Finanční a pojistná matematika Složené, smíšené a spojité úročení Nominální a reálná úroková míra Spoření FIU/BKFPM Ing. Roman Hlawiczka, Ph.D. Katedra financí a účetnictví Složené úročení •Složené úročení je typ úročení, které se využívá při uložení kapitálu na dobu delší než jedno úrokové období. •Úroky se připisují k jistině a spolu s ní se dále úročí. • •Z matematického hlediska: •Jednoduché úročení je aritmetická řada (úroky se počítají z téhož základu) •Složené úročení je geometrická řada (úroky se připisují k původnímu kapitálu a v následujícím období se opět úročí) • Složené úročení polhůtní Řešený příklad •Na účet úročený 3 % p.a. dnes vložíte 10 000 Kč. Jakou sumou budete disponovat za tři roky? • • • • • • Efektivní úroková míra Složené úročení Področní složené úročení Řešený příklad 2 •Jakou úrokovou sazbou by musel být úročen běžný účet v bance A s připisováním úroků jednou za rok, aby se vyrovnal běžnému účtu v bance B s měsíčním připisováním úroků a úrokovou sazbou 12 % p.a.? • • • • • • Složené úročení •1. Uložili jsme částku 110 000 Kč. Jak vysoký bude kapitál za 4 roky při složeném úročení polhůtním, jestliže úroková sazba činí 2,4 % p.a.se čtvrtletním úročením? •2. Při jaké úrokové sazbě se čtvrtletním připisování úroků se nám za dobu 5 let zúročí částka 50 000 EUR na 70 000 EUR? •3. Podnikatel dluží bance 200 000 Kč splatných za rok a 300 000 Kč splatných za 2 roky. Disponuje dostatečným obnosem, který není schopen lépe investovat, proto okamžitě vyrovná dluh. Kolik zaplatí, jestliže banka účtuje 15 % úrokovou sazbu s půlročním úročením a dovoluje předčasně splácet bez sankcí? Smíšené úročení •Kombinace složeného a jednoduchého úročení. • •Smíšené úročení se používá při uložení kapitálu na dobu, kterou nelze vyjádřit jako celý počet úrokových období. •Jde o kombinaci jednoduchého a složeného úročení, protože během jednoho úrokového období je pro vkladatele výhodnější jednoduché úročení a při uložení na více období zase složené úročení. • •V praxi se běžně stává, že kapitál je úročen po neúplný počet úrokovacích období. •V takovém případě pro celý ukončený počet úrokovacích období použijeme složené úročení, pro poslední, neúplné, úrokovací období použijeme jednoduché úročení. •Například kapitál máme uložen po dobu 5 let a 3 měsíce, úroky jsou připisovány ročně, takže po dobu 5 let úročíme pomocí složeného úročení a po dobu 3 měsíců pomocí jednoduchého úročení. • • • • Smíšené úročení •1. Vložili jsme do banky 175 000 Kč. Kolik Kč budeme mít na účtu za 2 roky a 11 měsíců při úrokové sazbě 2 % p.a.? Úroky jsou připisovány každé pololetí. •2. Jaká je doba splatnosti kapitálu, když jeho počáteční hodnota byla 13 000 Kč a v době splatnosti máme obdržet 13 799,76 Kč při úrokové sazbě 2 % p.a. a pololetním polhůtním úročení? • •3. Kolik Kč musíme dnes uložit na účet, abychom za 7 let a 8 měsíců měli k dispozici 135 000 Kč? Banka úročí při úrokové sazbě 2,05 % p.a. •4. Máme možnost dnes investovat do cenného papíru částku 3 200 Kč, přičemž za 3 roky získáme z tohoto cenného papíru částku 4 000 Kč. Je to výhodná investice, když si jinak můžeme peníze uložit do banky na účet s úrokovou sazbu 3,4 % p.a.? Spojité úročení – úroková intenzita Příklad •Na jakou částku se zúročí vklad 100 000 Kč za 1 rok a 6 měsíců při spojitém úročení s úrokovou sazbou 5 % p.a.? • •Čím častěji se připisují úroky, tím je to pro vkladatele výhodnější (protože se mu počítají úroky z úroků). Nárůst splatné částky má však svou hranici – graf závislosti budoucí hodnoty kapitálu za jeden rok na počtu úrokových období během jednoho ruky vypadá následovně: Nominální a reálná úroková míra •Úrokové sazby, které jsou oficiálně vyhlašované bankami, uvedené ve smlouvách nebo vytištěny na cenných papírech, jsou tzv. nominální úrokové sazby, to znamená takové, v jejichž hodnotě není zohledněna míra inflace. Reálnou úrokovou míru dostaneme, pokud do nominální úrokové míry zohledníme míru inflace. • • Inflace Reálná úroková míra Reálná úroková míra Příklad 2 •Jaká byla na konci roku 2017 cena zboží, které bylo možno na konci roku 2015 koupit za 1 000 Kč, jestliže míra inflace byla v roce 2016 - 15,2 %, v roce 2017 - 10,5 % a v roce 2017 byla 10,2 %. •Kolik stálo na konci roku 2015 zboží, které bylo možno na konci roku 2017 koupit za 1 000 Kč? • •3. Banka nám nabízí 2 typy termínovaných vkladů: •účet s 2 % roční úrokovou sazbou a s měsíčním připisováním úroků •účet s 2,1 % roční úrokovou sazbou a s pololetním připisováním úroků. •Který účet si vybereme? • •4. Vypočtěte reálnou úrokovou sazbu, je-li •nominální úroková sazba 6 % a míra inflace 2,5 %, •nominální úroková sazba je 3,5 % a míra inflace je taktéž 3,5 %, •nominální úroková sazba je 2,8 % a míra inflace je 3,2 %. •5. Jaká je výsledná úroková sazba, pokud klesla z 8,45 % o 61 b. p.? • •6. Vypočtěte cenu zboží na konci roku, když na začátku roku byla jeho cena 550 Kč. Obdrželi jsme výnos 44 Kč, reálná úroková sazba je 1,5 %. Spoření •Při spoření jsou zpravidla ukládány v pravidelných intervalech určité dané částky, které jsou úročeny úrokovou sazbou. • •V modelech spoření se rozlišuje období ukládací a období úrokovací. •Budeme předpokládat, že ukládací období je části období úrokovacího, nebo že je shodné s úrokovacím. • • Podle doby trvání spoření se rozlišuje: •Spoření krátkodobé – při kterém doba spoření nepřesáhne jedno úrokovací období. •Spoření dlouhodobé – při kterém doba spoření přesáhne jedno úrokovací období. • •Při krátkodobém spoření budeme používat jednoduché úročení, při dlouhodobém spoření budeme používat složeného úročení. Někdy také kombinaci krátkodobého a dlouhodobé spoření. •V předlhůtním spoření se částka ukládá na počátku příslušného období, v polhůtním spoření se částka ukládá na konci období. Krátkodobé spoření – budoucí hodnota anuity •1. Kolik uspoříme včetně úroků do konce roku, ukládáme-li počátkem každého měsíce 1.500 Kč při úrokové sazbě 3% p. a.? •2. Kolik musíme spořit na konci každého měsíce, abychom za rok našetřili 18.000 Kč při úrokové sazbě 3 % p. a.? • Dlouhodobé spoření – budoucí hodnota anuity •3. Za pět let plánujeme nákup nového automobilu. Značka, kterou jsme si vybrali, má dle prognózy vývoje cen stát v té době 750.000 Kč. Kolik musíme tedy spořit na počátku každého roku, abychom za pět let uspořili 750.000 Kč? Úspory dáváme na účet, úročený sazbou 5 % p.a. s ročním připisováním úroků. • •4. Za pět let plánujeme nákup nového automobilu. Značka, kterou jsme si vybrali, má dle prognózy vývoje cen stát v té době 750.000 Kč. Kolik musíme tedy spořit na konci každého roku, abychom za pět let uspořili 750.000 Kč při úrokové sazbě 5 % p.a. a ročním úrokovém období? Kombinace krátkodobého a dlouhodobého spoření •Kombinace krátkodobého a dlouhodobého spoření se používá v případě, že chceme zjistit, kolik uspoříme do konce n-tého období, jestliže ukládáme m-krát za jedno úrokové období. •Tento problém rozdělíme opět podle toho, zda ukládáme na počátku nebo na konci určité části, tedy m-tiny úrokového období, což znamená, že •budeme aplikovat vztah buď pro krátkodobé spoření předlhůtní, •nebo pro krátkodobé spoření polhůtní. Kombinace krátkodobého a dlouhodobého spoření 1. Naspořená částka při více úložkách v úrokovém období •Kolik uspoříme za tři roky, spoříme-li začátkem každého měsíce 1 700 Kč při neměnné 2% roční úrokové sazbě? Předpokládáme roční připisování úroků. • 2. Výše úložky ukládané vícekrát v úrokovém období •Za pět let plánujeme nákup nového automobilu. Značka, kterou jsme si vybrali, má dle prognóz vývoje stát v té době 750 000 Kč. Kolik musíme spořit počátkem každého čtvrtletí, abychom za pět let uspořili 750 000 Kč při neměnné roční úrokové sazbě 2,5 % a ročním připisováním úroků? • 3. Doba spoření •Jak dlouho je nutno spořit počátkem každého měsíce 500 Kč, aby uspořená částka dosáhla výše 50 000 Kč při neměnné 4% roční úrokové sazbě a ročním připisování úroků? • 4. Naspořená částka při připisování úroků vícekrát v roce •Kolik naspoříme za tři roky, ukládáme-li počátkem každého měsíce 1 000 Kč při úrokové sazbě 2,8 % p.a. a čtvrtletním úrokovém období? • Děkuji za pozornost a přeji pěkný den J