Ing. Hana Kováčková, Kvantitativní metody, OPF SU Karviná
CVIČENÍ č. 10: Integrální počet funkcí jedné proměnné
1. Vypočítejte pomocí základních integračních vzorců a pravidel následující neurčité integrály:
𝑎) #(6x! − 2x + 1)	𝑑𝑥, 𝑏) # 0
1
𝑥!
− 𝑥! −
1
3
2 	𝑑𝑥, 𝑐) # 4𝑥" − 3𝑥# +
𝑥!
2
+
1
𝑥
+ 56 	𝑑𝑥,
𝑑) # 73x!
+
𝑥
2
8 	𝑑𝑥	,							 𝑒) #( 𝑥!
+ 𝑥$!) 	𝑑𝑥,								 𝑓) # 2%
∙ 3%
	𝑑𝑥,																																				
𝑔) #
1
2√ 𝑥
	𝑑𝑥,																					 ℎ) #?√ 𝑥 − 6√ 𝑥
!
@	𝑑𝑥,								 𝑖)	# 0
2
√ 𝑥
−
1
3√ 𝑥
! 2 	𝑑𝑥,																								
				𝑗) # 06𝑥 +
1
𝑥! + 1
+
4
𝑥
2 𝑑𝑥, 𝑘) #(4𝑠𝑖𝑛𝑥 + 5cosx) 𝑑𝑥, 𝑙) # 0𝑒%
+
1
𝑐𝑜𝑠! 𝑥
2 𝑑𝑥.																						
2. Integrace lineární substituční metodou. Vypočítejte následující neurčité integrály:
𝑎) #
1
𝑥 + 1
	𝑑𝑥,																						 𝑏) #
1
3𝑥 + 9
	𝑑𝑥,																 𝑐) #
1
2 − 5𝑥
	𝑑𝑥,																													
𝑑) #
2𝑥
𝑥! + 1
𝑑𝑥	,																					 𝑒)	#
3𝑥!
𝑥# + 1
	𝑑𝑥,																		 𝑓) # 𝑡𝑔𝑥 	𝑑𝑥.																																				
3. Vypočítejte následující neurčité integrály: ∫
&%
'%"()%(*	
; 	𝐷 < 0
𝑎) #
𝑑𝑥
𝑥! + 1
	,																					 𝑏) #
𝑑𝑥
64𝑥! + 1
	,															 𝑐) #
𝑑𝑥
5𝑥! + 1
	,																																		
		𝑑) #
𝑑𝑥
𝑥! + 5
		,																								 𝑒)	
𝑑𝑥
𝑥! − 12𝑥 + 42
	,													 𝑓)	#
𝑑𝑥
𝑥! + 4𝑥 + 10
.																										
4. Vypočítejte následující neurčité integrály: ∫ 𝑓	( 𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑑𝑥 =	
,
'
	𝐹( 𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶
𝑎) # sin	(5x − 1)	𝑑𝑥,												 𝑏) # cos	(3x + 1)	𝑑𝑥	,			 𝑐) # 	𝑒#%$,		𝑑𝑥	,																																								
𝑑) # 𝑒,$-%	
𝑑𝑥	,																									 𝑒)	#
𝑑𝑥
2𝑥 − 1
	𝑑𝑥	,														 𝑓) # sin	(𝑥 − 𝜋) 	𝑑𝑥.																														
5. Integrace obecnou substituční metodou. Pomocí vhodné substituce vypočítejte následující neurčité
integrály:
𝑎) #( 𝑥# + 1) ∙ 3𝑥!	𝑑𝑥,																		 𝑏) # 𝑥 ∙ 𝑒$!%"
	𝑑𝑥, 𝑐) # 	
𝑙𝑛!
𝑥
𝑥
	𝑑𝑥,																																								
𝑑) #
√5𝑙𝑛𝑥 + 7
𝑥
𝑑𝑥	,																									 𝑒)	#
cos √ 𝑥
√ 𝑥
	𝑑𝑥,								 𝑓) #
𝑒
,
%
𝑥!
	𝑑𝑥	,																																														
𝑔)	#
𝑒%
√𝑒% + 1
𝑑𝑥	,																													 ℎ) #
𝑥"
√3 + 𝑥-
𝑑𝑥	,					 𝑖)	#
6𝑥!
𝑥# + 3
𝑑𝑥.																																									
Ing. Hana Kováčková, Kvantitativní metody, OPF SU Karviná
6. Integrace metodou per partes. Vypočítejte následující neurčité integrály:
𝑎) # x ∙ 𝑒%
	𝑑𝑥,																							 𝑏) #(4𝑥 + 2) ∙ sin 2𝑥 	𝑑𝑥, 	𝑐) # 	(3x − 4) ∙ 𝑐𝑜𝑠 7
𝑥
2
8 	𝑑𝑥,													
𝑑) # x ∙ ln( 𝑥) 𝑑𝑥	,																											𝑒)	# 𝑥!
∙ ln( 𝑥) 	𝑑𝑥,																	 𝑓) # arcsin(𝑥) 	𝑑𝑥	,																													
𝑔) # ln( 𝑥) 𝑑𝑥	,																											ℎ)	# x ∙ sin( 𝑥) 	𝑑𝑥,																		 𝑖) # arctg	√ 𝑥 	𝑑𝑥.