3. seminář
POSLOUPNOSTI A LIMITY POSLOUPNOSTÍ
Studijní materiál k seminářům Kvantitativní metody v ekonomické praxi
* motivační, dobrovolné
A. POSLOUPNOSTI
1. U daných posloupností
• určete prvních pět členů,
• dokažte, že je rostoucí nebo klesající,
• určete minimum, maximum, infimum, supremum,
• rozhodněte o omezenosti posloupnosti,
• načrtněte graf prvních tří členů.
(a)
𝑎 𝑛 =
1 − 𝑛
1 + 𝑛
(b)
𝑎 𝑛 =
−3𝑛
𝑛 + 1
(c) 𝑎 𝑛 = 2𝑛 + 1
B. LIMITA POSLOUPNOSTI
2. Vypočítejte limity následujících posloupností dle pravidla lim
𝑛→∞
𝑃𝑟(𝑛)
𝑄 𝑠(𝑛)
(a)
lim
𝑛→∞
−2𝑛3
− 3𝑛 + 1
3𝑛2 + 𝑛 − 5
(b)
lim
𝑛→∞
−𝑛2
+ 4𝑛 − 2
2𝑛2 − 2𝑛 + 3
(c)
lim
𝑛→∞
5𝑛 + 2
5𝑛2 + 2𝑛 − 4
(d)
lim
𝑛→∞
3𝑛4
− 𝑛2
+ 1
2𝑛2 + 3𝑛 + 5
(e)
lim
𝑛→∞
3𝑛 − 1
2 + 4𝑛3
(f)
lim
𝑛→∞
1
𝑛4
(g) lim
𝑛→∞
2𝑛2
+ 1
3. seminář
POSLOUPNOSTI A LIMITY POSLOUPNOSTÍ
Studijní materiál k seminářům Kvantitativní metody v ekonomické praxi
* motivační, dobrovolné
3. Vypočítejte limity v bodech odstranitelné nespojitosti
(a)
lim
𝑥→3
𝑥 + 3
𝑥2 − 9
* 4. Vypočítejte limity následujících posloupností / neurčitý výraz ∞ − ∞
(a) lim
𝑛→∞
(√ 𝑛 + 2 − √ 𝑛 − 2)
(b) lim
𝑛→∞
(√𝑛 + 2 + √𝑛 − 2)
(c) lim
𝑛→∞
(√4𝑛2 − 5 − 2𝑛)
(d)
lim
𝑛→∞
1
√ 𝑛 + 1 − √ 𝑛 − 1
(e)
lim
𝑛→∞
𝑛 − √6𝑛2 + 5𝑛 + 7
(f)
lim
𝑛→∞
𝑛 − √ 𝑛2 + 3𝑛 + 5
(g) lim
𝑛→∞
√𝑛 + 1 − √ 𝑛
(h)
lim
𝑛→∞
1
√𝑛2+2𝑛 − 𝑛
(i)
lim
𝑛→∞
(√ 𝑛(√𝑛 + 1 − √ 𝑛))
* 5. Vypočítejte limity následujících posloupností dle lim
𝑛→∞
𝑞 𝑛
(a)
lim
𝑛→∞
4 𝑛−1
− 5
22𝑛 + 1
(b)
lim
𝑛→∞
2 𝑛+1
+ 3 𝑛+2
3 𝑛+3
(c)
lim
𝑛→∞
32𝑛+1
− 2 𝑛−1
5 𝑛 + 1
3. seminář
POSLOUPNOSTI A LIMITY POSLOUPNOSTÍ
Studijní materiál k seminářům Kvantitativní metody v ekonomické praxi
* motivační, dobrovolné
(d)
lim
𝑛→∞
22𝑛−1
+ 3 𝑛+1
5 𝑛−1 − 1
* 6. Vypočítejte limity následujících posloupností dle lim
𝑛→∞
(1 +
1
𝑛
)
𝑛
= 𝑒
(a)
lim
𝑛→∞
(1 +
1
5𝑛
)
7𝑛+3
(b)
lim
𝑛→∞
(
2𝑛 + 2
2𝑛 + 1
)
6𝑛+7
(c)
lim
𝑛→∞
(
𝑛 + 1
2𝑛 − 3
)
4𝑛
(d)
lim
𝑛→∞
(
3𝑛 − 5
3𝑛 + 2
)
6𝑛+1