náhodná veličina diskrétná a spojitá náhodná veličina rozdělení náhodné veličiny pravděpodobnostní funkce a hustota pravděpodobnosti distribuční funkce charakteristiky náhodné veličiny ##### Sheet/List 2 ##### Náhodná veličina "1. Rozhodněte, které z následujících předpisů představují diskrétní rozdělení pravděpodobnosti." x p(x) 0 -0.2 1 0.9 2 0.3 x p(x) -2 0.4 -1 0.3 0 0.2 1 0.3 x p(x) -1 0.4 0 0.3 1 0.3 ##### Sheet/List 3 ##### DISKRÉTNÍ PRAVDĚPODOBNOSTNÍ MODELY Stejnoměrné Binomické Poissonovo STEJNOMĚRNÉ ROZDĚLENÍ (náhodná veličina nabývá k různých hodnot se stejnou pravděpodobností) Například hod kostkou. 1. Určete střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny popisující hod kostkou ##### Sheet/List 4 ##### "1. Určete, s jakou pravděpodobností padne při hodu kostkou trojka." "2. Určete, s jakou pravděpodobností padne při hodu kostkou nejvýše trojka." 3. Určete střední hodnotu. 4. Určete rozptyl. ##### Sheet/List 5 ##### Binomické rozdělení (2 navzájem se vylučující alternativy) =BINOM.DIST Na 1000 novorozenců se narodí 515 chlapců a 485 dívek. Předpokládáme rodinu se 4 dětmi. "1. Určete pravděpodobnost, že se v rodině narodí právě 4 chlapci." "2. Určete pravděpodobnost, že se v rodině narodí alespoň 2 dívky." 3. Určete střední hodnotu počtu dívek narozených v rodině se 4 potomky. 4. Určete rozptyl počtu chlapců narozených v rodině se 4 potomky. funkce BINOMDIST K procvičení (s řešením): "Úloha 1: Určete pravděpodobnost všech jevů, které mohou nastat při hodu 3 mincemi." 0líců 0.1250 "P(0 líců) = 0,125" 0.125 1líc 0.3750 "P(1 líc) = 0,375" 0.375 2líce 0.3750 "P(2 líce) = 0,375" 0.375 3líce 0.1250 "P(3 líce) = 0,125" 0.125 "Úloha 2: Střelec má 80% pravěpodobnost, že zasáhne cíl. Určete pravěpodobnost, že:" a) z 5 pokusů zasáhne cíl 5 krát 0.33 "P = 0,328" 0.32768 b) z 6 pokusů zasáhne cíl 3 krát 0.08 "P = 0,046" 0.0458752 c) z 8 pokusů zasáhne cíl přesně 4 krát 0.05 "Úloha 3: Jistá mezinárodní marketingová laboratoř odhaduje, že pouze 50 procent" 0.234375 výrobků daného podniku je schopno konkurovat zahraniční produkci. Jaká je "P(4) = 0,234" 0.234375 "pravděpodobnost, že právě 4 ze 6 výrobků této firmy jsou úspěšné?" 3 Určete střední hodnotu a rozptyl. 1.5 Úloha 4: Z každé stokusové zásilky kontroluje odběratel kvalitu 5 náhodně "vybraných kusů. Je známo, že každá zásilka obsahuje 10% zmetků." a. Jakým typem rozdělení pravděpodobnosti se řídí počet zjištěných zmetků? "P = 0,00045" 0.00045 b. Vypočtěte pravděpodobnost zjištění právě 4 zmetků. 0.00045 "P = 0,99" 0.99144 c. Jaká je pravděpodobnost zjištění nejvýše 2 zmetků? 0.99144 "P = 0,082" 0.08146 d. Jaká je pravděpodobnost zjištění alespoň 2 zmetků? 0.08146 "E(x) = 0,5, Var (x) = 0,45" 0.5 e. Vypočtěte střední hodnotu a rozptyl množství zjištěných zmetků. 0.45 ##### Sheet/List 6 ##### Poissonovo rozdělení (jevy nastávají během určitého časového intervalu s danou intezitou) =POISSON.DIST Do prodejny přicházejí průměrně 3 zákazníci během hodiny. 1. S jakou pravděpodobností přijde během následujcí hodiny právě 1 zákazník? 2. S jakou pravděpodobností přijde během následujcích 20 minut právě 1 zákazník? 3. S jakou pravděpodobností přijdou během následujících 20 minut alespoň 2 zákazníci? 4. S jakou pravděpodobností přijde během následujících 90 minut více než 5 zákazníků? 5. S jakou pravděpodobností přijdou během následujících 90 minut nejvíce 2 zákazníci? funkce POISSON K procvičení (s řešením): Úloha 1: Zákazníci přicházejí náhodně do opravny obuvi s průměrnou intenzitou 4 "za hodinu. Zjistěte pravděpodobnost, že do opravny přijdou za hodinu právě" "P = 0,146" 0.146525111 "2 zákazníci, vypočtěte střední hodnotu, rozptyl a směrodatnou odchylku." E(x) = Var(x) = 4 intenzita*délka časového intervalu 4 Úloha 2: "Dispečink taxislužby registruje požadavky klientů, které přicházejí" "v náhodných časových okamžicích. Dlouhodobým pozorováním se zjistilo," že průměrná četnost požadavků v průběhu intervalu 20 minut je 2. a. Jakým typem rozdělení pravděpodobnosti se řídí zmíněný počet požadavků? b. Vypočtěte střední hodnotu a rozptyl počtu požadavků za časový interval jedné hodiny. 6 E(x) = Var(x) = 6 6 za 60 minut "c. Vypočtěte pravděpodobnost, že během časového intervalu jedné hodiny" taxislužba zaregistruje alespoň 3 požadavky na své služby. "P = 0,94" 0.938031196 0.938031196 ##### Sheet/List 7 ##### Podmínky pro pravděpodobnostní funkci: Střední hodnota diskrétní náhodné veličiny: Rozptyl diskrétní náhodné veličiny: Střední hodnota spojité náhodné veličiny: Rozptyl spojité náhodné veličiny: Binomické rozdělení pravděpodobnost n … počet opakování střední hodnota p … pravděpodobnost úspěchu rozptyl Poissonovo rozdělení Pravděpodobnost střední hodnota λ … intenzita t … časový úsek "e … Eulerovo číslo; přibližně 2,7183" rozptyl