopením funkce
xy sin v uvažovaném intervalu podle přímky xy  . Hodnota y = xarcsin pro x  1,1
je číslo y 
2
,
2

, jehož sinus je roven x, tj. xy sin . Platí:
00arcsin  , arcsin0,5 , arcsin1
6 2
 
  .
b) Cyklometrická funkce arkuskosinus je funkce ve tvaru
arccos ,y x kde ( ) 1,1 , ( ) 0,D f H f       .
Funkce je ohraničená, klesající v celém )( fD . Hodnoty y = arccos x jsou čísla z intervalu
 ,0 , jejichž kosinus je roven x. Platí:
arccos0 , arccos0,5
2 3
 
  , 01arccos  .
c) Cyklometrická funkce arkustangens je funkce ve tvaru
arctg ,y x kde ( ) , ( ) ,
2 2
D f R H f
  
   
 
.
8 Funkce jedné reálné proměnné
- 112 Funkce
je ohraničená, rostoucí v celém )( fD . Graf funkce leží uvnitř pásu vytvořeného
rovnoběžkami
2
a
2

 yy . Hodnoty y = arctgx jsou čísla z intervalu 




 

2
,
2
, jejichž
tangens je roven x. Platí:
arctg 3 , arctg 1
3 4
 
  .
d) Cyklometrická funkce arkuskotangens je funkce ve tvaru
arccotg ,y x kde ( ) , ( ) (0, )D f R H f   .
Funkce je ohraničená, klesající v celém )( fD . Graf funkce leží uvnitř pásu vytvořeného
rovnoběžkami  yy ,0 . Hodnoty y = arccotg x jsou čísla z intervalu  ,0 , jejichž
kotangens je roven x. Platí:
arccotg 3 , arccotg 1
6 4
 
  .
Obrázek 8-13: Cyklometrické funkce

1

1
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 113 -
8.3 DEFINIČNÍ OBOR FUNKCE
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 7
Určete definiční obor funkce √
Řešení.
Výsledek:
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 8
Určete definiční obor funkce
√
Řešení.
| |
〈 〉
Výsledek:
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 9
Určete definiční obor funkce
√
Řešení.
Výsledek:
8 Funkce jedné reálné proměnné
- 114 -
8.4 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 10
Pro funkci 43)( 2
 xxf vypočítejte:
a. )0(f , b. )(af , c. )1( af , d. 





a
f
1
, stanovte )( fD ,
e. )2( xf , f. )(2 xf , g. )( 2
xf , h.  2
)(xf .
Řešení.
a. 4403)0( 2
f ,
b. 4343)( 22
 aaaf ,
c. 1634)1(3)1( 22
 aaaaf ,
d. 2
2
2
2
2
43
434
3
4
1
3
1
a
a
a
aaa
f












 
,  0)(  RfD .
e. Je to funkční hodnota v bodě 2x. 4124)2(3)2( 22
 xxxf
f. Funkční hodnota v bodě x je násobena dvěma.
86)43(2)(2 22
 xxxf
g. Funkční hodnota v bodě 2
x . 434)(3)( 4222
 xxxf
h. Funkce je umocněna dvěma. Uvědomme si, že tuto skutečnost můžeme zapsat buď
 2
)(xf nebo )(2
xf . Pak 16249)43()( 24222
 xxxxf
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 11
Pro funkci )2ln( xey x
 vypočítejte funkční hodnoty
a. v bodě x , tzn. )( xf , b. v bodě xx  , tzn. )( xxf  ,
c. v bodě 3
x , tzn. )( 3
xf , d. třetí mocninu funkce, tzn. )(3
xf ,
e. druhou mocninu funkce v bodě (2  x), tzn. 2
(2 )f x .
Řešení.
a.  xexf x
2ln)(  ,
b.     xxeexxexxf xxxx
22ln2ln)(  
,
c.  33
2ln)(
3
xexf x
 ,
d.        xexexexexf xxxx
2ln2ln2ln2ln)( 33
 ,
e.   
222
222
42ln42ln22ln)2( 











 
x
e
e
x
e
e
xexf xx
x
.
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 115 ŘEŠENÝ
PŘÍKLAD 12
Funkce xxf 2)(  je definována na intervale 2,4x , funkce
3
)(
x
xg  je definována pro
3,3x .
Určete funkční předpisy pro následující funkce a načrtněte jejich grafy.
a. f , b. gf  , c. gf  , d. gf . , e.
g
f
.
Řešení.
a. f je lineární funkcí.
Platí 2,4)()(  fDfD .
Pro )( fDx je xxf 2)(  , graf funkce je na obr. 8.14.
Obrázek 8-14: Graf funkce xxf 2)(  Obrázek 8-15: Graf funkce xgf
3
7

y
-
4
20
2
3
14
-
3
-
7
y
x0
8 Funkce jedné reálné proměnné
- 116 b.,
c., d. Definiční obor součtu, rozdílu a součinu dvou funkcí je průnikem definičních oborů
jednotlivých funkcí, označme ho D .
Součet, rozdíl a součin funkcí f a g je definován na množině 4,2 3,3 3,2 .D      
Funkční předpisy součtu, rozdílu a součinu:
Součet: x
x
xgf
3
7
3
2  , viz Obr. 8.15.
Rozdíl: x
x
xgf
3
5
3
2  , viz Obr. 8.16.
Součin: 22
3
f g x  , viz Obr. 8.17.
Obrázek 8-16: Graf funkce xgf
3
5

-
3
-
5
y
3
10
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 117 Obrázek
8-17: Graf funkce
22
3
f g x 
e. Definiční obor podílu funkcí je taktéž průnikem jednotlivých definičních oborů, ale na víc
ve jmenovateli nesmí být nula, tj. ,0)( xg proto 0x .
Podíl
g
f
je definovaný na množině     4,2 3,0 0,3 3,0 0,2D         .
2
6
3
f x
xg
  , viz Obr. 8.18.
Obr. 8-18: Graf funkce 6
f
g

2-
3
y
x
3
8
0
2-
y
x0
8 Funkce jedné reálné proměnné
- 118 ŘEŠENÝ
PŘÍKLAD 13
Rozhodněte, zda v intervalu  3; existuje inverzní funkce k funkci xy 26  . Pokud
ano, pak graficky znázorněte danou funkci a také funkci k ní inverzní.
Řešení.
Inverzní funkce existuje, pokud daná funkce je ryze monotónní.
Předpokládejme, že funkce je klesající, tzn., že pro libovolné argumenty 21, xx z definičního
oboru, kde 21 xx  , platí )()( 21 xfxf  .
Definiční obor funkce je interval ,3 .
Pro každé 2xx  z tohoto definičního oboru je:
21 22 xx 
21 2626 xx  , takže )()( 21 xfxf  .
Potvrdili jsme, že funkce je klesající, tedy je ryze monotónní a inverzní funkce k ní proto
existuje. Určíme ji tak, že z dané funkce vyjádříme x jako funkci argumentu y .
2
6
2626
2
2 y
xxyxy

 .
Následně provedeme formální záměnu proměnných. Tímto dostaneme rovnici inverzní funkce
2
6 2
x
y

 .
Definičním oborem inverzní funkce je interval ;0 , protože je to obor hodnot původní
funkce.
Obr. 8-18: Grafy vzájemně inverzních funkcí
y
x
xy 26
2
6 2
x
y


6
6
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 119 ŘEŠENÝ
PŘÍKLAD 14
Rozhodněte, zda následující funkce jsou sudé nebo liché a stanovte jejich definiční obor.
a. ,
1
)( x
x
e
exf 
b.
x
x
xh



2
2
ln)( .
Řešení.
a. RfD )( , neboť 0x
e pro všechna Rx . Dále platí:
)(
11
)( xfe
ee
exf x
xx
x
 

. Funkce je proto sudá.
b. Argument logaritmické funkce musí být vždy kladný, musí proto platit:
 2;20
2
2



x
x
x
.
Proto je  2;2)( hD .
Zkoumejme, zda je funkce sudá nebo lichá:
  














1
2
2
ln
2
2
ln
2
2
ln)(
x
x
x
x
x
x
xh  .
2
2
ln xh
x
x




Funkce je na svém definičním oboru lichá.
8.5 PŘÍKLADY K PROCVIČENÍ
PŘÍKLAD 1
Odpovězte ano či ne?
a) Funkce xy ln je ryze monotónní funkcí v celém svém definičním oboru.
b) Funkce xy sin je ryze monotónní funkcí v celém svém definičním oboru.
c) Kvadratická funkce 2
xy  je klesající v intervalu  0; .
d) Funkce xy  je inverzní funkcí ke kvadratické funkci 2
xy  v R.
e) Funkce x
ey  je exponenciální funkcí.
f) Definičním oborem funkce
2
arcsin
x
y  je interval  2,2 .
g) Funkce 6
1
x
y  je sudá a funkce 9
1
x
y  je lichá.
h) Funkce 3
arctg lny x x x x    je složenou funkcí.
i) Definiční obory funkcí
xx
x
xf
)1(
)2(arctg
)( 2


 a
xx
x
xg
log
)(
7 3

 jsou identické.
8 Funkce jedné reálné proměnné
- 120 PŘÍKLAD
2
Napište rovnici kvadratické funkce cbxaxxf  2
)( , je-li .
PŘÍKLAD 3
Je dána funkce . Vypočtěte .
PŘÍKLAD 4
Je dána funkce . Určete: .
PŘÍKLAD 5
Je dána funkce . Vypočtěte , .
PŘÍKLAD 6
Rozhodněte, zda jsou následující funkce sudé nebo liché:
a.
b.
c.
PŘÍKLAD 7
Určete definiční obor následujících funkcí:
a. b. c.
d. e.
12)3(,2)0(,4)1(  fff
32
)( 2
2


x
x
xxf )1(),5(),1(  afff
xxf 2arctg)(  )()(,
2
1
00 xfxxff 





 
x
x
xf


2
log    0,1 ff  2
2 af 
xxxxf 2cos6)( 24

23
65
3)( 2
4
2



x
x
xxf
xxxf 3cossin)( 
)2arcsin(  xy xy 2arccos
5
3
arcsin


x
x
y
  121
4ln)4(

 xxy 2
23 xxy 
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 121 -
8.6 ŘEŠENÍ PŘÍKLADŮ
1)
a) ano
b) ne
c) ano
d) ne; kvadratická funkce není prostá a proto k ní neexistuje inverzní funkce v celém
definičním oboru R.
e) ano
f) ano
g) ano
h) ne; je to součin čtyř základních funkcí.
i) ano, ),1()1,0( x
2)
3) 0,8 ; 25,094 ;
4) ,
5) 0, není definováno,
6) a. sudá b. sudá c. ani sudá ani lichá
7) a. b. c. d. e.
2
3
2
3
4
)( 2
 xxxf
3)1(2
)333)(1(2
2
23


a
aaaa
4

)2(arctg)22(arctg 00 xxx 
 0f
a
a2
2
log

 3,1x
1
0,
2
x 
5 5
,
4 2
x    4Rx  2,0x
9 Limita funkce
- 122 -
9 LIMITA FUNKCE
K hlubšímu studiu funkcí je účelné zavést pojem spojité funkce. Existuje řada reálných
situací, ve kterých malým změnám jedné veličiny často odpovídají malé změny jiné veličiny.
Pojem spojitosti funkce a pojem limita funkce lze definovat dvěma způsoby: buď pomocí
okolí bodu (Cauchyova definice) nebo pomocí posloupností (Heineova definice). V této
publikaci je uveden druhý z uvedených způsobů. Tato část pojednává o reálných funkcích
jedné reálné proměnné . Zavedeme značení ,definiční obor funkce
budeme značit , výraz znamená .
9.1 SPOJITOST FUNKCE
O funkci f můžeme říct, že je spojitá v bodě C, jestliže platí, že pokud se bod x „blíží“ k bodu
C, potom se hodnota „blíží“ k číslu Jak rozumíme pojmu „blížit se“?
DEFINICE 1
O funkci f řekneme, že je v bodě C spojitá, jestliže pro každou posloupnost
platí ekvivalence:
neboli
právě když .
Platí následující věty:
VĚTA 1
Nechť f, g jsou spojité funkce v bodě C. Potom rovněž funkce
jsou spojité v bodě C.
VĚTA 2
Nechť funkce g je spojitá v bodě C a funkce f je spojitá v bodě . Potom složená
funkce , která je dána předpisem , je spojitá v bodě C.
 xf   fxf   xf
 fD Cxn  Cxn
n


lim
 xf  .Cf
 fD
   fDx nn 

1
   ,CfxfCx nn 
cxn
n


lim    cfxf n
n


lim
  0 Cg
g
f
,g.f,gf,f
 Cgd 
gf    xgfy 
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 123 DEFINICE
2
Funkce f je spojitá, jestliže je spojitá v každém bodě svého definičního oboru. Součet, rozdíl,
součin a podíl dvou spojitých funkcí, absolutní hodnota spojité funkce a funkce složená ze
dvou spojitých funkcí jsou opět spojité funkce.
Poznámka.
a. Každá elementární funkce je spojitá v libovolném bodě svého definičního oboru.
b. Funkce není spojitá v bodě
VĚTA 3 – BOLZANOVA VĚTA
Nechť f je reálná funkce jedné reálné proměnné spojitá v intervalu taková, že
Potom existuje reálné číslo takové, že .
Význam Bolzanovy věty je tento: Má-li spojitá funkce ve dvou různých bodech odlišné
znaménko, pak existuje aspoň jeden bod mezi těmito body, v němž je funkce rovna 0.
Ještě jinak: Je-li graf spojité funkce v jednom bodě nad osou x a v jiném bodě pod osou x,
potom existuje aspoň jeden bod mezi těmito body, v němž graf protíná osu x.
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 1
Použitím Bolzanovy věty dokažte, že rovnice má v intervalu
aspoň jeden reálný kořen.
Řešení.
Označme funkci a určíme funkční hodnoty v krajních bodech
intervalu . Dostáváme Podmínka Bolzanovy věty
(tj. ) je splněna, proto existuje bod takový, že , tj.
existuje reálné číslo takové, že
VĚTA 4 - DŮSLEDEK BOLZANOVY VĚTY
Nechť f je reálná funkce jedné reálné proměnné spojitá v intervalu taková, že nemá
v intervalu žádný nulový bod. Potom funkce f je stále kladná nebo stále záporná
v intervalu .
3
5


x
x
y .x 3
b,a
    .0. bfaf  b,ac    0cf
0623 23
 xxx  21,
  623 23
 xxxxf
 21,     .f,f 10241      0bfaf
      010421  .ff  21,c    0cf
 21,c  .ccc 0623 23

 b,a
 b,a
 b,a
9 Limita funkce
- 124 ŘEŠENÝ
PŘÍKLAD 2
Řešte nerovnici .
Řešení.
Označme funkci .
Nulové body čitatele a jmenovatele jsou .
Vytvoříme pět intervalů . Funkce f v každém z těchto
intervalů vyhovuje předpokladům důsledku Bolzanovy věty, proto stačí vzít jeden bod
a v něm zjistit znamení funkční hodnoty, protože funkce f bude v celém intervalu nabývat
funkčních hodnot stejného znamení.
Výsledek znázorníme graficky:
-3 -2 1 3
Řešením nerovnice je .
VĚTA 5 - WEIERSTRASSOVA VĚTA
Nechť f je reálná funkce jedné reálné proměnné spojitá v intervalu. Potom funkce f nabývá
v intervalu jak svého minima, tak i svého maxima vzhledem k intervalu.
Poznámka. Weierstrassova věta zaručuje existenci maxima i minima spojité reálné funkce
jedné reálné proměnné v uzavřeném intervalu, ale nedává žádný návod, jak takové maximum
nebo minimum určit.
9.2 LIMITA FUNKCE
Uvažujme funkci Tato funkce je definovaná pro každé .
Sestavme tabulku:
x
6,25 25 100 156,25 10 000 1 000 000
   0
2
91 2



x
xx
    
2
91 2



x
xx
xf
 2331  ,,,x
          ,,,,,,,,, 33112233
      ,,,x 3123
  .
x
xf 2
1
 0x
40, 20, 10, 080, 010, 0010,
 xf
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 125 Z
této tabulky můžeme intuitivně soudit, že pro x „blížící se“ k číslu 0 se funkční hodnoty
„blíží“ k nevlastnímu číslu + . Tuto skutečnost zapíšeme:
Dříve než definujeme pojem limity funkce, definujme pojmy okolí bodu a hromadný bod
množiny.
DEFINICE 3
Nechť . Potom okolím bodu C nazýváme každý otevřený interval , kde
. Toto okolí značíme nebo . nazýváme poloměrem tohoto okolí. Platí
následující ekvivalence:
Okolím bodu , resp. rozumíme každý interval , resp.
, kde .
DEFINICE 4
Bod je hromadným bodem množiny , jestliže v každém okolí
bodu C leží nekonečně mnoho bodů množiny M.
VĚTA 6
Pro každou množinu a jsou tato tři tvrzení ekvivalentní:
a. C je hromadný bod množiny M,
b. v každém okolí bodu C leží alespoň jeden bod množiny M,
c. existuje alespoň jedna číselná posloupnost v množině , která má limitu C.
DEFINICE 5
Nechť je hromadným bodem definičního oboru funkce . Řekneme, že
číslo je limitou funkce f v bodě C , jestliže pro každou posloupnost
platí ekvivalence:
Zapisujeme .
Jestliže jedná se o vlastní limitu, pro jde o nevlastní limitu.
Existence a hodnota limity funkce f v bodě C nezávisí dokonce ani na tom, zda je či není
funkce f v bodě C definovaná.
 .
1
lim 20

 xx
RC     C,C
0  ,CO  CO 
  .CxC,Cx  
 CO C C  ,K
K, RK 
  
RRC RM 
RM  
 RC
 CM 

 RC  fD  xf

 Ra
     CfDx nn 

1   .axfCx nn 
  axf
Cx


lim
Ra  a
9 Limita funkce
- 126 -
9.3 ASYMPTOTY FUNKCE
9.3.1 SVISLÁ ASYMPTOTA
Předpokládejme, že pro zvolenou funkci platí: . To znamená, že je-li limita
funkce ve vlastním bodě (x = C) nevlastní, pak říkáme, že existuje svislá asymptota funkce a
rozumíme jí přímku o rovnici x = C.
9.3.2 VODOROVNÁ ASYMPTOTA (ASYMPTOTA BEZ SMĚRNICE)
Předpokládejme, že pro zvolenou funkci platí: resp. kde
. To znamená, že je-li limita funkce v nevlastním bodě (x = nebo x = ) vlastní, pak
říkáme, že existuje vodorovná asymptota funkce a má rovnici resp.
9.3.3 ŠIKMÁ ASYMPTOTA (ASYMPTOTA SE SMĚRNICÍ)
Předpokládejme, že pro zvolenou funkci platí: a současně
kde . Pak říkáme, že existuje šikmá asymptota, která má rovnici
Uvedený vztah platí i v případě, že všude zaměníme za .
DEFINICE 6
Symbolem , resp. označujeme jednostrannou limitu funkce f v bodě
C zprava, resp. zleva. nazýváme oboustrannou limitou funkce f v bodě C.
Limita existuje právě tehdy, jestliže existuje a , přičemž
= . Pak platí = = .
9.4 VĚTY O LIMITÁCH FUNKCE
1. Funkce f má v hromadném bodě svého definičního oboru nejvýše jednu limitu.
2. Funkce f je v bodě C (hromadný bod definičního oboru ) spojitá právě tehdy,
když
.
3. Předpokládejme, že na neúplném okolí bodu jsou definovány funkce f, g, h, pro
které platí Jestliže platí , potom
existuje a rovná se číslu a.
  

xf
Cx
lim
  ,axf
x


lim   ,bxf
x


lim Rb,a 
 
,ay  .by 
  k
x
xf
x


lim    ,qkxxf
x


lim
Rq,k  .qkxy 
 
 xf
Cx 

lim  xf
Cx 

lim
 xf
Cx
lim
 xf
Cx
lim  xf
Cx 

lim  xf
Cx 

lim
 xf
Cx 

lim  xf
Cx 

lim  xf
Cx 

lim  xf
Cx 

lim  xf
Cx
lim
 fD
   xfCf
Cx
 lim

 RC
     .xhxgxf      

 Raxhxf
CxCx
limlim
 xg
Cx
lim
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 127 -
4. Nechť f, g jsou dvě funkce a symbol znamená libovolný ze symbolů
Nechť je hromadný bod definičního oboru . Potom platí
, jestliže výraz napravo má smysl.
5. Nechť je hromadný bod . Potom platí jestliže
limita na pravé straně existuje.
6. Nechť je hromadným bodem definičního oboru funkce dané rovnicí
Potom platí ekvivalence:
9.5 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 3
Vypočtěte limitu .
Řešení.
Označme funkci . Tato funkce je v bodě spojitá, proto limitu
vypočteme jako funkční hodnotu funkce v bodě .
Dostáváme:
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 4
Z grafu funkce určeme limitu funkce v krajních bodech definičního oboru funkce:
a. , b. , c. ,
d. , e. , f. .
Řešení.
a. Definiční obor funkce je interval .
Z grafu vidíme, že ,
Protože limita neexistuje, neexistuje ani
 .:,.,, 

 RC  gfD 
          xgxfxgxf
CxCxCx 
 limlimlim

 RC  fD    ,limlim xfxf
CxCx 


 RC
 
.
xf
y
1

 
  .lim0
1
lim 

xf
xf CxCx
 .xx
x
823lim 2
1


  823 2
 xxxf 1x
 xf 1x
  ...xx
x
981213823lim 22
1


xlogy  arctgxy  xarcsiny 
xcosy  x
y 2
x
y 






5
1
xlogy   ,0


x
x
loglim
0
.loglim 

x
x
x
x
loglim
0

.loglim
0
x
x
9 Limita funkce
- 128 Obr.
9-1: Graf logaritmické funkce
b. Definiční obor funkce jsou všechna reálná čísla .
Z grafu vidíme, že ,
Daná funkce má dvě vodorovné asymptoty o rovnicích
Obr. 9-2: Graf funkce arkustangens x
c. Definiční obor funkce je interval
Z grafu vidíme, že ,
Protože jednostranné limity , neexistují, neexistují ani příslušné
oboustranné limity funkce .
Obr. 9-3: Graf funkce arkussinus x
arctgxy    ,R
2
lim



arctgx
x
.
2
lim



arctgx
x
.y
2


xarcsiny  .,11
2
arcsinlim
1



x
x
.
2
arcsinlim
1



x
x
x
x
arcsinlim
1

x
x
arcsinlim
1

xarcsiny 
y=arctg x
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 129 d.
Definiční obor funkce jsou všechna reálná čísla .
Z grafu vidíme, že , neexistují, protože funkce je periodická v celém
svém definičním oboru.
Obr. 9-4: Graf funkce kosinus x
e. Definiční obor funkce jsou všechna reálná čísla .
Z grafu vidíme, že
Funkce má vodorovnou asymptotu danou rovnicí
Obr. 9-5: Graf rostoucí exponenciální funkce
f. Definiční obor funkce jsou všechna reálná čísla .
Z grafu vidíme, že ,
Funkce má vodorovnou asymptotu danou rovnicí
xcosy    ,R
x
x
coslim

x
x
coslim

x
y 2   ,R
,02lim 

x
x
.2lim ´


x
x
x
y 2 .y 0
x
y 






5
1
  ,R







x
x 5
1
lim .0
5
1
lim
´







x
x
x
y 






5
1
.y 0

1
y=c
os x
9 Limita funkce
- 130 Obr.
9-6: Graf klesající exponenciální funkce
Nyní uvedeme obecný vztah pro výpočet limit racionálních lomených
funkcí, které již znáte z výpočtu limit posloupnosti.
Tento vztah budeme používat v dalším řešeném příkladu.
Nechť .b,a;Rb,...,b,b,a,...,a,a;Nm,k mk 0001010 
Pak platí následující tvrzení:
, je-li
0, je-li
I. , je-li
, je-li .
II.
, je-li
0, je-li
, je-li
, je li
0
0
b
a
,mk 
,mk 








mm
mm
kk
kk
x bxbxbxb
axaxaxa
1
1
10
1
1
10
...
...
lim    ,
b
a
mk 





 0
0
0
   .
b
a
mk 





 0
0
0








mm
mm
kk
kk
x bxbxbxb
axaxaxa
1
1
10
1
1
10
...
...
lim
0
0
b
a
,mk 
,mk 
      ,
b
a
mk
mk








01
0
0
     .
b
a
mk
mk








01
0
0
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 131 ŘEŠENÝ
PŘÍKLAD 5
Pomocí výše uvedených vztahů vypočtěte následující limity funkcí (jsou uvedeny v řešení
tohoto příkladu). Je zde zachyceno všech osm případů, které mohou nastat. Řešení
nekomentujeme, neboť se zde jedná pouze o určení stupně polynomu v čitateli a ve
jmenovateli a jednoduchou úvahu.
Řešení.
1. ,
5
2
55
322
lim 4
4



 x
xx
x
2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 6
Vypočtěte limity funkce v krajních bodech definičního oboru funkce. Určeme rovnice
svislých, vodorovných a šikmých asymptot (pokud existují).
a. , b. , c.
Řešení.
a. Definiční obor funkce je .
Vypočteme limity v nevlastních bodech:
Dále vypočteme jednostranné limity:
(dosadíme do výrazu číslo 2,9 a zjistíme výsledné znamení, pokud dostaneme
znaménko minus, resp. plus, je limita rovna nevlastnímu číslu , resp. )
Podobně postupujeme u druhé jednostranné limity , kde dosadíme číslo 3,1
a dostáváme
Protože se jednostranné limity nerovnají, výsledná limita neexistuje.
Svislá asymptota má rovnici Vodorovná asymptota má rovnici
,0
245
2
lim 4



 xx
x
x
,
5
2
lim
5

 x
x
x
,
8
25
lim
4



 x
xx
x
,
5
4
52
334
lim 3
3



 x
xx
x
,0
52
34
lim 7
2



 x
x
x
,
52
123
lim
2



 x
xx
x
.
52
34
lim
4



 x
x
x
 
3
4



x
x
xf  
 3
2
1

x
x
xf  
 
.
4
2
3


x
x
xf
 
3
4



x
x
xf     ,,x 33
.1
3
4
lim,1
3
4
lim 





 x
x
x
x
xx




 3
4
lim
3 x
x
x
 .
.
3
4
lim
3







 x
x
x
3
4
lim
3 


 x
x
x
.
3
4
lim
3







 x
x
x
3
4
lim
3 

 x
x
x
.x 3 .y 1
9 Limita funkce
- 132 Šikmá
asymptota má rovnici:
kde kde .
Dosadíme
Šikmá asymptota má rovnici
b. Definiční obor funkce je .
Vypočteme limity v nevlastních bodech:
Dále vypočteme jednostranné limity:
(dosadíme do výrazu číslo )
(dosadíme do výrazu číslo )
Protože se jednostranné limity nerovnají, výsledná limita neexistuje.
Svislá asymptota má rovnici Vodorovná asymptota má rovnici
Vypočteme rovnici šikmé asymptoty:
Šikmá asymptota má rovnici
c. Definiční obor funkce je .
Vypočteme limity v nevlastních bodech:
Dále vypočteme jednostranné limity:
(dosadíme do výrazu číslo 3,9)
(dosadíme do výrazu číslo 4,1 )
,qkxy 
  k
x
xf
x


lim    ,qkxxf
x


lim Rq,k 
,
xx
x
k
x
0
3
4
lim 2





.
x
x
q
x
1
3
4
lim 




.y 1
 
 3
2
1

x
x
xf     ,11,x
   
.0
1
lim,0
1
lim 3
2
3
2



  x
x
x
x
xx
 



3
2
1 1
lim
x
x
x
1,1 ,



 



3
2
1 1
lim
x
x
x
9,0 .



 3
2
1 1
lim
 x
x
x
.1x .0y
 
,
x.x
x
k
x
0
1
lim 3
2



  
.
x
x
q
x
0
1
lim 3
2




.0y
 
 2
3
4

x
x
xf     ,44,x
   
.
4
lim,
4
lim 2
3
2
3



  x
x
x
x
xx
 



2
3
4 4
lim
x
x
x
,



 



2
3
4 4
lim
x
x
x
.



Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 133 Protože
se jednostranné limity rovnají, výsledná limita existuje a je rovna
Svislá asymptota má rovnici Vodorovná asymptota funkce neexistuje. Vypočteme
rovnici šikmé asymptoty:
Šikmá asymptota má rovnici
Poznámka. Funkce má svislé asymptoty v bodech, ve kterých není definována. Pokud jsou
definičním oborem všechna reálná čísla, např. funkce , svislé asymptoty funkce
neexistují. Všimněte si, že pokud existuje vodorovná asymptota, pak šikmá asymptota má
stejnou rovnici jako je rovnice vodorovné asymptoty. Vodorovná asymptota je speciální
případ asymptoty šikmé. Rovnice asymptot budeme potřebovat při zjišťování průběhu funkce
jedné reálné proměnné.
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 7
Vypočtěte šikmé asymptoty funkce .
Řešení.
Postupujeme obdobně jako v předešlém příkladu:
Dále dostáváme pro
pro
 2
3
4 4
lim
 x
x
x
 
.
4
lim 2
3
4

 x
x
x
.4x
 
,
x.x
x
k
x
1
4
lim 2
3




 
.
xx
xx
x
x
x
q
xx
8
168
168
lim
4
lim 2
2
2
3















.xy 8
xy sin
 
2
2
x
arctgxxf 
.
x
x
arctg
x
x
arctgx
k
x
22222lim2
2
lim
x




















x
,
x
arctgx
x
arctgxq
xx 22
lim2
2
2lim









x
.
x
arctgx
x
arctgxq
xx 22
lim2
2
2lim









9 Limita funkce
- 134 Funkce
má dvě šikmé asymptoty o rovnicích
Při výpočtu limity funkce typu dojdeme často k výrazu, kdy
, (výraz ) a hodnotu limity přímo nelze určit. Úpravu
provádíme tak, že se snažíme zlomek krátit výrazem konvergujícím k nule. Vede k tomu
například rozklad v součin mnohočlenů v čitateli i ve jmenovateli nebo použití identity
, pokud se ve výrazu vyskytují druhé mocniny.
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 8
Vypočtěte limitu
Řešení.
Pokud do výrazu dosadíme , dostaneme výraz . Rozložíme čitatele
i jmenovatele na součin kořenových činitelů, krátíme výrazem a nakonec dosadíme
. Dostáváme:
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 9
Vypočtěte limitu
Řešení.
Pokud do výrazu dosadíme , dostaneme výraz . Rozložíme čitatele
i jmenovatele na součin kořenových činitelů, krátíme výrazem a nakonec dosadíme
. Dostáváme:
 
2
2
x
arctgxxf 
.xy,xy
2
2
2
2




 
 xg
xf
    0lim0lim 

xgxf
axax 0
0
ba
ba
ba



22
ba 
.
4
6
lim 2
2
2 

 x
xx
x
2x
0
0
 2x
2x
  
  
.
4
5
2
3
lim
22
32
lim
4
6
lim
222
2
2









 x
x
xx
xx
x
xx
xxx
.
123
132
lim 2
2
1 

 xx
xx
x
1x
0
0
 1x
1x
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 135 ŘEŠENÝ
PŘÍKLAD 10
Vypočtěte limitu
Řešení.
Pokud do výrazu dosadíme , dostaneme výraz . Rozložíme čitatele
i jmenovatele na součin kořenových činitelů, krátíme výrazem a nakonec dosadíme
. Dostáváme:
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 11
Vypočtěte limitu
Řešení.
Pokud do výrazu dosadíme , dostaneme výraz . Rozšíříme zlomek výrazem
, potom krátíme výrazem x a nakonec dosadíme . Dostáváme:
 
 
.
4
1
3
1
3
2
1
2
lim
3
1
13
2
1
12
lim
123
132
lim
112
2
1


































x
x
xx
xx
xx
xx
xxx
.
x
xx
x 205
253
lim 2
2
2 


2x
0
0
 2x
2x
 
    
.
x
x
xx
xx
x
xx
xxx 20
7
23
3
1
3
lim
223
3
1
23
lim
205
253
lim
222
2
2






















.
33
lim
0 x
x
x


0x
0
0
 33  x 0x








 0
033
lim
0 x
x
x
  
 


 33
3333
lim
0 x
x
x
x
x
 



 33
33
lim
0 xx
x
x   .
32
1
33
1
lim
0

 xx
9 Limita funkce
- 136 ŘEŠENÝ
PŘÍKLAD 12
Vypočtěte limitu
Řešení.
Pokud do výrazu dosadíme , dostaneme výraz . Rozšíříme zlomek výrazem
, potom krátíme výrazem a nakonec dosadíme . Dostáváme:
=
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 13
Vypočtěte limitu .
Řešení.
Pokud do výrazu dosadíme , dostaneme výraz . Rozšíříme daný výraz výrazem
. Dostáváme funkci, ve které je stupeň čitatele menší než stupeň jmenovatele,
proto je limita rovna 0.
Pokud při výpočtu limity funkce typu dospějeme k výrazu, kdy
, (výraz ), jedná se zde o limitu nevlastní. Její existenci
a výpočet provedeme pomocí jednostranných limit.
.
49
32
lim 27 

 x
x
x
7x
0
0
 32  x  7x 7x









 0
0
49
32
lim 27 x
x
x
  
 
 
  







 3249
34
lim
32
32
49
32
lim 2727 xx
x
x
x
x
x
xx
       .
56
1
327
1
lim
3277
7
lim
77








xxxxx
x
xx
 xx
x


1lim
x  
 xx 1
   

xx
x
1lim
  
  .0
1
1
lim
1
1
1lim 






 xx
xx
xx
xx
xx
xx
 
 xg
xf
    0lim0lim 

xgAxf
axax 0
A
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 137 ŘEŠENÝ
PŘÍKLAD 14
Dokažte, že neexistuje.
Řešení.
Po dosazení dostáváme výraz . Musíme proto počítat jednostranné limity:
(dosadíme číslo 0,1) ,
(dosadíme číslo .
Protože se jednostranné limity nerovnají, výsledná limita neexistuje.
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 15
Vypočtěte limitu .
Řešení.
Funkce není v bodě definována. Proto budeme určovat jednostranné limity.
Použijeme následující vztahy:
pro
pro .
Na základě uvedených vztahů a výsledku příkladu 14 můžeme psát:
.
Protože se jednostranné limity nerovnají, výsledná limita neexistuje.
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 16
Vypočtěte limitu funkce bodech, ve kterých není funkce definována:
a. , b. .
xx
1
lim
0
0x 





0
1


 xx
1
lim
0






 xx
1
lim
0
10, 



xx
1
lim
0
x
x
e
1
0
lim

  xexf
1
 0x


x
x
x
x
a,a lim0lim ,a 10 
0limlim 

x
x
x
x
a,a 1a
,ex
x



1
0
lim 0lim
1
0



x
x
e
x
x
e
1
0
lim

 
1
2


x
xf   2
3
x
x
xf


9 Limita funkce
- 138 -
Řešení.
a. Funkce není definována v bodě
Počítáme tedy limitu . Po dosazení do výrazu , dostáváme výraz
a proto počítáme příslušné jednostranné limity:
(dosadíme číslo )
(dosadíme číslo )
Protože se jednostranné limity nerovnají, výsledná limita neexistuje.
b. Funkce není definována v bodě .
Počítáme tedy limitu . Po dosazení do výrazu , dostáváme výraz a proto
počítáme příslušné jednostranné limity:
(dosadíme číslo )
(dosadíme číslo )
Protože se jednostranné limity rovnají, výsledná limita existuje a je rovna
V posledním příkladu využijeme definice Eulerova čísla:
kde
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 17
Vypočtěte následující limity:
a. , b. .
Řešení.
a. Postupujeme následovně: nejprve do čitatele napíšeme výraz, který máme ve jmenovateli
a upravíme tak, aby se hodnota čitatele nezměnila:
 
1
2


x
xf .1x
1
2
lim
1  xx
1x 





0
2


 1
2
lim
1 xx
1,1 ,





 1
2
lim
1 xx
9,0 .



1
2
lim
1  xx
  2
3
x
x
xf

 0x
20
3
lim
x
x
x


0x 





0
3




2
0
3
lim
x
x
x
1,0 ,







2
0
3
lim
x
x
x
1,0 .



20
3
lim
x
x
x


.
3
lim 20


 x
x
x
,1lim,
1
1lim k
x
x
x
x
e
x
k
e
x














.Rk 
1
12
32
lim










x
x x
x
1
2
2
2
2
75
45
lim

 







x
x x
x
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 139 (zlomek
rozdělíme na dva zlomky)=
(zavedeme substituci) =
b. Postupujeme podobně jako v předešlé úloze:
9.6 PŘÍKLADY K PROCVIČENÍ
PŘÍKLAD 1
Doplňte…
a. Funkce  
1
2
2



x
x
xf je nespojitá v bodech…
b. ...
61
13
lim 2
2



 x
x
x
c. Bolzanova věta zaručuje (při splnění předpokladů) existenci …… …… rovnice.
d.  xf
cx
lim nazveme nevlastní limitou, jestliže   ...lim 

xf
cx
e. Nechť funkce f je reálná funkce jedné reálné proměnné spojitá na intervalu  ba,
taková, že nemá v intervalu  ba, žádný nulový bod. Potom funkce f je stále ….. nebo
stále ….. v intervalu  ba, .
1
12
32
lim










x
x x
x











1
12
3112
lim
x
x x
x










1
12
2
1lim
x
x x
   

uxux
ux 2
11
12
2









2
1
1
1lim
u
u u
.
1
1
1
1lim
1
2
1
e
uu
u
u















1
2
2
2
2
75
45
lim

 







x
x x
x











1
2
2
2
2
75
4775
lim
x
x x
x
1
2
2
2
75
3
1lim










x
x x
.
1
2
1
5
3
exp
10 3
10
3
e
e 



















9 Limita funkce
- 140 PŘÍKLAD
2
Užitím Bolzanovy věty dokažte, že rovnice:
a. 05103
 xx má v intervalu  4,2 aspoň jeden reálný kořen,
b. 0144 234
 xxxx má v intervalu 2,0 aspoň jeden reálný kořen,
c. 0133
 xx má v intervalu  1,2  aspoň jeden reálný kořen,
d. 0543
 xx má v intervalu  3,2 aspoň jeden reálný kořen,
e. 03752 23
 xxx má v intervalu  0,1 aspoň jeden reálný kořen,
f. 07222 234
 xxxx má v intervalu 1,2  aspoň jeden reálný kořen.
PŘÍKLAD 3
Vypočtěte limity v krajních bodech intervalů, které tvoří definiční obor funkce  xf :
a.  
x
xf


3
2
, b.  
1
1



x
x
xf ,
c.  
1
2
2


x
x
xf , d.  
442
3


xx
x
xf ,
e.   2
2
13
x
x
xf

 ,
PŘÍKLAD 4
Vypočtěte limity funkce v daných bodech:
a. v bodech
b. v bodech
c. v bodech
d. v bodech ,
e. v bodech
f. v bodech
g. v bodech
h. v bodech
i. v bodech
  32 24
 xxxf ,, 
     32
21 xxxf  ,, 
  3
3
231 xx
xx
xf


 ,,,0,1 
 
6
3
2
23



xx
xx
xf 2,,,3 
 
xx
xx
xf
4
182
3
3


 ,,,2,0 
  3
2
8
2
x
xx
xf


 ,,,0,2 
  2
3
4
4103
x
xx
xf


 ,,,2,2 
 
3
92



x
x
xf ,,,3,3 
 
15123
257
2
2



xx
xx
xf ,,,5,1 
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 141 PŘÍKLAD
5
Vypočtěte limity:
a. , b. , c. ,
d. , e. , f. ,
g. , h. , i. ,
j. , k. , l. .
9.7 ŘEŠENÍ PŘÍKLADŮ
1)
a. 1,1  xx
b.
2
1
c. reálného kořene
d.   ,
e. kladná, záporná
2) Dokažte, že je splněn předpoklad Bolzanovy věty     .0. bfaf
3)
a.       ,33,fD
       

xfxfxf
xxx 33
lim,lim,0lim
b.       ,11,fD
       

xfxfxf
xxx 11
lim,lim,1lim
c.         ,11,11,fD
     

xfxf
xx 11
lim,lim
d.       ,22,fD
      

xfxfxf
xxx 2
lim,lim,lim
e.       ,00,fD
    

xfxf
xx 0
lim,3lim
 75lim 2
1


xx
x 2
6
lim 2
2
3 

 xx
xx
x 2
6
lim 2
2
2 

 xx
xx
x
25
1
lim
1 

 x
x
x
 x
x
cos1lim
0

 25
6
lim 2


 x
x
x
3
4
lim
3 

 x
x
x
23
2
2
2
25
82
lim

 







x
x x
x
20
21
lim 25 

 xx
x
x
Nn,
x
xn
x



 1
1
lim
1 25
5
lim
25 

 x
x
x
3
4
1lim









x
x x
      ,lim,lim,0lim
11
 

xfxfxf
xxx
9 Limita funkce
- 142 -
4)
a. b. c.
d. neexistuje e. neexistuje,
f. g. neexistuje,
h. i. neexistuje,
5)
a. 3 b. 0 c. d. 4 e. 0 f. 0
g. neexistuje h. i. j. a k. l. e4
, ,
2
1
,
2
1
,0,
3
2

,,,
5
9
 2,2,
8
25
0,0,0,
6
1
 ,
2
13
 ,
 ,,0,6 ,
2
1
3
7
,
3
7
3
5
2
9

e
36
1
10
1
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 143 -
10 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ
PROMĚNNÉ
Zkoumání mnoha přírodních i ekonomických jevů vede k závislostem vyjádřeným ve tvaru
funkce jedné reálné proměnné. Derivace této funkce má zásadní význam pro popis
příslušného jevu. Pojem derivace vznikl během druhé poloviny 17. století při řešení
konkrétních geometrických a fyzikálních úloh. Tento pojem byl přesně definován v 19. století
matematiky Cauchym a Bolzanem na základě jimi zpřesněného pojmu limity funkce.
10.1 POJEM DERIVACE FUNKCE
Uvažujme funkci )(xfy  definovanou na otevřeném intervalu ).,( baM  Zvolíme
bod 0x uvnitř intervalu M. Náš úkol bude určit směrnici tečny t ke křivce )(xfy  v bodě
 000 , yxT  , kde )( 00 xfy  . Za tímto účelem vedeme bodem 0T sečnu s, která protíná
křivku v dalším bodě  , ( ) , .T x f x x M  Označíme ,0xxx 
).()()( 00 xfxfxf  Vše graficky znázorníme (Obr.10-1).
Obr. 10-1: Derivace funkce
Potom směrnice uvažované sečny je rovna
tg
x
xf
xx
xfxf
x






)()()(
)( 0
0
0
 , (1)
kde )(x je velikost směrového úhlu přímky s v závislosti na x-ové souřadnici bodu T.
Přitom rozdíl )()()( 00 xfxfxf  (2)
se nazývá diference (přírůstek) funkce f v bodě 0x ,
kdežto rozdíl 0xxx  (3)
se nazývá diference (přírůstek) argumentu x v bodě 0x .
10 Diferenciální počet funkce jedné reálné proměnné
- 144 Diferenční
podíl
x
xf

 )( 0
je funkcí proměnné x , nikoliv 0x , které je pevné. Připomeňme,
že je to směrnice sečny. Význam diferenčního podílu spočívá v tom, že charakterizuje
relativní změnu hodnot funkce )(xfy  vzhledem k změně hodnot argumentu. Funkce (1)
není definována pro 0x . Může ovšem mít v tomto bodě limitu.
DEFINICE 1
Nechť funkce )(xfy  je definována na otevřeném intervalu M a nechť číslo .0 Mx 
Derivací funkce f v bodě 0x nazýváme číslo
0
0
0
)()(
lim)(
0 xx
xfxf
xf
xx 



neboli
x
xf
xf
x 



)(
lim)( 0
0
0 . (4)
Jinak řečeno: derivací funkce )(xfy  v bodě 0x nazýváme limitu diferenčního podílu
0pro
)( 0



x
x
xf
.
Derivaci v bodě značíme nejčastěji )( 0xf  . Používají se též jiná označení, např. (podle
Lagrangea) 0
),( 0 xyxy  nebo (podle Cauchyho)
dx
xdf
dx
dy
xx
)(
, 0
0

.
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 1
Pomocí definice derivace vypočtěte derivaci funkce 2
)( xxf  v bodě 0xx  a do výsledku
dosaďte 50 x .
Řešení.
Do vztahu (4) dosadíme uvedenou funkci.




 x
xfxxf
xf
x
)()(
lim)( 00
0
0
00
0
2
0
2
0
0
2)2(lim
)(
lim xxx
x
xxx
xx





.
Nakonec do výsledku dosadíme 50 x : 10)5( f
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 145 -
10.1.1 VLASTNÍ A NEVLASTNÍ DERIVACE
Derivace je definována pomocí limity diferenčního podílu. Víme, že limita ve vlastním bodě
(bod 0x je vždy vlastní) může být vlastní, nevlastní (tj.  nebo  ), nebo neexistuje.
Objasníme pojmy vlastní a nevlastní derivace, ukážeme si, kdy derivace neexistuje.
Je-li limita (4) vlastní, pak říkáme, že y = )(xf má v bodě 0x vlastní derivaci.
Geometrický význam vlastní derivace: směrnice tečny ke grafu funkce y = )(xf v daném
bodě 0x , tzn. ( ) tgf x   , kde  je úhel, který svírá tečna s osou x.
Je-li limita (4) nevlastní, pak říkáme, že )(xf má v bodě 0x nevlastní derivaci.
Geometrický význam nevlastní derivace: Tečna ke grafu funkce )(xf je kolmá k ose x.
Funkce )(xf má v bodě 0x limitu, právě když v tomto bodě existují obě jednostranné limity
a jsou si rovny. Obdobná věta platí pro derivace. Funkce )(xf má v bodě 0x derivaci, právě
když v tomto bodě existují obě jednostranné derivace a jsou si rovny.
10.1.2 JEDNOSTRANNÉ DERIVACE
Derivaci zprava funkce )(xfy  v bodě 0x nazýváme limitu zprava diferenčního podílu
a označujeme jí )( 0xf
 resp. )( 0xy
 ,
x
xfxxf
xf
x 

 


)()(
lim)( 00
0
0 .
Derivaci zleva funkce )(xfy  v bodě 0x nazýváme limitu zleva diferenčního podílu
a označujeme jí )( 0xf
 resp. )( 0xy
 ,
x
xfxxf
xf
x 

 


)()(
lim)( 00
0
0 .
Geometrický význam jednostranné derivace: směrnice tečny zprava resp. zleva ke grafu
funkce )(xf v bodě 0x .
Funkce na Obr. 10-2 nemá v bodě c derivaci, ovšem derivace zleva a zprava v tomto bodě
existují. Jsou to směrnice přímek 21 a tt .
Obr. 10-2: Jednostranné derivace funkce
xc
t2
t1
y
0
10 Diferenciální počet funkce jedné reálné proměnné
- 146 -
10.1.3 VZTAH MEZI DERIVACÍ A SPOJITOSTÍ FUNKCE V BODĚ
Má-li funkce )(xfy  v bodě x vlastní derivaci, je v tomto bodě spojitá. Obráceně, tvrzení
neplatí. Existují funkce, které jsou spojité v daném bodě x a nemají v tomto bodě derivaci.
Např. funkce znázorněná na Obr. 10-2 v bodě c spojitá, ale nemá v něm derivaci.
DEFINICE 2
Nechť M je množina všech bodů, ve kterých má funkce f derivaci. Když ke každému číslu
Mx 0 přiřadíme derivaci funkce f v bodě Mx 0 , dostaneme funkci, jejímž definičním
oborem je množina M. Tuto funkci nazýváme derivací funkce f na množině M.
Derivaci na množině značíme: fxfyxy  ),(,),( nebo
dx
dy
.
Derivaci funkce na množině M určujeme jako derivaci v libovolném bodě. Nejprve utvoříme
diferenční podíl
x
y


v bodě x a pak vypočteme limitu tohoto podílu v bodě 0x . Tím
dostaneme vzorec pro )(xf  , čili funkční předpis pro derivaci. Vyšetříme-li obor všech x, pro
která jsou početní úkony určující derivaci proveditelné, dostaneme definiční obor funkce
)(xf  .
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 2
Pomocí definice derivace vypočtěte derivaci funkce
Nnxxf n
 pro)( a x R .
Řešení.
x
xxx
x
xfxxf
xf
nn
xx 






)(
lim
)()(
lim)(
00
. (5)
Dvojčlen n
xx )(  umocníme pomocí binomické věty :
  nnnnn
xxx
n
xnxxxx )(...
2
)(
221






 
,
dosadíme do (V) a provedeme krácení výrazem x .
112321
0
)(...)(
32
lim)( 



















 nnnnn
x
nxxxx
n
xx
n
nxxf .
Analogicky jako u výpočtu limit, je výpočet derivací z definice často obtížný. Proto při
praktických výpočtech derivací se opíráme o pravidla pro derivování a o znalost derivací
základních elementárních funkcí. Pravidla pro výpočet derivací a vzorce pro derivace
základních elementárních funkcí musíte znát nazpaměť.
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 147 -
10.1.4 PRAVIDLA PRO DERIVOVÁNÍ FUNKCÍ
Nechť )(a)( xgxf mají derivace na intervalu M R . Nechť k je libovolná konstanta.
Potom pro Mx platí:
1.   ),()( xfkxfk 


2.   )()()()( xgxfxgxf 

 ,
3.   )()()()()()( xgxfxgxfxgxf 

 ,
4.
 2)(
)()()()(
)(
)(
xg
xgxfxgxf
xg
xf 








, pro 0)( xg .
Máme k zapamatování tři pravidla (derivace součtu, součinu a podílu funkcí), jelikož vztah
  )()( xfkxfk 

 je pouze zvláštním případem derivace součinu. Říkáme, že konstantu
lze z derivovaného vztahu vytknout.
Vzorce pro derivování elementárních funkcí
V bodě x, který splňuje připojené podmínky, platí pro derivace uvedených funkcí tyto vzorce:
(1) 0k , k – libovolná konstanta, Rk  ,
(2)   Raxaxx aa

 
,0,1
,
(3) ,cos)(sin xx 
(4) ,sin)(cos xx 
(5) ,0cos,tg1
cos
1
)tg( 2
2
 xx
x
x
(6) ,0sin),cotg1(
sin
1
)cotg( 2
2
 xx
x
x
(7)     xxxx
eeaaaa 



0,ln ,
(8)    
1 1
log , 0, 1, 0 ln , 0
ln
a x a a x x x
x a x
 
       ,
(9)  2
1
(arcsin ) , 1, 1 ,
1
x x
x
   

(10)  2
1
(arccos ) , 1, 1 ,
1
x x
x

   

(11) 2
1
(arctg ) , ,
1
x x R
x
  

(12) 2
1
(arccotg ) , .
1
x x R
x

  

10 Diferenciální počet funkce jedné reálné proměnné
- 148 ŘEŠENÝ
PŘÍKLAD 3
Derivujte funkci Rxxxxxy  ,2383 246
.
Řešení.
Kromě násobného užití vzorce (2) použijeme též pravidla 1. a 2.
116126128436 3535
 xxxxxxy .
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 4
Derivujte funkci .,
32
58 4
Rx
x
y 



Řešení.
Konstantu
32
1

vytkneme před derivovaný výraz, dále použijeme postupně pravidlo 2.,
1. a vzorec (2).
 
32
32
58
32
1 3
4






x
xy .
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 5
Derivujte funkci 0,
2
27232
4
467


 x
x
xxxx
y .
Řešení.
Čitatel dělíme jmenovatelem.
.45,1033
,5,315,1
542
4323




xxxxy
xxxxy
Ověřte si, že stejný výsledek obdržíte použitím pravidla 4. pro derivování podílu. Postup je
ovšem zdlouhavější.
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 149 ŘEŠENÝ
PŘÍKLAD 6
Derivujte funkci 4
3 xxy  , 0x .
Řešení.
Funkci nejprve upravíme jako mocninu proměnné x, potom použijeme (2).
1
1
1,254
0,25 4
3 3 ,
3,75 3,75 .
y x x
y x x

 
  
Derivovaný výraz, pokud lze, vždy nejprve upravíme.
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 7
Derivujte funkci 0,
3 342
 xxxxy .
Řešení.
Funkci y můžeme upravit takto: 12
19
xy  . Pak použijeme vzorec (2).
.
12
19
12
19 12 712
7
xxy 
V následujícím souboru pěti příkladů se naučíte používat vztahy pro derivaci součinu a podílu
dvou funkcí. Vzorce a pravidla pro derivování musíte bezpečně ovládat!
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 8
Derivujte funkci Rxxxy  ,cos2
.
Řešení.
Použijeme pravidlo 3. pro derivaci součinu.
  .sincos2)(coscos 222
xxxxxxxxy 


10 Diferenciální počet funkce jedné reálné proměnné
- 150 ŘEŠENÝ
PŘÍKLAD 9
Derivujte funkci
sin
, 0, 1
ln
x
y x x
x
   .
Řešení.
Použijeme pravidlo 4. pro derivaci podílu. Všimněte si správného pořadí funkcí z čitatele
a jmenovatele derivovaného zlomku: čitatel výsledku začíná derivací čitatele.
222
)(ln
sin
ln
cos
)(ln
1
sinlncos
)(ln
)(lnsinln)(sin
xx
x
x
x
x
x
xxx
x
xxxx
y 



 .
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 10
Derivujte funkci kxxy  ,cotg .
Řešení.
Použijeme základní vztahy mezi goniometrickými funkcemi a pravidlo 4. pro derivaci podílu.
  .
sin
1
sin
cossin
sin
coscossinsin
sin
cos
,
sin
cos
cotg
22
22
2
xx
xx
x
xxxx
x
x
y
x
x
xy














Vzorec pro derivaci tg x ověřte teď sami!
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 11
Derivujte funkci Rx
x
x
y 


 ,
4
83
2
.
Řešení.
Použijeme pravidlo 4. pro derivaci podílu.
 
   
2 2
2 22 2
3 4 (3 8)2 3 16 12
4 4
x x x x x
y
x x
     
  
 
.
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 151 ŘEŠENÝ
PŘÍKLAD 12
Derivujte funkci 0,
5ln
 x
x
y .
Řešení.
Pro urychlení výpočtu funkci upravíme do součinového tvaru. Vytkneme konstantu 5ln .
Následně derivujeme 1
x . Jde o to, abychom podobné případy nederivovali jako podíl, ale
jako součin. Derivování funkcí typu konstanta/výraz jako podílu je obecně mnohem
pomalejší postup.
.
5ln
,5ln 2
1
x
yxy  
10.1.5 DERIVACE SLOŽENÉ FUNKCE
Při řešení předchozích příkladů jsme vystačili s pravidly 1. až 4. pro derivace a se znalostmi
vzorců (1) až (12) pro derivace základních elementárních funkcí. S tímto aparátem však
nedovedeme derivovat zdaleka všechny funkce. Rozšířit možnosti derivování nám umožňuje
následující věta (pravidlo) o derivaci složené funkce:
VĚTA 1
Má-li funkce )(xgu  derivaci v bodě 0x a má-li funkce )(ufy  derivaci v bodě
)( 00 xgu  , potom  )(xgfy  má derivaci v bodě 0x a platí pravidlo derivování
složené funkce:
5.    ).()()( 00
´
00
xgufxgfy xx

Uvedenou větu lze symbolicky zapsat:
xux gfy  resp. xux ufy  resp.
dx
du
du
dy
dx
dy
 .
Derivace složené funkce v bodě 0x je tedy součinem dvou hodnot: hodnoty derivace „vnější“
funkce )(uf podle u v bodě )( 0xg a hodnoty derivace „vnitřní“ funkce )(xg podle x v bodě
0x .
Ve třech následujících příkladech označíme vnitřní funkci )(xg avšak pouze za účelem
snadnějšího pochopení, která funkce je vnitřní a která vnější.
10 Diferenciální počet funkce jedné reálné proměnné
- 152 ŘEŠENÝ
PŘÍKLAD 13
Derivujte funkci .),95sin( 24
Rxxxy 
Řešení.
Položíme uufxxxgu sin)(,95)( 24
 , potom derivujeme
3
( ) 4 10g x x x   ,
)95cos(cos)( 24
 xxuuf .
Použitím pravidla 5. obdržíme postupně:
     3 3 4 2
( ) ( ) cos 4 10 4 10 cos 5 9 .y f u g x u x x x x x x          
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 14
Derivujte funkci y:
a.   .,1
52
Rxxy 
Označme uxxg  1)( 2
, potom 5
)( uuf  , podle pravidla 5. obdržíme:
      .110251
42425




 xxxuxuy
b. Rxxy  ,1 2
.
Označme ux  2
1 , potom
   .
1
2
2
1
1
2
2
x
x
x
u
xuy






c. Rxbaxy  ),sin( .
Označme ubax  , potom
  ).cos(cos)(sin baxauabaxuy 


d. 





 



kkxxy 2
2
,2
2
,cosln .
Označme ux cos , potom
.tg
cos
sin
)sin(
1
)(cos)(ln x
x
x
x
u
xuy 


Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 153 ŘEŠENÝ
PŘÍKLAD 15
Derivujte funkci xy 2tg4
 ,
24

kx  .
Řešení.
Uvedená funkce vznikla složením tří funkcí. Pravidlo 5. použijeme dvakrát: budeme
derivovat funkci utgy 4
 jako funkci složenou a výsledek využijeme k výpočtu derivace
původní funkce, rovněž jako funkce složené.
Označme xuuzzy 2,tg,4
 , potom
,2
,
cos
1
,4
2
3



dx
du
udu
dz
z
dz
dy
3 3
3 3
2 2 2 5
1 1 8tg 2 8sin 2
4 2 4tg 2 2 .
cos cos 2 cos 2 cos 2
dy dy dz du x x
y z x
dx dz du dx u x x x
        
 
V dalších příkladech již nebudeme zavádět nové proměnné a derivaci detailně rozepisovat.
Složenou funkci budeme derivovat přímo.
Určení hodnoty derivace v daném bodě provedeme tak, že derivujeme funkci na množině a do
výsledku dosadíme za x hodnotu bodu. Definiční obor derivace určujeme obdobně jak
definiční obor funkce a značíme  yD  :
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 16
Derivujte funkci y, určete hodnotu derivace v bodě 0x a definiční obor funkce y .
.1,
1
1



 x
x
x
y
Řešení.
Funkci derivujeme jako podíl (pravidlo 4.), pak výraz upravíme:
  








x
xxx
x
xxxx
y
1
)1()1(
2
1
)1(1
1
1)1(1)1(
2
1
2
3
2
1
)1(2
3
)1)(1(2
1)1(2
x
x
xx
xx





 .
Hodnota derivace funkce y v bodě 0x je
2
3
)01(2
03
)0(
2
3



y .
Definiční obor funkce derivace: ve jmenovateli je druhá odmocnina, tj. argument odmocniny
musí být kladný, odtud plyne )1,()( yD
10 Diferenciální počet funkce jedné reálné proměnné
- 154 ŘEŠENÝ
PŘÍKLAD 17
Derivujte funkci 52
 xxy , Rx . Určete definiční obor funkce y .
Řešení.
  .
5
52
25
2
1
5
2
2
2
1
22




x
x
xxxxy
Definiční obor funkce .)(je RyDy 
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 18
Derivujte funkci   0,ln3sin 12
 
xxy x
. Určete definiční obor funkce y .
Řešení.
Funkci derivujeme jako vícenásobně složenou funkci: 2
zy  , uz sin , xu x
ln3 1
 ; vnitřní
funkci pak derivujeme jako součin (pravidlo 3.) s využitím vzorce (7):
    1 1
2sin 3 ln sin 3 lnx x
y x x 

   
     1 1 1
2sin 3 ln cos 3 ln 3 lnx x x
x x x   
   
(použijeme vzorec 2sin cos sin2x x x )
   1 1 1 1 11 1
sin 2 3 ln 3 ln3ln 3 3 sin 2 3 ln ln3ln .x x x x x
x x x x
x x
       
          
   
Definiční obor funkce y je určen průnikem definičních oborů funkcí 1
3 x
a xln .
1
(3 )x
D R
 , ),0()(ln xD , proto ).,0()( yD
10.2 DERIVACE VYŠŠÍCH ŘÁDŮ
Nechť funkce )(xfy  má na množině M první derivaci )(xfy  .
Druhou derivací (nebo také derivací druhého řádu) funkce )(xf na M rozumíme funkci
 
)(' xf , tj. derivaci první derivace funkce.
Druhou derivaci funkce )(xfy  značíme )(xf  , )()2(
xf , y  nebo 2
2
dx
yd
.
Třetí derivaci funkce )(xfy  na M definujeme jako derivaci druhé derivace a značíme ji
)()3(
xf nebo )(xf  , atd.
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 155 Nechť
funkce )(xfy  má na množině M první derivaci až )1( n -ní derivaci, ...3,2n .
Pak n-tou derivací (nebo také derivaci n-tého řádu) funkce )(xf na M rozumíme funkci
 
)()1(
xf n
a značíme ji )()(
xf n
.
Pro derivaci vyšších řádů používáme označení: )(...,,)(),(),( )()4(
xfxfxfxf n
 nebo
)()4(
...,,,, n
yyyy  .
Platí zřejmě
 
   .)()(...,,)()(
,)()(
)1()( 




xfxfxfxf
xfxf
nn
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 19
Vypočtěte šestou derivaci funkce 151642 245
 xxxxy .
Řešení.
Podle definice derivace vyšších řádů postupně vypočítáme:
16885 34
 xxxy ,
.0
,120
,48120
,4860
,82420
)6(
)5(
)4(
2
23





y
y
xy
xxy
xxy
10.3 PŘÍKLADY K PROCVIČENÍ
PŘÍKLAD 1
Vypočtěte první derivaci dané funkce a určete )(yD 
a. 5 2
xy  b. 5ln
1
 x
x
y
c. 3
3 2
2
x
x
y  d. xxy 3

e. )24)(3( 23 53 43 2
xxxxxy 
f. )2)(24( 2
xxxxxxy  g.
)23(
3


x
y
h.
27
3
5
2


xx
x
y i.
1
1
2



x
x
y
j.
4
4
1







x
y k. 2
3
2
1
4
13
3
7
7
7
4
43 

xxxy
10 Diferenciální počet funkce jedné reálné proměnné
- 156 PŘÍKLAD
2
Vypočtěte první derivaci dané funkce a určete )(yD 
a. 3
5 3
2
6
5
x
x
xy  b.
xx
y 3
2

c.
152
5
2


xx
y d.
1
8
3
3


xx
x
y
e.
7
25
2
2



x
xx
y f.
)1(
3
2
x
y


g.
x
x
y
21
1


 h. 62
)6
4
7( 
x
xy
i.
4 3
)1(
1


x
y j.
1
3
2


x
x
y
k.
x
y
2sin
5
3
 l.
xx
x
y
cossin 

PŘÍKLAD 3
Vypočtěte první derivaci dané funkce a určete )(yD 
a. x
ey 3
 b. x
ey sin

c. x
ey
2
cos
 d.
x
ex
y
x
2
)12( 

e. 172  x
y f. xy 10ln5
g.
2
5
ln3


x
y h.
4
3
ln2
2


xx
y
i.
2
2
cosln 






x
y j. 3
arcsin xy 
k.  2
12arcsin xxy  l. 2
1arccos xy 
PŘÍKLAD 4
Vypočtěte první derivaci dané funkce a určete )(yD 
a. x
exy 32
)110(  b. 3
3 xy x

c. x
y 3
105 d.
3
30
ln


x
y
e.
x
x
y



1
1
ln f. xy lnln
g.
x
x
y
sin1
sin1
ln


 h. 2
1 xey x

Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 157 i.
1
 x
x
ey j.
2
2 x
exy 

k.
1
ln
2


x
x
y l. 2
1
1
xx
y


PŘÍKLAD 5
Vypočtěte druhou derivaci dané funkce.
a. xy 2arctg
b.  2
1ln xy 
c. x
xey sin

PŘÍKLAD 6
Vypočtěte hodnotu druhé derivace dané funkce v daném bodě.
a. 0boděvarcsin  xxy
b. 0boděvtg2
 xxy
c. )1(ln  xxy v bodě 1x
10.4 ŘEŠENÍ PŘÍKLADŮ
1)
a.
5 3
5
2
;0
x
yx

 b. 1
1
;0 2



x
yx
c.
3 23 5
3
1
3
4
;0
xx
yx  d. 5
2
7
;0 xyx 
e.
4 5
2 3 3
14 8
3 24
3 5
y x x x      f. xxyx
2
3
24;0 2

g. 2
2 9
;
3 (3 2)
x y
x
  

h. 25
5
5
)27(
)421(3
;027



xx
xxx
yxx i. 2
)1(
4
;1



x
yx
j.
3
2
4
14
;0 








xx
yx k. 2
3
4
9
3
4
7
2
137;0

 xxxyx
2)
a.
85
1 1
0; 3
2 2
x y x
x x
    b.
9
7
0;x y
x

 
c. 22
2
)152(
2520
;0152



xx
x
yxx d. 23
2
3
)1(
)32(8
;01



xx
xx
yxx
10 Diferenciální počet funkce jedné reálné proměnné
- 158 e.
22
2
)7(
774



x
xx
y f. 2 2
6
1;
(1 )
x
x y
x
  

g. 2
)21(2
21
;0
xx
yx


 h. 52
2
)6
4
7)(
4
14(6;0 
x
x
x
xyx
i.
 7
4
1
1
4
3
;1


x
yx j.
 
 22
2
12
313
;0



xx
x
yx
k. xxyx 2sin2cos30;02sin 4

l. 12sin x ;
 
x
xxxxx
y
2sin1
cossincossin



3)
a. x
ey 3
3 b. xey x
cossin

c. xey x
2sin
2
cos
 d. x
e
xx
x
yx
4
14
;0
2


e. 7ln72 x
y  f.
x
yx
5
;0 
g.
2
3
;2



x
yx h.
4
2
;2
2



x
yx
i. ,)12(  kx
2
tg
x
y  j.
3
12
3
y;10
x
x
x


k.
2
1
;11
xx
x
yx

 l. )32030( 23
 xxey x
4)
a. )33ln(3 2
 xxy x
b. 10ln1015 3x
y 
c.
3
1
;3


x
yx d.
1
1
2


x
y
e. 2
1
1
;1
x
yx

 f.
xx
yxx
ln
1
;1;0 
g.
x
yx
cos
1
;0cos  h.
2
2
1
1
x
xx
ey x



i. 1x , 2
1
)1(
1
x
ey x
x

 
j.
2
)1(2 2 x
exxy 

k.
)1(
1
;0 2


xx
yx l. 22
)1(
12
xx
x
y



5)
a.
 22
41
16
x
x
y


 b.
 
 22
2
1
12
x
x
y


 c.  xxxxxey x
sincoscos2 2sin

6)
a. 5,0)0( y b. 2)0( y c. 1)1( y
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 159 -
11 UŽITÍ DIFERENCIÁLNÍHO POČTU
Kapitola je rozdělena na čtyři části. První část se zabývá L´Hospitalovým pravidlem, které se
používá při výpočtu limit funkce. Druhá část je věnována diferenciálu funkce, ve třetí části se
seznámíme s Taylorovým polynomem a v poslední části budeme vyšetřovat průběh funkce.
11.1 L’HOSPITALOVO PRAVIDLO
L’Hospitalovo pravidlo je velmi účinným nástrojem při výpočtu limit funkcí v bodech, kde
tyto funkce nejsou definovány, tj. v případě, že při výpočtu limit dospějeme k neurčitým
výrazům typu:
.1,0,,0,,
0
0
, 00 




Všechny neurčité výrazy lze převést na tvar
0
0
popř.


. Pro limitu těchto dvou výrazů platí
velmi praktická matematická věta, tzv. L’Hospitalovo pravidlo.
VĚTA 1
Předpoklady:
1. Funkce )(a)( xgxf mají derivace v okolí bodu Rc , kde je 0)( xg .
2. 0)(lim)(lim 

xgxf
cxcx
nebo


)(lim)(lim
cxcx
xgxf .
3. Existuje vlastní nebo nevlastní
)(
)(
lim
xg
xf
cx 


.
Tvrzení:
)(
)(
lim
)(
)(
lim
xg
xf
xg
xf
cxcx 



. (1)
Analogické věty platí i pro limitu zprava a zleva a taktéž pro případ, že bod c je nevlastním
bodem  nebo .
11.1.1 LIMITY TYPU


,
0
0
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 1
Vypočtěte
12
3
lim
0  x
x
x
x
.
11 Užití diferenciálního počtu
- 160 -
Řešení.
0)0(12lim)(limtakéa0)0(3lim)(lim
0000


gxgfxxf x
xx
x
xx
,
proto nemůžeme použít vztah
)(lim
)(lim
)(
)(
lim
0
0
0 xg
xf
xg
xf
x
x
x



 , ale použijeme vztah (1).
2ln
1
2ln2
3ln33
lim
)(
)(
lim
)(
)(
lim
000






 x
xx
xxx
x
xg
xf
xg
xf
.
V dalších příkladech za jednotlivými výrazy bude v závorce uveden limitní typ.
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 2
Vypočtěte
1
1
ln
2
arctg
lim




x
x
x
x

.
Řešení.














2
2
)1(
2
1
1
1
1
lim
0
0
1
1
ln
2
arctg
lim
xx
x
x
x
x
x
xx

 
2 2
2
2
1
1
1 1 0 1
lim lim .
2 2 0 22 1 2
x x
x x
x
x
 

   
     
    
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 3
Vypočtěte
x
x
x cotg
ln
lim
0

.
Řešení.
1 2
2
0 0 0
ln sin 0
lim lim lim
cotg sin 0x x x
x x x
x x x  


  
    
       
    
0
2sin cos 0
lim 0.
1 1x
x x


  
 
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 161 VĚTA
2
Když je
)(
)(
lim
xg
xf
cx 


také typu
0
0
nebo


a funkce ( ), ( )f x g x  splňují předpoklady
L’Hospitalova pravidla, potom platí:
)(
)(
lim
)(
)(
lim
)(
)(
lim
xg
xf
xg
xf
xg
xf
cxcxcx 






.
Analogicky:
Pokud je
)(
)(
lim
xg
xf
cx 


rovněž typu
0
0
nebo


, funkce ( )f x a ( )g x splňují předpoklady
L’Hospitalova pravidla, potom platí:
)(
)(
lim
)(
)(
lim
)(
)(
lim
xg
xf
xg
xf
xg
xf
cxcxcx 






=
)(
)(
lim
xg
xf
cx 


.
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 4
Vypočtěte
x
xe x
x 4sin
13
lim 2
3
0


.
Řešení.
Vztah (1) použijeme dvakrát:
3 3
20 0
3 3
0 0
3 1 0 3 3
lim lim
0 8sin4 cos4sin 4
3 3 0 9 9
lim lim .
4sin8 0 32cos8 32
x x
x x
x x
x x
e x e
x xx
e e
x x
 
 
   
   
 
  
    
 
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 5
Vypočtěte
222
sin22sin
lim 20 

 xxe
xx
xx
.
Řešení.


















 0
0
222
cos22cos2
lim
0
0
222
sin22sin
lim
020 xe
xx
xxe
xx
xxxx
3
2
cos22cos8
lim
0
0
22
sin22sin4
lim
00












 xxxx e
xx
e
xx
.
11 Užití diferenciálního počtu
- 162 -
11.1.2 LIMITY TYPU 0
Pokud je 

)(lima0)(lim xgxf
cxcx
,  )()(limpotom xgxf
cx
vypočítáme tak, že
výraz )()( xgxf upravíme na tvar
)(
1
)(
xg
xf
nebo
)(
1
)(
xf
xg
, čímž obdržíme typ


nebo
0
0
.
Zvolíme způsob, který vyžaduje jednodušší derivování.
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 6
Vypočtěte xx
x
tg
2
lim
2










.
Řešení.
2 2
2 2 2
02lim tg (0 ) lim
12 0
tg
12lim lim 1.
1cotg
sin
x x
x x
x
x x
x
x
x
x
 
 



 
 
 
 

   
         
   

   

ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 7
Vypočtěte xx
x
tg)sin1(lim
2



.
Řešení.











 

x
x
x
x
xx
xxx
2222
sin
1
cos
lim
0
0
tg
1
sin1
lim)0(tg)sin1(lim

  0sincoslim 2
2
 

xx
x

.
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 163 -
11.1.3 LIMITY TYPU 
V případě, že je  )()(limpotom,)(lim)(lim xgxfxgxf
cxcxcx


vypočítáme tak, že
výraz )()( xgxf  upravíme na podíl dvou funkcí, čímž danou limitu převedeme na
typ
0
0
.
Úpravu provedeme následující postupem:
)()(
1
)(
1
)(
1
)(
1
1
)(
1
1
)()(
xgxf
xfxg
xgxf
xgxf

 . (2)
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 8
Vypočtěte 






 xxx ln
1
1
1
lim
1
.
Řešení.
Nejprve funkci upravíme podle vztahu (2) a poté použijeme (1):
1 1
2
1 1
2
1 1 ln 1 0
lim ( ) lim
1 ln ( 1)ln 0
1 1
1
0 1
lim lim .
1 1 10 2ln 1
x x
x x
x x
x x x x
x x
x
x x x
 
 
    
          
    
 
 
    
   
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 9
Vypočtěte 






 x
x
x
1
cotglim
0
.
Řešení.




















 
 0
0
sin
sincos
lim
1
sin
cos
lim)(
1
cotglim
000 xx
xxx
xx
x
x
x
xxx
0 0
cos sin cos 0 sin cos
lim lim 0
sin cos 0 cos cos sinx x
x x x x x x x
x x x x x x x 
 
    
    
   
.
11 Užití diferenciálního počtu
- 164 -
11.1.4 LIMITY TYPU

 0,,1 0
Pomocí známého vztahu:
)(ln)()(
)( xfxgxg
exf  pro 0)( xf (3)
můžeme nevlastní limitu )(
)(lim xg
cx
xf

upravit na jeden z typů limit, které jsme se již
naučili v předešlých odstavcích řešit.
Ověřte si platnost vztahu (3) tím, že obě strany zlogaritmujete.
Platí
)(ln)(lim)(ln)()(
lim)(lim
xfxgxfxg
cx
xg
cx
cx
eexf 


.
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 10
Vypočtěte x
x
x
0
lim .
Řešení.
Upravte nejprve pomocí (3):
  L
xx
xx
x
x
x
eeex x




lnlim
ln
0
0
0
0
lim0lim .
Limitu L vypočítejte nejprve úpravou a pak použitím (1):
  0lim
1
lim
1
ln
lim)0(lnlim
0
2
000










 



x
x
x
x
x
xxL
xxxx
.
Tedy 1lim 0
0


eex Lx
x
.
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 11
Vypočtěte  x
x
x
1
0
1lim 

.
Řešení.
    L
x
x
x
x
x
x
x
eeex x






)1ln(
1
lim)1ln(
1
0
1
0
0
lim11lim . 1
1
1
1
lim
0
0)1ln(
lim
00










x
x
x
L
xx
.
Tedy eeex Lx
x


1
1
0
)1(lim .
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 165 -
11.2 DIFERENCIÁL FUNKCE
Nechť funkce )(xfy  má v bodě x derivaci )(xf  . Potom diference (přírůstek) y funkce
)(xf v bodě x odpovídající diferenci x proměnné x se definuje takto:
)()( xfxxfy  .
Lineární funkci xxf  )( (proměnné )x nazýváme diferenciálem funkce f (x) v bodě x pro
přírůstek x a označujeme ji: ( ) .dy f x x  (4)
Místo x píšeme také dx. Pro diferenciál funkce f (x) v bodě x pro přírůstek x můžeme
použít zápisy:
( ) ( )df x f x x  , ( )dy f x dx , ( ) ( )df x f x dx .
Grafické znázornění diferenciálu:
Diferenciál funkce je přírůstek funkce měřený na tečně (Obr. 11-1), namísto skutečného
přírůstku funkce y BM  . Je to vzdálenost bodů BC.
Obr. 11-1: Diferenciál dy a diference y funkce
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 12
Stanovte diferenciál funkce xy  .
Řešení.
Funkce xy  má derivaci 1y a její diferenciál je proto ,dy dx x   viz Obr. 11-2.
11 Užití diferenciálního počtu
- 166 Obr.
11-2: Diferenciál funkce y = x
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 13
Vypočtěte diferenciál funkce xy 3arctg a určete jeho hodnotu pro 2,0,
3
1
 dxx .
Řešení.
Podle (4) obdržíme dx
x
xddy 2
91
3
)3arctg(

 . Jde o funkci o proměnných x a dx.
Hodnota diferenciálu v daném bodě a pro dané dx je reálné číslo k:
3,02,0
9
1
91
3


k .
Je-li
3
1
x a dx proměnná, pak diferenciál funkce y v tomto bodě je dxdy 5,1 .
Vidíte, že diferenciál funkce v bodě je lineární funkcí proměnné dx.
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 14
Vypočtěte přibližnou hodnotu přírůstku funkce 5053
 xxy při změně argumentu x
z hodnoty 4x na hodnotu 001,4x .
Řešení.
Pro 4x diferenciál argumentu je: 001,04001,4 dx .
Potom podle (4) diferenciál funkce je: .)53( 2
dxxdxydy 
V bodě 4x obdržíme dxdy 43 .
Pro 001,0dx je hodnota diferenciálu .043,0001,043 k
Tato hodnota k vyjadřuje požadovaný přibližný přírůstek.
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 167 ŘEŠENÝ
PŘÍKLAD 15
Určete přírůstek y a diferenciál dy funkce
xxxf 5)( 2
 v bodě 2x pro přírůstek .001,0x
Řešení.
 )2()001,02( ffy
,009001,0252)001,02(5)001,02( 22

009,0001,0)52(001,0)2( 2
 fdy .
11.3 TAYLORŮV POLYNOM
Diferenciál funkce je nejjednodušším přibližným vyjádřením funkce y f x ( ) . Nahrazuje
tuto funkci v blízkosti daného bodu tečnou, tj. polynomem prvního stupně.
Taylorovy a Maclaurinovy věty používáme buď k výpočtu funkčních hodnot v okolí bodu a
(resp. bodu 0), přičemž chceme danou funkci nahradit v okolí tohoto bodu polynomem.
Protože u mnoha funkcí známe funkční hodnotu v počátku, tj. v bodě 0 a dovedeme zde
snadno vypočítat též hodnoty derivací, používá se prakticky nejčastěji vzorec (7), viz dále.
VĚTA 3 - TAYLOROVA VĚTA
Nechť funkce f x( ) má na otevřeném intervalu obsahujícím bod a derivace všech řádů. Pak
platí
( )
2( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ... + ( ) ( ).
1! 2! !
n
n
n
f a f a f a
f x f a x a x a x a R x
n
 
       
(5)
( )nR x je tzv. Taylorův zbytek funkce f, pro který platí   0lim 

xRn
ax
.
DEFINICE 1
Polynom
( )
2( ) ( ) ( )
( , , ) ( ) ( ) ( ) ...+ ( )
1! 2! !
n
n
n
f a f a f a
T f a x f a x a x a x a
n
 
      
(6)
nazýváme Taylorův polynom funkce )(xf v bodě a, v případě, že n  , hovoříme
o Taylorově řadě.
Poznámka. Nebudeme se zabývat zbytkem Taylorova polynomu. Hodnotu funkce )(xf
nahradíme přibližně hodnotou získanou jako součet prvních n členů Taylorova polynomu.
11 Užití diferenciálního počtu
- 168 DEFINICE
2
Zvolíme-li v Taylorově polynomu a  0, dostaneme tzv. Maclaurinův polynom
( )
(0) (0)
( ) (0) ...
1! !
n
nf f
f x f x x
n

    . (7)
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 16
Určete Maclaurinův polynom pro funkci x
exf )( a použitím prvních devíti členů rozvoje
určete přibližnou hodnotu čísla e.
Řešení.
Pro funkci x
exf )( platí xn
exf )()(
. Potom také 1)0( 0)(
 ef n
.
Dosadíme-li tyto hodnoty do vzorce (7) obdržíme vztah:
2 8
1 ... .
2! 8!
x x x
e x    
Dosadíme-li do tohoto polynomu za 1, platí
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 0,5 0,166666
2! 3! 4! 5! 6! 7! 8!
0,041666 0,008333 0,001388 0,000198 0,000024 2,718275.
x
e

             
     
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 17
Určete Maclaurinovy polynomy 1 3( ,0, ), ( ,0, )T f x T f x 5a ( ,0, )T f x pro funkci
xxf sin)(  .
Řešení.
Maclaurinovy polynomy pro funkci xxf sin)(  určíme na základě
vztahu (7). Dostáváme
.
!5!3
),0,(sin
,
!3
),0,(sin
,),0,(sin
53
5
3
2
1
xx
xxxT
x
xxxT
xxxT



Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 169 ŘEŠENÝ
PŘÍKLAD 18
Určete Taylorův polynom ),,( xafTn funkce
x
xf


1
1
)( .
Řešení.
Nejprve určíme derivace dané funkce do n-tého řádu v bodě a:
.
)1(
!
)1()(,
)1(
!
)1()(
...
,
)1(
321
)(,
)1(
321
)(
,
)1(
21
)(,
)1(
21
)(
,
)1(
1
)(,
)1(
1
)(
,
1
1
)(,
1
1
)(
1
)(
1
)(
44
33
22



























n
nn
n
nn
a
n
af
x
n
xf
a
af
x
xf
a
af
x
xf
a
af
x
xf
a
af
x
xf
Získané hodnoty pak dosadíme do vzorce (6):
.
)1(
)(
)1(...
)1(
)(
)1(
)(
)1(1
1
!
)(
)1(
!
)1(...
!3
)(
)1(
!3
!2
)(
)1(
!2
)1(1
1
,,
1
1
14
3
3
2
2
1
3
4
2
32







































n
n
n
n
n
n
n
a
ax
a
ax
a
ax
a
ax
a
n
ax
a
nax
a
ax
aa
ax
a
xa
x
T
11.4 PRŮBĚH FUNKCE
Vyšetření průběhu funkce vyžaduje znalost všech předchozích kapitol matematické analýzy.
Výklad v této kapitole je omezen na vyšetřování průběhů algebraických funkcí.
11.4.1 MONOTÓNNOST FUNKCE
V teorii funkcí jsme definovali monotónnost funkce. Zjišťování monotónnosti funkce na
daném intervalu pomocí dříve uvedených definicí je často neefektivní, proto tuto vlastnost
funkce )(xf v intervalu ),( baJ  vyšetřujeme pomocí derivace funkce. Platí následující
věta.
11 Užití diferenciálního počtu
- 170 VĚTA
4
Jestliže pro všechna x z intervalu ),( baJ  je splněna nerovnost
0)(  xf , rostoucí,
0)(  xf , klesající,
0)(  xf , neklesající,
0)(  xf , nerostoucí.
Vyřešením uvedených nerovnic určíme intervaly monotónnosti funkce )(xf v intervalu
)( fDJ  .
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 19
Určete intervaly monotónnosti funkce Rxxxxxf  ,156)( 23
.
Řešení.
Zjistíme nejprve intervaly, v nichž platí 0)(a0)(  xfxf .
2
( ) 3 12 15 0 ( , 5) (1, ),
( ) 0 ( 5,1) .
f x x x x
f x x
          
    
Podle věty 4 je funkce rostoucí v intervalu ),1()5,(  a klesající v intervalu ( 5,1) .
Funkce je spojitá v R, takže v bodě 5x musí mít lokální maximum, tzn., že v nějakém
okolí bodu 5x , tj. intervalu obsahující bod 5x , je hodnota )5(f maximální ze všech
hodnot, jež funkce nabývá na tomto intervalu. Analogicky v bodě x = 1 musí funkce mít
lokální minimum. V případě této kubické funkce, na základě znalosti průběhu elementárních
funkcí, stanovíme charakter grafu. Obecně výpočet extrému nemusí být tak jednoduchý. Proto
pro jejich určení používáme postup uvedený v následujícím odstavci.
11.4.2 LOKÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCÍ
DEFINICE 3
Uvažujme funkci )(xf definovanou v bodě 0x a jeho jistém okolí. Říkáme, že funkce )(xf
má v bodě 0x lokální minimum, právě když existuje takové okolí )( fDJ  bodu 0x , že pro
všechna x J platí 0( ) ( ).f x f x
Říkáme, že funkce )(xf má v bodě 0x lokální maximum, právě když existuje takové okolí
)( fDJ  bodu 0x , že pro všechna x J platí 0( ) ( ).f x f x
Souhrnně se lokální minima a lokální maxima nazývají lokální extrémy funkce.
potom funkce f je v tomto intervalu
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 171 Dále
budeme vyšetřovat, za jakých podmínek nastává v určitém bodě 0x lokální extrém.
DEFINICE 4
Bod 0x , ve kterém je 0)( 0  xf , se nazývá stacionární bod funkce )(xf .
VĚTA 5
Nechť funkce )(xf má v bodě 0x obě derivace )(),( 00 xfxf  a nechť 0x je stacionární
bod, tj. 0)( 0  xf . Pak funkce )(xf v bodě 0x :
a. má lokální maximum, je-li 0)( 0  xf ,
b. má lokální minimum, je-li 0)( 0  xf .
Jestliže však 0)()( 00  xfxf , pak funkce )(xf může mít (ale i nemusí) v bodě 0x
lokální extrém.
Např. u funkcí 3 4
( ) , ( )f x x g x x  platí pro 00 x v obou případech
0)0(")0(")0(')0(  gfgf a přitom funkce   4
xxg  má v bodě 00 x lokální
minimum, kdežto funkce   3
xxf  v tomto bodě nemá extrém, neboť je rostoucí v celém
definičním oboru. Nakreslete si tyto funkce!
Nyní nás zajímá, jak postupovat, když ve stacionárním bodě 0x druhá derivace je nulová.
VĚTA 6
Nechť funkce )(xf má na okolí bodu 0x spojitou derivaci řádu 3n , přičemž
platí
0)(,0)(...)()( 0
)(
0
)1(
00  
Bxfxfxfxf nn
.
Je-li číslo n liché, nemá )(xf v bodě 0x lokální extrém. Je-li však číslo n sudé, má )(xf
v bodě 0x :
a. lokální maximum při 0B ,
b. lokální minimum při 0B .
11 Užití diferenciálního počtu
- 172 ŘEŠENÝ
PŘÍKLAD 20
Určete lokální extrémy funkce 555)( 345
 xxxxf .
Řešení.
Vypočteme derivace
.306020)(
),34(515205)(
23
22234
xxxxf
xxxxxxxf


Protože daná funkce )(xf má všude v R derivaci, může mít )(xf lokální extrém jen ve
stacionárních bodech, pro něž je 0)(  xf .
Proto řešíme rovnici
0)34(5 22
 xxx .
Dostaneme stacionární body 3,1,0 432,1  xxx .
Dále platí 90)3(,10)1(,0)0(  fff .
Podle věty 4. má )(xf v bodě 13 x lokální maximum a v bodě 34 x lokální minimum.
Zbývá rozhodnout pomocí věty 5. o situaci v bodě .01 x
Protože Bfxxxf  30)0(,3012060)( 2
, nemá )(xf extrém ve stacionárním bodě
01 x .
11.4.3 INFLEXNÍ BODY FUNKCE
Inflexní bod funkce je bod v němž - znázorněno geometricky - graf funkce přechází z jedné
strany své tečny na druhou. Je to na Obr. 11-3 bod I, v němž se funkce )(xf mění z funkce
konvexní na konkávní nebo obráceně. Říkáme také, že funkce )(xf má v bodě 0x inflexi.
Obr. 11-3: Inflexní bod funkce
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 173 Nyní
nás bude zajímat, za jakých podmínek je bod 0x inflexním bodem.
VĚTA 7
Je-li 0x inflexním bodem funkce )(xf a existuje-li druhá derivace )( 0xf  , potom platí :
0)( 0  xf .
VĚTA 8
Je-li 0)( 0  xf a mění-li )(xf  při přechodu přes bod 0x znaménko, pak má funkce ( )f x
v bodě 0x inflexi.
VĚTA 9
Je-li 0)(kdežto,0)(...)( 0
)12(
0
)2(
0  
Axfxfxf nn
, pak funkce )(xf má v bodě 0x
inflexi.
Tzn. má-li funkce )(xf v bodě 0x nulové všechny derivace počínaje druhou až do určité
derivace sudého řádů (včetně), potom 0x je inflexním bodem funkce )(xf , pokud
bezprostředně následující derivace lichého řádu je nenulová.
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 21
Určete inflexní body a intervaly, na kterých je funkce 12)( 34
 xxxf konvexní nebo
konkávní.
Řešení.
1. Určení inflexních bodů:
Nejprve vypočteme derivace
3 2
2
( ) 4 6 ,
( ) 12 12 12 ( 1),
( ) 24 12.
f x x x
f x x x x x
f x x
  
    
  
Dále řešíme rovnici 0)1(12)(  xxxf .
Řešením dostaneme x-ové souřadnice bodů, ve kterých může existovat inflexe:
1,0 21  xx .
V těchto bodech určíme hodnotu třetí derivace: 12)1(,12)0(  ff .
V obou případech jsou třetí derivace nenulové, proto body    0,1I,1,0I 21 jsou inflexními body
(Obr. 11-4).
11 Užití diferenciálního počtu
- 174 Obr.
11-4: Inflexní body funkce
2. Určení intervalů, na nichž je daná křivka konvexní nebo konkávní:
Nejprve řešíme nerovnice 0)(  xf nebo 0)(  xf .
a. ( ) 12 ( 1) 0.f x x x   
Funkce je konvexní v intervalu )0,( a také v intervalu ),1(  .
b. ( ) 12 ( 1) 0 .f x x x   
Funkce je konkávní pro  .1,0
11.4.4 KONVEXNOST A KONKÁVNOST FUNKCE
Obdobně jako monotónnost funkce, tak i konvexnost a konkávnost jsme definovali v kapitole
věnované funkcím. Prakticky ji ovšem budeme vyšetřovat v závislosti na znaménku druhé
derivace funkce podle níže uvedené věty.
VĚTA 10
Jestliže v intervalu ),( baJ  platí nerovnost:
0)(  xf , konvexní,
0)(  xf , konkávní.
Řešením uvedených nerovnic určíme intervaly, na kterých funkce je konvexní nebo konkávní.
1
1
1
1 2
x
y
0
2
3
12 34
 xxy
pak funkce f je v tomto intervalu
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 175 ŘEŠENÝ
PŘÍKLAD 22
Určete intervaly, na kterých je funkce xxxxf 156)( 23
 konvexní nebo konkávní.
Řešení.
Vypočteme nejprve druhou derivaci funkce a pak vyřešíme příslušné nerovnice:
20126)(  xxxf ,
20)(  xxf .
Funkce )(xf je konvexní v intervalu ),2(  a konkávní v intervalu )2,(  .
11.4.5 POSTUP PŘI VYŠETŘOVÁNÍ PRŮBĚHU FUNKCE
Cílem je sestrojení grafu funkce. Nejdříve zjistíte následující údaje:
1. definiční obor funkce a body nespojitosti funkce,
2. sudost či lichost funkce,
3. průsečíky se souřadnicovými osami,
4. intervaly monotónnosti funkce a lokální extrémy,
5. intervaly konvexnosti a konkávnosti funkce a inflexní body,
6. asymptoty grafu funkce.
V následujících řešených příkladech budeme používat toto označení význačných bodů v grafu
funkce:
 průsečíky grafu funkce se souřadnicovými osami:    yx ,0Y,0,X ,
 lokální maximum, resp. lokální minimum funkce    V , , V ,x y x y ,
 inflexní bod  yx,I .
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 23
Vyšetřete průběh .
4
)( 3
4
x
x
xf 
Řešení.
1. RfD )( , funkce nemá body nespojitosti, neboť je součtem dvou spojitých funkcí v R.
2. Sudost, lichost funkce: 3
4
3
4
4
)(
4
)(
)( x
x
x
x
xf 

 .
Protože )()(a)()( xfxfxfxf  , není funkce sudá ani lichá.
3. Průsečíky grafu funkce s osou x nalezneme řešením rovnice tj. .
Hledané kořeny této rovnice jsou , , proto .
Průsečíky s osou (tj. pro ): , tj. graf prochází počátkem souřadnic
souřadnicového systému.
,0)( xf 0
4
3
4
 x
x
01 x 42 x    0,4X,0,0X 21 
y 0x     0,0X0,0Y 1
11 Užití diferenciálního počtu
- 176 -
4. Intervaly monotónnosti funkce a její lokální extrémy zjistíme na základě 1. derivace
funkce: .
Nulové body funkce vyneseme na číselnou osu. Ve vzniklých intervalech zjistíme její
kladnost či zápornost a šipkami znázorníme, zda daná funkce je v příslušném intervalu
rostoucí nebo klesající.
Stacionární body:
– + –
Funkce má v bodě lokální minimum, bod je bodem inflexním (obojí
potvrdíme pomocí druhé derivace funkce).
5. Určíme inflexní body a intervaly konvexnosti a konkávnosti funkce:
.
Potvrzení lokálního maxima v bodě
.
Inflexní body jsou nulové body druhé derivace funkce:
.
Mezi těmito dvěma inflexními body je však rozdíl. V bodě je ,
tzn., že tečna v tomto bodě má směrnici , což znamená, že je rovnoběžná s osou .
V bodě , tzn. , že směrnice tečny , tedy tečna je šikmá
(rostoucí).
Nyní nulové body 2. derivace opět vyneseme na číselnou osu a ve vzniklých intervalech
vyznačíme její kladnost či zápornost a na podkladě toho zapíšeme, ve kterém intervalu je
zadaná funkce konvexní či konkávní:
6. Asymptoty
a. Rovnoběžné s osou y
Tyto asymptoty neexistuje, protože zadaná funkce nemá body nespojitosti.
)3(3)(' 223
 xxxxxf
)(' xf
1 2'( ) 0 0, 3.f x x x    
)(xf 3x 0x
)2(363)('' 2
 xxxxxf
:3x
27
''( 3) 9 0 V 3,
4
f
 
       
   4,2I,0,0I2,00)('' 2121  xxxf
)0pro(tedyI1 x 0)(' xf
0k x
04)('je)2(I2  xfx 04 k
-3 0
l-
0
+  +
2konvexní konkávní konvexní
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 177 b.
Šikmé asymptoty
Rovnice asymptoty je , kde
.
Protože k není reálné číslo, rovněž tato asymptota neexistuje.
c. Rovnoběžné s osou x
Jelikož vodorovná asymptota neexistuje.
Na základě výše určených údajů sestrojíte již snadno graf zadané funkce, viz Obr. 11-5.
Obr. 11-5: Graf funkce
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 24
Vyšetřete průběh funkce .
Řešení.
1. , body nespojitosti neexistují.
2. . Funkce je lichá, její
graf je symetrický podle počátku souřadnicového systému.
qkxy 
 
( )
lim a lim ( ) ,
x x
f x
k q f x - kx
x 
 



















 4
4
1
lim
4
4
1
lim
4
)4(
lim
34
3
x
x
x
x
x
x
xx
k
xxx
0k 
2
1
)(
x
x
xf


RfD )(
)()(
1)(1
)( 22
xfxf
x
x
x
x
xf 





11 Užití diferenciálního počtu
- 178 -
3. .
Existuje jediný průsečík s osou x a y, a to .
4. .
Stacionární body: .
Monotónnost funkce a lokální extrémy:
– + –
5.
.
Lokální extrém:
,
.
Inflexní body:
potom
Konvexnost a konkávnost funkce:
– x1 + x2 – x3 +
6. Asymptoty
a. Rovnoběžné s osou y neexistují, protože funkce nemá body nespojitosti.
00
1
0)( 2


 x
x
x
xf
 0,0
     2222
2
22
2
1
)1)(1(
1
1
1
21
)('
x
xx
x
x
x
xxx
xf









1,10)(' 21  xxxf






 32
2
42
2222
)1(
)3(2
)1(
2)1(2)1()1(2
)(''
x
xx
x
xxxxx
xf
  
 

2 3 3
1 2 3
x x x
x( )







2
1
,1V0
2
1
)1(''f







2
1
,1V0
2
1
)1(''f
3,0,30)('' 321  xxxxf
  .
4
3
,3I,0,0I,
4
3
,3I 321 












 + 
-1 1
konkávní konvexní konkávní konvexní0
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 179 b.
Šikmé ( ):
.
Funkce má vodorovnou asymptotu o rovnicí
Graf funkce ,viz Obr. 11- 6.
Obr. 11-6: Graf funkce
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 25
Vyšetřete průběh funkce .
Řešení.
1. .
Bod je bodem nespojitosti funkce (graf bude tvořen dvěma samostatnými křivkami
oddělenými svislou asymptotou v bodě ).
2. .
funkce není ani sudá ani lichá.
qkxy  k
x
x
x xx x





 
lim lim ,
1 1
1
0
2
2
2
lim 0 0
1x
x
q x
x
 
    
 
0.y 
f x
x
x
( ) 
1 2
x
y
2
1
2
1

3
31
-1
0
f x
x
x
( )
( )

5 2
2
),0()0,()(0  fDx
x  0
x  0
f x
x
x
x
x
( )
( )
( )
( )
 
 


 5 2 5 2
2 2
)()(a)()(  xfxfxfxf
11 Užití diferenciálního počtu
- 180 -
3. .
Průsečík s osou x: .
Průsečík s osou y, tj. , neexistuje, protože
4. .
Stacionární body:
Monotónnost funkce a lokální extrémy:
–
5. .
Lokální maximum:
Inflexní bod :
Konvexnost a konkávnost funkce:
6. Asymptoty
a. Rovnoběžné s osou y: protože bod je bodem nespojitosti funkce, je přímka
svislou asymptotou dané funkce a nutno zjistit jednostranné limity funkce v tomto bodě:
.
b. Šikmé : ,
20
)2(5
0)( 2


 x
x
x
xf
 X 2,0
 Y 0, y x  0.
 2
4 3
5 ( 2)2 5(4 )
'( )
x x x x
f x
x x
  
 
.40)('  xxf
 3 2
6 4
5 (4 )3 5 2( 6)
''( )
x x x x
f x
x x
    
 
.
8
5
,4V0
64
5
)4('' 





f
.
9
5
,6I60)('' 





 xxf
x  0 x  0
lim
( )
,
x
x
x 

 
0
2
5 2
lim
( )
x
x
x 

 
0
2
5 2
( )y kx q 
2
3
5( 2)
5( 2)
lim lim 0
x x
x
xxk
x x 


  
 + 
0 4
  +
0 6konkávní konkávní konvexní
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 181 -
.
Funkce má vodorovnou asymptotu o rovnici .
Graf funkce , viz Obr. 11-7.
Obr. 11-7: Graf funkce
11.5 PŘÍKLADY K PROCVIČENÍ
PŘÍKLAD 1
Použitím L’Hospitalova pravidla vypočtěte limity:
a.
132
743
lim 2
2
1 

 xx
xx
x
b.
c. d.
e. f.
g. h.
i. j.
k. l.
2
5( 2)
lim 0 0
x
x
q x
x
 
    
 
0y 
f x
x
x
( )
( )

5 2
2
x
ee xx
x 2
lim
0



xx
xx
x 2sin
sin
lim
0 

 5
3
0
sin66
lim
x
xxx
x


x
ex
x cos1
1
lim
2
0 

 30
2
lim
x
xee xx
x
 

0,0,lim
0



ba
x
ba xx
x xx
x
x cossin
1tg
lim
4




xx
ee xx
x sin
lim
sin


 

 12
1
sin
lim
2







 x
x
x
x
 )(cotg)arcsin(lim axax
ax











 3
1
9
6
lim 23 xxx
11 Užití diferenciálního počtu
- 182 m.
n.
o. p.
q. r.
PŘÍKLAD 2
Vypočtěte diferenciál dy v daném bodě pro zadané dx:
a. 01,0pro
3
boděv
cos1
cos1



 dxx
x
x
y

b.
c.
d.
PŘÍKLAD 3
Určete lokální extrémy funkcí. Symbolem označujeme ve výsledcích lokální
maximum, resp. lokální minimum funkce.
a.
b.
c.
d.
PŘÍKLAD 4
Určete inflexní body funkce a intervaly, v nichž je tato funkce konvexní nebo
konkávní.
a.
b.
c.
d.
 xx
x
tg)2(lim
2




 )1ln()1(lim
1
xx
x


 xx
x
ln)arctg2(lim 

 x
x
x
1
lim

2
1
lim
0
x
x x








 xx
x
xe
1
2
0
lim 

360
pro
6
boděv3sin

 dxxxy
1,0,1,3 2
 dxxxy
2,0,0,12104 23
 dxxxxxy
Vresp.,V
43612)( 23
 xxxxf
1)( 3
 xxxf
23
)( xxxf 
34
25,0)( xxxf 
)(xf
  310 25
 xxxxf
  42
xxexf x

  0,ln2 2
 xxxxf
  1,
1
1
2


 x
x
xf
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 183 PŘÍKLAD
5
Vyšetřete průběhy funkcí:
a.
b.
c.
11.6 ŘEŠENÍ PŘÍKLADŮ
1)
a. 10 b. 1 c. 0 d. 0,05
e. 2 f. g. h.
i. 1 j. 0,5 k. 1 l.
m. 2 n. 0 o. 0 p. 1
q. 1 r.
2)
a. b. c. d.
3) a. b. lokální extrémy neexistují
c. d.
4)
a. inflexní bod ; konvexní v ; konkávní v
b. inflexní bod neexistuje, konvexní v R
c. inflexní bod ; konvexní v ; konkávní v
d. inflexní bod neexistuje; konvexní v ; konkávní v
5) a. ani sudá, ani lichá
, viz Obr 11-8.
43)( 23
 xxxf
 84
8
1
)( 34
 xxxf
 
1
1
)( 2
2



x
x
xf
3
1
b
a
ln 2
6
1

3
e
0693,0dy 0dy 60,dy 2dy
)82,2(V),50,6(V 
)0,0(V,
27
4
,
3
2
V 





 






4
27
,3V
1x  ,1  1,
2
1
x 





,
2
1






2
1
,0
 1,1     ,11,
,)( RfD 
     
     
1 2X 1,0 , X 2,0 , Y 0,4
V 0,4 , V 2,0 , I 1,2

neexistujíasymptoty
11 Užití diferenciálního počtu
- 184 Obr.
11-8: Graf funkce
b. ani sudá, ani lichá
asymptoty neexistují, viz Obr. 11-9.
Obr. 11-9: Graf funkce
c. ani sudá, ani lichá
210
4
2
-1
x
y
,)( RfD 
-1
1
x
y
2 3 4
0
8
19

1
,)( RfD 
   
     1 2 3
X 1,0 , Y 0,1
3 3
V 1,2 , V 1,0 , I 0,1 , I 3,1 , I 3,1
2 2
   
      
   
         
   
1 2
1 2
X ,0 1,2 , X ,0 3,4 , Y 0,1
19
V 3, , I 0,1 , I 2, 1
3
a a b b   
 
   
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 185 ,
viz Obr. 11-10.
Obr. 11-10: Graf funkce
1:asymptoty y
3 31-1 0
2
1
x
y
12 Integrální počet
- 186 -
12 INTEGRÁLNÍ POČET
Základní úlohou diferenciálního počtu funkce jedné reálné proměnné bylo určení funkce
, která je derivací dané funkce pro všechna x na daném intervalu. V integrálním
počtu je základní úloha, kterou budeme nejprve řešit, obrácená. K dané funkci budeme
hledat takovou funkci F(x), jejíž derivací je daná funkce .
DEFINICE 1
Říkáme, že funkce je derivací funkce v množině , jestliže platí
pro každé .
Takovou funkci nazýváme primitivní funkcí k funkci v množině .
Úkolem integrování je k dané funkci f najít primitivní funkci F, jejíž derivací je funkce f.
Tento proces je mnohem obtížnější než derivování.
Již znáte vzorce k derivování součinu a podílu funkcí, znáte postup pro derivování složené
funkce. Obecný postup pro integrování součinu (podílu) funkcí a složené funkce však
neexistuje.
Existují funkce, které nemají primitivní funkce. Avšak většina funkcí, s nimiž se v běžné
praxi setkáváme, primitivní funkce má, jako například spojité funkce.
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 1
Ukažte, že funkce jeprimitivní funkcí k funkci v množině
Řešení.
Skutečně, platí
pro každé
Tato rovnost platí pro všechna . Je tedy funkce skutečně primitivní funkcí k funkci
v množině .
)(xf
)(xf
)(xf
( )f x ( )F x RJ 
)()( xfxF  Jx
)(xF )(xf J
  tgF x x
x
xf 2
cos
1
)( 
.
2
5
,
2
3
2
,
2














J
   xf
x
xxF 

 2
cos
1
tg)(  2 1 , .
2
x k k Z

  
Jx F
f J
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 187 ŘEŠENÝ
PŘÍKLAD 2
Ukažte, že funkce a jsou primitivními funkcemi k funkci
v intervalu .
Řešení.
Platí pro , to znamená, že funkce je
primitivní k funkci v tomto intervalu.
Dále platí pro , proto je i funkce primitivní
k funkci v intervalu .
12.1 NEURČITÝ INTEGRÁL
DEFINICE 1
Množinu všech primitivních funkcí k funkci v intervalu J nazýváme neurčitým
integrálem funkce v intervalu J a značíme jej symbolem .
Neurčitým integrálem funkce na intervale J nazýváme její libovolnou primitivní funkci
v intervalu J.
Symbol se nazývá integrační znak, funkce se nazývá integrand. Tato proměnná se
nazývá integrační proměnná.
Symbol patří k integračnímu znaku: integrační znak píšeme vždy na začátku, symbol
na konci integrálu. Je nutné ještě poznamenat, že symbol nemá nic společného
s diferenciálem.
Je-li funkce primitivní k funkci v intervalu , pak píšeme
Konstanta se nazývá integrační konstanta.
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 3
Uvažujte o integrálu v množině
x
exxF 32
)( 
x
exxF 32
2)(
~

 xxexf x
23)( 23
   ,
 23323
3232)( xxeexxexF xxx
  ,x    F
f
)()(0)(
~
xfxFxF    ,x F
~
f   ,
)(xf
)(xf  dxxf )(
)(xf
 ( )f x
dx dx
dx
)(xF )(xf  ba,
  .)()( CxFdxxf
C
 dx
x
1
   .,00, J
12 Integrální počet
- 188 -
Řešení.
Z diferenciálního počtu víme, že platí
pro a v množině
Funkce tedy má integrál v množině J a platí
v a v množině J = .
Souhrnně to lze napsat takto: ,
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 4
Vypočtěte integrál .
Řešení.
Najdeme nejprve primitivní funkci integrandu. Z diferenciálního počtu víte, že platí
pro Funkce x je tedy primitivní funkci k funkci x v , a proto
, J = .
12.2 PRAVIDLA PRO VÝPOČET INTEGRÁLU, ZÁKLADNÍ VZORCE A JEJICH UŽITÍ
U integrálů jsou k dispozici následující integrační pravidla:
Když ,
pak pro integraci součtu nebo rozdílu funkcí platí vztah
1.
Pro integraci funkce s multiplikační konstantou k platí vztah
2. , kde .
Integrál lineární kombinace funkcí je roven lineární kombinaci integrálů těchto funkcí, pokud
příslušné integrály existují.
 
x
x
1
ln 

  ,0x   
x
x
1
ln 

  ,0 .J  
x
1
  Cxdx
x
ln
1
 ,0    Cxdx
x
ln
1
 ,0
Cxdx
x
 ln
1
   .,00, J
 xdxcos
  xx cossin 

.Rx sin cos R
  Cxxdx sincos R
       ,f x dx F x C g x dx G x C    
               .CxGxFdxxgdxxfdxxgxf
        CxkFdxxfkdxxkf k  0
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 189 Tento
výsledek často používáme při praktickém integrování. Máme-li např. integrovat součet
několika funkcí, stačí integrovat jednotlivé sčítance a vypočtené integrály sečíst. Pokud lze,
pak integrand rozkládáme v součet jednodušších funkcí, které pak integrujeme člen za členem
(provedeme nejprve například součin polynomů, goniometrické funkce upravíme podle
známých vzorců apod.).
Základním integračním vzorcům se taky říká tabulkové vzorce. Ve všech následujících
vzorcích značí libovolnou konstantu a J značí integrační obor.
(1) .
(2) pro každou konstantní funkci k, .
(3) , , .
(4) závisí na
(5) ,
(6) , .
(7) , , .
(8) , .
(9) , .
(10) , .
(11) , .
(12) , .
(13) , .
(14) , .
(15) , .
Příklady použití základních vzorců
Vypočtěte následující integrály.
C
  ,0 Cdx RJ 
  Ckxkdx RJ 
 

 
Cx
n
dxx nn 1
1
1
Nn RJ 
11
, , 1,
1
x dx x C R 
 


    
 J .R
  Cxdx
x
ln
1
   .,00, J
Cedxe xx
 RJ 
  C
a
a
dxa
x
x
ln
   0,1 1,a    RJ 
Cxxdx  cossin RJ 
Cxxdx  sincos RJ 
  Cxdx
x
tg
cos
1
2
 






 
 Zk
k
RJ
2
12 
2
1
cotg
sin
dx x C
x
    ZkkRJ  
Cxdx
x


 arcsin
1
1
2
 1,1J
Cxdx
x

 arctg
1
1
2
RJ 
2
2
1
ln 1
1
dx x x C
x
   

     ,11,J
Cxxdx
x


 1ln
1
1 2
2
RJ 
12 Integrální počet
- 190 ŘEŠENÝ
PŘÍKLAD 5
.
Řešení.
= , .
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 6
Řešení.
Definiční obor integrandu je , integrand je v něm spojitý a tedy integrovatelný.
Čitatele integrandu vydělíme jmenovatelem, tím dostaneme tvar vhodný pro integraci a dále
postupujeme stejně jak v předchozím příkladu.
Integrační obor .
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 7
Řešení.
Integrujeme v . Postupujeme podobně jako v předchozích příkladech.
   dxxxI 143 2
      dxxdxdxxdxxxI 143143 22
CxxxCxC
x
C
x












 23
32
2
1
3
2
2
4
3
3 RJ 


 .
22
dx
x
xx
I
 ( ) 0,D f  
   











dx
x
dxxxdxdx
x
xxdx
x
xx
I
1
2
22 2
1
2
12
 
1
1
2 22
1 2 32 ln 2 2ln .
12 2
1
2
x x x
C C x C x x C
 
 
  
           
    
 
 0,J  
   .4.32 dxeI xx
R
     dxdxedxeI xxxx
4324.32
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 191 -
.
Integrační obor J = R.
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 8
a. .
Integrační obor J = R.
b. .
Integrační obor J = R.
c. .
Integrační obor J = R.
d. .
Integrační obor .
e. .
Integrační obor .
f. .
Integrační obor .
g. .
Integrační obor .
h. , .
Integrační obor .
i. , .
Integrační obor .
j. .
Integrační obor
  CdxeCCe xx
x
x






 4.
4ln
3
2
4ln
4
32 21
   CxxxdxxxI 232
123
      CxxxdxxxdxxI 92
5
1
963 352422
   
23 3 6 2 4 71 1 1
1 2
2 2 7
I x xdx x x x dx x x x C         
   
C
x
dxx
x
dx
I
12
2
 0J R 
 





 C
x
c
xbaxdx
x
c
x
b
aI ln2
 0J R 
2
2 2
2 1 1 1 1
2 2 ln
x x
I dx dx x x C
x xx x
   
        
 
 
 0J R 
3
4 3 4 2 3
2 3 1 2 3 1 1
ln
x x
I dx dx x C
xx x x x x
   
        
 
 
 0J R 
1 1
1
1 1
n nn n
n n
I xdx x dx x C x x C
n n

      
   1n
0,J  
1 1
1
1 1
n n
n n
dx n n x
I dx x dx x C C
n nx x
 
     
   1n
J R

7 10
2 33 3 3
5.3 3
5 5
10 2
I x xdx x dx x C x x C        
.J R
12 Integrální počet
- 192 -
k.
Integrační obor .
l. .
Integrační obor .
m.
Integrační obor .
n.
Integrační obor .
o.
Integrační obor
p.
Integrační obor .
q.
Integrační obor
r.
Integrační obor ,
s.
Integrační obor
VĚTA 1
Pokud argumentem tabulkového integrálu není pouhé , ale lineární funkce
platí vzorec
.
3 5
22 2
2 2
2 2 2 2 ,
5 5
I x pxdx p x dx p x C x px C        0,p 
0,J  
1
,
m m
n nm mn n
n n
I x dx x dx x C x x C
n m n m

      
   mn 
0,J  
5 82
32 23 3
3
3 3
.
8 8
x
I dx x dx x C x x C
x
       
J R

1
3 3 ln .x x
I e dx e x C
x
 
     
 

 0J R 
2 3
(2 2 3 ) 2 .
ln2 ln3
x x
x x x x
I e dx e C      
.J R
2
1 1
10 3 13 .x x x
I e e dx e C
xx
 
      
 

 0J R 
 3cos 5sin 3sin 5cos .I x x dx x x C    
.J R
2
2
sin cos 2tg .
cos
I x dx x x C
x
 
      
 

 2 1
2
J R k

   .Zk 
2
1
2cos sin cot g 2sin cos .
sin
I x x dx x x x C
x
 
        
 

,J R k  .Zk 
x 0,  abax
     CbaxF
a
dxbaxf
1
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 193 ŘEŠENÝ
PŘÍKLAD 9
 

5x
dx
I .
Řešení.
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 10
   .85sin dxxI
Řešení.
, .
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 11
 
 .
32
x
dx
I
Řešení.
Víte, že platí J = .
Vhodnou úpravou jmenovatele převedeme počítaný integrál na integrál tohoto tvaru.
Stručně: Místo čísla 3 potřebujeme číslo 1, místo proměnné x může být lineární funkce.
Potřebnou úpravu vložíme mezi dvě svislice.
J = .
1
ln 5 ln 5 ,
5 1
dx
x C x C
x
     
  , 5J      5, . 
        CxCxdxx 85cos
5
1
85cos
5
1
85sin RJ 
2
arctg ,
1
dx
x C
x
 
 R
32
x
22
2
2
3 3 1 3 1
33 3
dx x x
I x
x
    
                 























 
1
3
3
1
1
3
3
22
x
dx
x
dx
3 3
arctg arctg ,
3 33 3
x x
C C
   
      
   
R
12 Integrální počet
- 194 ŘEŠENÝ
PŘÍKLAD 12
 
 .
53 2
x
dx
I
Řešení.
Protože chceme, aby koeficientem u ve jmenovateli bylo číslo 1, vytkneme ze jmenovatele
číslo 3.
J = .
12.3 INTEGRACE SUBSTITUČNÍ METODOU
VĚTA 2
Substituce typu t = g(x)
Nechť v otevřeném intervalu J1 existuje primitivní funkce k funkci  f x . Nechť funkce
má v otevřeném intervalu J derivaci a nechť pro všechna x J1 platí J. Pak
v otevřeném intervalu J1 platí
.
VĚTA 3
Substituce typu x = g(t)
Nechť funkce má v otevřeném intervalu J1 derivaci . Nechť funkce
definovaná v otevřeném intervalu J, je funkcí inverzní k funkci x = g(t)
v intervalu J1. Jestliže v intervalu J1 existuje primitivní funkce k funkci , pak
v intervalu J platí
.
x
 

























2
222
2
3
5
3
3
5
353
53
xxx
x
dx
I
2
2
1 1 5 3
arctg ,
3 3 3 55
3
dx
x C
x
   
     
     
  
 
 R
 g x
  xgt  
        dttfdxxgxgf
 x g t   g t 0
 t g x 1
    f g t g t
         dttgtgfdxxf
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 195 ŘEŠENÝ
PŘÍKLAD 13
.
Řešení.
Integrace má předepsaný tvar substituce typu , složená funkce je , její vnější
funkce je a vnitřní je . Protože derivací vnitřní funkce je funkce , která je
obsažena v integrandu, zavedeme substituci
.
.
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 14
.
Řešení.
Nejdříve upravíme daný integrál a zavedeme substituci
.
, .
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 15
.
Řešení.
.
, .
 xdxxI cossin6
)(xgt  sin6
x
t6
sinx cosx
xt sin  dt x dx cos
7
6 71
sin ,
7 7
t
I t dt C x C     x R


 dxexI x3
2
 

 dxexI x3
2
3
3
1
t x  3
 dxxdt 2
3
CeCedteI xtt
 
 3
3
1
3
1
3
1
x R
2 2
, 0.
dx
I a
a x
 


x at dx a dt  
 



 C
a
x
Ct
t
dt
taa
dta
I arcsinarcsin
1 2222
 ,x a a 
12 Integrální počet
- 196 ŘEŠENÝ
PŘÍKLAD 16
.
Řešení.
.
, .
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 17
.
Řešení.
.
, .
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 18
.
Řešení.
.
.
, .
 dx
+x
x
I 2
1
t x dt x dx x dx dt     1 2
1
2
2
   CxCt
t
dt
dx
+x
x
I 2
2
1ln
2
1
ln
2
1
2
1
1
x R
 
 dx
x
x
I 10
9
1
10
1 xt   dtdxx 9
10
  

 CxCtdt
t
dx
x
x
I 10
10
9
1ln
10
1
ln
10
11
10
1
1
x R
 
 dx
x
x
I 10
4
1
  


 dx
x
x
dx
x
x
I 25
4
10
4
11
5
xt   dtdxx 4
5
 



 CxCtdt
t
dx
x
x
I 5
210
4
arctg
5
1
arctg
5
1
1
1
5
1
1
x R
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 197 ŘEŠENÝ
PŘÍKLAD 19
.
Řešení.
.
, .
12.4 INTEGRACE METODOU PER PARTES
Touto metodou integrujeme některé součiny funkcí.
Nechť funkce f(x) a g(x), mají v otevřeném intervalu J spojité derivace. Potom podle
pravidla pro derivování součinu máme
Integrujeme obě strany rovnice a obdržíme
.
Převedením jednoho z integrálů na levou stranu obdržíme vztah pro integraci metodou per
partes:
nebo
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 20
.
Řešení.
Zvolíme . Potom . V intervalu obě funkce
mají spojité derivace.
,
   xdxxI
42
1
12
 xt  dtxdx 2
 
 
525
42 4
11 1
1
2 2 5 10
xt
I x xdx t dt C C

        x R
  ).()()()()()( xgxfxgxfxgxf 

   dxxgxfdxxgxfxgxf )()()()()()(
              dxxgxfxgxfdxxgxf
            .f x g x dx f x g x f x g x dx   
I x dx ln
    1,ln  xgxxf     xxg
x
xf  ,
1
 0, 
 
1
ln ln ln ln 1I xdx x x xdx x x x C x x C
x
          .x R

12 Integrální počet
- 198 ŘEŠENÝ
PŘÍKLAD 21
.
Řešení.
Zvolíme .
Potom .
V intervalu obě funkce mají spojité derivace.
,
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 22
.
Řešení.
Zvolíme . Potom .
.
Jelikož platí , proto .
Po dosazení I1 do I obdržíme .
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 23
Řešení.
I x x dx  ln
    xxgxxf  ,ln
       
2
,
1 2
x
dxxdxxgxg
x
xf
 0, 
  C
x
x
x
dx
x
x
x
xdxxI
4
ln
22
ln
2
ln
222
.x R

dxxI  arctg
   f x x g x  arctg , 1     

f x
x
dx g x x
1
1 2
,
 

 12
arctg
1
arctgarctg1arctg Ixxdx
x
x
xxdxxdxxI
 
 
 


f x
f x
dx f xln    



 1
2
221 1ln
2
1
1
2
2
1
1
Cxdx
x
x
dx
x
x
I
 21
arctg arctg ln 1 ,
2
I xdx x x x C x R     
sin .I x xdx 
   
sin cos
sin
1
cos cos 1 cos cos cos sin , .
f x f x
x xdx
g x g
x x x dx x x xdx x x x C x R
   
 
 
            

 
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 199 ŘEŠENÝ
PŘÍKLAD 24
.
Řešení.
Zaveďme substituci potom .
.
Integrál I1 počítáme metodou per partes.
, , .
.
Funkce , která je definována v intervalu je inverzní funkcí k funkci
definované v intervalu .
.
V následujícím příkladu použijeme integraci per partes převedením na rovnici pro výpočet
hledaného integrálu.
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 25
.
Řešení.
Zvolíme .
Potom .
. (*)
opět počítáme metodou per partes.
Zvolíme .
Potom .
.
 dxxI arctg
,x t x t 2
 dx t dt 2
I x dx t t dt t t dt I     arctg 2 2 2 1arctg arctg
     f t t f t
t
,
2
2
g t t( ) arctg  

g t
t
( )
1
1 2
  1
2
2
22
1 arctg
2
1
arctg
212
1
arctg
2
arctg Cttt
t
dt
t
t
t
t
tdttI 

 
t x 0,  x t 2
0, 
1arctg 2 arctg , 0,I x dx I x x arctg x x C x       
I e x dxx
  sin
   f x e g x xx
  , sin
      f x e g x xx
, cos
1coscoscossin IxexdxexexdxeI xxxx
 
I e x dxx
1   cos
   f x e g x xx
  , cos
     f x e g x xx
, sin
1 sin sinx x
I e x e xdx  
12 Integrální počet
- 200 Tento
výsledek dosadíme do (*).
Obdrželi jsme rovnici .
Řešením této rovnice pro neznámou obdržíme hledaný integrál
,
12.5 URČITÝ INTEGRÁL
K pojmu určitého integrálu dospěli matematikové mimo jiné při řešení geometrického
problému, totiž při výpočtu obsahu rovinného obrazce.
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 26
Vypočtěte obsah trojúhelníku, který je omezen přímkami 4,2  xxy a osou x.
Řešení.
Ze vztahu pro výpočet obsahu trojúhelníku aavS
2
1
 , kde a je strana trojúhelníku, va je
výška na stranu a, dostáváme po dosazení 2
168.4
2
1
jS  . Symbolem j2
máme na mysli
jednotky čtvereční, např. 2
cm .
Jak uvidíte později, obsah daného trojúhelníku lze vypočítat pomocí určitého integrálu.
1sin cos cos sin sinx x x x x
I e xdx e x I e x e x e xdx         
 sin cosx
e x x I  
 sin cosx
I e x x I  
I
  Cxx
e
xdxeI
x
x
  cossin
2
sin .x R
4 x0
y
y=2x
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 201 Newton-Leibnizův
vzorec pro výpočet určitého integrálu
DEFINICE 2
Nechť funkce f(x) je spojitá v intervalu <a,b> a má v (a,b) primitivní funkci (neurčitý
integrál) F(x) spojitou v <a,b>. Potom platí
        f x dx F x F b F aa
b
a
b
   .
Výpočet určitého integrálu se takto převádí na určení primitivní funkce, do níž se
za proměnnou dosadí postupně horní a dolní mez integrálu a výsledné hodnoty (v uvedeném
pořadí) se odečtou.
Základní vlastnosti určitého integrálu
Pro integrovatelné funkce f a g platí:
1.  f x dx
a
a
 0
2.      f x dx f x dx a b
b
a
a
b
  
3.        f x dx f x dx f x dx c a b
c
b
a
c
a
b
   ,
4.         f x g x dx f x dx g x dx
a
b
a
b
a
b
   
5.    cf x dx c f x dx
a
b
a
b
 
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 27
Vypočtěte  2 3 2
1
3
x x dx .
Řešení.
Funkce f(x)=2x+3x
2
je spojitá a tedy v intervalu <1,3> integrovatelná. Její primitivní funkce
F(x) = x
2
+ x
3
je spojitá a tedy platí
       2 3 9 27 1 1 342 2 3
1
3
1
3
x x dx x x        .
12 Integrální počet
- 202 ŘEŠENÝ
PŘÍKLAD 28
Vypočtěte cos .x dx
0
2


Řešení.
Protože funkce f(x) = cos x je spojitá, a tedy integrovatelná v intervalu <0,

2
> a má
spojitou primitivní funkci F(x) = sin x, platí
  
2
0
2
0 .10sin
2
sinsincos



xdxx
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 29
Substituční metodou řešte určitý integrál 

e
dx
x
x
1
ln1
.
Řešení.
Nejprve vypočteme integrál neurčitý a pak si uvedeme dvě možnosti, jak lze postupovat dále.
 
 







c
x
c
t
tdtxdt
x
t
dxxdt
dx
x
dt
xt
dx
x
x
2
ln1
2
1
ln1
ln1
22
Nyní máme dvě možnosti:
1. Integrální meze nepřepočítáváme


e
dx
x
x
1
ln1
=
     
2
3
2
1
2
4
2
1ln1
2
ln1
2
ln1
22
1
2









  ex
e
.
2. Integrální meze přepočteme na základě zavedené substituce:
2ln1
11ln11


etex
tx


e
dx
x
x
1
ln1
=
2
3
2
1
2
4
2
2
1
2





t
.
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 203 ŘEŠENÝ
PŘÍKLAD 30
Metodou per partes řešte určitý integrál 

1
0
dxxe x
.
Řešení.
Nejprve vypočteme integrál neurčitý a pak použijeme Newton-Leibnizův vzorec pro výpočet
určitého integrálu.
   
   
   


 



dxexe
exvxu
exvxxu
dxxe xx
x
x
x
1
  cxecexedxexe xxxxx
 
 1 .
     1
2
21 011
0
1
0
 
 e
eexedxxe xx
.
12.5.1 UŽITÍ INTEGRÁLNÍHO POČTU V GEOMETRII
V této části se věnujeme výpočtu obsahu rovinného obrazce a objemu rotačního tělesa.
Pomocí určitého integrálu lze vypočítat také délku oblouku rovinné křivky (rektifikace
křivky) nebo obsah rotační plochy (komplanace).
Obsah rovinného obrazce
Nechť E je elementární oblast, která je definována jako množina uspořádaných dvojic [x, y],
kde  a x b y f x   ; 0 , přičemž funkce f(x) je spojitá v intervalu <a,b>. Potom pro
obsah této elementární oblasti platí
 
b
a
dxxfS .
Je-li však elementární oblast E v <a,b> omezena dvěma křivkami f(x) a g(x), tedy
   g x y f x  , přičemž obě funkce f(x), g(x) jsou v intervalu <a,b> spojité, potom pro její
obsah platí
     
b
a
dxxgxfS .
Nyní se vraťme k řešenému příkladu 26 v této kapitole a vypočítáme obsah daného
trojúhelníku pomocí výše uvedeného vztahu. Funkce     0,2  xgxxf (osa x), dolní mez
a je rovna 0 a horní mez b je rovna čtyřem.
Dosazením do vztahu      
b
a
dxxgxfS dostáváme:
    






4
0
24
0
2
4
0
2
16016
2
2
02 jx
x
dxxS .
12 Integrální počet
- 204 ŘEŠENÝ
PŘÍKLAD 31
Vypočtěte obsah plochy omezené osou x a grafem funkce   xxf sin na intervalu ,0 .
Řešení.
0 ¶
y
x
obr. 11.2.
Vypočteme tedy hodnotu určitého integrálu, což je obsah dané plochy:
  .20coscoscossin
0
0   


xxdxS
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 32
Vypočtěte obsah plochy omezené grafy funkcí     2
, xxgxxf  .
Řešení.
Nerovnost xx  2
0 platí na intervalu 1,0 .
  









1
0
1
0
32
3
2
3
1
3
1
3
2
3
1
3
2
xxdxxxS .
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 205 ŘEŠENÝ
PŘÍKLAD 33
Vypočtěte obsah plochy omezené osou x a grafem funkce   232
 xxxf na intervalu
3,0 .
Řešení.
Uvedenou parabolu jistě dokážete sami graficky znázornit.
Pokud jste to dokázali, pak vidíte, že   0xf na 3,21,0  a   0xf na 2,1 .
     
.
6
11
2
2
3
3
2
2
3
3
2
2
3
3
232323
3
2
232
1
231
0
23
1
0
3
2
2
2
1
22



















  
x
xx
x
xx
x
xx
dxxxdxxxdxxxS
Objem rotačního tělesa
Rotační těleso vzniká rotací rovinného obrazce kolem osy rotace, jež je hraniční přímkou
poloroviny, v níž obrazec leží. Na toto rotační těleso se můžeme dívat také jako na těleso,
které je omezeno plochou vzniklou rotací hraniční křivky daného obrazce kolem osy rotace.
Jako osu rotace volíme obvykle osu x. Při této rotaci obíhá bod [x, y] kružnici o poloměru y
a středu [x,0].
Vztah pro výpočet objemu tělesa, které vznikne rotací elementární oblasti E, jež je množinou
uspořádaných dvojic [x,y], kde    x a b g x y f x   , , 0 kolem osy x je:
       
b
a
dxxgxfAV 22
 .
Nezapomeňme, že funkce f(x), g(x) jsou v intervalu ba, spojité a nezáporné.
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 34
Vypočtěte objem rotačního kužele, který má výšku 5cm a vznikne rotací přímky xy  kolem
osy x.
Řešení.
Nejprve se pokuste graficky znázornit daný trojúhelník, který bude rotovat kolem osy x a tím
se vytvoří rotační kužel.
 






5
0
5
0
3
2
3
125
3

x
dxxV .
12 Integrální počet
- 206 ŘEŠENÝ
PŘÍKLAD 35
Určete objem tělesa vzniklého rotací kolem osy x obrazce ohraničeného křivkami
0,2,1,3
 yxyxy .
Řešení.
Objem daného rotačního tělesa se rovná součtu objemu rotačního tělesa vzniklého rotací
křivky y x 3
v intervalu 1,0 a objemu rotačního tělesa vzniklého rotací křivky y  1
v intervalu 2,1 kolem osy x.
       





















1
0
2
1
2
1
1
0
7
223
.
7
8
12
7
1
7
1  x
x
dxdxxAV
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 36
Určete objem tělesa, které vznikne rotací obrazce omezeného křivkami xyxy  22
, kolem
osy x.
Řešení.
Vypočteme průsečík funkcí 2
, xyxy  , tj. řešíme rovnici: xx 2
. Danou rovnici
umocníme xx 4
a dále upravujeme: 04
 xx
  013
xx 1,0 21  xx .
Dosadíme do výše uvedeného vztahu pro objem:
      









 
1
0
1
0
52
4
1
0
22
2
10
3
52

xx
dxxxdxxxV .
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 207 -
12.6 PŘÍKLADY K PROCVIČENÍ
PŘÍKLAD 1
Vypočtěte neurčité integrály:
a. 5
x dx b.  dx
x
1
c. 

dx
x
x
2
3
1
d.  





 dx
x
x
2
e.     dxxx
x 





 3
2
83
1
f. dx
x
dx
  1
g.    dxx
3
12 h. dxx 





1
5
3
cos
i.   244 2
xx
dx
j.   223 2
xx
dx
k.   122 2
xx
dx
l.   dxxx 
2
cossin
m. dxxarccos n. dxxx arcsin
o.  dxx lnsin p.    dxxx
2
sin
q.     dxxxx 321632
r.      dxxxx 214
42
s.   dxxx 2
4 t. dx
x
x

12
PŘÍKLAD 2
Řešte určité integrály:
a. 
1
0
dxxex
, b. 

0
2
sin xdxx , c. 
e
dx
x
x
1
2
ln
,
d. 

0
2sin xdxx , e. 
e
xdxx
1
ln , f. 


2
2
cos xdxx ,
g.  
4
3
2
23
1
dx
xx
, h. 


1
1
2
2
4
1
dx
x
x
, i.  
2
1
2
45
1
dx
xx
.
12 Integrální počet
- 208 PŘÍKLAD
3
Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkou  xfy  a osou x v daném intervalu:
a. 2
3
1
xy  , 2,2x ,
b. 1 xy , 3,1x ,
c.
x
y
1
 , 1,
4
1
x .
PŘÍKLAD 4
Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkou  xfy  a osou x:
a. 2
4 xy  ,
b. 2
5 xxy  ,
c. 22
 xxy .
PŘÍKLAD 5
Vypočtěte obsah obrazce omezeného danými křivkami:
a. xyxxy  ,22
,
b. ,02,242
 yxxxy
c. ,4,3
xyxy 
d. 05,4  yxxy ,
e. 24,22 22
 xxyxxy ,
f. .,
3
2
3
xy
x
y 
PŘÍKLAD 6
Vypočtěte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného danou křivkou
a osou x v daném intervalu kolem osy x:
a. 4,0,042  xyx ,
b. ,0,sin  xxy ,
c. 4,2,
8
2
 x
x
y .
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 209 PŘÍKLAD
7
Vypočtěte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného danými
křivkami kolem osy x:
a. ,, 22
xyxy 
b. 22
1, xyxy  ,
c. 2
2
1
, 22
 xyxy ,
d. 0,4,  yxyxy .
12.7 ŘEŠENÍ PŘÍKLADŮ
1)
a. C
x

6
6
v R
b. Cx 2 v R
c. C
x
x

1
2
2
v  ,0 nebo v  0,
d. Cxx  ln2
3
2 2/3
v  ,0
e. Cxx
x
 3/42
2
3
2
31
v  ,0 nebo v  0,
f. Cx  1ln v  1, nebo v  ,1
g.   Cx 
4
12
8
1
v R
h. Cx 





1
5
3
sin
3
5
v R
i.   Cx 12arctg
2
1
v R
j.
5 3 1
arctg
5 5
x
C

 v R
k.  3arctg 2 1x C  v R
l.
1
cos2
2
x x C  v R
m. Cxxx  2
1arccos v  1,1
n.   Cxxxx  22
1
4
1
arcsin12
4
1
v  1,1
o.   Cxx
x
 )cos(ln)sin(ln
2
v 
R
p. Cx
x
xxx
x
 2sin
4
1
2
sin2cos2
3
3
v   ,
12 Integrální počet
- 210 q.
 22
163
2
1
 xx v   ,
r.   Cxx 
52
14
10
1
v   ,
s.   Cx 
2/32
4
3
1
v 2,2
t. 2 2
1 arctg 1x x C    v     ,11, nebo v  0,
2) a. 1 b. 42
 c. 1
2

e
d.
2

e.  1
4
1 2
e f.
4
22
2

 
g. 3ln2ln2  h. 23ln
2
5
 i.
4
5
ln
3
1
3) a.
9
16
b.
3
16
c. 4ln
4) a.
3
32
b.
6
125
c.
2
9
5) a.
2
9
b.
2
9
c. 8
d. 2ln8
2
15
 e. 9 f.
4
9
6) a. 
3
16
b.
2
2

c. 
3
7
7) a. 
10
3
b. 2
3
2
 c. 
15
256
d. 4
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 211 -
ZÁVĚR
Studijní opora Kvantitativní metody je určena studentům prvního ročníku
bakalářského studia.
V učebnici je obsažen stručný výklad teoretické části učiva včetně mnoha praktických
příkladů. Kontrolní otázky, úlohy k textu a závěrečné úlohy ke každé kapitole vám pomohou
zkontrolovat, zda jste probíranou látku správně pochopili a ověří vaše znalosti.
Studijní opora z Kvantitativních metod by Vám měla pomoci ve vašem studiu
a usnadnit přípravu na úspěšné vykonání zkoušky z tohoto předmětu. V případě vašeho
hlubšího zájmu o danou problematiku doporučujeme prostudovat další literaturu z této oblasti.
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 212 SEZNAM
POUŽITÉ LITERATURY
1. BARTSH,H.J. Matematické vzorce. 2.vyd.Praha: SNTL,1987.
2. GODULOVÁ, Marie, Jaroslav RAMÍK a Radmila STOKLASOVÁ. Kvantitativní
metody A: matematika : distanční studijní opora. Vyd. 1. Karviná: Slezská univerzita
v Opavě, Obchodně podnikatelská fakulta v Karviné, 2004, 319 s. ISBN 80-724-8260-2.
3. GODULOVÁ, Marie, Ivana JANŮ a Radmila STOKLASOVÁ. Příklady k přípravě na
přijímací zkoušky z matematiky: matematika : distanční studijní opora. Vyd. 2., rozš.
Karviná: Slezská univerzita, Obchodně podnikatelská fakulta, 2000, 189 s. ISBN 80-
724-8065-0.
4. JIRÁSEK, František a Josef BENDA. Matematika pro bakalářské studium. Vyd. 1.
Praha: Ekopress, 2006, 506 s. ISBN 80-869-2902-7.
5. KAŇKA, Miloš. Vybrané partie z matematiky pro ekonomy. 1.vyd. Praha: VŠE, 1998,
231 s. ISBN 80-707-9537-9.
6. KLŮFA, Jindřich. Matematika pro studenty VŠE. Vyd. 1. Praha: Ekopress, 2011, 188 s.
ISBN 978-808-6929-743.
7. MOUČKA, Jiří a Petr RÁDL. Matematika pro studenty ekonomie. 1. vyd. Praha: Grada,
2010, 272 s. Expert (Grada). ISBN 978-80-247-3260-2.
8. MULTANOVÁ, Linda a Eva TRYSKOVÁ. Ekonomická matematika. Vyd. 1. Ostrava:
Vysoká škola podnikání, 2007, 168 s. ISBN 978-80-86764-67-2.
9. PAPULA, Lothar. Mit zahlreichen Beispielen aus Naturwissenschaft und Technik ...
und 307 Übungsaufgaben mit ausführlichen Lösungen. 10., erw. Aufl. Braunschweig
[u.a.]: Vieweg, 2001. ISBN 35-289-4236-3.
10. POLÁK, Josef. Přehled středoškolské matematiky. Dotisk 7. vyd. Praha: Prometheus,
1991, 608 s. ISBN 80-719-6196-5.
11. REKTORYS, Karel. Přehled užité matematiky I. 6. přepr.vyd. Praha: Prometheus, 1995,
720 s. ISBN 80-858-4992-5.
12. REKTORYS, Karel. Přehled užité matematiky II. 6. přeprac. vyd. Praha: Prometheus,
1995, xxxii, 874 s. ISBN 80-858-4962-3.
13. ROMMELFANGER, Heinrich. Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. 5. Aufl.
Heidelberg [u.a.]: Spektrum, Akad. Verl, 2002. ISBN 38-274-1191-2.
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 213 PŘÍLOHA
Č. 1
Průběžný test
1. Graficky znázorněte množiny A, B, BA  , kde 5b
  4;, 222
 yxRyxA ,   3;, 2
 xyRyxB .
2. Řešte maticovou rovnici BAX  , jestliže





 

52
84
A , 








21
35
B 4b
3. Je dána posloupnost
5
43



n
n
an .
Určete  321 ,, aaa ,  PPan inf,sup,lim
Načrtněte graf. 6b
4. Řešte soustavu rovnic:
52x2
33
22
321
321
321



xx
xxx
xxx
5b
5. Určete parametr Ra  tak, aby byla matice A regulární :









23
22
a
a
A 4b
6. Načrtněte graf funkce 43  xy a určete tyto limity
    ......43lim.....43lim
1


xx
xx
3b
7. Vypočtěte limity
a)
n
lim 


4
2
6
42
n
nn
b) 




 1
1
61
65
lim n
nn
n
c)
n
lim 
 52
1
4
nn
3b
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 214 PŘÍLOHA
Č. 2
Zkouškový test
1. (Každá tato podotázka je hodnocena: 3 body)
a) Vypočtěte součin: 










 
11
11
13
15
b) Načrtněte graf funkce 2
xy  a vypočtěte limitu 

2
lim x
x
c) Vypočtěte: 
 x
x
x
ln
lim
d) Vypočtěte určitý integrál:  
2
1
2
dxx
e) Vypočtěte inflexní body funkce 63 23
 xxy . 15b
2. Řešte soustavu rovnic
.3
2
4



zx
zyx
zyx
5b
3. a) 
 20 3
lim
xx
x
x
b) 


 13
5
lim
0 x
x
x
x
c) 


 24 16
4
lim
x
x
x
d) 


 2
16
4
lim
x
x
x
12b
4. Vypočtěte definiční obor funkce    
2
9
2arccos4
x
x
xf


 6b
5. Je dána matice 








14
13
A . Vypočtěte:
1
A 1
.AA 5b
Adet T
A
Radmila Stoklasová; KVANTITATIVNÍ METODY
- 215 -
6. Napište rovnice lineární funkce baxy  , která prochází body    7;3,1;1  . Vypočtěte
průsečíky se souřadnicovými osami a načrtněte graf. 8b
7. Je dána posloupnost: .
2
6



n
n
an Určete max, min, inf, sup a určete, zda je omezená.
Načrtněte graf této posloupnosti pro n = 1, 2, 3.
Max = ............, Min=............., Inf=............., Sup=.............. JE x NENÍ omezená 9b
8. Určete parametr tak, aby matice 








aa
a
A
51
46
byla singulární. 5b
9. Pro funkci    2
1ln xxf  vypočtěte   .....0 f a určete D(f) = ………..
  xf
5b
  xf