ÚPLNÉ FAKTOROVÉ PLÁNY Mgr. Jiří Mazurek, Ph.D. Plánování experimentů •Výroba, průmysl •Experiment: • změna obvyklých pracovních podmínek s cílem nalézt nejlepší pracovní postupy •získat hlubší poznatky o vlastnostech výrobku a výrobního procesu, které s těmito pracovními postupy souvisejí. Nejlepší pracovní postupy •Pro sledovaný ukazatel kvality Y výrobku identifikujeme faktory A, B …, které jej ovlivňují. •Předpokládáme, že faktory se mohou pohybovat na různých úrovních, •Cílem plánování experimentů je rozhodnout, které z faktorů významně ovlivňují ukazatele kvality •Cílem je také určit optimální úrovně významných faktorů. •Cílem je tedy optimalizovat vstupy tak, aby byl optimalizován výstup. Faktor •Faktor neboli parametr je nezávislá volená proměnná ovlivňující charakteristiku jakosti, která nás zajímá. •Symbolicky označujeme faktory velkými tiskacími písmeny, tj. A, B, …C, atd. a jejich úrovně pro experiment označujeme jako A1 (faktor A na první úrovni), A2 (faktor A na druhé úrovni), atd. Rozdělení faktorů •Rozlišujeme dva základní druhy faktorů: •regulovaný faktor – je volená proměnná, o které si myslíme, že ovlivňuje odezvu a je přitom začleněna do experimentu. Hodnotu proměnné můžeme a zároveň chceme nastavit a udržovat. •šumový faktor – je faktor, který negativně ovlivňuje odezvu. Takový faktor nemůžeme nebo nechceme při vlastní aplikaci nastavit a udržovat na požadované hodnotě, ale můžeme to provádět během experimentu. • •Interakce faktorů: kombinovaný účinek dvou faktorů •účinek jednoho faktoru je závislý na hodnotě nastavení druhého faktoru. • Interakci dvou faktorů A a B zapisujeme symbolicky jako AB. Využití experimentů •analytická simulace •návrh a vývoj výrobku •návrh a vývoj procesu •zlepšování procesu •testování a validace •řešení problémů s jakostí ve výrobě •analýza a zlepšování systému měření Experimentální procedura •Krok 1: plánování experimentu (např. pomocí techniky brainstorming) •Krok 2: návrh experimentu •Krok 3: provedení experimentu •Krok 4: analýza experimentu. Plánování experimentu •Prvním krokem při plánování experimentů je ustanovení experimentálního týmu: •do týmu by měli být zahrnuti zástupci všech oddělení, která ovlivňují produkt nebo proces. •Velikost týmu by však neměla přesahovat rozumnou míru a měla by se pohybovat v rozmezí 2 – 15 lidí. •Brainstormingová sezení jsou věnována velkému množství otázek a na každou z nich musí experimentální tým nalézt správnou odpověď (určení cíle experimentu, definování charakteristiky jakosti a výběr faktorů a jejich úrovní pro realizaci experimentu). •Výsledkem plánování experimentů je definovaný cíl, kterého chceme dosáhnout, a charakteristika jakosti, která je měřítkem pro posouzení, zda cíle bylo dosaženo. Kromě toho známe potenciální faktory, které nepravděpodobněji ovlivňují danou charakteristiku jakosti, a jejich úrovně. Návrh experimentu •Informace z plánování experimentu se následně využijí k návrhu experimentu. •Výsledkem návrhu je experimentální plán, který představuje tabulkou vyjádřený rozpis jednotlivých experimentů – např. rozpis toho, na jaké úrovni budou nastaveny při tomto experimentu uvažované faktory. •Každý řádek v tomto plánu reprezentuje konkrétní experimentální pokus, který bude realizován. (Postup na příkladu). Provedení experimentu •Experimenty můžeme provádět buďto v laboratorních nebo přímo v provozních podmínkách. •Při experimentování ve výrobě můžeme narazit na „střety zájmů“ mezi potřebným množstvím produkce na jedné straně a mezi potřebným časem na experimenty, který snižuje vlastní produktivní čas výroby, na straně druhé. •V praxi je obvyklé řešit tento problém tak, že se experimenty provádějí mimo pracovní dobu, např. na zvláštních nočních směnách, o sobotách a nedělích, apod. •Kdykoli je to možné, měli bychom také experimenty provádět v náhodném pořadí. Analýza výsledků experimentu •Analýza výsledků experimentů spočívá především v nalezení kombinace faktorů, která dává nejlepší výsledek z hlediska sledovaného znaku jakosti a dále v určení relativního podílu jednotlivých faktorů na jakosti výstupu. •Na závěr provádíme verifikaci výsledků ověřovacími experimenty. Příklad •Sleduje se, kolik stlačení (znak Y) vydrží pružina až do svého zničení v závislosti na těchto faktorech: •L = délka pružiny, •G = tloušťka drátu pružiny, •T = typ materiálu pružiny. •Má se zjistit, které faktory jsou rozhodující pro životnost pružiny. •Sestavme tabulku faktorů s jejich uvažovanými úrovněmi: pro každý faktor uvažujeme právě dvě úrovně, a proto se také v této souvislosti hovoří o dvouúrovňových plánech (existují také tříúrovňové plány, ale jsou méně typické): Úplný faktorový plán •Existuje více způsobů jak sestavit plán, podle kterého se budou provádět jednotlivé pokusy. Mezi nejpoužívanější plány patří tzv. úplný faktorový plán. O úplném plánu se hovoří z toho důvodu, že v tabulce jsou obsaženy všechny možné kombinace úrovní všech uvažovaných faktorů. Symbol Y představuje výsledek pokusu: Kódování •Uvedený plán experimentu je nicméně výhodnější psát pomocí následující symboliky: •Je-li každý z faktorů uvažován na dvou úrovních, je jeho dolní úroveň značena -1 (nebo jen „-„ ) a horní úroveň +1 ( „+“). •Víme, že počet pokusů, ze kterých je sestaven úplný experiment, se vypočítá při k faktorech pomocí vztahu: n=2k. Tedy v tomto případě 8 pokusů) • Výsledky experimentu •Po stanovení plánu je možné provést celý experiment a zaznamenat hodnoty sledovaného ukazatele Y. •V našem případě byl každý pokus opakován právě dvakrát. •Sestavením celé tabulky skončily přípravné a experimentální práce. Dále následují výpočty, jejichž cílem bude stanovit, které z faktorů ovlivňují významným způsobem životnost pružiny Y. Interakce faktorů •Vzhledem k tomu, že pro určení optimální úrovně faktorů a pro sestavení modelu je důležité také vědět, které dvojice faktorů mají vzájemně významnou interakci, počítá se rovněž i vliv interakcí na Y. •Může jít přitom nejen o dvoučlenné interakce, ale v případě celkem tří faktorů také o trojčlennou interakci: LG, LT, GT, LGT. •Interakce se doplňují do tabulky, tj. původní tabulka se rozšíří o nové sloupce, a znaménka v těchto nových sloupcích se získají jako součin znamének ze stejného řádku a ze sloupců, z „jejichž záhlaví je interakce sestavena“. Tabulka interakcí Efekty faktorů •Efektem faktoru se rozumí změna ukazatele kvality Y, kterou způsobí přechod tohoto faktoru z dolní úrovně (-) na horní úroveň (+). •Princip znaménkové metody, kterou budeme používat při výpočtu efektu faktoru, spočívá v tom, že se sečtou hodnoty ve sloupci Y, avšak každá původní hodnota v tomto sloupci je před součtem „obohacena“ o znaménko, odpovídající znaménku u příslušného faktoru v odpovídajícím řádku. Takový součet se pak vydělí číslem n/2, kde n je celkový počet experimentálních pokusů. Tabulka s efekty faktorů Rozptyl efektu faktorů Odhad rozptylu efektu faktorů Statistický test významnosti efektu faktoru •1. Nulová hypotéza Ho: Efekt faktoru je nevýznamný, • alternativní hypotéza H1: Efekt faktoru je významný. •2. Testové kriterium: • •3. Kritická hodnota • •n je počet pokusů bez opakování (počet řádků experimentálního plánu). •4. Závěr testu: pro • • se zamítá nulová hypotéza, což znamená, že efekt a tedy příslušný faktor je významný. V opačném případě je nevýznamný. Statistický test - příklad •Kritická hodnota: • • • • • • • • • • • • •Kritickou hodnotu K = TINV(0,05,8) = 2,306 převyšuje v absolutní hodnotě testové kriterium faktorů L, T a interakce GT. •To jsou tedy významné faktory a interakce, ostatní faktory vliv na životnost pružiny nemají. Grafické hodnocení efektu faktoru •Pokud máme jen jeden pokus, nelze spočítat rozptyl (s) a použije se následující grafická metoda. •V grafu se na vodorovnou osu vynáší efekt a na svislou osu hodnota P: • • •kde m je počet faktorů a interakcí. (zde m = 7) a i je níže v tabulce uvedeno jako „číslo“. Faktory jsou seřazeny od nejmenšího efektu (č.1) po největší (č. 7) •Významné budou faktory, které se nacházejí výrazně mimo hlavní linii (přímku). Při použití grafické metody je užitečné sestavit následující tabulku: Graf bodů pro vyhodnocení významnosti efektů faktorů •V grafu je vidět, že mimo hlavní linii jsou ty faktory, u nichž testovací kritérium překročilo kritickou hodnotu. Jsou to faktory L (nejvýrazněji), T a interakce GT: Grafy interakcí •Pro významné interakce se sestrojí grafy umožňující diskuzi o optimální úrovni jednotlivých faktorů, jež v této interakci vystupují. •Tak například pro interakci GT můžeme sestrojit graf vlivu G na ukazatel kvality Y v závislosti na úrovni faktoru T. •Z tabulky úplného plánu vybereme údaje, které odpovídají příslušným úrovním faktorů G a T: Příklad: Graf interakce GT •Z obrázku je vidět, že např. pro maximalizaci Y je nejlepší T na dolní úrovni (– T). Je také vidět, že interakce má jistý vliv na Y, jelikož průběh vlivu G se mění se změnou úrovně T. Model experimentu 23 Příklad: Model experimentu Děkuji za pozornost