Kvantitativní metody
v ekonomické praxi
Distanční studijní text
Radmila Krkošková
Karviná 2017
Obor: Matematika, statistika.
Klíčová slova: matice, determinanty, posloupnost a její limita, funkce a její limita, diferenciální
počet jedné reálné proměnné, kvalitativní znaky, kvantitativní
znaky, binomické rozdělení, Poissonovo rozdělení, normální rozdělení,
exponenciální rozdělení, Chí-kvadrát test dobré shody, Chíkvadrát
test nezávislosti, regresní analýza.
Anotace: Publikace představuje studijní oporu základního vysokoškolského kurzu
matematiky a statistiky pro bakalářské studium na vysoké škole ekonomického
zaměření. Obsahově pokrývá základní témata: operace s
maticemi, determinanty, posloupnosti, funkce, derivace funkce jedné
reálné proměnné, kvalitativní a kvantitativní znaky, rozdělení pravděpodobnosti,
testování hypotéz, regresní analýza. Součástí textu jsou
řešené a neřešené příklady.
Autor: Mgr. Radmila Krkošková, Ph.D.
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
3
Obsah
ÚVODEM............................................................................................................................6
RYCHLÝ NÁHLED STUDIJNÍ OPORY...........................................................................7
1 MATICOVÝ POČET A DETERMINANTY...................................................................8
1.1 Operace s maticemi..............................................................................................9
1.1.1 Rovnost matic ................................................................................................10
1.1.2 Sčítání matic...................................................................................................10
1.1.3 Násobení matice reálným číslem ...................................................................11
1.1.4 Násobení matice maticí..................................................................................11
1.2 Transponovaná matice .......................................................................................13
1.3 Hodnost matice ..................................................................................................14
1.4 Inverzní matice...................................................................................................16
1.5 Maticové rovnice ...............................................................................................19
1.6 Determinant matice............................................................................................22
1.6.1 Vlastnosti determinantu .................................................................................23
1.6.2 Cramerovo pravidlo .......................................................................................28
2 POSLOUPNOST A LIMITA POSLOUPNOSTI...........................................................37
2.1 Posloupnost........................................................................................................38
2.2 Limita posloupnosti ...........................................................................................40
3 FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ A JEJÍ LIMITA.........................................50
3.1 Funkce jedné reálné proměnné ..........................................................................51
3.1.1 Vlastnosti funkcí............................................................................................52
3.1.2 Elementární funkce........................................................................................54
3.1.3 Definiční obor funkce ....................................................................................63
3.2 Limita funkce.....................................................................................................64
4 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ......................74
4.1 Pojem derivace funkce.......................................................................................74
4.2 Užití diferenciálního počtu – průběh funkce .....................................................81
4.2.1 Monotónnost funkce ......................................................................................81
4.2.2 Lokální extrémy funkcí..................................................................................82
4.2.3 Inflexní body funkce......................................................................................84
4.2.4 Konvexnost a konkávnost funkce ..................................................................86
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
4
5 POPISNÁ STATISTIKA – KVALITATIVNÍ A KVANTITATIVNÍ ZNAKY............90
5.1 Statistické znaky ................................................................................................91
5.2 Kvalitativní znaky..............................................................................................93
5.3 Kvantitativní znaky............................................................................................93
5.3.1 Četnosti ..........................................................................................................93
5.3.2 Modus a medián.............................................................................................95
5.3.3 Kvantily..........................................................................................................96
5.3.4 Průměry..........................................................................................................96
5.3.5 Variační rozpětí, rozptyl, směrodatná odchylka ............................................97
5.3.6 Variační koeficient.........................................................................................98
5.3.7 Koeficient šikmosti........................................................................................99
6 DISKRÉTNÍ A SPOJITÉ PRAVDĚPODOBNOSTNÍ MODELY ..............................104
6.1 Diskrétní a spojitá náhodná veličina................................................................105
6.2 Diskrétní pravděpodobnostní modely..............................................................107
6.2.1 Stejnoměrné rozdělení .................................................................................107
6.2.2 Binomické rozdělení ....................................................................................108
6.2.3 Poissonovo rozdělení ..................................................................................109
6.3 Spojité pravděpodobnostní modely..................................................................110
6.3.1 Stejnoměrné rozdělení .................................................................................110
6.3.2 Normální rozdělení ......................................................................................111
6.3.3 Exponenciální rozdělení...............................................................................113
7 TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ – PARAMETRICKÉ A NEPARAMETRICKÉ TESTY...117
7.1 Základní pojmy z testování hypotéz ......................................................................118
7.2 Postup při testování hypotézy – parametrický test ................................................120
7.2.1 Chyby při testování.........................................................................................122
7.3 Neparametrické testy hypotéz................................................................................123
7.3.1 Mediánový test................................................................................................124
7.3.2 Test dobré shody.............................................................................................125
7.3.3 Test nezávislosti kvalitativních znaků ............................................................126
8 JEDNODUCHÁ REGRESNÍ ANALÝZA...................................................................132
8.1 Metoda nejmenších čtverců ...................................................................................134
8.2 Koeficient determinace ..........................................................................................136
8.3 Korelační analýza...................................................................................................138
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
5
PŘÍLOHA ........................................................................................................................145
LITERATURA ................................................................................................................152
SHRNUTÍ STUDIJNÍ OPORY.......................................................................................153
PŘEHLED DOSTUPNÝCH IKON.................................................................................154
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
6
ÚVODEM
Tento text představuje studijní oporu pro studium kvantitativních metod studijních programů:
Cestovní ruch a turismus, Finance a účetnictví v bakalářském studiu na Slezské
univerzitě, Obchodně podnikatelské fakultě v Karviné. Tato studijní opora obsahuje vybrané
kapitoly ze studijních opor Kvantitativní metody (Stoklasová, 2013) a Statistika
(Ramík a Stoklasová, 2014).
Studijní opora je rozdělena do 8 kapitol. První polovina studijní opory je věnována základům
matematiky, druhá část se zabývá základy statistiky. V první části se seznámíte
s maticovým počtem, determinanty, zopakujete si pojem číselná posloupnost a naučíte se
počítat její limitu. Znalosti o elementárních funkcích jistě máte ze střední školy a rozšíříte
si je o znalosti transcendentních funkcí. Budete umět určit definiční obor funkce, znát
grafy funkcí, vypočítat limitu funkce. Matematická část je ukončena diferenciálním počtem
funkce jedné reálné proměnné, kde je důraz kladen na vyšetřování průběhu funkce
(určení extrémů, inflexních bodů).
Druhá část studijní opory je věnována základům statistiky a statistických metod. Zde se
požaduje znalost kombinatoriky a základů pravděpodobnosti. Postupně se seznámíte
s rozdělením statistických znaků na kvalitativní a kvantitativní a s jejich charakteristikami
polohy a variability. Další kapitola je věnována rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny.
Jedná se o diskrétní rozdělení (stejnoměrné, binomické a Poissonovo) a spojité
rozdělení (stejnoměrné, normální a exponenciální). Normální rozdělení je jedno nejdůležitější
ve statistice. V předposlední kapitole jsou uvedeny testy hypotéz, jak parametrické,
tak neparametrické. Z neparametrikých se zaměříme na mediánový test, test dobré shody
a test nezávislosti. Poslední kapitola se zabývá studiem regresní analýzy. Zaměříme se na
jednoduchou lineární regresní analýzu.
Každá kapitola začíná distančními prvky: rychlý náhle kapitoly, cíle kapitoly, čas potřebný
ke studiu a klíčová slova kapitoly. Doporučuji tyto prvky bedlivě pročíst, hlavně cíle
kapitoly, aby bylo zřejmé, co musíte znát a umět. Součástí každé kapitoly jsou řešené
příklady, které doporučuji prostudovat. V závěru pak najdete shrnutí kapitoly a otázky,
kde jsou příklady k procvičení.
Pokud zvládnete každou kapitolu aspoň v rozsahu řešených příkladů, tak získáte náhled,
který vám umožní pochopit a osvojit si praktické zásady analýzy informací.
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
7
RYCHLÝ NÁHLED STUDIJNÍ OPORY
Tato studijní opora obsahuje vybrané kapitoly ze studijních opor Kvantitativní metody a
Statistika.
První část studijní opory je věnována matematické oblasti. První kapitola je věnována
lineární algebře. Jsou zde uvedeny základní vlastnosti matic a determinantů. Kapitola
druhá rozšíří Vaše znalosti o číselných posloupnostech a jejich limitách. Důležitá je třetí
kapitola, která je věnována funkcím jedné reálné proměnné. Jsou zde uvedeny grafy elementárních
funkcí a jejich vlastnosti. Mezi jednu z nejdůležitějších patří 4. kapitola, která
je věnována diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné.
Další kapitoly pokrývají oblast statistiky. V 5. kapitole se seznámíte se statistickými znaky,
jejich rozdělením, charakteristikami polohy a variability. Následující 6. kapitola je
věnována náhodné veličině (diskrétní a spojité) a pravděpodobnostním modelům.
Z diskrétních modelů jsou uvedeny: stejnoměrné rozdělení, binomické a Poissonovo rozdělení.
Ze spojitých pravděpodobnostních modelů jsou uvedeny: stejnoměrné, normální a
exponenciální rozdělení. Testováním hypotéz (parametrických i neparametrických) se
zabývá kapitola 7. Z neparametrických testů se seznámíte s mediánovým testem, testem
dobré shody a s testem nezávislosti. Poslední kapitola je věnována problematice regresní
analýzy, kde důraz je kladen na lineární regresní model.
Jednotlivé poznatky jsou podrobně vysvětleny a dále aplikovány na řešených příkladech.
Na konci každé kapitoly je sada několika úloh i s jejich výsledky.
1 Maticový počet a determinanty
8
1 MATICOVÝ POČET A DETERMINANTY
RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY
V této kapitole zavedeme pojem matice reálných čísel a příslušné operace, které s maticemi
běžně vykonáváme. Všechny tyto operace mají své přímé opodstatnění v reálné
praxi. Pojem matice nám umožňuje výhodně zapsat komplikované systémy lineárních
rovnic do tabulkové podoby. Druhá část této kapitoly se zabývá zavedením pojmu determinant
matice, který je její základní číselnou charakteristikou. Existuje několik důvodů,
které nás vedou k pojmu determinantu. Mezi nejdůležitější můžeme zařadit tyto: nalezení
inverzní matice, charakteristika řešitelnosti systémů lineárních rovnic, některé aplikace
využívající pojem vlastních čísel.
CÍLE KAPITOLY
Po prostudování této kapitoly budete umět:
 základní operace s maticemi (sčítání, násobení)
 vypočítat transponovanou matici,
 řešit maticové rovnice,
 vypočítat determinant matice,
 použít Cramerovo pravidlo pro výpočet soustavy lineárních rovnic.
ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU
K prostudování této kapitoly budete potřebovat asi 90 minut.
KLÍČOVÁ SLOVA KAPITOLY
Matice, operace s maticemi, inverzní matice, determinant, Sarussovo pravidlo, Cramerovo
pravidlo.
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
9
1.1 Operace s maticemi
Začněme příkladem matice typu (3,4). Takto zapíšeme typ matice, která má 3 řádky a
4 sloupce. Konkrétním příkladem může být například tato matice













0854
5632
7412
A .
DEFINICE 1
Maticí typu (m,n) nazýváme množinu prvků aik uspořádaných do m řádků a n sloupců,
tj. schéma
.
.....
......................
......................
.......
.......
21
22221
11211












mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
Stručněji zapisujeme: A = (aik), i = 1, 2,...,m, k = 1, 2,...,n .
Pro zápis matic se někdy používají ještě další 2 typy závorek:
A = aik , A =  aik .
První index „i“ se nazývá řádkový index, druhý index „k“ se nazývá sloupcový index.
Prvky matice mohou být reálná čísla, komplexní čísla, funkce, operátory, vektory a také
matice.
Hlavní diagonálu matice A tvoří prvky a11, a22,..., app ,kde p = min  nm, , vedlejší diagonálu
prvky a1n , a2 n-1, a3 n-2,...
Matice lze podle tvaru rozdělit na čtvercové (m = n) a obdélníkové (m n).
Matice typu (n, n) se nazývá čtvercová matice stupně (řádu) n.
Bodová matice je matice typu (1,1).
Typy matic:
a. nulová matice 0, jejíž prvky jsou nuly, tj. aik = 0, i, k,
b. diagonální matice je čtvercová matice, jejíž prvky neležící v hlavní diagonále jsou
nuly, tj. aik = 0 pro i  k,
c. jednotková matice E je diagonální matice, jejíž prvky v hlavní diagonále jsou jedničky,
tj. aik = 1 pro i = k, aik = 0 pro i  k,
d. trojúhelníková matice je matice, která má pod (resp. nad. hlavní diagonálou samé
nuly, tj. pro :
horní trojúhelníkovou matici je aik = 0 pro i  k,
dolní trojúhelníkovou matici je aik = 0 pro i  k,
e. symetrická matice je čtvercová matice , pro kterou platí aik = aki , i, k,
f. antisymetrická matice je čtvercová matice, pro kterou platí aik = kia , i, k,
1 Maticový počet a determinanty
10
1.1.1 ROVNOST MATIC
Matice A = (aik), B = (bik) téhož typu (m, n) se sobě rovnají, mají-li na stejných místech
stejné prvky: A = B  aik = bik , i, k.
ŘEŠENÁ ÚLOHA 1
Vypočtěte a, b, c  R, jestliže platí:
a a b
c b







 







3
2 5
2 6
.
Řešení.
Z podmínek o rovnosti odpovídajících si prvků v obou maticích sestavíme soustavu 4
rovnic:
a = 2,
a + b = 5,
c = ,2
3 + b = 6.
Řešením dostaneme: a = 2, b = 3, c = .2
1.1.2 SČÍTÁNÍ MATIC
Součtem matic A = (aik), B = (bik) téhož typu (m, n) rozumíme matici, jejíž prvky
jsou součtem odpovídajících si prvků v maticích A a B, tj.
A + B = (aik + bik), i, k.
ŘEŠENÁ ÚLOHA 2
Vypočtěte A + B, je-li dáno:
A 


 










2 1 3
1 0 4
3 2 1
,













 .
310
431
102
B
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
11
Řešení.













 .
213
832
214
BA
Vlastnosti sčítání matic:
A + B = B + A (komutativní zákon)
A + (B + C ) = (A + B) + C, (asociativní zákon)
A + 0 = 0 + A = A,
A + ( A ) = ( A ) + A = 0.
Všimněte si, že matice A, B musí být stejného typu, matice různých typů nelze sčítat! Dále
0 je nulová matice stejného typu jako matice A.
1.1.3 NÁSOBENÍ MATICE REÁLNÝM ČÍSLEM
Součinem čísla r a matice A typu (m,n) nazýváme matici rA = (raik), i, k. Výsledná
matice je téhož typu (m,n), přitom každý prvek původní matice vynásobíme číslem r.
ŘEŠENÁ ÚLOHA 3
Vypočtěte rA, je-li dáno r = 2 , A 








3 2
1 0
.
Řešení.
 





2
6 4
2 0
A .
Nechť p, q R a A, B jsou matice téhož typu. Pro násobení matice číslem platí:
pA = Ap,
( 1 ) A = A ,
p (A + B) = pA + pB,
(p + q) A = p A + qA,
p(qA) = (pq) A,
1A = A.
1.1.4 NÁSOBENÍ MATICE MATICÍ
Součinem matice A typu (m,n) a matice B typu (n,p) v daném pořadí je matice C = A.B
typu (m,p), pro jejíž prvky cik platí: ....
1
2211

n
j
nkinkikijkijik babababac
1 Maticový počet a determinanty
12
Uvědomte si, že podmínkou existence definovaného součinu AB je rovnost počtu sloupců
matice A a počtu řádků matice B.
ŘEŠENÁ ÚLOHA 4
Vypočtěte AB, je-li dáno:
a. A  











2 1
1 3
0 2
, B 








1 3
2 4
,
b. A  











2 1
1 3
0 2
, B 






2
1
,
c. A  











2 1
1 3
0 2
, B 










2 1 3
0 1 2
3 2 6
.
Řešení.
a.
   
      
      


































4.23.0221.0
4.33.12.31.1
4.13.22.11.2
42
31
20
31
12
AB
.
84
157
20
8040
12361
4622


























b. AB =












20
31
12
2
1





 = .
2
1
5
20
32
14

























Násobili jsme matice typu (3,2)(2,1) a výsledkem je matice typu (3,1).
c. Nelze násobit matice typu (3,2)(3,3), protože počet řádků první matice není roven
počtu sloupců matice druhé. Součin BA je definován, neboť násobíme matice typu
(3,3)(3,2) a výsledná matice bude typu (3,2).
Vlastnosti součinu matic:
EA = AE = A,
A (BC) = (AB)C,
A0 = 0A = 0,
p (AB) = (pA) B =A (pB),
A (B + C) = AB + AC,
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
13
(A + B) C = AC + BC.
Komutativní zákon obecně pro součin matic neplatí! Pokud dvě matice tento zákon
splňují, tj. platí pro ně rovnost AB = BA, pak se nazývají záměnné. Například každá diagonální
matice řádu n je záměnná s každou diagonální maticí téhož řádu.
1.2 Transponovaná matice
Transponovaná matice z matice A typu (m,n) je matice AT
typu (n,m), která vznikne
z matice A vzájemnou výměnou řádků a sloupců ve stejném pořadí (tj. překlopením prvků
matice kolem hlavní diagonály). Označujeme ji AT
.
Pro operace s transponovanou maticí platí:
(A + B)T
= AT
+ BT
,
(pA)T
= pAT
,
(AB)T
= BT
AT
.
ŘEŠENÁ ÚLOHA 5
Transponujte matici A 

 






3 2 0
1 4 3
.
Řešení.
AT














3 1
2 4
0 3
.
ŘEŠENÁ ÚLOHA 6
Vypočtěte matici C =  3 AT
+ 2BT
, je-li dáno:
A 








1 2 0
2 3 1
, B 








3 2 0
1 1 2
.
1 Maticový počet a determinanty
14
Řešení.
Nejprve vypočítáme matice transponované a pak dosadíme do požadované rovnosti.
AT

 









1 2
2 3
0 1
, ,
20
12
13










T
B
 






















































 

10
1110
89
40
24
26
30
96
63
20
12
13
2
10
32
21
3C
1.3 Hodnost matice
Na řádky a sloupce matice se můžete dívat jako na řádkové a sloupcové vektory. Lineární
závislost a nezávislost řádků (sloupců) matice se pak definuje analogicky jako u vektorů.
DEFINICE 2
Hodnost h(A) matice A je maximální počet lineárně nezávislých řádků matice A. Hodnost
nulové matice 0 je nula. Hodnost matice je také možné definovat jako maximální
počet lineárně nezávislých sloupců matice. Obě definice jsou ekvivalentní.
Hodnost matice se nezmění, jestliže v matici provedeme tzv. řádkové elementární
úpravy:
1. vyměníme dva řádky matice,
2. násobíme řádek matice nenulovým číslem,
3. přičteme-li k jednomu řádku matice lineární kombinaci ostatních řádků,
4. vynecháme -li v matici řádek, který je lineární kombinací ostatních řádků.
Aniž by se změnila hodnost matice lze stejné úpravy provádět i se sloupci matice, neboť
platí: h(A) = h(AT
).
Určování hodnosti matice
Pomocí řádkových elementárních úprav převedeme matici A na horní (resp. dolní) trojúhelníkovou
matici B, která má všechny prvky na hlavní diagonále nenulové. Hodnost
h(A) matice A je pak rovna počtu řádků trojúhelníkové matice B.
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
15
ŘEŠENÁ ÚLOHA 7
Určete hodnost matice .
0423
1021
1311
0123















A
Řešení.
Hodnost matice zjišťujeme zpravidla tak, že danou matici převedeme řádkovými
úpravami uvedenými výše na matici, která má v diagonále vesměs nenulové prvky a
pod diagonálou samé nuly. Hodnost matice je pak rovna počtu řádků.
Postupujeme tedy takto: vzájemnou výměnou prvního a posledního sloupce a potom prvního
a druhého řádku dostaneme nejprve matici















3420
1021
1311
3120
a potom matici .
3420
1021
3120
1311















V další úpravě se snažíme pod prvkem 011 a dostat samé nuly. Toho dosáhneme, když
ke třetímu řádku přičteme první:
.
3420
2330
3120
1311














Pro snazší výpočet bude jednodušší, když budeme mít .122 a Vyměníme druhý a třetí
sloupec:
.
3240
2330
3210
1131














Při dalších úpravách se opět snažíme, aby prvky pod 22a byly rovny nule, proto ke třetímu
řádku přičteme druhý řádek vynásobený číslem  3 a ke čtvrtému řádku druhý řádek
vynásobený číslem  4 . Dostaneme:
.
9600
7300
3210
1131
















1 Maticový počet a determinanty
16
Prvek 033 a . Snažíme se, aby prvek pod prvkem 33a byl roven nule. Toho dosáhneme
tak, že ke čtvrtému řádku přičteme třetí řádek násobený číslem  2 :
.
5000
7300
3210
1131















Upravili jsme původní matici na matici horní trojúhelníkovou. Hodnost matice trojúhelníkové
i hodnost původní matice je h = 4 (počet nenulových řádků).
DEFINICE 3
Čtvercová matice A typu n se nazývá regulární, jestliže její hodnost je rovna počtu
řádků (sloupců), tj. h(A) = n. Čtvercová matice, která není regulární se nazývá singulární.
O regulárnosti či singulárnosti hovoříme pouze u čtvercových matic.
ŘEŠENÁ ÚLOHA 8
Zjistěte, zda vektory u =  ,5,2,1  v =  ,2,1,3  w =  23,9,2  jsou lineárně závislé.
Řešení.
Dané vektory napíšeme jako řádky matice a vypočítáme její hodnost. Bude-li rovna počtu
daných vektorů, jsou vektory lineárně nezávislé, bude-li tomu naopak jsou vektory lineárně
závislé.
1 2 5
3 1 2
2 9 23
1 2 5
0 5 13
0 5 13
1 2 5
0 5 13




































h = 2  vektory u, v, w jsou lineárně závislé.
1.4 Inverzní matice
V této kapitole začneme jednoduchým příkladem, na kterém budeme definovat pojem
inverzní matice. Najděte matici, která bude vyhovovat následující rovnosti:
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
17


















10
01
43
21
dc
ba
.
Násobíme matice na levé straně rovnosti a dostáváme:














10
01
4343
22
dbca
dbca
.
Dále řešíme soustavu rovnic:
143
043
02
12




db
ca
db
ca
Řešením je soustavy je a = – 2, b =1, 5,1c , 5,0d .
Hledaná matice je tvaru 















13
24
2
1
5,05,1
12
.
Tuto matici pak nazveme inverzní maticí k matici 





43
21
.
DEFINICE 4
Inverzní maticí k regulární matici A řádu n nazveme matici A-1
, pro kterou platí:
AA-1
= A-1
A = E,
kde E je jednotková matice řádu n.
Ke každé regulární matici existuje právě jedna matice inverzní.
Vlastnosti inverzních matic:
E-1
= E,
(A-1
)-1
= A,
(AB)-1
= B-1
A-1
.
Výpočet inverzní matice se provádí pomocí elementárních řádkových transformací.
ŘEŠENÁ ÚLOHA 9
Určete k dané matici A inverzní matici A-1
, je-li:
1 Maticový počet a determinanty
18
a. ,
52
13







A b. .
123
201
312













A
Řešení.
Každou matici A řádu n lze jen řádkovými (resp. jen sloupcovými) úpravami převést
na jednotkovou matici E. Jestliže se stejných úprav použije na řádky (resp. sloupce)
jednotkové matice E téhož řádu, pak z této jednotkové matice obdržíme inverzní matici
A-1
. Výchozí matice je tvaru (A, E).
a. V následujícím schématu upravujeme matici A tak, abychom na pozicích prvků
1221, aa dostali nulové prvky a v hlavní diagonále jedničky.
  .
1052
0113
, 






EA
Následující čtyři úpravy vedou k výpočtu matice A-1
:
1. k  3 násobku 2. řádku přičteme  2 násobek 1. řádku,
2. k  17 násobku 1.řádku přičteme 1.řádek,
3. 1.řádek dělíme číslem  3 ,
4. oba řádky dělíme číslem .17
 
 .,
17
3
17
2
10
17
1
17
5
01
32170
15017
32170
315051
32170
0113
.
1052
0113
,
1













































AE
EA
Inverzní matice: .
32
15
17
11








A
b. Opět se budeme snažit získat nulové prvky na pozicích .,,,,, 121323323121 aaaaaa Přesně
v tomto pořadí. Postupujeme následovně:
1. k (2)násobku 2. řádku přičteme 1. řádek, k (2)násobku 3. ádku přičteme  3 násobek
1. řádku,
2. k 3. řádku přičteme  1 násobek 2. řádku,
3. k  6 násobku 2. řádku přičteme 3. řádek, k (2)násobku 1. řádku přičteme 3. řádek,
4. k (3)násobku 1. řádku přičteme 2. řádek,
5. 1. řádek dělíme číslem (12), 2. řádek číslem (6), 3. řádek číslem .6















100
010
001
123
201
312
),( EA 













203
021
001
710
110
312
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
19















224
021
001
600
110
312
















224
21410
222
600
060
024
















224
21410
82016
600
060
0012
 1
,
6
2
6
2
6
4
100
6
2
6
14
6
10
010
12
8
12
20
12
16
001





















AE
Po zkrácení zlomků a vytknutí
3
1
dostaneme A

 
 











1 1
3
4 5 2
5 7 1
2 1 1
.
Výsledek ověříme vypočtením součinu AA-1
= E.
1.5 Maticové rovnice
Maticová rovnice je rovnice, kde neznámá je matice. Při řešení maticových rovnic používáme
maticové operace součtu a součinu a nesmíme zapomenout, že pro součin matic
obecně neplatí komutativní zákon. To mimo jiné znamená, že při úpravách rovnic (pokud
násobíme rovnici libovolnou maticí), je nutné obě strany rovnice násobit danou maticí
současně buď zleva nebo zprava.
Připomínáme dva důležité vztahy, které budeme při řešení maticových rovnic používat:
1. pro regulární matici D platí: DD-1
= D-1
D = E,
2. pro matici X platí: XE = EX = X.
ŘEŠENÁ ÚLOHA 10
Řešte maticové rovnice:
a) 𝐴𝑋 = 𝐵; kde 𝐴 = (
1 2
−1 3
), 𝐵 = (
2 1
3 0
)
b) 𝑋𝐴 = 𝐵; kde 𝐴 = (
1 0
2 −1
), 𝐵 = (
1 1
1 1
)
Řešení.
a) Z maticové rovnice vyjádříme matici X tak, že rovnici násobíme maticí 𝐴−1
zleva:
𝐴𝑋 = 𝐵 /. 𝐴−1
1 Maticový počet a determinanty
20
𝐴−1
. 𝐴. 𝑋 = 𝐴−1
. 𝐵
𝑋 = 𝐴−1
. 𝐵
𝐴−1
=
1
5
(
3 −2
1 1
)
𝑋 =
1
5
(
3 −2
1 1
) . (
2 1
3 0
) =
1
5
(
0 3
5 1
)
b) Z maticové rovnice vyjádříme matici X tak, že rovnici násobíme maticí 𝐴−1
zprava:
𝑋𝐴 = 𝐵 /. 𝐴−1
𝑋. 𝐴. 𝐴−1
= 𝐵. 𝐴−1
𝑋 = 𝐵. 𝐴−1
𝐴−1
= (
1 0
2 −1
)
𝑋 = (
1 1
1 1
) . (
1 0
2 −1
) = (
3 −1
3 −1
)
ŘEŠENÁ ÚLOHA 11
Řešte maticové rovnice:
a. ,2 CXDXBAX TT
 kde
,
10
21
,
21
03
,
32
10
,
12
01





 



















 DCBA
b. ,2 TT
XBCXA  kde
,
20
13
,
41
21
,
31
20





















 CBA
Řešení.
a. Nejprve vyjádříme z maticové rovnice neznámou matici X:
  .2
,2
,2
TT
TT
TT
DXCBA
DCXXBAX
CXDXBAX



Označme matici FCBA T
 a dostáváme:
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
21
.2
,2
)maticízlevarovnicimaticovou(násobíme,2
1
11
1
T
T
T
DFX
DFFXF
FDFX






Vypočteme matici 



















21
03
31
20
12
01
F 






02
24
F .
Vypočteme matici .
21
10
2
11








F
Dosadíme do rovnosti T
DFX 1
2 
 a dostáváme:
.
23
12
12
01
21
10
2
1
2 






















 XX
b. Řešíme stejným způsobem uvedeným výše:
  .2
,2
,2
CBAX
CXBXA
XBCXA
TT
TT
TT



Označme matici FBA TT
 a dostáváme:
.2
,2
)maticízpravarovicimaticovu(násobíme,2
1
11
1






CFX
CFXFF
FCXF
Vypočteme matici .
74
21
42
11
32
10





 












 
 FF
Vypočteme matici .
14
271








F
Dosadíme do rovnosti 1
2 
 CFX a dostáváme:
.XX 




















416
1450
14
27
20
13
2
1 Maticový počet a determinanty
22
1.6 Determinant matice
Každé čtvercové matici je přiřazeno číslo, které nazýváme determinantem matice. Pokud
matice není čtvercová, tak determinant definován není. Pro determinant užíváme tato
označení:
det A = det   .
...
.........
...
1
111
nnn
n
ijij
aa
aa
aAa 
DEFINICE 5
Čtvercovou matici A nazýváme regulární  det A  0.
Čtvercovou matici B nazýváme singulární  det B = 0.
DEFINICE 6
Výpočet determinantu druhého řádu:
det A = .21122211
2221
1211
aaaa
aa
aa

Determinant se rovná rozdílu součinu prvků hlavní diagonály a součinu prvků vedlejší
diagonály.
ŘEŠENÁ ÚLOHA 12
Vypočtěte determinant .
25
13

Řešení.     .15.12.3
25
13


Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
23
DEFINICE 7
Výpočet determinantu třetího řádu (Sarussovo pravidlo):
detA=
.312213322113332112312312322311332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa

ŘEŠENÁ ÚLOHA 13
Vypočtěte .
332
113
421


Řešení.
Řešíme Sarussovým pravidlem – připíšeme první dva sloupce:



32
13
21
332
113
421
             ............. 36332311214334212311 
1.6.1 VLASTNOSTI DETERMINANTU
1. Determinant matice A se rovná determinantu transponované matice AT
.
Platí: .
8913
367
1642
8316
964
1372

2. Jestliže v matici vzájemně zaměníme dva řádky (resp. dva sloupce), změní determinant
matice znaménko.
Platí: .
8316
1372
964
8316
964
1372

1 Maticový počet a determinanty
24
3. Společného nenulového činitele k všech prvků jednoho řádku (resp. jednoho sloupce)
matice lze vytknout před determinant.
Platí: .
838
952
1371
2
8316
964
1372

Obráceně: 5 .
81516
9304
13352
8316
964
1372

4. Determinant matice se rovná nule, jestliže:
a. všechny prvky aspoň jednoho řádku(resp.jednoho sloupce) jsou rovny nule,
b. jeden řádek (resp. sloupec. matice je lineární kombinací řádků (resp. sloupců) s ním
rovnoběžných.
Platí: .0
533216
964
1372

Třetí řádek je součtem dvojnásobku prvního řádku a trojnásobku druhého řádku.
5. Jestliže k některému řádku (resp. sloupci) matice přičteme lineární kombinaci zbývajících
řádků (resp. sloupců), potom determinant nové matice je stejný, jako determinant
původní matice.
6. Jsou-li A, B čtvercové matice stejného řádu, platí: det (AB) = detA. det B.
Platí: .
234
012
120
.
141
052
321
1912
2110
7914







DEFINICE 8
Doplněk prvku ija
Ve čtvercové matici A vypustíme i-tý řádek a j-tý sloupec. Obdržíme tak matici typu
 1,1  nn . Její determinant označíme 
ijA a nazveme subdeterminantem prvku ija
v matici A. Číslo   
 ij
ji
ij AA 1 nazýváme doplňkem prvku ija v matici A.
Zapamatujte si, že doplněk (daného prvku) je subdeterminantem (tohoto prvku) opatřený
vhodným znaménkem.
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
25
Ve schématu

















............................
...
...
...
je naznačena symbolem +, resp. symbolem  „poloha“
prvků, jejichž subdeterminant a doplněk se sobě rovnají, resp. liší se znaménkem.
ŘEŠENÁ ÚLOHA 14
Určete v matici












213
712
631
doplněk prvku 23a a prvku a31.
Řešení.
Nejprve vypočteme příslušné subdeterminanty, které pak dosadíme do vztahu
  
 ij
ji
ij AA 1 .
    ,1010110
13
31 32
2323 

 
AA
  .1515115
71
63 13
3131  
AA
DEFINICE 9
Výpočet determinantu řádu n  3 (rozvoj determinantu podle prvků určitého řádku
resp. sloupce):
Vztah pro rozvoj determinantu podle prvků i-tého řádku :
det A = ....2211 ininiiii AaAaAa 
Vztah pro rozvoj determinantu podle j-tého sloupce:
det A = ....2211 njnjjjjj AaAaAa 
Pomocí uvedených vztahů počítáme především determinanty řádu n > 3, protože pro výpočet
determinantů řádu n = 3 používáme Sarrusovo pravidlo. V následujícím příkladě
vypočteme determinant rozvojem.
Zap
1 Maticový počet a determinanty
26
ŘEŠENÁ ÚLOHA 15
Vypočítejte determinant
032
123
212
rozvojem podle třetího řádku.
Řešení.
     
.60126
23
12
1.0
13
22
1.3
12
21
1.2
032
123
212
332313



ŘEŠENÁ ÚLOHA 16
Vypočtěte determinant .
1
1
x
x
e
e

Řešení.
.011
1
1 0
 

eee
e
e xx
x
x
ŘEŠENÁ ÚLOHA 17
Vypočtěte determinant .
121
522
312


Řešení.
Řešíme Sarrusovým pravidlem:
        .91.2.12.5.21.2.32.2.31.5.11.2.2
21
22
12
121
522
312



Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
27
ŘEŠENÁ ÚLOHA 18
Určete parametr k R tak, aby:
a. matice A byla regulární,
b. matice B byla singulární.











k
A
25
101
123









23
27
k
k
B
Řešení.
a. Matice A je regulární  det A  0. Řešíme proto následující rovnici, kde determinant
vypočteme Sarrusovým pravidlem.
.30260
25
101
123
 kk
k
Matice A je regulární pro    .,33, k
b. Matice B je singulární  det B = 0. Řešíme rovnici:
Matice B je singulární pro  .4,5k
ŘEŠENÁ ÚLOHA 19
Řešte nerovnici: .0
311
121
111



x
x
Řešení.
Sarrusovým pravidle vypočteme daný determinant:
       
   012
02
02
03121132
2
2




xx
xx
xx
xxxx
+ _ +
Řešení nerovnice je .1,2x
   .0540200
23
27 2



kkkk
k
k
-2 1
1 Maticový počet a determinanty
28
1.6.2 CRAMEROVO PRAVIDLO
Pomocí Cramerova pravidla můžeme řešit soustavu lineárních rovnic, je-li matice soustavy
regulární. Pro numerické výpočty není Cramerovo pravidlo výhodné, protože výpočet
determinantů je pracný. Výhodou Cramerova pravidla je explicitní vyjádření řešení, což
v mnoha úvahách v matematice i v aplikacích je důležité.
Nechť je dána soustava n rovnic o n neznámých
....
...............................
,...
11
11111
nnnnn
nn
bxaxa
bxaxa


Nechť matice A této soustavy je regulární (tj. det A 0 ). Potom soustava má právě jedno
řešení a platí:
A
B
x i
i
det
det
 pro všechna  ,,...,2,1 ni 
kde Bi je matice, která vznikne z matice A tak, že i-tý sloupec matice A nahradíme aritmetickým
vektorem pravých stran soustavy a ostatní sloupce ponecháme beze změny. Tento
postup ilustrují následující příklady.
ŘEŠENÁ ÚLOHA 20
Pomocí Cramerova pravidla řešte soustavu rovnic
32
532


yx
yx
.
Řešení.
Nejprve vypočteme příslušné determinanty a pak jejich hodnoty dosadíme do příslušných
vztahů.
134
21
32
det 


A ,
,1910
23
35
det 


xB 156
31
52
det 

yB .
Na základě Cramerova pravidla dostáváme:
1
1
1
det
det

A
B
x x
, 1
1
1
det
det



A
B
y
y
.
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
29
ŘEŠENÁ ÚLOHA 21
Pomocí Cramerova pravidla řešte soustavu:
.1223
17532
72



zyx
zyx
zyx
Řešení.
Vypočteme příslušné determinanty:
detA= ,6
123
532
211




,18
1212
5317
217
det 



xB
,12
1123
5172
271
det 

yB .6
1223
1732
711
det 



zB
Daná soustava má právě jedno řešení:
,3
6
18
det
det

A
B
x x
,2
6
12
det
det



A
B
y
y
.1
6
6
det
det

A
B
z z
SHRNUTÍ KAPITOLY
Tato kapitola byla věnována základům lineární algebry. Konkrétně maticovému počtu
a determinantu matice. V této kapitole jste se naučili základní operace s maticemi jako je
sčítání matic, násobení matice reálným číslem, násobení matice maticí. Byl zde také zaveden
pojem transponovaná a inverzní matice. Pomocí inverzní matice se počítají maticové
rovnice a dá se tím také definovat regularita matice. V této kapitola byla regularita
matice definována pomocí determinantu matice. V závěru kapitoly bylo představeno
Cramerovo pravidlo, pomocí kterého se dají řešit určité typy soustav lineárních rovnic.
OTÁZKY
1.1 Řešte příklady k maticovému počtu.
1 Maticový počet a determinanty
30
1) Jsou dány matice:
A 











1 3
2 5
1 2
, B 












2 0
1 4
7 5
, C 












1 1
4 6
7 3
.
Určete matice:
a. 3A, b. A + B, c. ,CA d. ,52 AC 
2) Jsou dány matice:
,
110
543
211












A B 











0 2 1
3 0 5
7 6 0
, C 











0 0 2
3 1 0
0 2 4
.
Určete matice:
a. BA 2 b. CA 3 c. A + B + C
3) Najděte matici D třetího řádu tak, aby platilo A + B + C + D = 0. Matice A, B, C
jsou matice z příkladu 2.
4) Vypočtěte součiny AB a BA , kde A a B jsou následující matice:
a. A 







1 3
2 4
, B 






3 2
5 6
,
b. A 

 











1 2 0
3 1 2
1 1 3
, ,
021
110
232












B
.
50
02
41
,
42
31
















 BA
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
31
5) Vypočtěte následující součiny matic:
a.
2 3
4 1
1 3 2
1 2 3












 , b.
3 2
1 2
0 1
2 0 1
1 3 2
















 ,
c.
   























1 2 3 4
2 1 3 1
1 2 0 1
4 1 2 3
1
2
3
4
, d.
2 1 2 1
1 2 1 2
1 1
2 2
1 1
2 2
 






















.
6) Jsou dány matice A, B, C :
A 










1 2 1
0 1 2
3 0 1
, B 












1 2 1
0 1 1
1 2 1
, C 











3 2 0
1 3 1
1 0 2
.
Určete matice D, F, G, jestliže platí:
 CBAD  , ,BAF T
 .BAG T

7) Zjistěte, pro která x, y R platí:
a. 















y
y
yx
yx
31
5112
41
523
b. .
81
30
1132
41
30
12



























y
yx
yx
y
8) Určete x, y R tak, aby matice B byla transponovanou maticí k matici A :
a. ,
42
32









y
yx
A B 






0 2
3 7
,
b. ,
42
32









y
yx
A 








49
42
B .
1 Maticový počet a determinanty
32
9) Určete hodnost matic:
A 


 










1 2 0
0 2 2
2 3 2
, ,
213
141
132













B

















1312
1213
2505
0121
C .
10) Určete inverzní matici A-1
k matici A:
a. ,
25
73







A b. ,
25
34





 
A c. ,
321
203
121













A
d. ,
220
112
024













A e.











445
012
421
A .
11) Z následující maticové rovnice vyjádřete neznámou matici X (A, B, C jsou dané matice
vhodného typu, tj. takové, aby následující operace byly definovány) a uveďte, pro
které matice A, B, C se dá matice X z této rovnice osamostatnit:
a. ,2 BAXCAX 
b. ,BAXAC 
c. ,CBXABX 3
d. .3 BXCXXA 
12) Řešte maticové rovnice:
a. ,
35
21
31
24













 
X b. ,
41
25
52
23
















X
1.2 Vypočtěte úlohy k procvičení výpočtu determinantů.
1) Vypočtěte determinanty druhého řádu.
a.
42
83 
, b.
32
45


, c.
2
3
22
3
2
3
1

, d.
166
83


.
2) Vypočtěte Sarussovým pravidlem determinanty třetího řádu.
a.
132
251
023


, b.
2614
242
315


, c.
022
202
220
, d.
834
051
001
 .
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
33
3) Vypočtěte determinanty rozvojem podle vhodného řádku nebo sloupce.
a.
030
258
123
 , b.
xx
x
x
0
00
11
,
c.
2210
0221
1112
0211


, d.
1131
0274
1820
3812




,
e.
2101
2210
1211
1121



, f.
2134
4123
3412
4321
.
4) Řešte následující rovnice a nerovnice.
a. 0
11
32



xx
x
, b. 2
a
axx
xxa



,
c. 0
311
121
111



x
x , d. 0
211
121
23

xx
,
e. 0
135
210
20


x
x
, f. 4
111
11
1
x
xx
.
5) Upravte a vypočtěte determinanty.
a.
2
2
32
12
21
a
a
aaa
, b.
212
266
132



.
1 Maticový počet a determinanty
34
6) Pro která Ra  je determinant D roven nule?
1
2
2
24
11
2


a
a
a
D
7) Pro která Ra  je determinant D záporný ?
751
12
31



 a
a
D
8) Určete parametry v daných maticích tak, aby matice A, C byly singulární a matice B,
D byly regulární. Matice jsou:
.
012
12
111
,
122
110
12
,
6
63
,
51
46 2









































d
ddD
c
C
bb
b
B
aa
a
A
9) Cramerovým pravidlem řešte soustavy lineárních rovnic:
a. 24  zyx b. 322  zyx c. 132  zyx
,24232
10


zyx
zy
,324
43


zyx
zy
.83
2323


zyx
zyx
ODPOVĚDI
1.1 Řešení příkladů (matice)
1) a.










 63
156
93
b.












16
12
22
c.












78
93
31
d.













49
132
137
2) a.













11314
543
051
b.












750
15116
433
c.










 377
1059
511
3)
  
  
 










1 1 5
9 5 10
7 7 3
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
35
4) a. AB 






18 16
14 28
, 







397
17
BA
b. AB 
 

 










2 1 4
8 4 7
1 8 3
,














447
124
1235
BA
c. AB nedefinováno,











2010
62
199
BA
5) a.
5 0 5
3 14 11





 b.
8 6 1
0 6 5
1 3 2










c.














24
9
17
30
d.
0 0
0 0






6)











6106
861
4124
D ,













000
102
222
F ,













220
352
484
G
7) a. x = 1, y = 2 b. x = 2, y = 3
8) a. x = 1, 2y b. x = 3, 2y
9) h(A) = 3, h(B) = 2, h(C) = 2
10) a. 




 

35
72
41
11
A b. 







45
32
23
11
A
c.














646
547
444
4
11
A d.












042
242
120
4
11
A
e. A-1
neexistuje ( A je singulární )
11) a.    CBAEAX  1
2 , je-li matice EA 2 regulární
b.   ,1
 ACBAX je-li matice A regulární
c.   ,3 11 
 AECBX jsou-li matice B, AE  regulární
d.   ,3 1
 CEABX je-li matice CEA  3 regulární
12) a. 








218
65
14
1
X b. 








74
66
2
1
X
1 Maticový počet a determinanty
36
1.2 Řešení příkladů (determinanty)
1) a. 28 b. –7 c. 2 d. 0
2) a. – 43 b. 0 c. 16 d. 40
3) a. – 42 b. – 2x2
c. – 24 d. 0 e. 5 f. – 60
4) a.
2
3
,1x b. ax  c.  1,2x d.   ,3x
e.   ,4x f.  3,1x
5) a. 34
2aa  b. 10
6)  2,0,2a
7)  17,2a
8)    






 1,
3
1
,0,3,12,2,13 RdcRba
9) a.  2,8,2  b.  1,1,1  c.  1,2,1 
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
37
2 POSLOUPNOST A LIMITA POSLOUPNOSTI
RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY
V této kapitole se budeme zabývat posloupnostmi. Jedná se o speciální případ funkcí,
jejichž definičním oborem je množina přirozených čísel. Jsou zde uvedeny vlastnosti posloupností,
jako je monotonie a omezenost. Dále se tato kapitola věnuje pojmu limita posloupnosti
a hlavně výpočtu limity posloupnosti. V ekonomických aplikacích se vyskytují
zejména dvě posloupnosti, a to posloupnost aritmetická a geometrická. Tyto posloupnosti
jsou známy již ze střední školy.
CÍLE KAPITOLY
Po prostudování této kapitoly budete umět:
 definovat pojmy posloupnost a limita posloupnosti,
 vypsat prvky posloupnosti,
 sestrojit graf posloupnosti,
 vypočítat limitu posloupnosti.
ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU
K prostudování této kapitoly budete potřebovat 90 minut.
KLÍČOVÁ SLOVA KAPITOLY
Posloupnost, limita posloupnosti, monotónnost posloupnosti, omezenost posloupnosti,
graf posloupnosti.
2 Posloupnost a limita posloupnosti
38
2.1 Posloupnost
DEFINICE 1
Nekonečnou číselnou posloupností prvků číselné množiny je funkce, která každému
přirozenému číslu n přiřazuje reálné číslo.
Jelikož je to funkce, má funkční předpis, definiční obor (je to množina přirozených čísel
N), obor funkčních hodnot (je to množina reálných čísel), graf (je to množina izolovaných
bodů v rovině).
V matematice se setkáváme také s posloupnostmi, jejichž prvky nejsou čísla, např.
s posloupnostmi bodů, úseček, funkcí a podobně. V této kapitole se budeme zabývat pouze
číselnými posloupnostmi, a proto přívlastek číselná u posloupnosti vynecháme.
Posloupnost můžeme zapsat například tak, že postupně za sebou píšeme prvky
,....,,, 321 aaa které tato funkce přiřazuje číslům 1, 2, 3 ..., nebo použitím zápisu
 
1nna . Nebude-li hrozit nedorozumění, budeme používat jednoduššího zápisu  na .
ŘEŠENÁ ÚLOHA 1
Napište první čtyři členy a 1na člen posloupnosti
  .
1
1






 
n
n
n
Řešení.
11 1,n a   
2
1
2 ,
2
n a  
3
1
3 ,
3
n a   
4
1
4 ,
4
n a  
 
1
1
1
1 .
1
n
nn n a
n



   

Zadání posloupnosti:
a. vzorcem vyjadřujícím n-tý člen posloupnosti na .
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
39
Například: Vzorcem
2
1


n
an je daná posloupnost, jejíž n-tý člen je na pro každé
.Nn
3
1
1 a ,
4
1
2 a ,
5
1
3 a , atd.
b. rekurentně zadáním prvních n členů posloupnosti a rekurentního vzorce, který vyjadřuje
(n+k)-tý člen posloupnosti pomocí předchozích k členů. To znamená, že při rekurentním
zadání kromě vzorce musí být uvedeno i prvních k členů posloupnosti.
Vzorcem 1,0,2 2112   aaaaa nnn je daná posloupnost
1
2
3 1 2 1 1 1
4 2 2 2 2 1
5 3 2 3 3 1
6 4 2 4 4 1
0,
1,
2 0 2 1 2,
2 1 2 2 5,
2 2 2 5 12,
2 5 2 12 29,
atd.
a
a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
 
 
 
 


      
      
      
      
c. graficky, grafem posloupnosti je množina izolovaných bodů ),(A nn an .
DEFINICE 2
Aritmetická posloupnost přiřazuje číslu n hodnotu na lineární funkcí. Rozdíl mezi
dvěma po sobě jdoucími členy je konstantní, nazývá se diference aritmetické posloupnosti
a značíme ho d. Platí: dnaan )1(1  .
Součet prvních n členů je dán vzorcem:  nn aa
n
s  1
2
. Je to součet konečné aritmetické
posloupnosti.
Součet nekonečné aritmetické posloupnosti je vždy roven  , resp.  , v závislosti na
znaménku diference .0d Pro 0d v závislosti na znaménku 1a .
ŘEŠENÁ ÚLOHA 2
Sečtěte všechna přirozená čísla od 1 do 1000.
Řešení.
Čísla 1, 2, 3, ......, 1000 tvoří konečnou aritmetickou posloupnost s diferenci 1d  , prvním
členem ,11 a počet členů této posloupnosti je .1000n
Součet prvních 1000 členů je   .50050010001
2
1000
1000 s
2 Posloupnost a limita posloupnosti
40
DEFINICE 3
Geometrická posloupnost přiřazuje číslu n hodnotu na exponenciální funkcí. U geometrické
posloupnosti je konstantní poměr mezi libovolným členem na ( 2n ) a předcházejícím
členem 1na . Tuto konstantu značíme q, číslo q se nazývá kvocient geometrické
posloupnosti. Platí: 1
1

 n
n qaa .
Jestliže kvocient 1q , potom pro součet ns prvních n členů posloupnosti platí:
q
q
as
n
n



1
1
1 . Jedná se o součet konečné geometrické posloupnosti.
Jestliže 1q , lze sečíst i nekonečnou geometrickou posloupnost.
Pro součet s v tomto případě platí:
q
a
s


1
1
.
2.2 Limita posloupnosti
DEFINICE 4 – VLASTNÍ LIMITA NEKONEČNÉ POSLOUPNOSTI
Nekonečná posloupnost   1n n
a


má vlastní limitu A, když k libovolnému reálnému číslu
0 existuje takové přirozené číslo 0n , že pro každé přirozené 0nn  je splněna nerov-
nost
 Aan .
Píšeme Aan
n


lim , užíváme při tom zkratky latinského slova limes.
Posloupnost, která má tu vlastnost, že se její členy, počínaje některým, libovolně málo liší
od čísla A, má v tomto čísle svou mezní hodnotu.
Když je limita nekonečné posloupnosti vlastní, pak říkáme, že posloupnost je konver-
gentní.
ŘEŠENÁ ÚLOHA 3
Na základě definice vlastní limity posloupnosti dokažte, že platí 1
2
lim 
 n
n
n
.
Řešení.
K libovolnému 0 musíme určit číslo 0n tak, aby pro každé 0nn  platila nerovnost


1
2n
n
.
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
41
Provedeme následující úpravy: .
2
2
2
2
1
2






 nnn
n
Číslo 0n určíme jako nejmenší přirozené číslo, pro které platí
2
2
neboli
2
2

 
 n
n .
,18číslohledanéje0,01Pro 0  n
atd.199992
0001,0
2
je0001,0pro 0  n
DEFINICE 5 – NEVLASTNÍ LIMITA NEKONEČNÉ POSLOUPNOSTI
Nekonečná posloupnost   1n n
a


má limitu  („plus“ nekonečno, označuje se také  ),
když k libovolnému reálnému číslu M > 0 existuje takové přirozené číslo 0n , že pro každé
přirozené 0nn  je splněna nerovnost Man  .
Píšeme 

n
n
alim .
Nekonečná posloupnost  na má limitu  (mínus nekonečno), když k libovolnému
reálnému číslu M > 0 existuje takové přirozené číslo 0n , že pro každé přirozené číslo
0nn  je splněná nerovnost Man  .
Píšeme 

n
n
alim .
Pokud je limita nekonečné posloupnosti nevlastní nebo limita neexistuje, pak říkáme, že
posloupnost je divergentní.
ŘEŠENÁ ÚLOHA 4
Na základě definice nevlastní limity posloupnosti dokažte, že platí 

2
lim n
n
.
Řešení.
K libovolnému reálnému číslu M musíme určit N0 n tak, že pro každé přirozené
0nn  platí nerovnost Mn 2
. Z této nerovnosti určíme číslo 0n .
2 Posloupnost a limita posloupnosti
42
Dostáváme 0; nMn  stanovíme jako nejmenší přirozené číslo, pro které platí Mn 0 .
Např. Pro 2
10M hledané číslo 0n je 10102
0 n .
DEFINICE 6
Posloupnost  na se nazývá ohraničená (též omezená), je-li ohraničená shora i zdola.
Shora je ohraničená tehdy, když existuje číslo k takové, že pro každé n platí kan  .
Zdola je ohraničená tehdy, když existuje číslo m takové, že pro každé přirozené n platí
man  .
DEFINICE 7
Říkáme, že posloupnost   1n n
a


je neklesající, resp. rostoucí, jestliže
nm aa  pro všechna Nnm , , nm  , resp. m na a pro všechna Nnm , , nm  .
Říkáme, že posloupnost   1n n
a


je nerostoucí, resp. klesající, jestliže
nm aa  pro všechna Nnm , , nm  , resp. nm aa  pro všechna Nnm , , nm  .
Jestliže je posloupnost   1n n
a


buďto neklesající, rostoucí, nerostoucí nebo klesající, říkáme,
že je monotónní.
Pro monotónní posloupnosti platí:
1. Monotónní posloupnost má vždy limitu (vlastní nebo nevlastní).
2. Limita neklesající nebo rostoucí posloupnosti je rovna supremu této posloupnosti,
tedy  Nnaa nn
x


;suplim .
3. Limita nerostoucí nebo klesající posloupnosti je rovna infimu této posloupnosti,
tedy  Nnaa nn
x


;inflim .
Výpočet limit posloupností
K výpočtu limit posloupností využijeme znalosti limit jednoduchých základních posloupností,
základních vět o limitách a znalosti operací s prvky v R*, zejména s  a  .
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
43
Následující soubor 12 pravidel představuje matematické věty, které lze odvodit přímo
z definice limity. Pečlivě si je projděte a dobře si je zapamatujte! Budou se vám později
hodit k výpočtům příkladů limit.
Pravidla pro výpočet vlastních limit
Pro vlastní limity lim , lim , 0, ,n n
n n
a a b b q n N k R
 
     platí:
1. ,limlim)(lim bababa n
n
n
n
nn
n


2. ,limlim)(lim bababa n
n
n
n
nn
n


3. ,0,
lim
lim
lim 








b
b
a
b
a
b
a
n
n
n
n
n
n
n
4. l
n
l
n aa


nn
limlim , Nl 
5. n
n
n
n
aa

 limlim ,
6. ,limlim n
n
n
n
akka

 ,1lim,1lim 

n
n
n
n
qn
7. ,lim
lim n
nn
aa
n
qq 


8. je-li ,limlogloglimpak,1,0,0 n
n
cnc
n
n aacca


10. existuje-li   ,limlimpaklim
k
n
n
k
n
n
n
n
aaa


11. ,
1
1lim e
n
n
n








( 2,718e  je Eulerovo číslo, základ přirozených logaritmů),
12. je-li lim , resp. - , potom lim 1
an
k
n
n n
n
k
a e
a 
 
     
 
.
Pravidla pro výpočet nevlastních limit
Dále se budeme zabývat limitou součtu (součinu a podílu) dvou posloupností, přičemž
alespoň jedna nebo obě mají nevlastní limitu.
Uvažujme posloupnosti  1n n
a


,   1n n
b


a číslo Ra  . Platí tato tvrzení:
1. Jestliže lim n
n
a a

 , lim , resp. limn n
n n
b b
 
   , potom  lim n n
n
a b

   .
Symbolicky lze toto tvrzení zapsat takto: „ a “.
2. Jestliželim n
n
a a

 , lim , resp. limn n
n n
b b
 
   , potom lim 0n
n
n
a
b
 .
Symbolicky: „ 0

a
“.
2 Posloupnost a limita posloupnosti
44
3. Jestliželim n
n
a a

 , 0a , lim n
n
b

  , potom lim n n
n
a b

  ,
pokud 0a , potom lim n n
n
a b

  .
Symbolicky: „ a pro 0a , a pro 0a “.
4. Jestliže lim n
n
a

  , lim n
n
b

  , potom lim n n
n
a b

   .
Symbolicky: „  “
5. Jestliže lim n
n
a

  , lim n
n
b

  , potom  lim n n
n
a b

   .
Symbolicky: „  “
6. Jestliže lim n
n
a

  , lim n
n
b

  , potom lim n n
n
a b

   .
Symbolicky: „  )( “
7. Jestliže lim n
n
a

  , lim n
n
b

  , potom  lim n n
n
a b

   .
Symbolicky: „     “
8. Jestliželim n
n
a

  , lim n
n
b

  , potom lim n n
n
a b

   .
Symbolicky: „  )()( “
Neurčité výrazy
Celkem rozeznáváme neurčité výrazy typů 0 00
, , , 0 ( ), 0 , ( ) , 1
0

     

.
Jestliže při výpočtu limit po dosazení limitní meze zjistíme, že limita je neurčitý výraz
musíme tento výraz vhodným matematickým obratem (dělením nebo rozšířením) převést
na „určitý“ výraz, tj. výraz, jehož limitu známe.
V následujících dvou příkladech vysvětlíme výpočet limit posloupností, ve kterých na je
podílem mnohočlenů (racionálním lomeným výrazem).
ŘEŠENÁ ÚLOHA 5
Vypočtěte 2
2
673
532
limlim
nn
nn
a
n
n
n 



.
Řešení.
Limita je neurčitý výraz


. Neboť 

)532(lim 2
n
nn a 2
n
lim(3 7 6 )n n

   . Výraz
pro n-tý člen posloupnosti upravíme tak, že čitatele i jmenovatele dělíme největší
mocninou n.
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
45
3
1
6
2
lim
6lim
7
lim
3
lim
5
lim
3
lim2lim
673
532
lim
2
2
2
2
22
222
2











 n
nnn
nnn
n
nn
nn
n
n
n
n
n
nn
n
n
n
.
Uvědomte si, že .0
7
lim,0
3
lim,0
5
lim,0
3
lim 22

 nnnn nnnn
Uvedeným způsobem můžeme postupovat vždy v případě výpočtu limity posloupnosti,
jejíž n-tý člen má tvar racionálního lomeného výrazu obsahujícího proměnnou n, tj.
v čitateli i ve jmenovateli se nacházejí mnohočleny. Následující věta nám dává návod na
velmi rychlé a elegantní řešení.
K ZAPAMATOVÁNÍ
Jestliže
)(
)(
nQ
nP
a
r
m
n  , kde m je stupeň mnohočlenu v čitateli, r je stupeň mnohočlenu ve
jmenovateli, potom:
pro
0 pro r
( )
lim podíl koeficientů
( )
při nejvyšších pro
mocninách
m
n
r
m r
m
P n
Q n
m r
n

 
 

 
 


ŘEŠENÁ ÚLOHA 6
Vypočtěte
a. 235
23
24
2
limlim
nnn
nn
a
n
n
n 



,
b.
3
15
limlim
2



 n
nn
a
n
n
n
,
c. .
2275
8462
limlim 23
23



 nnn
nnn
a
n
n
n
Řešení.
a. 0
)(
)(
limlim
5
3

 nQ
nP
a
n
n
n
, protože stupeň mnohočlenu v čitateli je menší než stupeň
mnohočlenu ve jmenovateli, to znamená )(st)(st 53 nQnP  .
2 Posloupnost a limita posloupnosti
46
b. 
 )(
)(
limlim
1
2
nQ
nP
a
n
n
n
, protože stupeň mnohočlenu v čitateli je větší než stupeň
mnohočlenu ve jmenovateli, to znamená )(st)(st 12 nQnP  .
c.
5
2
)(
)(
limlim
3
3

 nQ
nP
a
n
n
n
, )(st)(st 33 nQnP  , koeficient u 3
n v čitateli je 2, ve
jmenovateli je 5.
Limity algebraických výrazů závisejí na členu, který nejrychleji roste pro rostoucí n a na
operaci s tímto členem prováděné. Pamatujte si, že ze známých funkcí nejpomaleji roste
funkce logaritmus nlog (argument je n), potom následuje mocnina ,( 0)a
n a  , rychleji
roste exponenciální funkce n
a ,( 1)a  , ještě rychlejší je faktoriál !n a nejrychlejší je n
n .
Seřazeny vzestupně podle rychlosti růstu (od nejmenšího k největšímu) mohou být takto:
    .,...,!1,!,!1,...,4,3,2,...,,,,,,,,...,log 43234 nnnn
nnnn-nnnnnnnn 
V následujících příkladech vysvětlíme výpočet limit posloupností, ve kterých na je iracionálním
výrazem a zároveň se jedna o limitní typ „  “ Výraz určující na vhodně
rozšíříme. Použijeme identity známé z algebry: 2 2
( )( )a b a b a b    . To znamená
místo výrazu a b napíšeme výraz
2 2
a b
a b


.
ŘEŠENÁ ÚLOHA 7
Vypočtěte  nnna
n
n
n
2754limlim 2


Řešení.
Jedná se o limitní typ „  “ neboť  754lim 2
nn a  )2(lim n .
Limitní výraz vhodně rozšíříme
 
  2 2
2
2
2
2
4 5 7 2 4 5 7 2
lim lim 4 5 7 2 lim
4 5 7 2
7
5
5 7 5
lim lim .
45 74 5 7 2
4 2
n
n n n
n n
n n n n n n
a n n n
n n n
n n
n n n
n n
  
 
     
     
  


  
  
  
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
47
ŘEŠENÁ ÚLOHA 8
Vypočtěte .
8489
773
limlim
2
112




 n
n
nn
n
n
n
a
Řešení.
Poznamenejme, že   3933333 21212
 nnnn
.
Limitní výraz nejdříve upravíme tak, aby obsahoval stejné exponenty:
  8489
7
7
1
793
limlim



 nn
nn
n
n
n
a .
Čitatele i jmenovatele dělíme exponenciálním výrazem s největším základem. V našem
případě je to n
9 a dostáváme
.3
9
84
81
8
1
9
7
7
1
9
7
3
limlim 


















n
n
n
n
n
n
n
a
Místo dělení exponenciálním výrazem s největším základem můžeme samozřejmě tento
výraz vytknout z čitatele i jmenovatele a zkrátit.
ŘEŠENÁ ÚLOHA 9
Vypočtěte .
345
1023
lim 1
22
nn
n
n 




Řešení.
5
3
4
3
25,14
4
10
75,04
lim
3425,05
10425,03
lim
345
1023
lim 1
22
























n
n
n
n
n
nnn
n
nnn
n
n
.
2 Posloupnost a limita posloupnosti
48
SHRNUTÍ KAPITOLY
V této kapitole jste se seznámili s posloupnostmi. Jedná se o speciální případ funkcí,
jejichž definičním oborem je množina přirozených čísel. Byly zde uvedeny vlastnosti
posloupností, jako je monotonie a omezenost. Dále se tato kapitola věnovala pojmu limita
posloupnosti a hlavně výpočtu limity posloupnosti. Důraz je kladen na výpočet limity
racionálně lomené funkce.
OTÁZKY
1) Vypočtěte limity posloupností:
a)
n
n
n 56
34
lim



b)
c) d)
e) f)
g) h)
i) j)
k) l)
m) n)
o) p)
q) r)
s) t)
83
)3)(2(
lim 2


 n
nn
n
)24)(13(
)42(
lim
2


 nn
n
n 







nnn
43
lim
 
7
3
lim
2


 n
n
n 4
2
lim
2


 n
n
n
n
nn
n
22
4121
lim


)2)(1(
53
lim
2



nn
nn
n
n
n
n



1
1
lim
nnnn
274
1
lim
2

 nn
n


2lim  nnn
n
5lim 2


 3523lim 2
nnn
n


  nnn
n


1lim
12
54
lim 2
1


 n
n
n 145
823
lim 1
22




 n
n
n
794
135
lim
2


 n
n
n 2
21
3
32
lim 



n
nn
n
2
1
1
122
165
243
lim






n
n
nnn
n nn
nnn
n 295
273
lim
212

 

Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
49
ODPOVĚDI
1) a) – 0,8 b) c) d) 0 e) 1
f) g) h) i) j)
k) 0 l) m) n) o)
p) q) r) – 1 s) t)
3
1
3
1
 22  3 1
7
4
5,2
3
1
2
1
4
1
5
48
4
5
4
1
1
3 Funkce jedné reálné proměnné a její limita
50
3 FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ A JEJÍ LIMITA
RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY
Funkce je základním objektem, který je zkoumán diferenciálním počtem. Obecně pod
pojmem funkce chápeme jistý způsob přiřazení mezi dvěma množinami reálných čísel,
které musí splňovat jisté předpoklady. S takovým přiřazením se setkáváme na každém
kroku. Z ekonomické praxe můžeme uvést např. závislost množství vyrobeného zboží na
počtu zaměstnanců, vstupních investicích či poptávce po tomto zboží. Druhá část kapitoly
se pak věnuje limitě funkce a jejímu výpočtu.
CÍLE KAPITOLY
Po prostudování této kapitoly budete umět:
 definovat pojem funkce jedné reálné proměnné,
 uvést vlastnosti funkce,
 načrtnout grafy elementárních funkcí,
 vypočítat definiční obor funkce,
 vypočítat limitu funkce.
ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU
K prostudování této kapitoly budete potřebovat asi 120 minut.
KLÍČOVÁ SLOVA KAPITOLY
Funkce, definiční obor funkce, obor hodnot funkce, monotónnost funkce, omezenost
funkce, sudá a lichá funkce, graf funkce, limita funkce.
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
51
3.1 Funkce jedné reálné proměnné
DEFINICE 1
Nechť  fD a  fH jsou dvě podmnožiny reálných čísel, tj.   RfD  ,   RfH 
a nechť  fDx  ,  fHy  . Předpis  xfy  se nazývá funkcí, jestliže ke každému
 fDx  existuje právě jedno  fHy  .
Proměnná x se obvykle nazývá nezávisle proměnná nebo argument, kdežto proměnná y
se nazývá závisle proměnná.
Množina  fD se nazývá definiční obor funkce f, množina  fH se nazývá obor hodnot
(obor funkčních hodnot) funkce f.
Kromě uvedeného označení funkce se často používá také označení:
   
 
: ,
: ,
: .
f D f H f
f y f x
f x y


a
Funkce y = f (x) je definována (určena), když je dán její definiční obor )( fD a pravidlo,
dle kterého je ke každému číslu )( fDx přiřazena právě jedna funkční hodnota )(xf
. Toto pravidlo může být vyjádřeno následujícími způsoby:
a) analyticky, tj. analytickým výrazem (vzorcem), resp. rovnicí nebo několika rovnicemi
platnými v definičním oboru, které prvkům )( fDx přiřazují funkční hodnotu
)( fHy  . Je-li závisle proměnná y vyjádřena pomocí nezávislé proměnné x, říkáme, že
funkce je dána explicitně, například 2
3xy  .
Jinak mluvíme o implicitním zadání funkce, což obecně můžeme zapsat ve tvaru
0),( yxF , například 0)3( 32
 xy .
Funkci danou explicitně můžeme vždy převést na implicitní tvar. Nechť například
je funkce f zadaná explicitně rovnicí
xxy sincos5,0  .
Uvedenou funkci můžeme vyjádřit implicitně takto :
0sin2cos2  xxy .
Převod implicitního zápisu funkce na explicitní není vždy možný.
Například funkci f zadanou implicitně rovnicí
0ln  xy
exy
není snadné vyjádřit explicitně.
Poznamenejme, že ne každou rovnicí 0),( yxF je určena funkce. Například rovnicí
0422
 yx není ve smyslu definice určena funkce, neboť hodnotám )2,2(x
dle uvedené rovnice odpovídají dvě různé hodnoty 21 a yy :
2
2
2
1 4,4 xyxy  .
3 Funkce jedné reálné proměnné a její limita
52
b) tabulkou, která určuje hodnoty závislé proměnné pro jednotlivé hodnoty argumentu.
Tento druh určení funkce můžeme použít jenom tehdy, je-li definičním oborem dané
funkce konečná množina.
Tabulka může mít např. tvar:
x 2 5 8 9
y 5 8 1 3
c) grafem, což je množina všech bodů v rovině, jejichž souřadnice jsou  )(, xfx .
Grafem funkce f rozumíme množinu všech bodů uvedené vlastnosti a nakreslená křivka
je obrazem tohoto grafu.
3.1.1 VLASTNOSTI FUNKCÍ
DEFINICE 2
Funkce  xfy  se nazývá na oboru RM  ohraničená shora, existuje-li taková konstanta
h, zvaná horní závora funkce f na oboru M, že pro všechna Mx  platí:
  hxf  .
Funkce  xfy  se nazývá na oboru RM  ohraničená zdola, existuje-li taková konstanta
d, konstantní pro všechna Mx  , zvaná dolní závora funkce f na oboru M, že pro
všechna Mx  platí:   dxf  .
Funkce  xfy  je na oboru RM  ohraničená, právě když je součastně ohraničená
zdola i shora. Právě tehdy existuje taková konstanta ,0K že pro všechna Mx  platí
  Kxf  .
ŘEŠENÁ ÚLOHA 1
Rozhodněte, zda je kvadratická funkce 5)( 2
 xxf ohraničená v celém svém
.)( RfD 
Řešení.
Protože 02
x , je 5)( xf pro všechna Rx . Funkce )(xf je zdola ohraničená.
Grafem uvažované funkce 5)( 2
 xxf je parabola, která má větve směrem nahoru,
proto funkce není shora ohraničená.
Na základě uvedeného můžeme již konstatovat, že )(xf není ohraničená na množině R.
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
53
DEFINICE 3
Funkce )(xf je sudá, jestliže pro všechna )( fDx platí: )()( xfxf  .
Graf sudé funkce je osově souměrný podle osy y.
Funkce je lichá, jestliže pro všechna )( fDx platí: )()( xfxf  .
Graf liché funkce je středově souměrný podle počátku souřadnicového systému.
ŘEŠENÁ ÚLOHA 2
Sudé jsou například funkce:
xxf )( , neboť xx  ,
k
xxf 2
)(  , neboť kk
xx 22
)(  , Nk  ,
xxf cos)(  , neboť xx cos)cos(  .
Liché jsou například funkce:
x
xf
1
)(  , kde 0x , neboť
xx
11


,
12
)( 
 k
xxf , neboť 1212
)( 
 kk
xx , Nk  ,
xxf sin)(  , neboť xx sin)sin(  .
DEFINICE 4
Funkce )(xf se nazývá periodická funkce, právě když existuje takové reálné číslo
0p  , že pro každé ( )x D f je též ( )x p D f  a platí ( ) ( )f x p f x  . Číslo p se
nazývá perioda funkce. Graf periodické funkce se posunutím podél osy x o hodnotu p
nezmění. Typickým příkladem periodických funkcí jsou goniometrické funkce.
DEFINICE 5
Monotónní funkce jsou takové funkce, které splňují pro každou dvojici čísel
x x x x M D f1 2 1 2  ( , ( )) následující podmínky:
jestliže
1 2
1 2
1 2
1 2
( ) ( ),
( ) ( ),
( ) ( ),
( ) ( ),
f x f x
f x f x
f x f x
f x f x
 
  
 
 
  
pak funkce f je v M
rostoucí,
klesající,
neklesající,
nerostoucí.







Funkce klesající a rostoucí nazýváme ryze monotónní.
3 Funkce jedné reálné proměnné a její limita
54
DEFINICE 6
Funkce )(xf je na )( fD prostá (jednoznačná), jestliže ke každým dvěma hodnotám
2121 kde),(, xxfDxx  , přiřazuje hodnoty )()( 21 xfxf  .
Platí:
1. Jestliže je funkce prostá, pak každá přímka rovnoběžná s osou x protne její graf nejvýše
v jednom bodě.
2. Každá ryze monotónní funkce je prostá, však ne každá prostá funkce je ryze monotón-
ní.
3. Sudá funkce není nikdy prostá. Lichá funkce může, ale nemusí být prostá.
DEFINICE 7
Nechť )(xf je prostá funkce definovaná na )( fD . Obor jejích funkčních hodnot je
)( fH . Potom funkce, která přiřazuje každému )( fHy  hodnotu )( fDx , pro kterou
platí )(xfy  , se nazývá inverzní funkcí k funkci )(xf a značíme ji )(1
xf 
. Platí
)(nebo),(1
ygxyfx  
.
Funkce )(),( fDxxfy  a )(),(1
fHyyfx  
se nazývají vzájemně inverzní
funkce. Jejich grafy jsou křivky osově souměrné dle osy 1. a 3. kvadrantu, tj. dle přímky
y = x.
ŘEŠENÁ ÚLOHA 3
Inverzní funkcí k exponenciální funkci x
exf )( (na celém )( fD , jelikož exponenciální
funkce je prostá) je funkce logaritmická 1
( ) lnf x x
 . Obor funkčních hodnot exponenciální
funkce je množina všech kladných čísel, kterou označujeme 
R , proto definičním
oborem logaritmické funkce je také 
R , takže argument logaritmické funkce musí být
vždy kladný.
3.1.2 ELEMENTÁRNÍ FUNKCE
Podle toho, jaké operace vytvářejí funkci )(xf z argumentu x, rozlišujeme dvě hlavní
skupiny funkcí: algebraické funkce a transcendentní funkce.
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
55
ALGEBRAICKÉ FUNKCE
Algebraickou funkcí rozumíme funkci, kterou lze vytvořit z konstant a
z proměnné x konečným počtem algebraických operací (tj.sčítáním, odčítáním, násobením,
dělením a umocňováním racionálním exponentem).
Algebraické funkce dělíme na racionální a iracionální (např. 3 2
xy  ).
Racionální funkce dělíme na polynomické funkce, též polynomy neboli mnohočleny
 822např. 3
 xxy a racionální lomené funkce (např. 2
12
x
x
y

 ), tj. funkce, které
vznikají podílem dvou polynomů.
Uveďme nejprve dva příklady polynomických funkcí:
Lineární funkce je funkce ve tvaru:
baxy  , , ,a b R kde ( ) .D f R
Grafem této funkce je přímka. Jednotlivé koeficienty mají tento význam:
tga - směrnice přímky, která je grafem lineární funkce,
b - úsek (vyťatý přímkou) na ose y, viz Obr. 1.
Obrázek 1: Graf lineární funkce baxy 
Jestliže a = 0, potom hovoříme o funkci konstantní.
Kvadratická funkce je funkce ve tvaru
,2
cbxaxy  , , , 0,a b c R a  kde ( ) .D f R
Grafem je parabola. Jednotlivé koeficienty mají tento význam:
0a , pak parabola je konvexní funkce na R,
0a , pak parabola je konkávní funkce na R.
Racionální lomená funkce
Racionální lomenou funkcí nazýváme funkcí R(x), která je podílem dvou polynomických
funkcí, tj. má tvar
1 0
1 0
...
( )
...
n
n
m
m
a x a x a
R x
b x b x b
  

  
.
a
y
x
b

baxy 
3 Funkce jedné reálné proměnné a její limita
56
Mocninné funkce
Mocninné (potenční) funkce jsou funkce ve tvaru ,r
xy  kde ( ) (0, )D f   , tj: x > 0,
r je libovolné reálné číslo. Pro některé r budeme mocninnou funkci definovat i mimo interval
 ,0 .
Jestliže r je přirozené číslo, pak máme tyto případy:
a. Sudá mocninná funkce s kladným exponentem je funkce ve tvaru
2
, ,n
y x n N  kde ( ) .D f R
Grafem těchto funkcí je konvexní parabola (2n)-tého stupně s vrcholem v počátku sou-
řadnic
Konkávní parabola (2n)-tého stupně s vrcholem v počátku souřadnic je grafem funkce
2
, kde .n
y x n N   Viz. Obr. 2.
Obrázek 2: Graf paraboly šestého a sedmého stupně
b. Lichá mocninná funkce s kladným exponentem je funkce ve tvaru
2 1
,n
y x n N
  , kde RfD )( .
Grafem funkce je parabola (2n+1)-ního stupně, která leží v 1. a 3. kvadrantu a jejímž
středem souměrnosti je počátek souřadnicového systému.
V případě 12 
 n
xy je grafem křivka osově souměrná podle osy x ke grafu funkce
12 
 n
xy . Tato parabola (2n+1)-ního stupně leží ve 2. a 4. kvadrantu.
Když Nnnr  , , je n
n
x
xy
1
 
. Nastávají tyto případy:
c. Sudá mocninná funkce se záporným exponentem je funkce ve tvaru
2
, ,n
y x n N
  kde  ( ) 0D f R  .
x
y
0 1
1
6
xy 
1
1
x
y
0
7
xy 
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
57
Funkce n
x
y 2
1
 není definována pro 0x !
Grafem funkce je hyperbola (2n)-tého stupně, která leží v 1. a 2. Kvadrantu. V případě
funkce n
xy 2
 je grafem hyperbola (2n)-tého stupně, která leží ve 3. a 4. kvadrantu.
Obrázek 3: Graf hyperboly čtvrtého stupně
d. Lichá mocninná funkce se záporným exponentem je funkce ve tvaru
2 1
, ,n
y x n N 
  kde  ( ) 0D f R  .
Funkce 12
1

 n
x
y opět není definována pro 0x !
Grafem funkce je hyperbola (2n+1)-ního stupně, která leží v 1. a 3. kvadrantu. Zvláštním
případem je funkce
x
y
1
 (tj. 0n ), jejímž grafem je vám dobře známá rovnoosá hy-
perbola.
Obrázek 4: Graf hyperboly pátého stupně
x
y
5
1
x
y 
0
4
1
x
y 
x
y
0
3 Funkce jedné reálné proměnné a její limita
58
TRANSCENDENTNÍ FUNKCE
Připomeňme, že funkce, která není algebraická, se nazývá transcendentní (nealgebraická).
Především nás budou zajímat exponenciální, logaritmické, goniometrické a cyklometrické
funkce.
Exponenciální funkce má (na rozdíl od mocninné funkce) proměnnou x v exponentu. Je
to funkce ve tvaru
, 0,x
y a a  kde ( ) , ( ) (0, )D f R H f   .
Pro 1a je to funkce rostoucí, tzn. ryze monotónní.
Pro 1a je to funkce konstantní 11  x
y .
Pro 10  a je to funkce klesající, tzn. taktéž ryze monotónní. Velmi důležitá je funkce
x
ey  se základem ...1782,2e , což je tzv. Eulerovo číslo. Toto číslo je iracionální,
podobně jako ...14159,3 , nelze jej vyjádřit jako podíl dvou celých čísel. Někde se
setkáte s názvem exponenciální funkce pouze pro funkci x
ey  . Funkci x
ay  se pak
říká obecná mocnina.
Obrázek 5: Graf rostoucí exponenciální funkce
Obrázek 6: Graf klesající exponenciální funkce
1
0 x
y
10 

a
ay x
x
y
0
1
1

a
ay x
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
59
Logaritmická funkce je funkce ve tvaru
log , 0, 1,ay x a a   kde ( ) (0, ), ( )D f H f R   .
Logaritmická funkce je inverzní k exponenciální funkci o tomtéž základu a. Pro 1a je
to funkce rostoucí, pro 10  a je to funkce klesající. Všimněte si, že jsme v definici
vynechali základ 1a . Je to proto, že příslušná exponenciální funkce 11  x
y je konstantní,
a proto k ní inverzní funkce neexistuje.
Obrázek 7: Graf rostoucí logaritmické funkce
Obrázek 8: Graf klesající logaritmické funkce
Poznámka. Při numerických výpočtech užíváme logaritmické funkce se základem
10a , píšeme zjednodušeně xy log . Tento logaritmus se nazývá dekadický. Jak
bylo již řečeno dříve, často užíváme logaritmické funkce o základu ea  . Kvůli rozlišení
ho píšeme xy ln a tento logaritmus nazýváme přirozeným logaritmem.
Z vlastností exponenciální funkce plynou následující vlastnosti pro všechna přípustná a:
.1ln,1log
,01log,1 a
0


ea
a
a
x
y
0 1
1
log


a
xy a
x
y
0 1
log
 1,0a
 xy a
3 Funkce jedné reálné proměnné a její limita
60
Velice často je využíván vztah fgg
ef ln
 , funkcekladnájekde f .
Goniometrické funkce
.cotg,tg,cos,sin xyxyxyxy 
Definice těchto funkcí je založena na vztazích mezi stranami pravoúhlého trojúhelníka
v kružnici o poloměru 1, která je znázorněna na Obr. 9.
Obrázek 9: Goniometrické funkce v jednotkové kružnici
Při měření úhlů v rovině používáme dvě míry, stupňovou a obloukovou. Oblouková míra
má větší využití při teoretických výpočtech.
Při stupňové míře je kružnice rozdělena na 360 stupňů, každý stupeň má 60 minut, každá
minuta má 60 vteřin. Pokud měříme úhel v obloukové míře, pod velikostí úhlu rozumíme
délku oblouku, který odpovídá úhlu v kruhové výseči v jednotkové kružnici. Jednotkou
obloukové míry je radián. Budeme používat pouze obloukové míry úhlů.
Vztah pro přepočet stupňů na radiány:  
180
stupeň1

 rad [radiánů].
Základní vztahy mezi goniometrickými funkcemi:
1. ,1cossin 22
 xx
2. ,1cotgtg xx
3. ,cossin22sin xxx 
4. ,sin21sincos2cos 222
xxxx 
5. ),2cos1(
2
1
sin 2
xx 
6. ).2cos1(
2
1
cos2
xx 
Cyklometrické funkce jsou funkce inverzní ke goniometrickým funkcím v intervalech,
kde goniometrické funkce jsou ryze monotónní. Grafy těchto funkcí jsou znázorněny na
Obr. 10.
1
x
-1
-1
1
1
xcos
xsin
tg x
cotg x
0
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
61
Funkce xy sin je rostoucí v intervalech  



kk 2
2
,2
2
a klesající v intervalech
 



kk 2
2
3
,2
2
, k je celé číslo. Zúžíme definiční obor funkce xy sin na některý
z těchto intervalů, konkrétně vybereme interval 
2
,
2

. Na tomto intervalu je xy sin
ryze monotónní (rostoucí) funkcí a proto k ní existuje funkce inverzní, která se nazývá
arkussinus.
a) Cyklometrická funkce arkussinus je funkce ve tvaru
arcsin ,y x kde ( ) 1,1 , ( ) ,
2 2
D f H f
 
     .
Funkce je ohraničená, rostoucí v celém )( fD . Graf funkce získáme překlopením funkce
xy sin v uvažovaném intervalu podle přímky xy  . Hodnota y = xarcsin pro x
 1,1 je číslo y 
2
,
2

, jehož sinus je roven x, tj. xy sin . Platí:
00arcsin  , arcsin0,5 , arcsin1
6 2
 
  .
b) Cyklometrická funkce arkuskosinus je funkce ve tvaru
arccos ,y x kde ( ) 1,1 , ( ) 0,D f H f       .
Funkce je ohraničená, klesající v celém )( fD . Hodnoty y = arccos x jsou čísla z intervalu
 ,0 , jejichž kosinus je roven x. Platí:
arccos0 , arccos0,5
2 3
 
  , 01arccos  .
c) Cyklometrická funkce arkustangens je funkce ve tvaru
arctg ,y x kde ( ) , ( ) ,
2 2
D f R H f
  
   
 
.
Funkce je ohraničená, rostoucí v celém )( fD . Graf funkce leží uvnitř pásu vytvořeného
rovnoběžkami
2
a
2

 yy . Hodnoty y = arctgx jsou čísla z intervalu 




 

2
,
2
,
jejichž tangens je roven x. Platí:
arctg 3 , arctg 1
3 4
 
  .
d) Cyklometrická funkce arkuskotangens je funkce ve tvaru
arccotg ,y x kde ( ) , ( ) (0, )D f R H f   .
3 Funkce jedné reálné proměnné a její limita
62
Funkce je ohraničená, klesající v celém )( fD . Graf funkce leží uvnitř pásu vytvořeného
rovnoběžkami  yy ,0 . Hodnoty y = arccotg x jsou čísla z intervalu  ,0 , jejichž
kotangens je roven x. Platí:
arccotg 3 , arccotg 1
6 4
 
  .
Obrázek 10: Cyklometrické funkce
1
10 x
y y
1 10
y
x0
y
x0
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
63
3.1.3 DEFINIČNÍ OBOR FUNKCE
ŘEŠENÁ ÚLOHA 4
Určete definiční obor funkce 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(9 − 𝑥2) + 4√𝑥 − 1
Řešení.
9 − 𝑥2
> 0 𝑥 − 1 ≥ 0
(3 − 𝑥)(3 + 𝑥) > 0 𝑥 ≥ 1
𝑥 ∈ (−3; 3)
Výsledek: 𝑥 ∈ < 1; 3)
ŘEŠENÁ ÚLOHA 5
Určete definiční obor funkce 𝑓(𝑥) = arcsin(𝑥 − 2) +
√ 𝑥+4
3
𝑥−2
Řešení.
|𝑥 − 2| ≤ 1 𝑥 − 2 ≠ 0
−1 ≤ 𝑥 − 2 ≤ 1 𝑥 ≠ 2
1 ≤ 𝑥 ≤ 3
𝑥 ∈ 〈1; 3〉
Výsledek: 𝑥 ∈ < 1; 2) ∪ (2; 3 >
ŘEŠENÁ ÚLOHA 6
Určete definiční obor funkce 𝑓(𝑥) =
5+𝑥
√𝑥2−𝑥−12
+ 𝑙𝑜𝑔(𝑥 − 1)
Řešení.
𝑥2
− 𝑥 − 12 > 0 𝑥 − 1 > 0
(𝑥 − 4)(𝑥 + 3) > 0 𝑥 > 1
𝑥 ∈ (−∞; −3) ∪ (4; ∞)
Výsledek: 𝑥 ∈ (4; ∞)
3 Funkce jedné reálné proměnné a její limita
64
ŘEŠENÁ ÚLOHA 7
Pro funkci 43)( 2
 xxf vypočítejte:
a. )0(f , b. )(af , c. )1( af , d. 





a
f
1
, stanovte )( fD ,
e. )2( xf , f. )(2 xf , g. )( 2
xf , h.  2
)(xf .
Řešení.
a. 4403)0( 2
f ,
b. 4343)( 22
 aaaf ,
c. 1634)1(3)1( 22
 aaaaf ,
d. 2
2
2
2
2
43
434
3
4
1
3
1
a
a
a
aaa
f












 
,  0)(  RfD .
e. Je to funkční hodnota v bodě 2x. 4124)2(3)2( 22
 xxxf
f. Funkční hodnota v bodě x je násobena dvěma.
86)43(2)(2 22
 xxxf
g. Funkční hodnota v bodě 2
x . 434)(3)( 4222
 xxxf
h. Funkce je umocněna dvěma. Uvědomme si, že tuto skutečnost můžeme zapsat
buď 2
)(xf nebo )(2
xf . Pak 16249)43()( 24222
 xxxxf
3.2 Limita funkce
K hlubšímu studiu funkcí je účelné zavést pojem spojité funkce. Existuje řada reálných
situací, ve kterých malým změnám jedné veličiny často odpovídají malé změny jiné veličiny.
Pojem spojitosti funkce a pojem limita funkce lze definovat dvěma způsoby: buď
pomocí okolí bodu (Cauchyova definice) nebo pomocí posloupností (Heineova definice).
V této publikaci je uveden druhý z uvedených způsobů. Tato část pojednává o reálných
funkcích jedné reálné proměnné . Zavedeme značení ,definiční obor
funkce budeme značit , výraz znamená .
DEFINICE 8
O funkci f řekneme, že je v bodě C spojitá, jestliže pro každou posloupnost
platí ekvivalence:
neboli
právě když .
 xf   fxf 
 xf  fD Cxn  Cxn
n


lim
 fD
   fDx nn 
1
   ,CfxfCx nn 
cxn
n


lim    cfxf n
n


lim
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
65
Platí:
1) Nechť f, g jsou spojité funkce v bodě C. Potom rovněž funkce
jsou spojité v bodě C.
2) Nechť funkce g je spojitá v bodě C a funkce f je spojitá v bodě . Potom
složená funkce , která je dána předpisem , je spojitá v bodě C.
3) Funkce f je spojitá, jestliže je spojitá v každém bodě svého definičního oboru. Součet,
rozdíl, součin a podíl dvou spojitých funkcí, absolutní hodnota spojité funkce a funkce
složená ze dvou spojitých funkcí jsou opět spojité funkce.
VĚTA 1 – BOLZANOVA VĚTA
Nechť f je reálná funkce jedné reálné proměnné spojitá v intervalu taková, že
Potom existuje reálné číslo takové, že .
VĚTA 2 – DŮSLEDEK BOLZANOVY VĚTY
Nechť f je reálná funkce jedné reálné proměnné spojitá v intervalu taková, že nemá
v intervalu žádný nulový bod. Potom funkce f je stále kladná nebo stále záporná
v intervalu .
VĚTA 3 – WEISTRASSOVA VĚTA
Nechť f je reálná funkce jedné reálné proměnné spojitá v intervalu. Potom funkce f nabývá
v intervalu jak svého minima, tak i svého maxima.
DEFINICE 9
Řekneme, že číslo je limitou funkce f v bodě C , jestliže pro každou posloupnost
platí ekvivalence:
Zapisujeme .
Jestliže jedná se o vlastní limitu, pro jde o nevlastní limitu.
  0 Cg
g
f
,g.f,gf,f
 Cgd 
gf    xgfy 
b,a
    .0. bfaf  b,ac    0cf
 b,a
 b,a
 b,a

 Ra
     CfDx nn 
1   .axfCx nn 
  axf
Cx


lim
Ra  a
3 Funkce jedné reálné proměnné a její limita
66
Existence a hodnota limity funkce f v bodě C nezávisí dokonce ani na tom, zda je či
není funkce f v bodě C definovaná.
ŘEŠENÁ ÚLOHA 8
Vypočtěte limitu .
Řešení.
Označme funkci . Tato funkce je v bodě spojitá, proto limitu
vypočteme jako funkční hodnotu funkce v bodě .
Dostáváme:
ŘEŠENÁ ÚLOHA 9
Z grafu funkce určeme limitu funkce v krajních bodech definičního oboru funkce:
a. , b. , c. ,
d. , e. , f. .
Řešení.
a. Definiční obor funkce je interval .
Z grafu vidíme, že ,
Protože limita neexistuje, neexistuje ani
b. Definiční obor funkce jsou všechna reálná čísla .
Z grafu vidíme, že ,
Daná funkce má dvě vodorovné asymptoty o rovnicích
c. Definiční obor funkce je interval
Z grafu vidíme, že ,
Protože jednostranné limity , neexistují, neexistují ani příslušné
oboustranné limity funkce .
d. Definiční obor funkce jsou všechna reálná čísla .
Z grafu vidíme, že , neexistují, protože funkce je periodická
v celém svém definičním oboru.
 .xx
x
823lim 2
1


  823 2
 xxxf 1x
 xf 1x
  ...xx
x
981213823lim 22
1


xlogy  arctgxy  xarcsiny 
xcosy  x
y 2
x
y 






5
1
xlogy   ,0


x
x
loglim
0
.loglim 

x
x
x
x
loglim
0

.loglim
0
x
x
arctgxy    ,R
2
lim



arctgx
x
.
2
lim



arctgx
x
.y
2


xarcsiny  .,11
2
arcsinlim
1



x
x
.
2
arcsinlim
1



x
x
x
x
arcsinlim
1

x
x
arcsinlim
1

xarcsiny 
xcosy    ,R
x
x
coslim

x
x
coslim

Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
67
e. Definiční obor funkce jsou všechna reálná čísla .
Z grafu vidíme, že
Funkce má vodorovnou asymptotu danou rovnicí
f. Definiční obor funkce jsou všechna reálná čísla .
Z grafu vidíme, že ,
Funkce má vodorovnou asymptotu danou rovnicí
K ZAPAMATOVÁNÍ
Nyní uvedeme obecný vztah pro výpočet limit racionálních lomených funkcí, které již
znáte z výpočtu limit posloupnosti. Tento vztah budeme používat v dalším řešeném pří-
kladu.
Nechť .b,a;Rb,...,b,b,a,...,a,a;Nm,k mk 0001010 
Pak platí následující tvrzení:
, je-li
0, je-li
I. , je-li
, je-li .
x
y 2   ,R
,02lim 

x
x
.2lim ´


x
x
x
y 2 .y 0
x
y 






5
1
  ,R







x
x 5
1
lim .0
5
1
lim
´







x
x
x
y 






5
1
.y 0
0
0
b
a
,mk 
,mk 








mm
mm
kk
kk
x bxbxbxb
axaxaxa
1
1
10
1
1
10
...
...
lim    ,
b
a
mk 





 0
0
0
   .
b
a
mk 





 0
0
0
3 Funkce jedné reálné proměnné a její limita
68
II.
, je-li
0, je-li
, je-li
, je li
ŘEŠENÁ ÚLOHA 10
Pomocí výše uvedených vztahů vypočtěte následující limity funkcí (jsou uvedeny v řešení
tohoto příkladu). Je zde zachyceno všech osm případů, které mohou nastat. Řešení nekomentujeme,
neboť se zde jedná pouze o určení stupně polynomu v čitateli a ve jmenovateli
a jednoduchou úvahu.
Řešení.
1. ,
5
2
55
322
lim 4
4



 x
xx
x
2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.








mm
mm
kk
kk
x bxbxbxb
axaxaxa
1
1
10
1
1
10
...
...
lim
0
0
b
a
,mk 
,mk 
      ,
b
a
mk mk






 
01
0
0
     .
b
a
mk mk






 
01
0
0
,0
245
2
lim 4



 xx
x
x
,
5
2
lim
5

 x
x
x
,
8
25
lim
4



 x
xx
x
,
5
4
52
334
lim 3
3



 x
xx
x
,0
52
34
lim 7
2



 x
x
x
,
52
123
lim
2



 x
xx
x
.
52
34
lim
4



 x
x
x
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
69
Při výpočtu limity funkce typu dojdeme často k výrazu, kdy
, (výraz ) a hodnotu limity přímo nelze určit. Úpravu
provádíme tak, že se snažíme zlomek krátit výrazem konvergujícím k nule. Vede k tomu
například rozklad v součin mnohočlenů v čitateli i ve jmenovateli nebo použití identity
, pokud se ve výrazu vyskytují druhé mocniny.
ŘEŠENÁ ÚLOHA 11
Vypočtěte limitu
Řešení.
Pokud do výrazu dosadíme , dostaneme výraz . Rozložíme čitatele i jmenovatele
na součin kořenových činitelů, krátíme výrazem a nakonec dosadíme
. Dostáváme:
ŘEŠENÁ ÚLOHA 12
Vypočtěte limitu
Řešení.
Pokud do výrazu dosadíme , dostaneme výraz . Rozložíme čitatele i jmenovatele
na součin kořenových činitelů, krátíme výrazem a nakonec dosadíme .
Dostáváme:
 
 xg
xf
    0lim0lim 

xgxf
axax 0
0
ba
ba
ba



22
ba 
.
4
6
lim 2
2
2 

 x
xx
x
2x
0
0
 2x
2x
  
  
.
4
5
2
3
lim
22
32
lim
4
6
lim
222
2
2









 x
x
xx
xx
x
xx
xxx
.
123
132
lim 2
2
1 

 xx
xx
x
1x
0
0
 1x 1x
 
 
.
4
1
3
1
3
2
1
2
lim
3
1
13
2
1
12
lim
123
132
lim
112
2
1


































x
x
xx
xx
xx
xx
xxx
3 Funkce jedné reálné proměnné a její limita
70
ŘEŠENÁ ÚLOHA 13
Vypočtěte limitu
Řešení.
Pokud do výrazu dosadíme , dostaneme výraz . Rozložíme čitatele i jmenovatele
na součin kořenových činitelů, krátíme výrazem a nakonec dosadíme . Do-
stáváme:
ŘEŠENÁ ÚLOHA 14
Vypočtěte limitu
Řešení.
Pokud do výrazu dosadíme , dostaneme výraz . Rozšíříme zlomek výrazem
, potom krátíme výrazem x a nakonec dosadíme . Dostáváme:
.
x
xx
x 205
253
lim 2
2
2 


2x
0
0
 2x 2x
 
    
.
x
x
xx
xx
x
xx
xxx 20
7
23
3
1
3
lim
223
3
1
23
lim
205
253
lim
222
2
2






















.
33
lim
0 x
x
x


0x
0
0
 33  x 0x








 0
033
lim
0 x
x
x
  
 


 33
3333
lim
0 x
x
x
x
x
 



 33
33
lim
0 xx
x
x   .
32
1
33
1
lim
0

 xx
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
71
ŘEŠENÁ ÚLOHA 15
Vypočtěte limitu
Řešení.
Pokud do výrazu dosadíme , dostaneme výraz . Rozšíříme zlomek výrazem
, potom krátíme výrazem a nakonec dosadíme . Dostáváme:
=
SHRNUTÍ KAPITOLY
V této kapitole jsme se seznámili se základním pojmem diferenciálního počtu a tím je
pojem funkce jedné reálné proměnné. Obecně pod pojmem funkce chápeme jistý způsob
přiřazení mezi dvěma množinami reálných čísel, které musí splňovat jisté předpoklady.
V první části kapitoly jsou uvedeny vlastnosti funkcí, jako je monotónnost, omezenost
funkce, sudost a lichost funkce. Součástí této kapitoly jsou také grafy elementárních
funkcí. Důraz je kladen na výpočet definičního oboru funkce. Druhá část kapitoly se pak
věnuje limitě funkce a jejímu výpočtu.
OTÁZKY
1) Odpovězte ano či ne?
a) Funkce xy ln je ryze monotónní funkcí v celém svém definičním oboru.
b) Funkce xy sin je ryze monotónní funkcí v celém svém definičním oboru.
c) Kvadratická funkce 2
xy  je klesající v intervalu  0; .
d) Funkce xy  je inverzní funkcí ke kvadratické funkci 2
xy  v R.
e) Funkce x
ey  je exponenciální funkcí.
.
49
32
lim 27 

 x
x
x
7x
0
0
 32  x  7x 7x









 0
0
49
32
lim 27 x
x
x
  
 
 
  







 3249
34
lim
32
32
49
32
lim 2727 xx
x
x
x
x
x
xx
       .
56
1
327
1
lim
3277
7
lim
77








xxxxx
x
xx
3 Funkce jedné reálné proměnné a její limita
72
f) Definičním oborem funkce
2
arcsin
x
y  je interval  2,2 .
g) Funkce 6
1
x
y  je sudá a funkce 9
1
x
y  je lichá.
h) Funkce 3
arctg lny x x x x    je složenou funkcí.
i) Definiční obory funkcí
xx
x
xf
)1(
)2(arctg
)( 2


 a
xx
x
xg
log
)(
7 3

 jsou identické.
2) Napište rovnici kvadratické funkce cbxaxxf  2
)( , je-li
.
3) Je dána funkce . Vypočtěte .
4) Určete definiční obor následujících funkcí:
a. b. c.
d. e.
5) Vypočtěte limity funkce v daných bodech:
a. v bodech
b. v bodech
c. v bodech
d. v bodech ,
e. v bodech
f. v bodech
g. v bodech
h. v bodech
i. v bodech
12)3(,2)0(,4)1(  fff
32
)( 2
2


x
x
xxf )1(),5(),1(  afff
)2arcsin(  xy xy 2arccos
5
3
arcsin


x
x
y
  121
4ln)4(

 xxy 2
23 xxy 
  32 24
 xxxf ,, 
     32
21 xxxf  ,, 
  3
3
231 xx
xx
xf


 ,,,0,1 
 
6
3
2
23



xx
xx
xf 2,,,3 
 
xx
xx
xf
4
182
3
3


 ,,,2,0 
  3
2
8
2
x
xx
xf


 ,,,0,2 
  2
3
4
4103
x
xx
xf


 ,,,2,2 
 
3
92



x
x
xf ,,,3,3 
 
15123
257
2
2



xx
xx
xf ,,,5,1 
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
73
ODPOVĚDI
1)
a) ano
b) ne
c) ano
d) ne; kvadratická funkce není prostá, a proto k ní neexistuje inverzní funkce v celém
definičním oboru R.
e) ano
f) ano
g) ano
h) ne; je to součin čtyř základních funkcí.
i) ano, ),1()1,0( x
2)
3) 0,8 ; 25,094 ;
4) a. b. c. d. e.
5) a. b. c.
d. neexistuje e. neexistuje,
f. g. neexistuje,
h. i. neexistuje,
2
3
2
3
4
)( 2
 xxxf
3)1(2
)333)(1(2
2
23


a
aaaa
 3,1x
1
0,
2
x 
5 5
,
4 2
x    4 Rx
 2,0x
, ,
2
1
,
2
1
,0,
3
2

,,,
5
9
 2,2,
8
25
0,0,0,
6
1
 ,
2
13
 ,
 ,,0,6 ,
2
1
3
7
,
3
7
4 Diferenciální počet funkce jedné reálné proměnné
74
4 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ
PROMĚNNÉ
RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY
Zkoumání mnoha přírodních i ekonomických jevů vede k závislostem vyjádřeným ve
tvaru funkce jedné reálné proměnné. Derivace této funkce má zásadní význam pro popis
příslušného jevu. Pojem derivace vznikl během druhé poloviny 17. století při řešení konkrétních
geometrických a fyzikálních úloh. Tento pojem byl přesně definován v 19. století
matematiky Cauchym a Bolzanem na základě jimi zpřesněného pojmu limity funkce.
CÍLE KAPITOLY
Po prostudování této kapitoly budete umět:
 definovat pojem derivace funkce,
 pravidla derivování funkcí,
 používat vzorce pro derivace funkce,
 vypočítat extrémy funkce a inflexní body funkce.
ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU
K prostudování této kapitoly budete potřebovat asi 120 minut.
KLÍČOVÁ SLOVA KAPITOLY
Derivace funkce, monotónnost funkce, extrémy funkce, inflexní body funkce, konvexnost
a konkávnost funkce, stacionární bod.
4.1 Pojem derivace funkce
Uvažujme funkci )(xfy  definovanou na otevřeném intervalu ).,( baM  Zvolíme bod
0x uvnitř intervalu M. Náš úkol bude určit směrnici tečny t ke křivce )(xfy  v bodě
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
75
 000 , yxT  , kde )( 00 xfy  . Za tímto účelem vedeme bodem 0T sečnu s, která protíná
křivku v dalším bodě  , ( ) , .T x f x x M  Označíme ,0xxx 
).()()( 00 xfxfxf  Vše graficky znázorníme (Obr.11).
Obrázek 11: Derivace funkce
Potom směrnice uvažované sečny je rovna
tg
x
xf
xx
xfxf
x






)()()(
)( 0
0
0
 , (1)
kde )(x je velikost směrového úhlu přímky s v závislosti na x-ové souřadnici bodu T.
Přitom rozdíl )()()( 00 xfxfxf  (2)
se nazývá diference (přírůstek) funkce f v bodě 0x ,
kdežto rozdíl 0xxx  (3)
se nazývá diference (přírůstek) argumentu x v bodě 0x .
Diferenční podíl
x
xf

 )( 0
je funkcí proměnné x , nikoliv 0x , které je pevné. Připomeňme,
že je to směrnice sečny. Význam diferenčního podílu spočívá v tom, že charakterizuje
relativní změnu hodnot funkce )(xfy  vzhledem k změně hodnot argumentu.
Funkce (1) není definována pro 0x . Může ovšem mít v tomto bodě limitu.
DEFINICE 1
Nechť funkce )(xfy  je definována na otevřeném intervalu M a nechť číslo .0 Mx 
Derivací funkce f v bodě 0x nazýváme číslo
0
0
0
)()(
lim)(
0 xx
xfxf
xf
xx 



neboli
x
xf
xf
x 



)(
lim)( 0
0
0 . (4)
4 Diferenciální počet funkce jedné reálné proměnné
76
Jinak řečeno: derivací funkce )(xfy  v bodě 0x nazýváme limitu diferenčního podílu
0pro
)( 0



x
x
xf
.
K ZAPAMATOVÁNÍ
Pravidla pro derivování funkcí
Nechť )(a)( xgxf mají derivace na intervalu M R . Nechť k je libovolná konstanta.
Potom pro Mx  platí:
1.   ),()( xfkxfk 


2.   )()()()( xgxfxgxf 

 ,
3.   )()()()()()( xgxfxgxfxgxf 

 ,
4.
 2)(
)()()()(
)(
)(
xg
xgxfxgxf
xg
xf 








, pro 0)( xg .
Vzorce pro derivování elementárních funkcí
V bodě x, který splňuje připojené podmínky, platí pro derivace uvedených funkcí tyto
vzorce:
(1) 0k , k – libovolná konstanta, Rk  ,
(2)   Raxaxx aa

 
,0,1
,
(3) ,cos)(sin xx 
(4) ,sin)(cos xx 
(5) ,0cos,tg1
cos
1
)tg( 2
2
 xx
x
x
(6) ,0sin),cotg1(
sin
1
)cotg( 2
2
 xx
x
x
(7)     xxxx
eeaaaa 



0,ln ,
(8)    
1 1
log , 0, 1, 0 ln , 0
ln
a x a a x x x
x a x
 
       ,
(9)  2
1
(arcsin ) , 1, 1 ,
1
x x
x
   

(10)  2
1
(arccos ) , 1, 1 ,
1
x x
x

   

Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
77
(11) 2
1
(arctg ) , ,
1
x x R
x
  

(12) 2
1
(arccotg ) , .
1
x x R
x

  

ŘEŠENÁ ÚLOHA 1
Derivujte funkci Rxxxxxy  ,2383 246
.
Řešení.
Kromě násobného užití vzorce (2) použijeme též pravidla 1. a 2.
116126128436 3535
 xxxxxxy .
ŘEŠENÁ ÚLOHA 2
Derivujte funkci .,
32
58 4
Rx
x
y 



Řešení.
Konstantu
32
1

vytkneme před derivovaný výraz, dále použijeme postupně pravidlo
2., 1. a vzorec (2).
 
32
32
58
32
1 3
4






x
xy .
ŘEŠENÁ ÚLOHA 3
Derivujte funkci 0,
2
27232
4
467


 x
x
xxxx
y .
Řešení.
Čitatel dělíme jmenovatelem.
.45,1033
,5,315,1
542
4323




xxxxy
xxxxy
Ověřte si, že stejný výsledek obdržíte použitím pravidla 4. pro derivování podílu. Postup
je ovšem zdlouhavější.
4 Diferenciální počet funkce jedné reálné proměnné
78
ŘEŠENÁ ÚLOHA 4
Derivujte funkci 4
3 xxy  , 0x .
Řešení.
Funkci nejprve upravíme jako mocninu proměnné x, potom použijeme (2).
1
1
1,254
0,25 4
3 3 ,
3,75 3,75 .
y x x
y x x

 
  
Derivovaný výraz, pokud lze, vždy nejprve upravíme.
ŘEŠENÁ ÚLOHA 5
Derivujte funkci 0,
3 342
 xxxxy .
Řešení.
Funkci y můžeme upravit takto: 12
19
xy  . Pak použijeme vzorec (2).
.
12
19
12
19 12 712
7
xxy 
ŘEŠENÁ ÚLOHA 6
Derivujte funkci Rxxxy  ,cos2
.
Řešení.
Použijeme pravidlo 3. pro derivaci součinu.
  .sincos2)(coscos 222
xxxxxxxxy 


ŘEŠENÁ ÚLOHA 7
Derivujte funkci
sin
, 0, 1
ln
x
y x x
x
   .
Řešení.
Použijeme pravidlo 4. pro derivaci podílu. Všimněte si správného pořadí funkcí z čitatele
a jmenovatele derivovaného zlomku: čitatel výsledku začíná derivací čitatele.
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
79
222
)(ln
sin
ln
cos
)(ln
1
sinlncos
)(ln
)(lnsinln)(sin
xx
x
x
x
x
x
xxx
x
xxxx
y 



 .
ŘEŠENÁ ÚLOHA 8
Derivujte funkci kxxy  ,cotg .
Řešení.
Použijeme základní vztahy mezi goniometrickými funkcemi a pravidlo 4. pro derivaci
podílu.
  .
sin
1
sin
cossin
sin
coscossinsin
sin
cos
,
sin
cos
cotg
22
22
2
xx
xx
x
xxxx
x
x
y
x
x
xy














Vzorec pro derivaci tg x ověřte teď sami!
ŘEŠENÁ ÚLOHA 9
Derivujte funkci Rx
x
x
y 


 ,
4
83
2
.
Řešení.
Použijeme pravidlo 4. pro derivaci podílu.
 
   
2 2
2 22 2
3 4 (3 8)2 3 16 12
4 4
x x x x x
y
x x
     
  
 
.
K ZAPAMATOVÁNÍ
Má-li funkce )(xgu  derivaci v bodě 0x a má-li funkce )(ufy  derivaci v bodě
)( 00 xgu  , potom  )(xgfy  má derivaci v bodě 0x a platí pravidlo derivování
složené funkce:
5.    ).()()( 00
´
00
xgufxgfy xx

4 Diferenciální počet funkce jedné reálné proměnné
80
ŘEŠENÁ ÚLOHA 10
Derivujte funkci .),95sin( 24
Rxxxy 
Řešení.
Položíme uufxxxgu sin)(,95)( 24
 , potom derivujeme
3
( ) 4 10g x x x   ,
)95cos(cos)( 24
 xxuuf .
Použitím pravidla 5. obdržíme postupně:
     3 3 4 2
( ) ( ) cos 4 10 4 10 cos 5 9 .y f u g x u x x x x x x          
ŘEŠENÁ ÚLOHA 11
Derivujte funkci y:
a.   .,1
52
Rxxy 
Označme uxxg  1)( 2
, potom 5
)( uuf  , podle pravidla 5. obdržíme:
      .110251
42425




 xxxuxuy
b. Rxxy  ,1 2
.
Označme ux  2
1 , potom
   .
1
2
2
1
1
2
2
x
x
x
u
xuy






c. Rxbaxy  ),sin( .
Označme ubax  , potom
  ).cos(cos)(sin baxauabaxuy 


d. 





 



kkxxy 2
2
,2
2
,cosln .
Označme ux cos , potom
.tg
cos
sin
)sin(
1
)(cos)(ln x
x
x
x
u
xuy 


Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
81
ŘEŠENÁ ÚLOHA 12
Vypočtěte šestou derivaci funkce 151642 245
 xxxxy .
Řešení.
Podle definice derivace vyšších řádů postupně vypočítáme:
16885 34
 xxxy ,
.0
,120
,48120
,4860
,82420
)6(
)5(
)4(
2
23





y
y
xy
xxy
xxy
4.2 Užití diferenciálního počtu – průběh funkce
Vyšetření průběhu funkce vyžaduje znalost všech předchozích kapitol matematické analýzy.
Výklad v této kapitole je omezen na vyšetřování průběhů algebraických funkcí.
4.2.1 MONOTÓNNOST FUNKCE
V teorii funkcí jsme definovali monotónnost funkce. Zjišťování monotónnosti funkce na
daném intervalu pomocí dříve uvedených definicí je často neefektivní, proto tuto vlastnost
funkce )(xf v intervalu ),( baJ  vyšetřujeme pomocí derivace funkce. Platí následující
věta.
VĚTA 1
Jestliže pro všechna x z intervalu ),( baJ  je splněna nerovnost
0)(  xf , rostoucí,
0)(  xf , klesající,
0)(  xf , neklesající,
0)(  xf , nerostoucí.
potom funkce f je v tomto intervalu
4 Diferenciální počet funkce jedné reálné proměnné
82
ŘEŠENÁ ÚLOHA 13
Určete intervaly monotónnosti funkce Rxxxxxf  ,156)( 23
.
Řešení.
Zjistíme nejprve intervaly, v nichž platí 0)(a0)(  xfxf .
2
( ) 3 12 15 0 ( , 5) (1, ),
( ) 0 ( 5,1) .
f x x x x
f x x
          
    
Podle věty 4 je funkce rostoucí v intervalu ),1()5,(  a klesající v intervalu ( 5,1) .
Funkce je spojitá v R, takže v bodě 5x musí mít lokální maximum, tzn., že v nějakém
okolí bodu 5x , tj. intervalu obsahující bod 5x , je hodnota )5(f maximální ze
všech hodnot, jež funkce nabývá na tomto intervalu. Analogicky v bodě x = 1 musí funkce
mít lokální minimum. V případě této kubické funkce, na základě znalosti průběhu elementárních
funkcí, stanovíme charakter grafu. Obecně výpočet extrému nemusí být tak
jednoduchý. Proto pro jejich určení používáme postup uvedený v následujícím odstavci.
4.2.2 LOKÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCÍ
DEFINICE 2
Uvažujme funkci )(xf definovanou v bodě 0x a jeho jistém okolí. Říkáme, že funkce
)(xf má v bodě 0x lokální minimum, právě když existuje takové okolí )( fDJ  bodu
0x , že pro všechna x J platí 0( ) ( ).f x f x
Říkáme, že funkce )(xf má v bodě 0x lokální maximum, právě když existuje takové
okolí )( fDJ  bodu 0x , že pro všechna x J platí 0( ) ( ).f x f x
Souhrnně se lokální minima a lokální maxima nazývají lokální extrémy funkce.
Dále budeme vyšetřovat, za jakých podmínek nastává v určitém bodě 0x lokální extrém.
DEFINICE 3
Bod 0x , ve kterém je 0)( 0  xf , se nazývá stacionární bod funkce )(xf .
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
83
VĚTA 2
Nechť funkce )(xf má v bodě 0x obě derivace )(),( 00 xfxf  a nechť 0x je stacionární
bod, tj. 0)( 0  xf . Pak funkce )(xf v bodě 0x :
a. má lokální maximum, je-li 0)( 0  xf ,
b. má lokální minimum, je-li 0)( 0  xf .
Jestliže však 0)()( 00  xfxf , pak funkce )(xf může mít (ale i nemusí) v bodě 0x
lokální extrém.
Např. u funkcí 3 4
( ) , ( )f x x g x x  platí pro 00 x v obou případech
0)0(")0(")0(')0(  gfgf a přitom funkce   4
xxg  má v bodě 00 x lokální
minimum, kdežto funkce   3
xxf  v tomto bodě nemá extrém, neboť je rostoucí v celém
definičním oboru. Nakreslete si tyto funkce!
Nyní nás zajímá, jak postupovat, když ve stacionárním bodě 0x druhá derivace je nulová.
VĚTA 3
Nechť funkce )(xf má na okolí bodu 0x spojitou derivaci řádu 3n , přičemž
platí
0)(,0)(...)()( 0
)(
0
)1(
00  
Bxfxfxfxf nn
.
Je-li číslo n liché, nemá )(xf v bodě 0x lokální extrém. Je-li však číslo n sudé, má
)(xf v bodě 0x :
a. lokální maximum při 0B ,
b. lokální minimum při 0B .
ŘEŠENÁ ÚLOHA 14
Určete lokální extrémy funkce 555)( 345
 xxxxf .
Řešení.
Vypočteme derivace
.306020)(
),34(515205)(
23
22234
xxxxf
xxxxxxxf


Protože daná funkce )(xf má všude v R derivaci, může mít )(xf lokální extrém jen ve
stacionárních bodech, pro něž je 0)(  xf .
4 Diferenciální počet funkce jedné reálné proměnné
84
Proto řešíme rovnici
0)34(5 22
 xxx .
Dostaneme stacionární body 3,1,0 432,1  xxx .
Dále platí 90)3(,10)1(,0)0(  fff .
Podle věty 4. má )(xf v bodě 13 x lokální maximum a v bodě 34 x lokální minimum.
Zbývá rozhodnout pomocí věty 5. o situaci v bodě .01 x
Protože Bfxxxf  30)0(,3012060)( 2
, nemá )(xf extrém ve stacionárním
bodě 01 x .
4.2.3 INFLEXNÍ BODY FUNKCE
Inflexní bod funkce je bod v němž - znázorněno geometricky - graf funkce přechází
z jedné strany své tečny na druhou. Je to na Obr. 12 bod I, v němž se funkce )(xf mění
z funkce konvexní na konkávní nebo obráceně. Říkáme také, že funkce )(xf má
v bodě 0x inflexi.
Obrázek 12: Inflexní bod funkce
Nyní nás bude zajímat, za jakých podmínek je bod 0x inflexním bodem.
VĚTA 4
Je-li 0x inflexním bodem funkce )(xf a existuje-li druhá derivace )( 0xf  , potom platí:
0)( 0  xf .
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
85
VĚTA 5
Je-li 0)( 0  xf a mění-li )(xf  při přechodu přes bod 0x znaménko, pak má funkce
( )f x v bodě 0x inflexi.
VĚTA 6
Je-li 0)(kdežto,0)(...)( 0
)12(
0
)2(
0  
Axfxfxf nn
, pak funkce )(xf má v bodě
0x inflexi.
Je-li 0)(kdežto,0)(...)( 0
)12(
0
)2(
0  
Axfxfxf nn
, pak funkce )(xf má v bodě
0x inflexi.
Tzn. má-li funkce )(xf v bodě 0x nulové všechny derivace počínaje druhou až do určité
derivace sudého řádů (včetně), potom 0x je inflexním bodem funkce )(xf , pokud bezprostředně
následující derivace lichého řádu je nenulová.
ŘEŠENÁ ÚLOHA 15
Určete inflexní body a intervaly, na kterých je funkce 12)( 34
 xxxf konvexní nebo
konkávní.
Řešení.
1. Určení inflexních bodů:
Nejprve vypočteme derivace
3 2
2
( ) 4 6 ,
( ) 12 12 12 ( 1),
( ) 24 12.
f x x x
f x x x x x
f x x
  
    
  
Dále řešíme rovnici 0)1(12)(  xxxf .
Řešením dostaneme x-ové souřadnice bodů, ve kterých může existovat inflexe:
1,0 21  xx .
V těchto bodech určíme hodnotu třetí derivace: 12)1(,12)0(  ff .
4 Diferenciální počet funkce jedné reálné proměnné
86
V obou případech jsou třetí derivace nenulové, proto body    0,1I,1,0I 21 jsou inflexními
body (Obr. 13).
Obrázek 13: Inflexní body funkce
2. Určení intervalů, na nichž je daná křivka konvexní nebo konkávní:
Nejprve řešíme nerovnice 0)(  xf nebo 0)(  xf .
a. ( ) 12 ( 1) 0.f x x x   
Funkce je konvexní v intervalu )0,( a také v intervalu ),1(  .
b. ( ) 12 ( 1) 0 .f x x x   
Funkce je konkávní pro  .1,0
4.2.4 KONVEXNOST A KONKÁVNOST FUNKCE
Obdobně jako monotónnost funkce, tak i konvexnost a konkávnost jsme definovali
v kapitole věnované funkcím. Prakticky ji ovšem budeme vyšetřovat v závislosti na znaménku
druhé derivace funkce podle níže uvedené věty.
VĚTA 7
Jestliže v intervalu ),( baJ  platí nerovnost:
0)(  xf , konvexní,
0)(  xf , konkávní.
Řešením uvedených nerovnic určíme intervaly, na kterých funkce je konvexní nebo kon-
kávní.
1
1
1
1 2
x
y
0
2
3
12 34
 xxy
pak funkce f je v tomto intervalu
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
87
ŘEŠENÁ ÚLOHA 16
Určete intervaly, na kterých je funkce xxxxf 156)( 23
 konvexní nebo konkávní.
Řešení.
Vypočteme nejprve druhou derivaci funkce a pak vyřešíme příslušné nerovnice:
20126)(  xxxf ,
20)(  xxf .
Funkce )(xf je konvexní v intervalu ),2(  a konkávní v intervalu )2,(  .
SHRNUTÍ KAPITOLY
Tato kapitola studijní opory uzavírá část věnující se matematické oblasti. V této kapitole
jste se seznámili s derivací funkce jedné reálné proměnné. Byly zde uvedeny základní
vztahy pro derivování a vzorce pro derivaci elementárních funkcí. Vyšetřování průběhu
funkce patří k základním znalostem. V tomto předmětu je důraz kladen na výpočet extrémů
funkce, určení intervalů monotónnosti, výpočet inflexních bodů a určení intervalů
konvexnosti a konkávnosti.
OTÁZKY
1) Vypočtěte první derivaci dané funkce a určete )(yD 
a. 5 2
xy  b. 5ln
1
 x
x
y
c. 3
3 2
2
x
x
y  d. xxy 3

e. )24)(3( 23 53 43 2
xxxxxy 
f. )2)(24( 2
xxxxxxy  g.
)23(
3


x
y
h.
27
3
5
2


xx
x
y i.
1
1
2



x
x
y
j.
4
4
1







x
y k. 2
3
2
1
4
13
3
7
7
7
4
43 

xxxy
2) Vypočtěte první derivaci dané funkce a určete )(yD 
a. 3
5 3
2
6
5
x
x
xy  b.
xx
y 3
2

c.
152
5
2


xx
y d.
1
8
3
3


xx
x
y
4 Diferenciální počet funkce jedné reálné proměnné
88
e.
7
25
2
2



x
xx
y f.
)1(
3
2
x
y


g.
x
x
y
21
1


 h. 62
)6
4
7( 
x
xy
i.
4 3
)1(
1


x
y j.
1
3
2


x
x
y
3) Určete lokální extrémy funkcí. Symbolem označujeme ve výsledcích lokální
maximum, resp. lokální minimum funkce.
a.
b.
c.
d.
4) Určete inflexní body funkce a intervaly, v nichž je tato funkce konvexní nebo
konkávní.
a.
b.
c.
d.
ODPOVĚDI
1)
a.
5 3
5
2
;0
x
yx

 b. 1
1
;0 2



x
yx
c.
3 23 5
3
1
3
4
;0
xx
yx  d. 5
2
7
;0 xyx 
e.
4 5
2 3 3
14 8
3 24
3 5
y x x x      f. xxyx
2
3
24;0 2

g. 2
2 9
;
3 (3 2)
x y
x
  

h. 25
5
5
)27(
)421(3
;027



xx
xxx
yxx i. 2
)1(
4
;1



x
yx
j.
3
2
4
14
;0 








xx
yx k. 2
3
4
9
3
4
7
2
137;0

 xxxyx
Vresp.,V
43612)( 23
 xxxxf
1)( 3
 xxxf
23
)( xxxf 
34
25,0)( xxxf 
)(xf
  310 25
 xxxxf
  42
xxexf x

  0,ln2 2
 xxxxf
  1,
1
1
2


 x
x
xf
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
89
2)
a.
85
1 1
0; 3
2 2
x y x
x x
    b.
9
7
0;x y
x

 
c. 22
2
)152(
2520
;0152



xx
x
yxx d. 23
2
3
)1(
)32(8
;01



xx
xx
yxx
e. 22
2
)7(
774



x
xx
y f. 2 2
6
1;
(1 )
x
x y
x
  

g. 2
)21(2
21
;0
xx
yx


 h. 52
2
)6
4
7)(
4
14(6;0 
x
x
x
xyx
i.
 7
4
1
1
4
3
;1


x
yx j.
 
 22
2
12
313
;0



xx
x
yx
3) a. b. lokální extrémy neexistují
c. d.
4)
a. inflexní bod ; konvexní v ; konkávní v
b. inflexní bod neexistuje, konvexní v R
c. inflexní bod ; konvexní v ; konkávní v
d. inflexní bod neexistuje; konvexní v ; konkávní v
)82,2(V),50,6(V 
)0,0(V,
27
4
,
3
2
V 





 






4
27
,3V
1x  ,1  1,
2
1
x 





,
2
1






2
1
,0
 1,1     ,11,
5 Popisná statistika – kvalitativní a kvantitativní znaky
90
5 POPISNÁ STATISTIKA – KVALITATIVNÍ A KVANTITATIVNÍ
ZNAKY
RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY
Cílem statistiky je odhalit zákonitosti a analyzovat informace, které jsou obsaženy ve
velkém množství dat v číselné i nečíselné podobě. Prvním krokem k tomuto cíli je zpřehlednění
dat. Obvyklé jsou dva přístupy: popisná statistika a induktivní statistika. Do popisné
statistiky patří grafické znázornění dat, které zpravidla využívá už provedeného
třídění a vypočtených charakteristik. Mezi základní charakteristiky polohy patří: průměr,
modus a medián. Mezi charakteristiky polohy patří: rozptyl, směrodatná odchylka, rozpětí,
variační koeficient.
CÍLE KAPITOLY
Po prostudování této kapitoly budete umět:
 rozdělit statistické znaky,
 uvést příklady kvalitativních a kvantitativních znaků,
 vypočítat charakteristiky polohy: průměr, modus, medián,
 vypočítat charakteristiky variability: rozptyl, směrodatnou odchylku, rozpětí,
variační koeficient.
ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU
K prostudování této kapitoly budete potřebovat asi 90 minut.
KLÍČOVÁ SLOVA KAPITOLY
Statistické znaky, kvalitativní statistický znak, kvantitativní statistický znak, průměr,
modus, medián, rozptyl, směrodatnou odchylku, rozpětí, variační koeficient.
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
91
5.1 Statistické znaky
Jednotlivé objekty statistického zkoumání nazýváme statistické jednotky. Statistickými
jednotkami mohou být například zákazníci, zaměstnaci firmy, samotné firmy nebo
organizace určitého typu, jako jsou prodejny potravin, supermarkety učitého řetězce
(např. Hypernova), ale i studenti SU OPF, voliči v ČR, též výrobky (např. televizory,
počítače aj.), nebo také události (uzávěrky, úrazy, vrhy hrací kostkou apod.).
Souhrn statistických jednotek stejného vymezení tvoří statistický soubor. Soubor, který
obsahuje všechny statistické jednotky daného vymezení, se nazývá základní soubor (též
populační soubor nebo krátce populace). Vybraná část základního souboru se nazývá
výběrový soubor, též vzorek. V praxi se setkáváme především s výběrovými soubory,
neboť populační soubory jsou jen zřídka dostupné.
Předmětem analýzy statistických souborů jsou vlastnosti jejich statistických jednotek.
Těmto vlastnostem říkáme statistické znaky a z důvodu jejich dalšího sledování je podrobněji
členíme na:
 znaky kvalitativní (někdy též slovní, textové nebo alfanumerické),
 znaky kvantitativní (též číselné, metrické, měřitelné).
Příkladem kvalitativních znaků mohou být pohlaví zákazníka, typ podniku, bydliště
voliče, barva výrobku, chuť nápoje, spokojenost zákazníka apod.
Jako příklady kvantitativních znaků mohou sloužit tržby firmy za měsíc, cena výrobku,
počet zákazníků za den, HDP státu v USD, výsledky vrhu hrací kostkou apod.
Nebude-li hrozit nedorozumění, budeme namísto „statistický znak“ používat pouze
„znak“.
Z hlediska použitých metod je vhodné ještě podrobnější členění statistických znaků.
Konkrétně kvalitativní znaky členíme na dvě skupiny:
 nominální znaky (též jmenovité),
 ordinální znaky (též pořadové).
Hodnotám, kterých nabývají kvalitativní znaky, říkáme kategorie. Tak například
kategoriemi znaku „pohlaví zákazníka“ jsou „Muž“ a „Žena“ (nebo M a Ž, popřípadě
z angličtiny M – „Male“ a F – „Female“), kategoriemi znaku „spokojenost zákazníka“
mohou být 3 výrazy „nízká“, „průměrná“ a „vysoká“, nebo též 3 kódy „1“, „2“ a „3“.
Přestože se v tomto případě vyjadřuje znak spokojenost zákazníka čísly 1, 2 a 3, nejedná
se o kvantitativní znak, neboť čísla zde pouze nahrazují příslušné slovní výrazy.
Kategorie nominálních znaků jsou navzájem rovnocenné, a tudíž je nelze vzájemně
porovnávat a uspořádat do hodnotové stupnice. Na druhou stranu kategorie ordinálních
znaků nejsou rovnocenné, a tudíž je lze vzájemně porovnávat a uspořádat do hodnotové
stupnice, např. od nejméně hodnotného k nejvíce hodnotnému.
Kvantitativní znaky rovněž členíme do dvou skupin na:
 diskrétní znaky (konečné nebo nekonečné),
 spojité znaky.
Diskrétní znaky nabývají izolovaných číselných hodnot. Například počet zákazníků
v prodejně za den může nabývat hodnot 0, 1, 2, 3,… atd., není shora omezen (alespoň
teoreticky) a jedná se tudíž o nekonečný diskrétní znak. Počet ok na hrací kostce je naproti
tomu omezený, konkrétně nabývá hodnot 1, 2,…, 6, jedná se proto o konečný diskrétní
znak. Naopak spojité znaky nabývají všech možných číselných hodnot z určitého číselné-
5 Popisná statistika – kvalitativní a kvantitativní znaky
92
ho intervalu. Přesněji říkáme, že nabývají hodnot všech reálných čísel z daného intervalu,
který ovšem může být i neomezený, (-; +).
Přehledně je struktura statistických znaků znázorněna na Obr. 14.
Obrázek 14: Struktura statistických znaků
ŘEŠENÁ ÚLOHA 1
Doplňte hodnoty v tabulce. Data představují počet dětí v 33 rodinách.
počet dětí četnosti relativní četnosti kumulativní četnosti relativní kumulativní četnosti
0 6
1 7
2 14
3 5
4
Na základě informací z prvního příkladu odpovězte na následující otázky:
a) V kolika rodinách mají 4 děti?
b) Kolik procent z dotazovaných rodin má 2 děti?
c) Kolik rodin má méně než 2 děti?
d) Kolik procent z dotazovaných rodin má nejvýše 2 děti?
Řešení.
počet dětí četnosti relativní četnosti
kumulativní
četnosti
relativní kumulativní
četnosti
0 6 0,18 6 0,18
1 7 0,21 13 0,39
2 14 0,42 27 0,82
3 5 0,15 32 0,97
4 1 0,03 33 1,00
a) 1; b) 42%; c) 13; d) 82%
Statistické znaky
kvalitativní kvantitativní
nominální ordinální diskrétní spojité
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
93
5.2 Kvalitativní znaky
Nejčetnější hodnota (kategorie) statistického znaku x v daném statistickém souboru se
nazývá modus a označuje se „stříškou“, tedy xˆ .
Nejčetnější hodnota nemusí existovat jediná, statistický soubor, v němž existují dvě nejčetnější
hodnoty (samozřejmě se stejnou četností), se nazývá bimodální, existuje-li takových
hodnot v souboru více, pak se statistický soubor nazývá multimodální.
U ordinálního znaku můžeme kromě modu v daném souboru využít ještě další charakteristiku
polohy – prostřední hodnotu v souboru statistických jednotek uspořádaných podle
hodnoty znaku.
Medián představuje hodnotu odpovídající prostřední jednotce v souboru jednotek uspořádaných
podle ordinálního ukazatele x, to je takovou hodnotu, kdy existuje stejný počet
jednotek v souboru s menší nebo stejnou hodnotou znaku a stejný počet jednotek s větší
nebo stejnou hodnotou (kategorií). Při sudém počtu statistických jednotek neexistuje pochopitelně
žádná prostřední jednotka, prostřední jednotky jsou (sousední) dvě a medián se
pak definuje jako hodnota menší z nich.
5.3 Kvantitativní znaky
5.3.1 ČETNOSTI
Základní metodou zpracování číselných dat velkého rozsahu je rozdělení četnosti. Příkladem
je náš soubor Firma (viz Příloha), který obsahuje kvantitativní znak Věk s údaji o
200 pracovnících Firmy.
Rozdělení četnosti představuje počet údajů, které přináleží každému ze zadaných nepřekrývajících
se intervalů nazývaných třídami. Třída je v našem příkladu definována jako
interval těch hodnot znaku Věk, které jsou větší, případně se rovnají 18 a současně jsou
menší než 23. U každé třídy rozeznáváme dolní hranici, horní hranici a šířku třídy. Z
Tabulky 3.1. vyplývá, že se ve zmíněné třídě nachází 7 hodnot, dolní hranice této třídy je
18, horní hranice je 23 a šířka třídy je 5. Třídy v rozdělení četnosti musejí splňovat následující
podmínku: každý údaj z analyzovaného souboru leží právě v jediné třídě. Z této
podmínky vyplývají 2 důležité vlastnosti tříd:
 třídy se vzájemně nepřekrývají,
 všechny třídy pokrývají celou oblast hodnot dat.
Navíc požadujeme 3. vlastnost:
 šířka všech tříd je stejná.
Četnost třídy je definována jako počet hodnot, které přísluší do této třídy. V našem příkladě
je četnost třídy rovna 7. V této souvislosti definujeme ještě další používané pojmy:
Rozpětí R představuje rozdíl mezi maximální a minimální hodnotou dat, tedy:
5 Popisná statistika – kvalitativní a kvantitativní znaky
94
R = max xi - min xi ,
kde xi jsou jednotlivá data. V našem příkladu je
R = 62 – 18 = 44.
V metodě rozdělení četnosti se nejprve stanoví počet tříd, který zřejmě závisí na množství
analyzovaných dat, tj. počtu statistických jednotek. Počet tříd nesmí být příliš velký. Čím
menší je počet jednotek, tím menší musí být zároveň počet tříd, jinak by některé třídy
neobsahovaly žádná data, byly by tak „zbytečné“. Na druhou stranu nesmí být počet tříd
ani příliš malý, pak by totiž výsledné rozdělení četnosti poskytovalo jen malou informací
o analyzovaném souboru. Představte si například krajní situaci s jedinou třídou, kde se
nachází všechna data. Takové extrémní „rozdělení četnosti“ nedává o rozdělení hodnot v
souboru prakticky žádnou informaci. Počet tříd je někdy přirozeně určen věcnou podstatou
dat, kdy šířka třídy je např. dána předpisy, tradicí nebo zkušenostmi. Pokud tomu tak
není, pak pro stanovení počtu tříd (intervalů) k se často používá tzv. Sturgersovo pravidlo:
  1)(log3,3 10  nRoundk ,
kde k je počet tříd, n je počet hodnot kvantitativního znaku, jež jsou k dispozici, výraz
Round(a) označuje zaokrouhlení čísla a na celé číslo. Pro náš příklad je
  1)200(log3,3 10  Roundk =   13,23,3 Round = Round (7,59) + 1 = 8 + 1 = 9.
Počet tříd v našem příkladu je podle Sturgersova pravidla roven 9. Konkrétní třídy stanovíme
tak, aby levá hranice 1. třídy, označíme ji L, byla menší (nebo rovna) než minimální
hodnota v souboru označená min xi a pravá hranice 9. třídy, označíme ji P, byla větší (nebo
rovna) než maximální hodnota v souboru max xi. V našem příkladu jsme konkrétně
zvolili L = 18 a P = 63. Šířku třídy dostaneme tak, že rozdělíme celou oblast pokrytou
třídami na k stejných intervalů, přičemž k je předem stanovený počet tříd. Šířka třídy z
tedy je z = (P – L)/k,
konkrétně v našem příkladu obdržíme z = (63 – 18)/9 = 5.
Kumulativní četnost v dané třídě je součet četností všech předchozích tříd a četnosti
dané třídy. Relativní četnost dané třídy je podíl její četnosti a celkového počtu dat. V
našem příkladu je relativní četnost třídy "větší rovno 18 a zároveň menší než 23" rovna
7/200 = 0,035. Kumulativní relativní četnost dané třídy je součet relativních četností
všech předchozích tříd a dané třídy.
Histogram četnosti představuje sloupcový graf znázorňující rozdělení četnosti pro kvantitativní
znak. Spojením středů horních základen jednotlivých sloupců v histogramu lomenou
čarou získáme polygon četnosti.
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
95
Třídy Četnost
Kumulativní
četnost
Relativní čet-
nost
Kumulat. relat.
četnost
[18,23] 8 8 0,040 0,040
(23,28] 35 43 0,175 0,215
(28,33] 20 63 0,100 0,315
(33,38] 31 94 0,155 0,470
(38,43] 21 115 0,105 0,575
(43,48] 34 149 0,170 0,745
(48,53] 16 165 0,080 0,825
(53,58] 27 192 0,135 0,960
(58,63] 8 200 0,040 1,000
Obrázek 15: Histogram
Jak je vidět z našeho příkladu, rozdělení četnosti jako statistická metoda poskytuje komplexní
pohled na sledovanou problematiku věkové struktury zaměstnanců Firmy.
5.3.2 MODUS A MEDIÁN
Nejčetnější hodnota statistického znaku x v daném statistickém souboru se nazývá modus
a označuje se xˆ . Avšak u kvantitativních dat, zejména pak spojitých, ztrácí modus na
významu, neboť s tím, jak mohou hodnoty nabývat libovolných čísel, stává se zřídka, že
se stejné hodnoty vícekrát opakují. Nastává situace, kdy módem je každá hodnota
s počtem opakování 1. Proto v případě kvantitativních dat pojem modus modifikujeme a
používáme pojem modální třída, což je nejčetnější třída v daném rozdělení četnosti. Modální
třída pak ovšem není jediné číslo, jako v případě modu, ale celý interval čísel, jehož
velikost závisí na zvolené metodě rozdělení četnosti. Může se tedy stát (možná pro někoho
poněkud paradoxně), že modus neleží v modální třídě.
Medián představuje hodnotu odpovídající prostřední jednotce v souboru jednotek uspořádaných
podle kvantitativního znaku x, to je takovou hodnotu, kdy existuje stejný počet
8
35
20
31
21
34
16
27
8
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
[18,23] (23,28] (28,33] (33,38] (38,43] (43,48] (48,53] (53,58] (58,63]
Četnosti
Třídy
Věková struktura Firmy
5 Popisná statistika – kvalitativní a kvantitativní znaky
96
jednotek v souboru s menší nebo stejnou hodnotou znaku a jednotek s větší nebo stejnou
hodnotou. Při sudém počtu statistických jednotek neexistuje pochopitelně žádná prostřední
jednotka, prostřední jednotky jsou (sousední) dvě a medián se pak definuje jako hodnota
menší z nich. V případě kvantitativního znaku se v literatuře můžete setkat s tím, že se
medián definuje jako aritmetický průměr těchto dvou sousedních hodnot.
5.3.3 KVANTILY
Mezi charakteristiky polohy patří také tzv. kvantily. Kvantil je taková hodnota, která
rozděluje (uspořádaný) soubor hodnot určitého znaku na dvě specifikované části. Jedna
obsahuje statistické jednotky s hodnotami, které jsou menší nebo rovny kvantilu, druhá
obsahuje hodnoty, které jsou větší, nebo se rovnají kvantilu.
Přesněji, p-procentní kvantit px je nejmenší hodnota znaku, pro kterou platí:
1. alespoň p procent všech jednotek má hodnotu menší nebo rovnu px ,
2. alespoň (100 – p) procent všech jednotek má hodnotu větší (eventuálně rovnu) px .
Podle této definice je medián 50-procentním kvantilem. Je obvyklé, že 25 % a 75 %
kvantily nazýváme kvartily (dolní a horní). Dále 10 %, 20 %, 30 %,...,90 % kvantily nazýváme
decily, 1 %, 2 %, 3 %,..., 99 % kvantily se nazývají percentily
ŘEŠENÁ ÚLOHA 2
Uvažujme následující soubor 21 nákupů v supermarketu uspořádaných podle velikosti:
102, 121, 123, 123, 123, 123, 215, 215, 233, 289, 320, 320, 320, 435, 450, 450, 500, 550,
580, 876, 1236.
Stanovte 20 a 25 % kvantily: x20, x25.
Řešení.
Víme, že 20 % z 21 jednotek je 4,2. Ukážeme, že pro 20 % kvantil platí: x20 = 123. Je
tedy splněna druhá podmínka z definice kvantilu, totiž, že více než 80 % jednotek má
hodnotu větší nebo rovnu 123.
Ze stejného důvodu je číslo 123 p-procentním kvantilem pro každé p z intervalu (9,52;
28,57], tedy speciálně platí x25 = 123. Jak je vidět, pro různé hodnoty p dostáváme stejný
p % kvantil. Pro konkrétní hodnotu p však v souboru existuje pouze jediný kvantil!
Z tohoto důvodu je v definici kvantilu podmínka, že jde o nejmenší hodnotu splňující
podmínky 1 a 2.
5.3.4 PRŮMĚRY
Aritmetický průměr stanovíme tak, že sečteme jednotlivé výsledky měření nebo
zjišťování a dělíme celkový součet počtem jednotek. Rozlišujeme přitom průměr z celého
souboru údajů (např. všech obyvatel republiky), nebo jen z určitého vzorku – výběru
(např. náhodně dotazovaných chodců na Univerzitním náměstí v Karviné). Ten první na-
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
97
zýváme populačním průměrem a označujeme jej řeckým písmenem  (mí), pro ten druhý
používáme označení x s horním pruhem, tedy x a nazýváme jej výběrovým průměrem.
Zda se jedná o výběrový nebo populační průměr, závisí na konkrétní situaci. Vybereme-li
z populace všechny prvky, pak výběrový a populační soubor budou totožné. Matematické
vyjádření je následující:
populační průměr: 

N
i
ix
N 1
1
 , (5.1)
výběrový průměr: 

n
i
ix
n
x
1
1
. (5.2)
Přitom N představuje počet statistických jednotek v populačního souboru, n představuje
počet jednotek v příslušného výběru. Pro aritmetický průměr platí:
0)(
1

N
i
ix  , resp. 0)(
1

n
i
i xx .
5.3.5 VARIAČNÍ ROZPĚTÍ, ROZPTYL, SMĚRODATNÁ ODCHYLKA
Variační rozpětí je dáno vztahem: R = MAX – MIN.
Rozptyl je aritmetickým průměrem kvadrátů odchylek od aritmetického průměru. Podle
toho, zda se jedná o rozptyl z celého souboru – celé populace, nebo jen rozptyl z jistého
vzorku – výběru z této populace, rozlišujeme populační rozptyl, kterému říkáme jednoduše
rozptyl, označujeme jej 2
 ("sigma na druhou"), a výběrový rozptyl, označujeme jej
s
2
("es na druhou"). Jedná se o analogii s průměrem a výběrovým průměrem. Vzorce pro
výpočet průměru a výběrového průměru se formálně nelišily, u rozptylů však dochází k
drobné odlišnosti obou vzorců. Zatímco u rozptylu (populačního) se součet kvadrátů dělí
počtem všech sčítanců, u výběrového rozptylu se součet čtverců dělí počtem sčítanců
zmenšeným o jeden.
Vzorce vypadají následovně:
2
1
2
1
22 1
)(
1
   
N
i
i
N
i
i x
N
x
N
, (5.3)
1
)(
1
1
2
1
2
1
22






 
 n
xnx
xx
n
s
n
i
in
i
i . (5.4)
.
Směrodatná odchylka je odmocninou z rozptylu. Ve shodě s předchozí terminologií
rozlišujeme populační směrodatnou odchylku, označujeme ji , a říkáme jí směrodatná
odchylka, a výběrovou směrodatnou odchylku, která je odmocninou z výběrového
rozptylu, označujeme s.
5 Popisná statistika – kvalitativní a kvantitativní znaky
98
ŘEŠENÁ ÚLOHA 3
Z osobních záznamů vybraných pěti zaměstnanců jisté firmy o počtu dnů nepřítomnosti
v minulem roce dostáváme tato data:
Osobní číslo
zaměstnance
Počet
dnů ne-
moci
10786 3
10954 3
21334 4
23156 7
36511 8
Řešení.
Jaký je průměrný počet dnů nepřítomnosti, rozptyl a směrodatná odchylka?
5
5
87433




n
x
x i
5,5
4
22
4
558...3
1
22222
2







n
xnx
s i
35,25,5 s
Průměrný počet dnů nepřítomnosti je 5, rozptyl je 5,5 a směrodatná odchylka je 2,35
dne.
5.3.6 VARIAČNÍ KOEFICIENT
Variační koeficient je nástroj nezávislý na měrných jednotkách. Používá se často
jako míra rizika cenných papírů při investování. Definujeme jej jako podíl průměru a
směrodatné odchylky a vyjadřujeme jej často v procentech:


V , resp.
x
s
v  , (5.5)
podle toho, jedná-li se o populační, resp. výběrový variační koeficient. Pro vyjádření
variačního koeficientu v procentech (z průměru) násobíme výraz ve (5.5) číslem 100.
ŘEŠENÁ ÚLOHA 4
Aritmetický průměr denních cen akcie A za uplynulý rok je 580 Kč, přičemž směrodatná
odchylka je 150 Kč. Stejně tak pro akcie B byl průměr 270 Kč a směrodatná odchylka je
90 Kč. U kterých akcií kolísala cena více?
Řešení.
Kolísání ceny akcií vyjádříme pomocí variačního koeficientu (5.5):
25,8 %, resp. 33,3 %.
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
99
Z výpočtu je zřejmé, že cena akcií B kolísala více než A. Při finančních analýzách
slouží jak směrodatná odchylka, tak zejména variační koeficient, jako míra rizika. Proto
můžeme konstatovat, že akcie A jsou méně rizikové, než akcie B.
5.3.7 KOEFICIENT ŠIKMOSTI
Koeficient šikmosti vyjadřuje tvar rozdělení četnosti pomocí jediného čísla. Koeficient
šikmosti definujeme následovně:
 

 x
Sk
~3 
 , (5.6)
kde  je populační aritmetický průměr a je medián. Koeficient výběrové šikmosti má analogický
tvar, populační charakteristiky , resp.  jsou nahrazeny výběrovými charakteristikami
, resp. s, tedy
 
s
xx
sk
~3 
 .
Pokud je tato šikmost rovna nule, potom je histogram četnosti symetrický v tom
smyslu, že medián a aritmetický průměr (případně i modus) jsou stejné. Koeficient šikmosti
je tím menší (záporný), čím je graf polygonu četnosti více zešikmen doleva, naopak,
šikmost je tím větší (kladná), čím je graf zešikmen více doprava.
ŘEŠENÁ ÚLOHA 5
Kreditní kancelář obchodního domu TREFA zasílá pravidelně svým zákazníkům výkaz o
dlužných částkách. Ty jsou zaznamenány v tabulce:
337,00 563,20 109,70 450,90
570,50 398,90 501,20 594,90
99,70 625,40 201,50 421,60
759,30 214,70 99,60 344,20
486,70 360,50 637,50 185,60
352,60 177,60 327,60 681,00
214,90 827,00 539,10 397,30
59,70 300,60 150,00 790,10
212,50 501,00 417,20 271,80
948,60 199,20 250,10 514,50
a. Analyzujte soubor metodou rozdělení četnosti.
b. Nalezněte aritmetický průměr, medián a modální třídu dlužných částek.
c. Nalezněte rozpětí, směrodatnou odchylku, variační koeficient a šikmost dlužných
částek.
Řešení.
a. Podle Sturgersova pravidla stanovte počet tříd k = 6. Protože minimální hodnota uvedeného
souboru dat je min , 59 70 a maximální hodnota max , 948 60, je vhodné volit
5 Popisná statistika – kvalitativní a kvantitativní znaky
100
dolní hranici první třídy 50L a horní hranici poslední třídy 950P . Šířka každé třídy
je (950-50)/6 = 150.
Znáte-li četnosti jednotlivých tříd, sestrojíte histogram četnosti. Jedná se o sloupcový
graf, jehož každý sloupec má výšku přímo úměrnou četnosti příslušné třídy.
Třída Četnost
[50,200] 8
(200,350] 10
(350,500] 8
(500,650] 9
(650,800] 3
(800,950] 2
b. Aritmetický průměr souboru Dlužné částky stanovíte podle (5.1):
 = 402,375 .
Medián Dlužné částky je hodnota odpovídající prostřední jednotce v souboru jednotek
uspořádaných podle znaku Dlužné částky. Protože však je počet jednotek v souboru
sudý, je to hodnota odpovídající 20. hodnotě v uspořádaní od nejnižší do nejvyšší, tedy
360,50.
Z Obr. 16 vyplývá, že modální třída příslušná k výše uvedenému rozdělení četnosti
je interval (200; 350].
Obrázek 16: Histogram četnosti dlužné částky
c. Rozpětí R vypočítáme jako R = 948,6 – 59,7 = 888,9.
Směrodatná odchylka
 = 217,65 .
Variační koeficient: V = 54,09  .
Šikmost: Sk = 0,577, tedy histogram četnosti je nesymetrický, mírně vychýlený směrem
doprava.
8
10
8
9
3
2
0
2
4
6
8
10
12
[50,200] (200,350] (350,500] (500,650] (650,800] (800,950]
Histogram četnosti
dlužné částky
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
101
SHRNUTÍ KAPITOLY
Nejpoužívanějšími charakteristikami polohy jsou modus, medián a průměry. Nejběžnější
z průměrů je aritmetický průměr.
Medián je jednoduchou a srozumitelnou mírou, na rozdíl od průměru není ovlivněn extrémními
hodnotami. Hodí se pro charakterizaci nesymetricky rozdělených dat.
Modus může být poněkud zkreslující charakteristikou polohy zejména v případech nesymetrického
rozdělení dat. Často jej například používají prodejci při objednávání zboží k
maloobchodnímu prodeji. U spojitého kvantitativního znaku je vhodnější používat modální
třídy, což je nejčetnější třída v daném rozdělení četnosti.
Mezi charakteristiky polohy patří také kvantily. P- kvantil je taková hodnota, která rozděluje
(uspořádaný) soubor hodnot určitého znaku na dvě specifikované části.
Kromě charakteristiky polohy je často zapotřebí charakterizovat také proměnlivost – variabilitu
hodnot statistického znaku. Při hodnocení variability poskytuje rozpětí R jednoduchou
charakteristiku, jeho nevýhodou je, že uvažuje jen dvě krajní hodnoty, a proto může
být nereprezentativní.
Rozptyl 2
, resp. s2
a směrodatná odchylka , resp. s, využívají všech hodnot, i když vyžadují
náročnější výpočet i interpretaci. Ke srovnávání variability dvou či více souborů
dat je nejvhodnější variační koeficient V, resp. v. Koeficient šikmosti je mírou symetrie
dat.
OTÁZKY
Ano či ne?...
1) Souhrn statistických jednotek stejného vymezení tvoří statistický soubor.
2) Diskrétní statistický znak nabývá izolovaných nečíselných kategorií.
3) Modus lze použít pouze pro kvalitativní data.
4) Medián je hodnota odpovídající prostřední jednotce v souboru jednotek uspořádaných
podle ordinálního ukazatele.
5) Rozdělení četnosti představuje základní metodu analýzy statistických dat.
Doplňte...
6) Jsou-li kategorie statistického znaku uspořádány podle nějakého hlediska, jde o
________________.
7) Mají-li v souboru dvě kategorie jistého znaku stejnou četnost, jedná se o znak
________________.
8) Výchozím zdrojem dat pro statistickou analýzu je statistický soubor ve tvaru
________________.
5 Popisná statistika – kvalitativní a kvantitativní znaky
102
9) Při sudém počtu statistických jednotek neexistuje žádná prostřední jednotka, prostřední
jednotky jsou dvě sousední a medián se pak definuje jako hodnota
________________.
10) Modus lze stanovit pro každý kvalitativní znak, zatímco medián pouze pro znak
_________________.
11) Následující soubor dat dokumentuje počet dní opoždění odhadovaného termínu ukončení
30 konstrukčních projektů stavební firmy (záporné hodnoty znamenají ukončení projektu
v předstihu):
4 31 -9 14 8 36
23 16 15 7 -3 12
-6 23 -2 6 5 -8
12 6 0 21 11 6
-20 11 4 -1 7 -2
Nalezněte aritmetický průměr, medián, modus, rozpětí a směrodatnou odchylku.
12) Tabulka uvádí průměrné měsíční příjmy v některých průmyslových odvětvích, dosahované
v roce 2000.
Průmysl Příjem (Kč)
Hutnický 16 400
Elektrotechnický 14 200
Strojírenský 15 600
Chemický 14 200
Oděvní 13 400
Dřevařský 16 400
Potravinářský 13 900
Polygrafický 14 200
a. Vypočtěte výběrový průměr, medián a modus.
b. Vypočtěte výběrový rozptyl, výběrovou směrodatnou odchylku, variační koeficient a
šikmost.
13) Pro jistý výběrový soubor dat platí:
n  6, xi
i
n

 
1
18 xi
i
n
2
1
82


a. Vypočtěte výběrový průměr.
b. Vypočtěte výběrový rozptyl a výběrovou směrodatnou odchylku.
14) Následující tabulka obsahuje údaje o věku skupiny čtyř osob. Určete věk osoby C.
Osoba Věk Odchylka od x
A 17 -8
B - +7
C - D
- -4
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
103
15) Během 50 týdnů dosáhla firma prodávající počítače těchto výsledků:
Počet prodaných
počítačů za 1 týden
Počet týdnů
0 28
1 15
2 6
3 1
více než 3 0
Vypočtěte charakteristiky polohy a variability týdenního odbytu firmy.
ODPOVĚDI
Ano či ne?...
1) Ano
2) Ne
3) Ne
4) Ano
5) Ano
Doplňte ...
6) Ordinální znak
7) Bimodální
8) Datové matice
9) Menší z nich
10) Ordinální
11) 57,7 ; 6~ x ; 6ˆ x ; 56R ; 79,11
12) a. 14788x ; 14200~ˆ  xx
b. 6,13726782
s ; 6,1171s ; %92,7v ; 5,1ks
13) a. 3x
b. 6,52
s ; 37,2s
14) věk C = 30
15)  = 0,6; x~ = 0; xˆ = 0; 2
 = 0,6;  = 0,77
6 Diskrétní a spojité pravděpodobnostní modely
104
6 DISKRÉTNÍ A SPOJITÉ PRAVDĚPODOBNOSTNÍ MO-
DELY
RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY
V této kapitole se nejprve seznámíme se spojitou a diskrétní náhodnou veličinou.
V dalším textu se pak budeme věnovat diskrétnímu rozdělení pravděpodobnosti (stejnoměrné,
binomické, Poissonovo). V ekonomické oblasti je to především tam, kde hledáme
odpověď na otázky spojené s množstvím, resp. kvalitou výroby a služeb, nabídkou a poptávkou,
počtem zákazníků (klientů, pacientů) aj. O který typ se v určité situaci jedná,
víme obvykle ze zkušenosti, v konkrétním případě je však obvykle zapotřebí stanovit
předem neznámé parametry těchto rozdělení. Dále se seznámíme se spojitým rozdělením
pravděpodobnosti (stejnoměrným, normálním, exponenciálním).
CÍLE KAPITOLY
Po prostudování této kapitoly budete umět:
 určit, zda se jedná o předpis diskrétní náhodné veličiny,
 vypočítat pravděpodobnost pro diskrétní pravděpodobnostní modely,
 vypočítat pravděpodobnost pro spojité pravděpodobnostní modely,
 uvést konkrétní příklady pravděpodobnostních modelů.
ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU
K prostudování této kapitoly budete potřebovat asi 120 minut.
KLÍČOVÁ SLOVA KAPITOLY
Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti, Binomické rozdělení, Poissonovo rozdělení,
spojité rozdělení pravděpodobnosti, exponenciální rozdělení, normální rozdělení.
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
105
6.1 Diskrétní a spojitá náhodná veličina
Diskrétní náhodnou veličinou nazýváme takovou veličinu, jež může nabývat omezeně
nebo neomezeně mnoha hodnot, jimž lze přidělit celočíselné kódy. Spojitou náhodnou
veličinou nazveme pak takovou náhodnou veličinu, jejímiž možnými hodnotami jsou
všechna reálná čísla z daného intervalu (omezeného nebo neomezeného). I zde je zřejmá
analogie s diskrétními a spojitými statistickými znaky. Náhodná veličina je tedy matematickým
modelem (matematickým zobecněním) statistického znaku.
Pravidlo (předpis), které každé číselné hodnotě nebo intervalu hodnot přiřazuje pravděpodobnost,
že náhodná veličina nabude této hodnoty nebo hodnoty z tohoto intervalu, se
nazývá rozdělením náhodné veličiny. Rozdělení náhodné veličiny budeme vyjadřovat
dvěma způsoby, z nichž každý má své přednosti a nedostatky.
Prvním z prostředků popisu rozdělení náhodné veličiny je distribuční funkce, která
každému reálnému číslu přiřazuje pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude hodnoty
ne větší, než toto číslo. Distribuční funkci náhodné veličiny X označíme F, je to tedy
funkce definovaná pro všechna reálná čísla s hodnotami v intervalu [0,1], což zapisujeme
takto: F : R  [0,1]. Podle výše uvedené definice platí:
   xXPxF  , (6.1)
kde výraz na pravé straně (5.1) označuje pravděpodobnost, že náhodná veličina X nabude
hodnoty menší nebo rovné číslu x.
Distribuční funkce má tyto vlastnosti:
1. Hodnoty distribuční funkce leží mezi 0 a 1, neboť jsou to jisté pravděpodobnosti a
pro ty platí stejné omezení.
2. Distribuční funkce je funkcí neklesající, tj. pro všechna x1 > x2 platí:
   F x F x2 1 .
Tato vlastnost vyplývá z definice (6.1), neboť pravděpodobnost, že hodnota padne
do větší množiny, musí být rovněž větší.
3. Pro krajní hodnoty distribuční funkce platí:
    .1lim,0lim 

xFxF
xx
Uvedené vlastnosti jsou znázorněny na Obr.17, kde je uveden typický tvar distribuční
funkce spojité náhodné veličiny.
6 Diskrétní a spojité pravděpodobnostní modely
106
Obrázek 17: Distribuční funkce
Pomocí distribuční funkce můžeme udávat jak rozdělení diskrétní, tak i rozdělení
spojitých náhodných veličin. Rozdělení diskrétní náhodné veličiny X lze specifikovat také
tzv. pravděpodobnostní funkcí p(x), která každému x přiřazuje odpovídající pravděpodobnost:
   xXPxp  . (6.2)
Pravděpodobnostní funkce f(x) splňuje vztah:
 

Xx
xp 1, (6.3)
neboť náhodná veličina nabude jistě některé z hodnot x, dále platí:
   

b
ax
xpbXaP , (6.4)
tedy pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude hodnoty z intervalu [a,b], je rovna
součtu pravděpodobností hodnot z tohoto intervalu.
Pravděpodobnostní funkci f(x) vyjadřujeme nejčastěji v matematické formě, tabulkou
hodnot, nebo sloupcovým grafem, kde na vodorovné ose jsou hodnoty náhodné veličiny
X a na svislé ose pravděpodobnosti f(x).
ŘEŠENÁ ÚLOHA 1
Zákazník potřebuje nakoupit zboží ve 4 odděleních obchodního domu. V každém
z oddělení je pravděpodobnost toho, že bude ihned obsloužen bez čekání, rovna 0,5. Náhodná
veličina X bude označovat počet oddělení, v nichž bude zákazník ihned obsloužen
až do prvního oddělení, kde se bude muset postavit do fronty. Stanovte pravděpodobnostní
funkci p(x) a vyjádřete ji tabulkou.
Řešení.
Náhodná veličina X může nabývat hodnoty 0,1,2,3,4.
Pro x = 0 (žádné oddělení s obsluhou bez čekání, již v prvním oddělení bude zákazník
čekat ve frontě) je příslušná pravděpodobnost p(0) = 0,5 .
1
0
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
107
Pro x = 1 (jedno oddělené absolvuje zákazník bez čekání, ve druhém musí čekat) je pravděpodobnost
rovna součinu pravděpodobností jednotlivých jevů, neboť se jedná o jevy
nezávislé, tedy p(1) = 0,50,5 = 0,25.
Pro x = 2,3,4 vypočteme pravděpodobnosti analogicky:
p(2) = 0,52
0,5 = 0.125,
p(3) = 0,53
0,5 = 0,0625,
p(4) = 0,54
= 0,0625.
Matematickým předpisem můžeme pravděpodobnostní funkci náhodné veličiny X zapsat
takto: p(x) = 0,50,5x
pro x = 0,1,2,3,
p(x) = 0,54
pro x = 4.
Tabulkou lze hodnoty pravděpodobnostní funkce zadat takto:
x 0 1 2 3 4
p(x) 0,5 0,25 0,125 0,0625 0,0625
Obraťme se nyní ke spojité náhodné veličině. Vedle dříve uvedeného způsobu pomocí
distribuční funkce může být rozdělení spojité náhodné veličiny dáno tzv. hustotou
pravděpodobnosti f(x), což je nezáporná funkce splňující podmínku:



1)( dttf .
Mezi hustotou pravděpodobnosti a distribuční funkcí platí následující vzájemné vztahy:
hustota je derivací distribuční funkce:
 
 f x
dF x
dx
 . (6.5)
Tato rovnost platí pro všechna x, kde má distribuční funkce derivaci. Naopak, ze vztahu
(6.5) plyne, že distribuční funkce náhodné veličiny je neurčitým integrálem (primitivní
funkcí) k funkci hustoty, tj.


x
dttfxF )()( .
6.2 Diskrétní pravděpodobnostní modely
Diskrétní náhodná veličina je taková množina, kde jednotlivé prvky lze očíslovat přirozenými
čísly, přičemž každému prvku je navíc přiřazena určitá pravděpodobnost. Klasickým
příkladem diskrétní náhodné veličiny je známá hrací kostka.
6.2.1 STEJNOMĚRNÉ ROZDĚLENÍ
Mějme diskrétní náhodnou veličinu X, která nabývá právě k různých hodnot: 1, 2, ..., k
se stejnou pravděpodobností P(x) =
1
k
pro x = 1,...,k.
6 Diskrétní a spojité pravděpodobnostní modely
108
Říkáme, že náhodná veličina X má stejnoměrné rozdělení pravděpodobnosti.
Snadno lze odvodit, že střední hodnota je E X
k
( ) 
1
2
,
a pro rozptyl dostáváme
12
1
)(
2


k
XVar .
ŘEŠENÁ ÚLOHA 2
Hod kostkou se šesti oky je populárním modelem náhodné veličiny X která nabývá 6
různých hodnot 1,...,6 se stejnou pravděpodobností 1/6 . Vypočtěte střední hodnotu a rozptyl
náhodné veličiny.
Řešení.
Střední hodnota E(X) = (6+1)/2 = 3,5 , rozptyl Var(X) = (6
2
- 1)/12 = 2,92 .
Stejnoměrné rozdělení pravděpodobnosti má samo o sobě malý praktický význam, slouží
jako model stejně pravděpodobných jevů. Svojí jednoduchostí se hodí dobře jako východisko
ke složitějším modelům.
6.2.2 BINOMICKÉ ROZDĚLENÍ
Mnoho procesů poskytuje výstupy, které můžeme zařadit do dvou kategorií. Například
výrobky procházející výstupní kontrolou se klasifikují jako "dobré" a "zmetky", pracovníky
firmy jistého dne klasifikujeme jako "přítomen" a "nepřítomen", uchazeče v konkurzu
označíme "přijat", "nepřijat", apod. Náhodný pokus tohoto typu, tj. se dvěma alternativními
navzájem se vylučujícími výsledky, nazýváme Bernoulliův proces, někdy také
alternativní rozdělení.
Binomické rozdělení pravděpodobnosti P(x|n,p) vyjadřuje pravdě-podobnost, že
při n-krát opakovaném Bernoulliově procesu nastane x krát úspěch a n-x krát neúspěch:
P(x | n, p) =
n
n x x
!
( )! !
p px n x
( )1 
,
kde n a p jsou parametry binomického rozdělení.
Střední hodnotu náhodné veličiny X, která má binomické rozdělení s parametry n a p, lze
vypočíst podle vztahu: E(X) = np .
Rozptyl náhodné veličiny X, která má binomické rozdělení s parametry n a p, je dán vztahem:
Var(X) = np(1 - p) .
ŘEŠENÁ ÚLOHA 3
Jistá mezinárodní marketingová laboratoř odhaduje, že pouze 50 procent výrobků daného
podniku je schopno konkurovat zahraniční produkci. Jaká je pravděpodobnost, že právě 4
ze 6 výrobků této firmy jsou úspěšné.
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
109
Řešení.
Ze zadání dostáváme n = 6, p = 0,5, x = 4, podle (6.3) P(4| 6, 0,5) = 0,234. Vypočítáme
E(X) = 60,5 = 3 , Var(X) = 30,5 = 1,5 .
6.2.3 POISSONOVO ROZDĚLENÍ
Uvažujme jevy, které nastávají v průběhu časového intervalu, například
 požadavky na telefonní spojení přicházející na ústřednu,
 zákazníci přicházející do prodejny,
 automobily zastavující u benzínového čerpadla.
Označme X náhodnou veličinu, která představuje počet výskytu takového jevu v
daném časovém intervalu délky t, např. za jednu minutu, jednu hodinu apod.
U výše jmenovaných jevů můžeme předpokládat splnění následujících 3 vlastností:
1. Počet výskytu jevu v daném intervalu je nezávislý na počtu výskytu tohoto jevu v
jiném intervalu.
2. Střední hodnota počtu výskytů jevu v daném intervalu je přímo úměrná délce zvoleného
intervalu.
3. Ve velmi malém časovém intervalu může nastat nejvýše jeden výskyt daného jevu.
Náhodný pokus splňující tyto tři podmínky nazýváme Poissonův proces. Náhodná
veličina X představující počet výskytů jevu Poissonova procesu má Poissonovo rozdělení
pravděpodobnosti definované předpisem pro pravděpodobnostní funkci:
),( txP  =
!
)(
x
et tx 
 
,
pro x = 0,1,2,... . Ve vzorci představují t, parametry Poissonova rozdělení,  (lambda)
má význam intenzity Poissonova procesu, t představuje délku časového intervalu.
Střední hodnota náhodné veličiny X mající Poissonovo rozdělení s parametry  , t má
tvar tXE )( , a pro rozptyl platí tXVar )( .
ŘEŠENÁ ÚLOHA 4
Zákazníci přicházejí náhodně do opravny obuvi s průměrnou intenzitou 4 za hodinu. Zjistěte
pravděpodobnost, že do opravny přijdou za hodinu právě 2 zákazníci, vypočtěte
střední hodnotu, rozptyl a směrodatnou odchylku.
6 Diskrétní a spojité pravděpodobnostní modely
110
Řešení.
Podle vzorce dostáváme 146,0
!2
)4(
)1,4|2(
42


e
P .
Střední hodnota E(X) = 4, rozptyl Var(X) = 4, směrodatná odchylka 24  .
6.3 Spojité pravděpodobnostní modely
Spojitou náhodnou veličinou nazveme takovou náhodnou veličinu, jejímiž možnými hodnotami
jsou všechna reálná čísla z daného intervalu (omezeného nebo neomezeného).
Jsou to například výsledky různých testů, rozměry součástí vyráběných v hromadném
výrobním procesu, čekací doby ve frontách, chyby měření a jiné.
6.3.1 STEJNOMĚRNÉ ROZDĚLENÍ
Mějme spojitou náhodnou veličinu X, která nabývá libovolných reálných číselných hodnot
z intervalu [a,b]. Funkce f(x), které říkáme hustota pravděpodobnosti této náhodné
veličiny, je dána předpisem:
jinde.0
],,[pro
1
)(



 bax
ab
xf
Střední hodnotu, resp. rozptyl dává vzorec: E X
a b
( ) 

2
, resp.
12
)(
)(
2
ab
XVar

 .
Mějme nyní interval [c,d], který je částí intervalu [a,b], tj. a c d b   . U náhodné
veličiny X se stejnoměrným rozdělením pravděpodobnosti je pravděpodobnost jevu spočívajícího
v tom, že X nabývá hodnoty z intervalu [c,d], dána vztahem
P c X d
d c
b a
( )  


.
ŘEŠENÁ ÚLOHA 5
Autobusy odjíždějí z určité zastávky během dne pravidelně každých 15 minut.
V náhodnou dobu přijdete na zastávku.
a) Jaká je pravděpodobnost, že budete na autobus čekat dobu mezi 5 až 10 minutami?
b) Jaká je pravděpodobnost, že budete čekat alespoň 12 minut?
c) Stanovte střední hodnotu a směrodatnou odchylku doby čekání.
Řešení.
Nechť X je spojitá náhodná veličina s následující hustotou:
f x x( ) ,
.
  

1
15
0 15
0
pro
jinde
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
111
a) S využitím vzorce vypočítáme snadno P X( )5 10
10 5
15 0
1
3
  


 .
b) Analogicky obdržíme P X P X( ) ( )    


12 12 15
15 12
15 0
1
5
.
c)
75,18
12
)015(
)(
5,7
2
150
)(
2






XVar
XE
(X) = 75,18 = 4,33.
Střední čekací doba je 7,5 minut, směrodatná odchylka je 4,33 minut.
6.3.2 NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ
Zcela výjimečnou pozici mezi pravděpodobnostními rozděleními spojité náhodné veličiny
má normální (Gaussovo) rozdělení pravděpodobnosti. Mnoho reálných skutečností
v běžném životě se řídí tímto pravděpodobnostním rozdělením. Jsou to například
výsledky různých testů, rozměry a hmotnosti součástí vyráběných v hromadném výrobním
procesu, tělesné rozměry lidských jedinců, ostatních živočichů, chyby měření a jiné.
Dají se jím aproximovat i některá rozdělení diskrétní. Obecně lze říci, že toto rozdělení je
použitelné, způsobuje-li kolísání hodnot náhodné veličiny velký počet nepatrných a vzájemně
nezávislých vlivů. Hustota pravděpodobnosti normálního rozdělení je dána funkcí:
2
2
2
)(
2
1
)( 





x
exf .
Obrázek 18: Pravděpodobnost a hustota normálního rozdělení
Z praktického hlediska je výhodné vyšetřovat tzv. normované normální rozdělení, což
je speciální případ normálního rozdělení s hodnotami parametrů .1,0   Tuto náhodnou
veličinu s normovaným normálním rozdělením označujeme symbolem N(0,1).
6 Diskrétní a spojité pravděpodobnostní modely
112
Hustota normovaného rozdělení N(0,1) pak má tvar:
2
2
1
2
1
)(
z
ezf



.
Budeme-li uvažovat namísto náhodné veličiny X, mající normální rozdělení s parametry
 a , transformovanou veličinu Z takto



X
Z ,
Transformaci nazýváme standardizace.
Ještě předtím, než se začnete věnovat výpočtu pravděpodobností u normálně rozdělených
veličin, si všimnete významných pravděpodobnostních charakteristik normovaného
normálního rozdělení charakterizovaného hustotou, viz Obr. 19.
Obrázek 19: Pravděpodobnosti v normovaném normálním rozdělení
Jak je z obrázku vidět, plocha pod grafem hustoty mezi hodnotami -1 a 1 je rovna
0,683, tedy zaujímá více než 68 % z celkové plochy. Jinak řečeno, v intervalu od mínus
do plus jedné směrodatné odchylky od průměru leží 68% procent všech hodnot. V řeči
pravděpodobnosti to znamená, že pravděpodobnost, že náhodná veličina Z nabude nějakou
konkrétní hodnotu z intervalu [-1,1], je 0,68. Analogicky z obrázku vyplývá, že v
intervalu [-1,96 , 1,96] leží 95% všech hodnot, neboli, pravděpodobnost, že veličina Z
nabude některou hodnotu z tohoto intervalu, je 0,95. Taktéž lze říci, že v intervalu plusmínus
dvě směrodatné odchylky od průměru leží více než 95% hodnot. Konečně v intervalu
[-2,58 , 2,58] leží 99% všech hodnot.
ŘEŠENÁ ÚLOHA 6
Výrobce limonády v plechovkách zjistil, že průměrná hmotnost plechovky limonády je
330 g se směrodatnou odchylkou 10 g.
a) Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná plechovka bude mít hmotnost mezi 325
až 340 gramy?
b) Jaká je pravděpodobnost že hmotnost bude větší než 338 g?
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
113
Řešení.
Nejprve budeme počítat pravděpodobnost P X( )325 340  . Užijeme transformaci a
vypočítáme nové integrační meze
.1=
10
330340
=,5,0=
10
330325
= 21 zz
Z Tabulky 1 (v Příloze) hodnot normovaného normálního rozdělení N(0,1), naleznete
plochu pod grafem hustoty mezi 0 a 0,5, tj. F(0,5) = 0,191 a protože F(1,0) = 0,341.
ze symetrie grafu hustoty N(0,1) platí F(0,5) = F(-0,5). Celkovou pravděpodobnost zjistíme
jako součet nalezených pravděpodobností, tedy P X( )325 340  = 0,532. Odpověď
na uvedený problém můžete z řeči pravděpodobnosti převést do popisné statistiky takto:
V dostatečně velkém souboru plechovek bude mít 53,2 % z nich hmotnost v rozmezí 325
až 340 gramů.
Dále vypočítáte počítat pravděpodobnost P X( )>338 , opět užitím známé transformace
obdržíte
z z1 2
338 330
10
0 8

  , , .
Z Tabulky 1 zjistíte, že hodnotě Z = 0,8 odpovídá hodnota v tabulce 0,288, takže
pro hledanou pravděpodobnost bude platit P X( ) 338 = 0,5 - 0,288 = 0,212 .
6.3.3 EXPONENCIÁLNÍ ROZDĚLENÍ
Rozdělení s hustotou pravděpodobnosti
x
exf 

1
1
)(

 pro x  0,
nazýváme exponenciálním rozdělením. Náhodnou veličinou bývá obvykle čas, v němž
nastane sledovaný jev.
Distribuční funkce je dána vztahem
x
exF 
1
1)(

 pro x  0.
Charakteristiky tohoto rozdělení jsou
.)(
,)(
2




XVar
XE
Exponenciální rozdělení slouží jako vhodný model pro výpočet pravděpodobnosti životnosti
výrobků, čekacích dob ve frontách na obsluhu apod.
ŘEŠENÁ ÚLOHA 7
Střední doba obsluhy zákazníka v určité prodejně je 50 sekund, doba čekání se řídí exponenciálním
rozdělením. Jaká je pravděpodobnost, že zákazník bude obsloužen v době
kratší než 30 sekund?
6 Diskrétní a spojité pravděpodobnostní modely
114
Řešení.
Hledaná pravděpodobnost je P X F( ) ( ) 30 30 , kde F(x) je distribuční funkce. Přitom
je 451,011)30( 6,0
30
50
1


eeF .
Obrázek 20: Hustota exponenciálního rozdělení
SHRNUTÍ KAPITOLY
V této kapitole jsme se zabývali některými nejznámějšími pravděpodobnostními modely
diskrétní náhodné veličiny. S těmito modely se je možné setkat v běžném životě i při práci
v ekonomické, sociální a technické oblasti.
Mezi nejjednodušší modely patří model stejnoměrného rozdělení pravděpodobnosti a
alternativní rozdělení pravděpodobnosti, neboli Bernoulliův proces. U prvního z nich se
všechny diskrétní veličiny nabývají se stejnou pravděpodobností, u druhého vystupují
pouze dvě veličiny (alternativní), každá z nich se nabývá obecně s jinou pravděpodobností,
jejich součet však je roven jedné.
Poissonovým rozdělením pravděpodobnosti modelujeme počty výskytů určitého jevu za
určitý časový interval, např. počet příchozích zákazníků do prodejny za hodinu, počet
požadavků na spojení v telefonní ústředně za minutu, počet projíždějících automobilů
určitým místem na dálnici během dopravní špičky apod. Veličiny s Poissonovým rozdělením
patří mezi nejčastější modely diskrétní náhodné veličiny. Od binomického rozdělení
se zásadně odlišuje tím, že počet výskytu jevu za časovou jednotku není apriori ome-
zen.
Spojitá náhodná veličina nabývá libovolných reálných číselných hodnot z intervalu [a,b].
Jestliže hustota takové náhodné veličiny je konstantní funkcí, hovoříme o stejnoměrném
rozdělení pravděpodobnosti.
Zcela výjimečnou pozici mezi pravděpodobnostními rozděleními spojité náhodné veličiny
má normální rozdělení. Mnoho reálných skutečností v běžném životě se řídí tímto pravděpodobnostním
rozdělením. Jsou to například výsledky různých testů, rozměry součástí
vyráběných v hromadném výrobním procesu, tělesné rozměry, chyby měření a jiné. Další
v praxi se často vyskytující rozdělení je exponenciální rozdělení. Exponenciální rozdělení

1
0 2 4 6 8 1
0
1
2
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
115
slouží jako vhodný model pro výpočet pravděpodobnosti životnosti výrobků, čekacích
dob ve frontách na obsluhu apod.
OTÁZKY
1) Rozhodněte, které z následujících předpisů představují diskrétní rozdělení pravděpodobnosti
náhodné veličiny X.
a.
X p(x)
0 0,2
1 0,9
2 -0,1
b.
X p(x)
-2 0,3
-1 0,3
1 0,3
2 0,3
c.
X p(x)
-1 0,25
0 0,65
1 0,10
2) Majitel restaurace zjistil dlouhodobým pozorováním, že 30% účtů je placeno kreditní
kartou. Náhodně byly vybrány tři účty. Označme X počet z nich placených kreditní kartou.
S jakou pravděpodobností jsou alespoň dva účty placeny kreditní kartou?
3)Pozorováním trvajícím mnoho desetiletí se zjistilo, že na každých 1 000 novorozenců
připadá průměrně 515 chlapců a 485 děvčat. Uvažujme rodinu se čtyřmi dětmi.
a. S jakou pravděpodobností jsou alespoň dvě z nich děvčata?
b. Jaká je pravděpodobnost, že má rodina čtyři chlapce?
4) Počet nákladních automobilů zastavujících u čerpací stanice za hodinu se řídí
________________ rozdělením pravděpodobnosti.
a. Doplňte chybějící termín.
b. Vypočtěte pravděpodobnost pro x 12 nákladních automobilů.
c. S jakou pravděpodobností zastaví u čerpací stanice během jedné hodiny alespoň 10
nákladních automobilů?
5) Pojišťovací společnost zjistila, že za půl hodiny obdrží v průměru tři oznámení o nehodě
pojištěného motorového vozidla.
a. Jaká je pravděpodobnost, že během následujících 20 minut obdrží 4 až 5 oznámení?
b. S jakou pravděpodobností obdrží během následující hodiny alespoň 1 oznámení?
6 Diskrétní a spojité pravděpodobnostní modely
116
6) Náhodná veličina X má normální rozdělení pravděpodobnosti se střední hodnotou 100
a směrodatnou odchylkou 5. Vypočtěte:
a. P X( ) 92 . e. P X( )90 110  .
b. P X( ) 108 . f. P X( )99 101  .
c. P X( ) 100 . g. P X( )99 101  .
d. P X( ) 120 . h. P X( ) 105 .
7) Testy nového typu radiálních pneumatik ukazují, že jejich průměrná životnost je
40 000 km, směrodatná odchylka životnosti 3 000 km. Předpokládejme, že životnost
pneumatik má přibližně normální rozdělení pravděpodobnosti. Jakou délku záruční doby
musí výrobce volit, aby podíl reklamovaných výrobků nepřekročil 1% celkové produkce?
8) Výrobce televizních obrazovek uvádí délku průměrné životnosti jednoho typu 15 let.
Za předpokladu, že se životnost obrazovky řídí exponenciálním rozdělením, stanovte:
a. dobu t tak, aby obrazovka pracovala bezchybně dobu delší než t s pravděpodobností
0,2.
b. maximální životnost, kterou obrazovka dosáhne se stejnou pravděpodobností jako v a.
c. pravděpodobnost, že životnost obrazovky překročí délku 20 let.
ODPOVĚDI
1) a. NE, b. NE, c. ANO
2) 0,216
3) a. 0,66 b. 0,07
4) a. Poissonovým b. 0,11 c. 0,76
5) a. 0,13 b. 0,99
6) a. 0,055 b. 0,95 c. 0,5 d. 1 e. 0,95 f. 0,16 g. 0,16 h. 0
7)  33 tis. km
8) a. 24,15 let b. 3,35 let c. 0,26
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
117
7 TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ – PARAMETRICKÉ A NEPARAMETRICKÉ
TESTY
RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY
Parametrické hypotézy se vztahují na jeden nebo několik parametrů daného pravděpodobnostního
rozdělení náhodné veličiny (neboli znaku populace). Neparametrické hypotézy
se netýkají parametrů rozdělení náhodné veličiny, nýbrž jiných statistických vlastností,
např. tvaru rozdělení (příklad: normální rozdělení). V každém testu hypotézy vystupují
proti sobě dvě hypotézy: testovaná hypotéza, kterou nazýváme nulová hypotéza a
tzv. alternativní hypotéza. Při testování parametrické hypotézy máme k dispozici výsledky
náhodného výběru a na jejich základě se rozhodujeme testovanou hypotézu buď přijmout,
nebo zamítnout. Za tím účelem rozdělíme výběrový prostor na dvě části: kritický
obor a obor přijetí. Padne-li hodnota statistiky pro získaný vzorek do kritického oboru,
potom ji zamítáme. Naopak, padne-li hodnota statistiky pro získaný vzorek do oboru přijetí,
pak nulovou hypotézu nezamítáme (neboli přijímáme).
Testem hypotézy (neparametrickým) lze pak přijmout nebo zamítnout neparametrické
nulové hypotézy. Nulová hypotéza se zde odlišuje od nulové parametrické hypotézy
v tom, že se zde nejedná ani o střední hodnotu, ani rozptyl. Zajímáme se o medián, typ
rozdělení pravděpodobnosti, nebo nezávislost statistických znaků v kontingenční tabulce.
CÍLE KAPITOLY
Po prostudování této kapitoly budete umět:
 základní pojmy z testování hypotéz,
 testovat parametrické hypotézy (test střední hodnoty),
 mediánový test,
 test dobré shody (Chi-kvadrát test),
 test nezávislosti v kontingenční tabulce.
ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU
K prostudování této kapitoly budete potřebovat asi 120 minut.
7 Testování hypotéz – parametrické a neparametrické testy
118
KLÍČOVÁ SLOVA KAPITOLY
Testování hypotéz, kritický obor, obor přijetí, hladina významnosti, mediánový test,
test dobré shody, test nezávislosti.
7.1 Základní pojmy z testování hypotéz
Statistika se zabývá ověřováním pouze tzv. statistických hypotéz, které tvoří jen určitou
podtřídu vědeckých hypotéz. Statistické hypotézy jsou tvrzení o hodnotách parametrů
náhodných veličin, tj. znaků populačních souborů nebo tvrzení o tvaru pravděpodobnostních
rozdělení náhodných veličin.
Obvykle se předpokládá normální nebo alternativní pravděpodobnostní rozdělení
hodnot zkoumaného znaku, s nimiž jsou spojeny parametry střední hodnoty , rozptylu
2
nebo podílu p. Tomu pak odpovídají testy hypotéz
 o střední hodnotě ,
 o rozptylu 2
, nebo
 o podílu p.
Úlohy, které se v té souvislosti řeší, jsou úlohy o testování parametru znaku jednoho
populačního souboru (tj. náhodné veličiny), nebo úlohy o parametrech znaků dvou a více
souborů. Úlohy o parametrech dvou (a více) souborech lze obvykle převést na úlohy o
parametrech jednoho souboru. Proto se budeme v následujících odstavcích věnovat pouze
této úloze.
Statistické hypotézy rozdělujeme do dvou velkých tříd na parametrické hypotézy
a neparametrické hypotézy. Parametrické hypotézy, kterými se budeme zabývat nejdříve,
se vztahují na jeden nebo několik parametrů daného rozdělení náhodné veličiny. Neparametrické
hypotézy se netýkají parametrů rozdělení náhodné veličiny, nýbrž jiných
statistických vlastností, např. tvaru rozdělení (normální, exponenciální, apod.).
Z jiného pohledu dělíme hypotézy na jednoduché a složené. Jednoduchá hypotéza
o parametru rozdělení specifikuje tento parametr jednoznačně jako jedinou hodnotu. Složená
hypotéza vymezuje interval nebo jinou množinu hodnot, v němž má hodnota parametru
ležet.
V praktických úlohách vystupují proti sobě dvě hypotézy: testovaná hypotéza, kterou
nazýváme nulová hypotéza a označujeme ji obvykle H0 a alternativní hypotéza,
která se označuje H1 . Formulace alternativní hypotézy je naprosto nezbytná, jinak by
ověřování nulové hypotézy nemělo smysl.
V následujícím výkladu se budeme zabývat testováním jednoduché parametrické
hypotézy. Půjde o případ, kdy se kromě parametru, kterého se týká hypotéza, neuvažuje
žádný jiný parametr. Testovanou hypotézu pak můžeme stručně zapsat:
H0 0:  , (7.1)
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
119
kde 0 je konkrétní hodnota parametru. Jako konkrétní parametr  si představte například
střední hodnotu .
Alternativní hypotézu volíme podle toho, jaký závěr učiníme, jestliže nulovou hypotézu
zamítneme. Uvažujeme tyto možnosti:
H1 1:  , (7.2)
jedná se o jednoduchou alternativní hypotézu, jestliže se rozhodujeme mezi dvěma
hodnotami parametru 0 a 1 ;
H1 0:  , (7.3)
jde o levostrannou složenou alternativní hypotézu, učiníme-li závěr pouze tehdy, ukáže-li
se hodnota parametru  menší, než předpokládá nulová hypotéza;
H1 0:  , (7.4)
jedná se o pravostrannou složenou alternativní hypotézu, učiníme-li závěr pouze tehdy,
prokáže-li se hodnota parametru  větší, než předpokládá H0 ;
H1 0:  , (7.5)
jedná se o dvoustrannou složenou alternativní hypotézu, jde-li o prokázání různosti
parametru od hodnoty předpokládané v H0 .
Při testování parametrických hypotéz máme k dispozici výsledky náhodného výběru
zobrazené testovacím kritériem označovaným symbolem T, (například hodnotu aritmetického
průměru x pro test hypotézy o střední hodnotě ). Chceme se rozhodnout: testovanou
hypotézu buď přijmout, nebo ji zamítnout. Za tím účelem rozdělíme výběrový
prostor na dvě části: kritický obor C a obor přijetí A. Tedy pozor, testem statistické hypotézy
nemůžeme dokázat její pravdivost nebo nepravdivost, čí správnost nebo nesprávnost!
Jestliže hypotézu zamítneme, neznamená to ještě, že není správná.
Hodnoty náhodného výběru x = (x1 ,x2 ,...,xn ) představují souřadnice bodu v prostoru,
který nazýváme výběrový prostor. Hodnotu testového kritéria T v tomto bodě označíme
T(x), například opět pro test hypotézy o střední hodnotě  je to hodnota aritmetického
průměru, tedy T(x) = x .
Platí-li T(x)  C, potom H0 zamítáme. Naopak, platí-li T(x) A, pak H0 přijímáme,
přesněji H0 nezamítáme. Vhodnou volbou testovacího kritéria, kterým je obvykle odpovídající
statistika, jejíž rozdělení pravděpodobnosti při platnosti testované hypotézy známe,
určíme kritický obor C takovým způsobem, že platí
P(T(x) C | H0 ) =  , (7.6)
kde  je předem zvolené číslo, které nazýváme hladina významnosti. Jinými slovy, za
podmínky platnosti nulové hypotézy je pravděpodobnost, že hodnota testového kritéria
pro získaný vzorek (například aritmetický průměr) padne do kritického oboru, je rovna
hladině významnosti .
7 Testování hypotéz – parametrické a neparametrické testy
120
7.2 Postup při testování hypotézy – parametrický test
Při praktickém testování parametrických hypotéz se doporučuje postupovat v následujících
čtyřech krocích:
I. Vybrat vhodný test, přitom se řídíme zásadou, že nulovou hypotézu
chceme zamítnout a hypotézu, u které chceme mít pod kontrolou riziko mylného přijetí,
formulujeme jako alternativní. Zvolit hladinu významnosti , obvykle se volí  = 0,05, 
= 0,01, nebo  = 0,10.
Existuje tu přirozená paralela testování hypotéz se soudním řízením: nulovou hypotézu
představuje hypotéza o nevině obžalovaného (známá jako „presumpce neviny“) a
soudní řízení, konkrétně žalující strana, má přinést důkazy pro její zamítnutí, tedy dokázání
viny obžalovaného. Všimněte si, že pokud se v soudním řízení (testu hypotézy) nepodaří
předložit dostatečné důkazy o vině, obžalovaný je osvobozen, tj. přijímá se nulová
hypotéza. To však vůbec nemusí znamenat, že je obžalovaný nevinen! Jinak řečeno, neznamená
to, že nulová hypotéza platí! Pouze ji nelze za stávajících důkazů (tj. na základě
vzorku) zamítnout.
II. Vymezit kritický obor, tj. obor hodnot testové statistiky, kterým může
zejména být:
a) interval všech čísel menších než 100%-ní kvantil uvažovaného pravděpodobnostního
rozdělení – tzv. levostranný kritický obor.
b) interval všech čísel větších než 100(1-)%-ní kvantil uvažovaného pravděpodobnostního
rozdělení – tzv. pravostranný kritický obor.
c) Sjednocení levého a pravého intervalu, přesněji řečeno, intervalu všech čísel menších
než 100

2
%-ní kvantil a intervalu všech čísel větších než od 100
1
2
 
%-ní kvantil.
Číslo  - hladina významnosti, se zde rozdělí na dvě poloviny
2

, aby celková pravděpodobnost,
že hodnota testového kritéria pro získaný vzorek padne do kritického
oboru, byla stejně jako v předchozích případech rovna .
III. Vypočítat hodnotu testového kritéria, stanovit hodnoty příslušných statistik
a dosadit do „vzorce“ testového kritéria. Testovým kritériem je obvykle statistika –
funkce náhodného výběru v závislosti na druhu testu.
IV. Učinit příslušný závěr. Patří-li zjištěná hodnota testového kritéria do kritického
oboru, hypotézu H0 zamítáme a alternativní hypotézu H1 přijímáme na hladině
významnosti . Patří-li zjištěná hodnota do oboru přijetí, hypotézu H0 přijímáme, o H1 se
zdržíme úsudku.
Provádíte-li test hypotézy pomocí počítače vybaveného statistickým softwarem,
případně v MS Excelu na PC, potom nemusíte předem zadávat hladinu významnosti ,
počítač jako řešení testu hypotézy nabídne číslo z intervalu [0,1], které se nazývá phodnota
(anglicky p-value). Toto číslo představuje vlastně nejmenší možnou hladinu významnosti,
na níž by se mohla nulová hypotéza ještě zamítnout. Jestliže je potom například
p-hodnota menší než 0,01, pak byste mohli příslušnou nulovou hypotézu zamítnout
na každé obvyklé (tj. výše uvedené) hladině významnosti. V takovém případě se hypotéza
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
121
nazývá statistický významnou. Na druhou stranu pokud je p-hodnota blízká k číslu 1,
například větší než 0,1, potom se hypotéza nemůže zamítnout na běžných hladinách významnosti
(0,1 , 0,05 nebo 0,01) a říkáme, že hypotéza je statisticky nevýznamná.
V následující tabulce uvádíme přehled jednoduchých standardních parametrických
testů pro ověření dvoustranné hypotézy .: 00 H Za velké vzorky přitom obvykle
považujeme ty, jež mají více než 30 jednotek.
Číslo
testu
Předpokládané
rozdělení znaku X
Podmínky
použití
testu
Dvoustr.
nulová
hypotéza
Testové krité-
rium
Obor přijetí
(1) normální rozdělení
parametry
2
,
2
známo   0
u
x
n

 

0 ];[ 2/2/  uu
(2) normální rozdělení
parametry
2
,
2
nezná-
mo
  0
t
x
s
n

 0 ];[ 1
2/
1
2/

 nn
tt 
(3) libovolné rozdě-
lení
n velké,
2
známo
  0
u
x
n

 

0 ];[ 2/2/  uu
(4) libovolné rozdě-
lení
n velké
2
nezná-
mo
  0
t
x
s
n

 0 ];[ 1
2/
1
2/

 nn
tt 
(5) normální rozdělení
parametry
2
,
 2
0
2

2
0
2
)1(

sn
w


)]1(;)1([ 2
2/
2
2/1  nn  
(6) exponenciální
rozdělení, par. 
  0
y
nx

2
0
)]2(;)2([ 2
2/
2
2/1 nn   
(7) binomické p = p0
n
pp
p
n
x
p
)1( 00
0



];[ 2/2/  uu
ŘEŠENÁ ÚLOHA 1
Hamburgery se připravují z masových karbanátků, které mají mít hmotnost 100 gramů se
směrodatnou odchylkou 5 g. K ověření této kvality bylo náhodně vybráno 25 kusů, které
byly převáženy a vypočítána průměrná hmotnost jednoho karbanátku x = 97,5 g. Na hladině
významnosti  = 0,05 ověřte hypotézu, že střední hodnota hmotnosti je 100 g (a že
tedy uvedená odchylka je "v normě" a nejde o šizení zákazníků).
7 Testování hypotéz – parametrické a neparametrické testy
122
Řešení.
Budeme ověřovat nulovou hypotézu H0 :  = 100 proti složené oboustranné hypotéze
H1 :   100. Použijeme test č. 1, z předcházejícího seznamu, neboť znáte  =
5)( XVar , n = 25.
Nejprve stanovíme kritický obor, resp. obor přijetí hypotézy pro hladinu významnosti 
= 0,05. Stanovíme obor přijetí nulové hypotézy A jako interval:
A = ];[ 2/2/  uu . (7.7)
Nalezením příslušné kritické hodnoty z Tabulky 1 v Příloze: 96,1025,0 u , pak snadno
vypočítáme: A = [-1,96 ; 1,96].
Kritický obor je potom doplňkem k oboru přijetí, tedy C = (- , -1,96 )(1,96 , +) .
Nyní podle řádku (1) tabulce vypočítáme hodnotu testového kritéria
52
25
5
100597
,
,
u 

 . Tato hodnota padne do kritického oboru C, tj. u  C, proto se nulová
hypotéza zamítá. Jinými slovy na zvolené hladině významnosti nelze hypotézu H0
na základě výběrového vzorku přijmout. Prakticky lze tento výsledek interpretovat jako
fakt, že dochází k nenáhodné (systematické) odchylce v hmotnosti karbanátků směrem
dolů (tedy k poškozování zákazníků).
7.2.1 CHYBY PŘI TESTOVÁNÍ
Při testování hypotéz se vyskytují tyto chyby:
 chyba z nevhodně zvolené dvojice nulové a alternativní hypotézy,
 chybně stanovený obor přijetí, resp. kritický obor,
 chybně stanované testové kritérium,
 chybné zamítnutí, resp. přijetí nulové hypotézy.
První tři uvedené chyby je možné redukovat správnou přípravou testu hypotézy.
Rozhodnutí o zamítnutí nebo přijetí hypotézy nemusí vždy vést ke správným rozhodnutím,
neboť jde o náhodný proces využívající omezené informace náhodného výběru. Statistikové
se snaží najít takové testy, které by minimalizovaly výskyt chybných rozhodnutí.
Prakticky vzato, nulovou hypotézu buď přijímáme, nebo zamítáme. Zamítnutí
správné hypotézy nazýváme chybou I. druhu a její pravděpodobnost označujeme podle
(7.6) totožná s hladinou významnosti . Přijetí nesprávné hypotézy definujeme jako chybu
II. druhu a její pravděpodobnost označujeme jako . Číslo 1- vyjadřující pravděpodobnost
zamítnutí nesprávné hypotézy nazýváme síla testu.
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
123
ŘEŠENÁ ÚLOHA 2
Uvažujte populaci zákazníků, přičemž X je náhodná veličina představující velikosti prodejů
jednotlivým zákazníkům v jistém typu prodejen, viz též příklad v úvodu kapitoly.
Náhodná veličina má normální rozdělení se střední hodnotou  = 120 a rozptylem 2
=
100. Bylo náhodně vybráno 50 zákazníků, z jejichž nákupů byl vypočítán výběrový průměr
x  115 . Na hladině významnosti  = 0,05 testujte hypotézu 120:0 H proti alternativní
hypotéze 120:1 H .
Řešení.
Protože n = 50  30, testové kritérium u z (3) v tabulce má přibližně normální rozdělení,
přičemž E(X ) = 120, Var(X ) = 100/25 = 4. Za obor přijetí A vezměte interval (7.7), tj.
];[ 2/2/  uu , což po dosazení a nalezení příslušné kritické hodnoty v Tabulce 1, tj.
96,105,0 u , dává kritický obor );96,1()96,1;( C , jakožto doplněk oboru
přijetí (7.7). Vzhledem k tomu, že pro testové kritérium 84,8
50
4
120115


u , což znamená
u  C, zamítá se nulová hypotéza.
Na základě statistického testu jste zamítli hypotézu, která byla správná ( 120)( XE ),
dopustili jste se tedy chyby I. druhu, pravděpodobnost této chyby je  = 0,05.
7.3 Neparametrické testy hypotéz
Neparametrické testy hypotéz, podobně jako parametrické testy hypotéz, jsou testy statistických
hypotéz, které se však netýkají parametrů rozdělení pravděpodobnosti. Budeme se
zabývat dvěma skupinami testů:
U jednoduchých neparametrických testů vycházíme z jednoho náhodného výběru (vzorku)
a klademe si tyto otázky (hypotézy):
 má medián populace s neznámým rozdělením pravděpodobnosti předpokládanou
hodnotu?
 pochází výběr z populace s předpokládaným (eventuálně předem známým) rozdělením
pravděpodobnosti?
Obě otázky jsou typem neparametrické hypotézy a odpovídáme na ně pomocí neparametrických
testů. V prvním případě se jedná o mediánový test, ve druhém o chi-kvadrát test
(také známý pod jménem test dobré shody). Prvním z nich se budeme zabývat
v následující subkapitole, ostatními testy pak v dalších subkapitolách.
7 Testování hypotéz – parametrické a neparametrické testy
124
7.3.1 MEDIÁNOVÝ TEST
Mediánový test odpovídá na otázku, zda má medián populace předpokládanou hodnotu.
Medián není typickým parametrem, jako například  v normálním rozdělení, proto se test
hypotézy o hodnotě mediánu v populaci s neznámým rozdělením pravděpodobnosti považuje
za neparametrický test.
Mediánový test najde uplatnění u populací, u nichž nemáme důvod předpokládat, že
mají normální rozdělení pravděpodobnosti. Jinak totiž je lepší použít parametrický test o
středí hodnotě , s nímž jste se seznámili v předešlé kapitole.
Předpokládáme hodnotu mediánu 0
~ populace X a testujeme dvoustrannou nulovou
hypotézu: H0: Med(X) = 0
~ ,
proti alternativní hypotéze: H1: Med(X)  0
~ .
K testu se používá testové kritérium
n
nm
u


2
, (7.8)
kde n je rozsah testového vzorku, m je počet případů ve vzorku s hodnotou menší než 0
~ .
Při zadané hladině významnosti  porovnáme hodnotu kritéria (7.8) s kritickou hodnotou
normovaného normálního rozdělení u/2. Pokud je hodnota testového kritéria větší než
příslušná kritická hodnota, tj. platí-li u > u/2, potom nulovou hypotézu H0 zamítáme, jinak
ji nezamítáme.
ŘEŠENÁ ÚLOHA 3
Náhodně vybraný vzorek 19 zaměstnanců v okrese Karviná poskytl následující údaje o
jejich měsíčních mzdách (v tis.Kč):
10,0 12,3 12,6 12,6 13,0 13,2 13,3 13,3 13,4 13,8
14,1 14,3 14,6 15,1 15,2 15,4 16,5 18,2 20,5 -------
Na hladině významnosti  = 0,05 testujte hypotézu, že mediánová měsíční mzda učitelů
v České republice je 15 tis. Kč.
Řešení.
Populaci tvoří měsíční platy všech učitelů v ČR. Je známo, že mzdy nemají normální rozdělení
pravděpodobnosti. Proto namísto aritmetického průměru je lepší charakteristikou
medián. Tomu odpovídá mediánový test hypotézy H0: Med(X) = 15 proti alternativní hypotéze
H1: Med(X)  15. V tomto testu je n = 19, medián m = 13. Podle vztahu (7.8)
snadno vypočítáte u = 1,61. Z Tabulky 1 hodnot normovaného normálního rozdělení zjistíte,
že u0,025 = 1,96. Protože hodnota statistiky u pro vzorek nepřevýšila hodnotu příslušného
kvantilu, neboť 1,61 < 1,96, nulovou hypotézu H0 nezamítáte (přijímáte). Jinými
slovy, na zvolené hladině významnosti vzorek neodporuje hypotéze o výši mediánové
měsíční mzdy učitelů v ČR. Vybraný vzorek je v souladu s celostátní populací.
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
125
7.3.2 TEST DOBRÉ SHODY
Společným rysem situací, při nichž se uplatní (Pearsonův) Chi-kvadrát test, nebo též
test dobré shody, je to, že všechny výsledky v náhodném výběru lze roztřídit do určitého
počtu vzájemně se nepřekrývajících tříd. Testovaná hypotéza pak spočívá v předpokladu
určitého typu (modelu) pravděpodobnostního rozdělení, z čehož vyplývá zařazení výsledků
do jednotlivých tříd. Vynásobíme-li tyto pravděpodobnosti rozsahem výběru, dostáváme
teoretické četnosti při platnosti nulové hypotézy. Test dobré shody pak spočívá v
porovnání těchto teoretických četností s empirickými četnostmi ve výběrovém souboru.
Jsou-li rozdíly mezi nimi příliš velké, potom zřejmě model rozdělení vyjádřený testovanou
hypotézou není vhodný a tedy nulovou hypotézu zamítáme. Potom považujeme model
za nevhodný na zvolené hladině významnosti.
Za testové kritérium k ověření vhodnosti modelu volíme statistiku G, která je součtem
čtverců rozdílů mezi teoretickými a empirickými četnostmi vztažených relativně k
příslušné teoretické četnosti, a to pro všechny třídy:



J
j j
jjn
G
1
2
)(


, (7.9)
kde J představuje počet tříd výběrového souboru, nj empirickou četnost v
j-té třídě, j teoretickou četnost v j-té třídě, je rozsah výběrového souboru.
Je-li rozsah výběru n dost velký a jsou-li všechny empirické četnosti rovněž dost
velké, tj. alespoň 80% četností je větších než 5, má toto testové kritérium G při platnosti
nulové hypotézy přibližně rozdělení Chi-kvadrát s df = J - 1 stupni volnosti. Přitom je
teoretická četnost j = n.pj , kde pj je příslušná pravděpodobnost. Závěr testu pak spočívá
v porovnání hodnoty testového kritéria vypočteného pro náhodný výběr se 100 %-ní
kritickou hodnotou rozdělení )1(2
J . Kritické hodnoty tohoto rozdělení bývají často
tabelovány, tak je tomu také v Tabulce 3 z Přílohy tohoto textu.
ŘEŠENÁ ÚLOHA 4
Automobil Škoda - Favorit se prodává ve čtyřech barvách. Prodejna rozčlenila tyto barvy
podle poptávky o konkrétní barvy takto:
40% zákazníků požaduje zelenou barvu automobilu,
25% červenou barvu,
25% modrou barvu a
10% bílou barvu.
Na hladině významnosti  = 0,05 ověřte hypotézu, že uvedené pravděpodobnostní odhady
jsou správné. K ověření správnosti učiněného předpokladu o struktuře poptávky podle
barev použijte záznamy o nákupech v dané prodejně v jistém měsíci.
7 Testování hypotéz – parametrické a neparametrické testy
126
Řešení.
Vstupní i vypočtené údaje obsahuje následující tabulka:
j Barva jp ,0 jn j
j
jjn

 2
)( 
n
nj
1 zelená 0,40 201 192 0,42 0,42
2 červená 0,25 105 120 1,88 0,22
3 modrá 0,25 144 120 4,80 0,30
4 bílá 0,10 30 48 6,75 0,06
součet 1,00 480 480 13,85 1,00
Testovaná hypotéza je následující:
1,0,2,0,4,0: 4,03,02,01,00  ppppH ,
zatímco alternativní hypotéza H1 je negací nulové hypotézy. Rozsah výběrového souboru
je značný, a protože pro všechna j je j > 5, jsou podmínky pro použití testu dobré shody
splněny.
Stanovíme kritický obor C jako pravostranný interval, jehož levý krajní bod představuje
100(1 - )%-ní kvantil funkce Chi-kvadrát 2
95.0 (3) = 7,81, neboť stupeň volnosti
df = 4 - 1 = 3. Hodnotu příslušného kvantilu lze nalézt v běžných tabulkách rozdělení
Chi-kvadrát, např. v Tabulce 3 z Přílohy. Tedy C = [ 2
95.0 (3) ; +) = [7,81 ; + ) .
Hodnotu testového kritéria G obsahuje výše uvedená tabulka v posledním řádku
vpravo: G = 13,85. Jelikož tato hodnota padne do kritického oboru, zamítáme nulovou
hypotézu na hladině významnosti  = 0,05. Praktický dopad takového testu by měl mít za
následek korekci představ o pravděpodobnostním rozložení poptávky po jednotlivých
barvách automobilů. To by pak mělo přimět vedení prodejny ke změně objednávek u výrobce.
Nové pravděpodobnosti jednotlivých barev bychom mohli z uvedeného výběrového
souboru stanovit jako relativní četnosti , viz poslední sloupec ve výše
uvedené tabulce.
7.3.3 TEST NEZÁVISLOSTI KVALITATIVNÍCH ZNAKŮ
Typickou úlohou, k jejímuž řešení se často používá test dobré shody, je ověření nezávislosti
dvou (nebo více) kvalitativních znaků. Jejich hodnoty byly zjištěny u n náhodně
vybraných prvků základního souboru, nebo, obecněji řečeno, jde o výsledky n nezávislých
náhodných pokusů. Výsledky jsou pak zpracování uspořádány v tzv. kontingenční
tabulce.
V jednom experimentu můžeme současně sledovat dvě nebo i více odpovědí - hodnoty
kvalitativních znaků. Tak například při kontrole jakosti výrobku můžeme sledovat
přítomnost nebo nepřítomnost vady A (znak A), nebo přítomnost nebo nepřítomnost vady
p j1,
p n nj j1, /
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
127
B (znak B). Oba znaky A i B nabývají pouze dvě alternativní hodnoty - kategorie: např.
Ano, Ne (Přítomnost, Nepřítomnost, apod.).
Při psychologické zkoušce způsobilosti osoby k výkonu určité činnosti může testovaná
osoba dostat dva úkoly, jejichž výsledek může být hodnocen jako "vynikající",
"průměrný" a "podprůměrný". Zde jde o sledování dvou kvalitativních znaků se třemi
kategoriemi odpovědí.
Představte si nyní n nezávislých opakování experimentu se dvěma kvalitativními
znaky A a B. Znak A má r možných kategorií hodnot, značených , znak B má
s možných kategorií hodnot . Výsledek celého složeného experimentu lze
shrnout do kontingenční tabulky:
Kategorie
znaku A / B
B1 B2 B3 ................. Bs Součet
A1 n11 n12 n13 .................. n1s n1.
A2 n21 n22 n23 .................. n2s n2.
A3 n31 n32 n33 .................. n3s n3.
............ ..... .... .... .................. ....... ................
Ar nr1 nr2 nr3 .................. nrs nr.
Součet n.1 n.2 n.3 .................. n.s n
V tabulce značí nij počet experimentů, při kterých znak A nabývá hodnoty (kategorie)
Ai a znak B hodnoty Bj. Symbolem 

s
j
iji pp
1
. značíme celkový počet opakování, při
kterých se vyskytla i-tá kategorie znaku A, symbolem 

r
i
ijj nn
1
. značíme celkový počet
opakování, při kterých se vyskytla j-tá kategorie znaku B.
Cílem statistické analýzy je zjištění, zda příslušné dva znaky jsou závislé či nikoliv.
Výskyt i-té kategorie (hodnoty) znaku A a j-té kategorie znaku B při jedné realizaci příslušného
experimentu je náhodný jev, který je průnikem dvou jevů, označme pravděpodobnost
tohoto průniku . Každá četnost nij ve výše uvedené kontingenční tabulce je
vlastně realizací náhodné veličiny s binomickým rozdělením pravděpodobnosti s parametry
n a . Četnosti ni. výskytu jevu Ai a četnosti n.j výskytů jevů Bj jsou realizacemi
náhodných veličin s binomickým rozdělením s parametry n, , resp. parametry n, p.j .
Zde jsme označili 

r
i
ijj pp
1
. a 

s
j
iji pp
1
. . V souladu s definicí nezávislosti jevů
řekneme, že znaky A a B jsou nezávislé, jestliže platí pravidlo o násobení pravděpodobností
nezávislých jevů, tj.
jiij ppp .. , i=1,2,...,r, j=1,2,...,s , (7.10)
Položíme-li nulovou hypotézu o nezávislosti znaků A a B jako předpoklad (7.10), pak
lze ukázat, že statistika
A A Ar1 2, ,...,
B B Bs1 2, ,...,
pij
pij
pi.
H0
7 Testování hypotéz – parametrické a neparametrické testy
128
















    
1
1 1 ..
2
1 1 ..
2
..
r
i
s
j ji
ij
r
i
s
j ji
ji
ij
nn
n
n
n
nn
n
nn
n
G (7.11)
má Chi-kvadrát rozdělení s df =(r -1)(s -1) stupni volnosti.
Hypotézu o nezávislosti znaků A a B zamítáme na hladině významnosti , když hodnota
statistiky (7.11) padne do kritického oboru
   ;)(2
1 dfC  . (7.12)
Speciálním případem kontingenční tabulky je tzv. čtyřpolní tabulka, kdy každý
znak nabývá pouze dvou (alternativních) hodnot. Zde uvažujeme se dvěma kvalitativními
znaky a , každý z nich nabývá dvou možných kategorií, které označíme , .
Ze základního souboru provedeme náhodný výběr, jehož výsledky uspořádáme do následující
tabulky:
Znak h1 h2 Součet
Znak
h1 A B A+B
h2 C D C+D
Součet A+C B+D n
Zde A představuje četnost současného výskytu hodnoty u znaků i . Obdobný
význam mají hodnoty B, C a D.
Hypotézu o nezávislosti obou alternativních znaků můžeme zformulovat jako
(7.10). Testové kritérium (7.11) lze v tomto speciálním případě vyjádřit:
))()()((
)( 2
DBCADCBA
BCADn
G


 . (7.13)
Počet stupňů volnosti je v tomto jednoduchém případě df = (2-1)(2-1) = 1.
ŘEŠENÁ ÚLOHA 5
Pro n = 320 výrobků se zjišťovala hmotnost a vnější vzhled, přičemž pro oba tyto znaky
se každý výrobek označil buď jako dobrý, nebo nevyhovující. Výsledky jsou uvedeny v
následující tabulce, která je konkretizací tabulky předchozí. Testujte hypotézu o nezávislosti
znaků "Vzhled" a "Hmotnost" na hladině významnosti  = 0,1.
H0
Z1 Z2 h1 h2
Z1
Z2
h1 Z1 Z2
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
129
Vzhled
Hmotnost
Dobrý Nevyhovující Součet
Dobrá 239 60 299
Nevyhovující 14 7 21
Součet 253 67 320
Řešení.
1. Použijeme nejprve přímou metodu s pomocí vzorce (10.5), do něhož dosadíte hodnoty
z předchozí tabulky:
086,2)1
21.67
7
21.253
14
299.67
60
299.253
239
(320
2222
G .
Protože 2,086 < )1(2
1,0 = 2,7, tj. hodnota kritéria nepadne do kritického oboru
(7.12), hypotézu o nezávislosti daných znaků přijímáme.
2. V řešení 1. jsme použili vzorce, který je obecný v tom smyslu, že může být použit pro
kontingenční tabulku o rozměrech rs, tj. v případech, kdy první znak má r hodnot a druhý
má s hodnot. V konkrétním příkladu je r = s = 2, a proto můžeme aplikovat vzorec
(7.13) pro čtyřpolní tabulku. Po dosazení příslušných hodnot do (7.13) obdržíme: G =
2,086.
Docházíme přirozeně ke stejnému výsledku, a proto též závěr o přijetí hypotézy
o nezávislosti znaků "Hmotnost" a "Vzhled" je stejný.
SHRNUTÍ KAPITOLY
Statistické hypotézy, tj. hypotézy, jež se týkají náhodných veličin, rozdělujeme do
dvou velkých tříd na parametrické hypotézy a neparametrické hypotézy. Parametrické
hypotézy se vztahují na jeden nebo několik parametrů daného pravděpodobnostního rozdělení
náhodné veličiny (znaku populace). Neparametrické hypotézy se netýkají parametrů
rozdělení náhodné veličiny, nýbrž jiných statistických vlastností, např. tvaru rozdělení
(normální, exponenciální, apod.). Neparametrické testy hypotéz (mediánový test, Chikvadrát
test, test nezávislosti) se většinou používají tam, kde nemáte důvod předpokládat,
že populační soubor má normální rozdělení pravděpodobnosti.
OTÁZKY
Ano či ne?...
1) Zamítnutí správné hypotézy označujeme jako chybu II. druhu.
2) Pokud test zamítne nulovou hypotézu H0, je tato hypotéza nepravdivá.
7 Testování hypotéz – parametrické a neparametrické testy
130
3) Jestliže je nulová hypotéza přijata na hladině významnosti 0,05, pak musí být přijata i
na hladině významnosti 0,01.
4) Přijmeme-li nulovou hypotézu, nemůžeme se dopustit chyby I. druhu.
5) Alternativní hypotézu přijmeme, pokud hodnota testového kritéria leží v kritickém
oboru.
Doplňte...
6) Nulovou hypotézu nezamítáme neboli ________________.
7) Hypotéza H1 0:  se nazývá ________________.
8) Číslo 1 , kde  znamená ________________, označujeme jako
________________.
9) Chybou I. druhu se rozumí ________________ a její pravděpodobnost se označuje
________________.
10) Nulovou hypotézu zamítáme, pokud hodnota testového kritéria náleží
________________.
11) Letecká společnost provedla při jednom letu kontrolu u 25 pasažérů, na kolik se váha
zavazadel liší od povolených 20 kg. Byly zjištěny tyto údaje: x  211, kg; s  2 7,
kg. Je možno na hladině významnosti 10% usoudit, že průměrná váha zavazadel nepřevýší
20 kg?
12) Tabulka dokumentuje procentuální zastoupení různých věkových kategorií 1 000
účastníků korespondenčního kurzu Business English.
Věk Podíl účastníků [%]
15 - 24 0,118
25 - 34 0,139
35 - 44 0,175
45 - 54 0,207
55 - 64 0,192
65 a více 0,169
Testujte hypotézu o stejném zastoupení uvedených věkových kategorií účastníků v korespondenčním
kurzu na hladině významnosti 5%.
13) Management zdravotní pojišťovny zjišťuje, zda její podíl na krytí nákladů spojených
s hospitalizací pacientů je závislý na délce hospitalizace. Náhodný vzorek pacientů poskytl
následující výsledky:
Krytí nákladů
Délka hospitalizace
do 5 dní 6 - 10 dní 11 - 15 dní nad 15 dní
méně než 25% 26 30 6 5
25 - 50% 21 30 11 7
51 - 75% 25 25 45 9
nad 75% 11 32 17 11
Je možno potvrdit závislost procentuálního podílu krytí nákladů na délce hospitalizace?
Uvažujte hladinu významnosti 1%.
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
131
15) Manželská poradna provedla šetření závislosti rozvodovosti věkové kategorie 35 až
40 let na pohlaví partnerů. Tabulka shrnuje výsledky u náhodného výběru 100 klientů
zmíněné věkové kategorie.
Rodinný stav
Pohlaví
muž žena
rozvedený(á) 15 20
jiný 30 35
Na hladině významnosti 0,1 ověřte hypotézu o nezávislosti rozvodovosti na pohlaví part-
nerů.
ODPOVĚDI
Ano či ne?...
1) Ne
2) Ne
3) Ano
4) Ano
5) Ano
Doplňte ...
6) Přijímáme
7) Pravostranná složená alternativní hypotéza
8) Pravděpodobnost chyby II. druhu, síla testu
9) Zamítnutí platné hypotézy, alfa
10) Kritickému oboru
11) Nikoliv, hypotéza se zamítá.
12) Hypotéza se zamítá.
13) Hypotéza se přijímá. (Hypotéza o nezávislosti se zamítá).
14) Hypotéza se přijímá.
8 Jednoduchá regresní analýza
132
8 JEDNODUCHÁ REGRESNÍ ANALÝZA
RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY
Závislostí kvantitativního znaku na kvantitativním znaku se zabývá regresní analýza.
V případě závislosti dvou znaků mluvíme o jednoduché regresi (případně korelaci), u
znaku závislém na více kvantitativních veličinách hovoříme o vícenásobné regresi. V této
kapitole budeme vyšetřovat nejprve nejjednodušší lineární závislost dvou znaků, dále se
budeme zabývat i nelineárními závislostmi dvou znaků důležitých z hlediska
ekonomických aplikací. Kapitolu a celou publikaci uzavře problematika korelace, závislosti,
kdy nerozlišujeme mezi původcem a následkem. K čemu je to všechno dobré?
Znalost závislostí umožňuje předvídat chování závislé veličiny.
CÍLE KAPITOLY
Po prostudování této kapitoly budete umět:
 uvést příklady regresních funkcí,
 vypočítat regresní koeficienty pomocí metody nejmenších čtverců,
 vypočítat koeficient determinace,
 vypočítat koeficient korelace.
ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU
K prostudování této kapitoly budete potřebovat asi 90 minut.
KLÍČOVÁ SLOVA KAPITOLY
Lineární regresní funkce, metoda nejmenších čtverců, koeficient determinace, koeficient
korelace.
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
133
Při analýze dat nás často zajímá vztah mezi jedinou proměnnou (hodnotami statistického
znaku) nazývanou závisle proměnnou (někdy vysvětlovanou proměnnou), označujeme
ji Y, a obecně několika proměnnými (hodnotami statistických znaků), které nazýváme
nezávisle proměnné (někdy vysvětlující proměnné), a označujeme je symboly X1, X2,....
Pokud se zabýváme jedinou nezávisle proměnnou X, hovoříme o jednoduché regresi,
pokud je nezávisle proměnných více než jedna, mluvíme o vícenásobné regresi (někdy
též vícerozměrné nebo mnohonásobné regresi). V této kapitole se věnujeme pouze jednoduché
regresi.
Závisí-li veličina Y na veličině X, pak to matematicky vyjadřujeme zápisem
Y = f(X). (8.1)
V našem případě jsou Y a X statistické znaky (náhodné veličiny), pak hovoříme o stochastistické
závislosti, funkční vztah (10.1) přejde v regresní vztah (regresní model)
y = f(x) +  , (8.2)
kde y , resp. x , představují hodnoty znaku Y , resp. X,  je náhodná chyba (reziduum),
funkci f nazýváme regresní funkce.
Jestliže je regresní funkce f lineární, což značí že má tvar regresní přímky
f x x( )   0 1 , (8.3)
potom hovoříme o jednoduché lineární regresi, nemá-li regresní funkce lineární tvar,
hovoříme o jednoduché nelineární regresi. Ve vzorci (8.3) jsou 10,  parametry regresní
funkce.
Mezi nelineární regresní funkce, které lze substitucí proměnné převést na lineární funkce
patří:
regresní parabola: f x x( )   0 1
2
, (8.4)
regresní hyperbola: f x
x
( )   0 1
1
, (8.5)
regresní logaritmická funkce: f x x( ) log  0 1 . (8.6)
Další významné nelineární regresní funkce lze převést na lineární logaritmickou trans-
formací:
regresní mocninná funkce: 1
0)( 
 xxf  , (8.7)
regresní exponenciální funkce: x
xf 10)(  . (8.8)
8 Jednoduchá regresní analýza
134
Kromě výše uvedených příkladů nelineárních regresních funkcí existuje celá řada dalších
významných nelineárních funkcí, které nelze na lineární funkci jednoduše převést.
Úkolem jednoduché lineární regrese je „proložit“ danými body přímku (tj. nalézt lineární
regresní funkci), která nejlépe charakterizuje polohu daných n bodů. Z předchozího odstavce
víme, že tato regresní funkce má tvar
f x x( )   0 1 ,
kde  0 1, jsou zatím neznámé hodnoty parametrů regresní přímky. Regresní model (8.2)
má nyní tvar
yi =  0 1 xi + i , i = 1,2,...,n. (8.9)
Odhady 10 b,b těchto neznámých parametrů – regresní koeficienty získáme metodou
nejmenších čtverců. Této metodě, která patří mezi nejdůležitější metody používané
ve statistice, bude věnována další podkapitola.
8.1 Metoda nejmenších čtverců
Mějme data ve formě párových hodnot – bodů: (y1, x1), (y2, x2),...,(yn, xn). Úkolem jednoduché
regrese je nalézt regresní funkci, která „nejlépe charakterizuje polohu“ daných n
bodů. Nejprve budeme uvažovat obecně nelineární regresní funkci ),,( 10 xf se dvěma
parametry  0 1, . Speciálními případy této regresní funkce je lineární funkce (8.3) a také
nelineární funkce (8.4) – (8.8). Postup metody nejmenších čtverců bude tentýž, nezávisle
na konkrétním tvaru regresní funkce. Odhady 10 b,b neznámých parametrů  0 1, získáme
tak, že nalezneme hodnoty 10 b,b , pro něž nabývá své minimální hodnoty reziduální součet
čtverců odchylek hodnot závisle proměnné yi od teoretické hodnoty )b,b;x(fY ii 10
SR =     

n
i
ii
n
i
ii )b,b,x(fyYy
1
2
10
1
2
. (8.10)
Jak je známo z matematické analýzy, své minimum funkce SR (zde je to funkce proměnných
10 b,b ) nabývá pro ty hodnoty 10 b,b , pro něž se anulují její parciální derivace:
0
0



b
SR
, 0
1



b
SR
. (8.11)
Vztahy (8.11) představují soustavu 2 rovnic o 2 neznámých 10 b,b , která se nazývá soustava
normálních rovnic. Jejím řešením získáme hledané odhady regresních parametrů
zvolené regresní funkce.
Vyřešíme nyní soustavu (8.11) pro speciální případ, který nás zejména zajímá, totiž lineární
regresní funkci xxf 1010 ),,(   . Dosadíme-li tuto funkci do vztahu (8.10),
vypočteme příslušné parciální derivace, které položíme rovny 0, získáme konkrétní soustavu
normálních rovnic:
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
135
 

n
i
i
n
i
i xbnby
1
10
1
, (8.12)
 

n
i
i
n
i
i
n
i
ii xbxbyx
1
2
1
1
0
1
. (8.13)
Z těchto rovnic již snadno (v konkrétním případě pro dané hodnoty yi , xi známou „dosazovací
metodou“) vypočteme hledané odhady 10 b,b .
ŘEŠENÁ ÚLOHA 1
Společnost na výrobu bytového textilu zkoumala, jak souvisí zisk z prodeje s výdaji na
reklamu. Následující tabulka uvádí údaje z deseti náhodně vybraných firem. Načrtněte
bodový graf a odhadněte typ regresní funkce popisující danou závislost. Vypočtěte regresní
koeficienty.
Firma č.
Výdaje na reklamu
(tis. Kč)
Zisk z prodeje
(10 tis. Kč)
1 6 5
2 8 8
3 9 9
4 9 12
5 12 21
6 15 25
7 16 32
8 20 36
9 22 51
10 23 59
Řešení.
Jak patrně usoudíte z obrázku, roste zisk z prodeje zhruba lineárně v závislosti na výdajích
za reklamu. Regresní funkcí tedy bude nejspíše lineární funkce – přímka (8.3).
Využijeme výsledků metody nejmenších čtverců, nebudeme však dosazovat přímo do
soustavy rovnic (8.12), (8.13), ale použijeme vztahy pro b0, b1, které je možné z dané
soustavy vyjádřit, a to v numericky výhodném a snadno zapamatovatelném tvaru:
0
20
40
60
80
0 10 20 30
Ziskzprodeje
Výdaje na reklamu
8 Jednoduchá regresní analýza
136
97,2
34
9,100
14230
8,25141,462
222
1 






xx
yxxy
b (8.12*)
b y b x0 1 258 2 97 14 1578      , , , . (8.13*)
Hledaná regresní přímka má tvar: Y x  15 78 2 97, , .
Z analytické geometrie si připomeňte, že regresní koeficient b0 představuje průsečík regresní
přímky s osou „y“, tedy hodnotu Y0 pro x = 0. Tento regresní koeficient se někdy
nazývá úrovňová konstanta. Regresní koeficient b1 vyjadřuje směrnici přímky, tedy
sklon přímky k ose „x“, tj. změnu funkční hodnoty Y při změně nezávisle proměnné x o
jednotku.
K ZAPAMATOVÁNÍ
Klasickým jednoduchým lineárním regresním modelem se nazývá regresní model (8.9):
yi =  0 1 xi + i , i = 1,2,...,n,
splňující následující podmínky:
1. Hodnoty vysvětlující proměnné xi se volí předem, viz (A) v kapitole 12.2, nejsou to
tedy náhodné veličiny.
2. Náhodné složky (rezidua) i v modelu (12.9) mají normální rozdělení pravděpodobnosti
se střední hodnotou 0 a (neznámým) konstantním rozptylem 2
. Konstantnost
rozptylu nazýváme homoskedasticita.
3. Náhodné složky jsou nekorelované, tj.
 (i , j) = 0 pro každé i  j , i,j = 1,2,...,n. (  značí korelační koeficient).
Podmínky 1. až 3. požadujeme tehdy, chceme-li zajistit splnění některých dalších
vlastností: např. zjistit intervaly spolehlivosti koeficientů regresní funkce, interval spolehlivosti
hodnoty regresní funkce, eventuálně, chceme-li provádět testy hypotéz o některých
prvcích regresního modelu.
8.2 Koeficient determinace
Celkovou variabilitu vysvětlované proměnné charakterizuje celkový součet čtverců:
 

n
i
iy yyS
1
2
. (8.14)
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
137
Část celkové variability vysvětlenou regresním modelem charakterizuje teoretický součet
čtverců:
 

n
i
iT yYS
1
2
, (8.15)
nevysvětlenou část celkové variability představuje reziduální součet čtverců (8.10):
SR =  

n
i
ii Yy
1
2
. (8.16)
Mezi jednotlivými součty čtverců platí základní vztah:
Sy = ST + SR . (8.17)
Koeficient determinace charakterizuje přiléhavost dat k regresnímu modelu. Je definován
vztahem:
y
T
S
S
R 2
. (8.18)
Ze vztahu (8.17) vyplývá, že koeficient determinace nabývá hodnoty z intervalu
[0;1] a určuje tu část celkové variability pozorovaných hodnot Sy, kterou lze vysvětlit
daným regresním modelem. Jinak řečeno, po vynásobení koeficientu determinace stem
obdržíme, kolik procent celkové variability je vysvětlitelných regresním modelem. Koeficient
determinace je proto důležitou charakteristikou vhodnosti zvoleného regresního
modelu.
Vztah (8.18) vzniká podílem náhodných veličin, a proto jakožto náhodná veličina je
odhadem koeficientu determinace R2.
Pro malé rozsahy výběru n je odhad (8.18) vychýlený,
tj. nadhodnocuje přiléhavost k regresnímu modelu. Proto se namísto něj používá
nevychýlený odhad koeficientu determinace 2
adjR (z angl. adjusted), který nazýváme
upravený koeficient determinace:
  2
1
11 22



n
n
RRadj . (8.19)
Pro velké hodnoty n je však zlomek ve vzorci (8.19) blízký k jedné a upravený koeficient
se blíží k „neupravenému“.
Odmocninu koeficientu determinace nazýváme koeficient korelace a značíme jej R, podobně
odmocninu upraveného koeficientu determinace nazýváme upravený koeficient
korelace, označujeme jej Radj.
ŘEŠENÁ ÚLOHA 1 - POKRAČOVÁNÍ
Pro náš příklad lineární závislosti zisku z prodeje na výdajích na reklamu vypočítáme
koeficient determinace, korelace a upravené koeficienty determinace a korelace.
8 Jednoduchá regresní analýza
138
Řešení.
958,0
6,3125
3,29942

y
T
S
S
R , 953,02
adjR .
R = 0,979 , Radj = 0,979.
8.3 Korelační analýza
U regresních modelů jsme předpokládali, že hodnoty vysvětlujících proměnných jsou
dané, zatímco hodnoty vysvětlované proměnné jsou náhodné veličiny. Takové modely se
používají k popisu závislostí závisle proměnné y na nezávisle proměnných xi, tj. k popisu
jednosměrné závislosti „y na x“. Často se však vyskytují případy, kdy máme k dispozici
více náhodných veličin a není dopředu známo, které jsou vysvětlující a které vysvětlované.
Je pak součástí analýzy tento směr závislosti stanovit. V jiných situacích však stanovení
směru závislosti není zapotřebí. Zkoumá-li se například závislost prodeje zboží X na
prodeji zboží Y, pak v některých případech má smysl vysvětlovat změny prodeje zboží X
změnami prodeje Y, v jiných případech tomu může být naopak: změny prodeje zboží Y
vysvětlujeme změnami zboží X. Jinými slovy, vztah mezi prodejem zboží X a Y zkoumáme
jako oboustranný. Máme-li k dispozici n pozorovaných dvojic hodnot dvou proměnných,
považujeme je za dvourozměrné náhodné veličiny a hledáme vhodný dvourozměrný
pravděpodobnostní model. V případě většího počtu proměnných hledáme odpovídající
vícerozměrný pravděpodobnostní model. Modely, v nichž se předpokládá, že n pozorovaných
k-tic (k  2) jsou hodnoty k-rozměrné náhodné veličiny, se nazývají korelační modely
a analýza dat pomocí takových modelů se nazývá korelační analýza.
Z korelačních modelů jsou propracovány modely, které předpokládají, že pozorovaná
data jsou hodnotami vícerozměrné náhodné veličiny, která má vícerozměrné normální
rozdělení. Zde se budeme věnovat dvourozměrnému modelu s proměnnými x x1 2, ,
jejichž sdruženým rozdělením je dvourozměrné normální rozdělení. Mějme n dvojic hodnot
x xi i1 2, , i = 1,2,...,n. Můžeme tedy vytvořit dva lineární regresní modely:
x x2 0 1 1 1     , (8.20)
x x1 0 1 2 2     . (8.21)
Odhady a bi i, parametrů  i i, , i = 0,1, tj. odhady regresních koeficientů, obdržíme
metodou nejmenších čtverců:
a
x
n
a
x
n
i i
0
2
1
1
 
  , (8.22)
 
a
n x x x x
n x x
i i i i
i i
1
1 2 1 2
1
2
1
2




, (8.23)
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
139
b
x
n
b
x
n
i i
0
1
1
2
 
  , (8.24)
 
b
n x x x x
n x x
i i i i
i i
1
1 2 1 2
2
2
2
2





. (8.25)
Korelační koeficient definujeme jako odmocninu součinu „sklonů“ regresních přímek:
   1 1
, (8.26)
pokud platí 0,0 11   nebo 0,0 11   . Pokud je jedno z čísel 11,  záporné,
pak definujeme
11  .
Bodovým odhadem korelačního koeficientu  je výběrový korelační koeficient r:
r a b 1 1 . (8.27)
Ze vztahů (8.23) a (8.25) obdržíme výpočtový tvar výběrového korelačního koeficientu:
   
r
n x x x x
n x x n x x
i i i i
i i i i


 

 
1 2 1 2
1
2
1
2
2
2
2
2
[ ][ ]
. (8.28)
Lze ukázat, že pro jednoduchý lineární regresní model platí:
r R2 2
 , (8.29)
tedy že čtverec výběrového korelačního indexu je roven koeficientu determinace. Musíte
mít na paměti, že koeficient determinace obecně měří přiléhavost dat také k nelineárnímu
regresnímu modelu, avšak rovnost (8.29) platí pro lineární regresní model. Pro nelineární
regresní model rovnost (8.29) neplatí.
Korelační koeficient  měří těsnost lineární závislosti proměnných x x1 2, a nabývá hodnot
z intervalu [-1;1]. Rostou-li s hodnotami jedné proměnné hodnoty druhé proměnné,
jedná se o přímou lineární závislost, korelační koeficient má kladné znaménko a blíží se k
1. Klesají-li s růstem hodnot jedné proměnné hodnoty druhé proměnné, jedná se o nepřímou
lineární závislost a korelační koeficient má záporné znaménko. Je-li hodnota korelačního
koeficientu rovna nule, potom mezi proměnnými není lineární závislost (v obecném
případě však může existovat závislost nelineární). V takovém případě jsou proměnné
nekorelované.
Test statistické významnosti korelačního koeficientu je založen na testovacím kritériu
t
r
r
n


1
22
, (8.30)
8 Jednoduchá regresní analýza
140
které za platnosti nulové hypotézy H0 :  = 0,
již testujeme proti alternativní hypotéze H1 :   0, má Studentovo rozdělení t s (n - 2)
stupni volnosti. Na hladině významnosti  je kritický obor vymezen nerovností
t t n 1 2 2 / ( ). (8.31)
Jestliže hodnota testového kritéria (8.30) padne do kritického oboru, tj. když platí nerovnost
(8.31), potom nenulová hodnota korelačního koeficientu je statisticky významná.
V opačném případě je hodnota korelačního koeficientu statisticky nevýznamná (na zvolené
hladině významnosti).
ŘEŠENÁ ÚLOHA 2
Společnost Air - Ostrava, zajišťující lety na trase Ostrava - Praha, sleduje při plánování
letů také na hmotnost užitečného zatížení letadla, jehož významnou část tvoří pasažéři a
jejich zavazadla. Zjistilo se, že hmotnost zavazadel cestujících souvisí s dobou, na kterou
odcestovali.
a. Najděte rovnici regresní přímky popisující danou závislost.
b. S jakou hmotností zavazadel lze počítat, bude-li na palubě 15 cestujících vracejících
se za 2 dny, 7 cestujících vracejících se za 5 dnů, 5 cestujících vracejících se za 6 dnů
a 1 cestující vracející se za 14 dní?
Výsledky průzkumu jsou zaznamenány v tabulce.
Řešení.
a. K výpočtu regresních koeficientů b0, b1 použijete vztahů uvedených v příkladu 1
b
x y x y
x x
1 2 2 2
324 4 8 2 28 8
96 73 8 2
2 99
  


 


, , ,
, ,
, ,
b y b x0 1 28 8 2 99 8 2 4 27     , , , , .
Regresní přímka má tedy tvar Y x 4 27 2 99, , .
Pozorování Dny Hmotnost
1 13 46
2 12 43
3 9 29
4 16 52
5 10 31
6 5 18
7 2 11
8 3 12
9 8 25
10 2 10
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
141
11 14 48
12 19 60
13 3 15
14 5 20
15 2 12
Průběžné výpočty shrnuje následující tabulka:
i xi yi xiyi xi
2
1 13 46 598 169
2 12 43 516 144
3 9 29 261 81
4 16 52 832 256
5 10 31 310 100
6 5 18 90 25
7 2 11 22 4
8 3 12 36 9
9 8 25 200 64
10 2 10 20 4
11 14 48 672 196
12 19 60 1140 361
13 3 15 45 9
14 5 20 100 25
15 2 12 24 4
Součet 123 432 4866 1451
Průměr 8,2 28,8 324,4 96,73
b. Vypočítáte hodnotu Y pro x = 2: 25,10299,227,4)2( Y ,
x = 5: Y(5) , , ,   4 27 2 99 5 19 22,
x = 6: Y( ) , , ,6 4 27 2 99 6 22 21    ,
x =14: Y( ) , , ,14 4 27 2 99 14 46 13    .
Potom hmotnost zavazadel m, se kterou lze počítat, snadno zjistíme.
13,4605,11154,13475,153)14(1)6(5)5(7)2(15  YYYYm
= 445,47.
ŘEŠENÁ ÚLOHA 3
Vedení gymnázia zjišťovalo, zda spolu souvisí výsledky testů z matematiky a z fyziky.
Vybralo proto 10 studentů; jejich bodové výsledky jsou uvedeny v následující tabulce.
Počet bodů z matematiky 56 79 50 84 63 91 46 56 74 76
Počet bodů z fyziky 82 56 46 79 74 83 51 63 75 82
a. Vypočítejte výběrový korelační koeficient.
b. Na hladině významnosti  = 0,05 testujte, zda je závislost mezi počtem bodů
z matematiky a počtem bodů z fyziky statisticky významná, tj. je-li korelační koeficient
statisticky významný.
8 Jednoduchá regresní analýza
142
Řešení.
a. K výpočtu výběrového korelačního koeficientu použijete vztah (8.28). Počet bodů
z matematiky označíte X1, počet bodů z fyziky označíte X12. Hodnoty potřebné
k výpočtu výběrového korelačního koeficientu jsou uvedeny v následující tabulce.
Student X1 X2 X1X2 X1
2
X2
2
1 56 82 4592 3136 6724
2 79 56 4424 6241 3136
3 50 46 2300 2500 2116
4 84 79 6636 7056 6241
5 63 74 4662 3969 5476
6 91 83 7553 8281 6889
7 46 51 2346 2116 2601
8 56 63 3528 3136 3969
9 74 75 5550 5476 5625
10 76 82 6232 5776 6724
Součet 675 691 47823 47687 49501
Výběrový korelační koeficient vypočítáme podle vztahu (8.28):
   




  
  
]][[
2
2
2
2
2
1
2
1
2121
iiii
iiii
xxnxxn
xxxxn
r
6112,0
)6914950110)(6754768710(
6916754782310
22



 .
b. Je-li korelační koeficient  statisticky významný nebo ne, zjistíte testováním nulové
hypotézy H0:  = 0,
proti alternativní hypotéze H1:   0.
K ověření nulové hypotézy použijete t-test a podle (8.30) vypočítáte testové kritérium t:
t
r
r
n

 


1
2
0 612
1 0 612
8 2 1892 2
,
,
, .
V tabulkách t-rozdělení najdete t1-/2(n-2) = t0,975(8) = 2,306. Protože
2,189 < 2,306, přijímáte nulovou hypotézu o nevýznamnosti korelačního koeficientu, což
znamená, že závislost mezi výsledky testů z matematiky a fyziky je na zvolené hladině
významnosti statisticky nevýznamná, i když výběrový korelační koeficient nabývá hodnoty
0,6112. Hlavním důvodem tohoto výsledku je malý počet vzorků (vybraných studen-
tů).
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
143
SHRNUTÍ KAPITOLY
V této poslední kapitole jsme se zabývali regresní a korelační analýzou. Zprvu jsme se
zabývali jednoduchou lineární regresí, která řeší vztah mezi kvantitativním znakem Y
nazývaným vysvětlovaná (závislá) proměnná a rovněž kvantitativním znakem X nazývaným
vysvětlující (nezávislá) proměnná. Závislost jsme vyjadřovali pomocí regresní přímky,
jejíž 2 koeficienty jsme odhadovali metodou nejmenších čtverců. Přiléhavost dat
k nalezené regresní přímce jsme vyjádřili číslem R2
z intervalu [0;1], které se nazývá koeficient
determinace. Čím je přiléhavost dat k regresní přímce lepší (těsnější), tím je koeficient
determinace bližší k číslu 1, čím je naopak přiléhavost volnější, tím je R2
blíže
k nule.
OTÁZKY
Ano či ne?
1) Regresní analýza zkoumá závislost kvantitativních znaků.
2) Nevysvětlenou část variability proměnné Y vyjadřuje reziduální součet čtverců.
3) Determinační koeficient je definován jako podíl reziduálního součtu čtverců a teoretického
součtu čtverců.
4) Odchylku naměřených hodnot yi od teoretických hodnot Yi nazýváme reziduální po-
měr.
5) Metoda nejmenších čtverců je založena na minimalizaci podílu odchylek naměřených
hodnot od druhé mocniny reziduálního součtu čtverců.
Doplňte …….
6) Klasický regresní model předpokládá , že náhodné složky mají _________________
rozptyl.
7) Exponenciální regresi lze pomocí ________________transformace převést na lineární
regresi.
8) Pro testování hypotézy o nulovosti individuálních regresních koeficientů se použí-
vá__________________.
9) Odhady parametrů regresních funkcí určujeme pomocí metody
_______________________.
10) Determinační koeficient nabývá hodnot z intervalu _____________.
11) Personální ředitel firmy shromáždil údaje o věku (X) a době pracovní neschopnosti
(Y) dvaceti náhodně vybraných stálých zaměstnanců. Zjištěné údaje jsou zaznamenány
v tabulce.
X Y X Y
20 4 58 20
35 14 46 13
35 15 43 16
34 10 33 10
32 10 29 10
28 9 36 11
25 12 48 14
46 15 55 15
8 Jednoduchá regresní analýza
144
38 15 36 14
50 16 19 6
a. Načrtněte bodový graf a určete vhodný typ regresní funkce.
b. Najděte rovnici regresní funkce z a. vyjadřující danou závislost.
c. Zhodnoťte výstižnost regresní funkce z a.
12) V sociologické studii okresu Karviná byla také zkoumána souvislost ročních úspor
s ročními příjmy rodin s dvěma dětmi školou povinnými. Výsledky studie uvádí tabulka.
Příjem (tis. Kč) 104 125 146 167 111 135 189 196 205 210 170 230
Úspory (tis. Kč) 6 5,6 9,2 14 8 9,1 20,5 29 23,2 38,5 25 40
a. Najděte lineární regresní model popisující závislost úspor na příjmech.
b. Odhadněte úspory rodiny, bude-li její roční příjem 205 tis. Kč?
ODPOVĚDI
Ano či ne?….
1) Ano
2) Ano
3) Ne
4) Ne
5) Ne
Doplňte…
6) konstantní
7) logaritmické
8) t-test
9) nejmenších čtverců
10) [0,1]
11) b. 394,1296,0  xY c. 73,02
R
12) a. Y = -26,399 + 0,274x b. 29 771
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
145
PŘÍLOHA
TABULKA 1
Plocha pod křivkou
normovaného normálního rozdělení N(0,1)
z=x  

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,00000 0,00399 0,00798 0,01197 0,01595 0,01994 0,02392 0,02790 0,03188 0,03586
0,1 0,03983 0,04380 0,04776 0,05172 0,05567 0,05962 0,06356 0,06749 0,07142 0,07535
0,2 0,07926 0,08317 0,08706 0,09095 0,09483 0,09871 0,10257 0,10642 0,10260 0,11409
0,3 0,11791 0,12172 0,12552 0,12930 0,13307 0,13683 0,14058 0,14431 0,14803 0,15173
0,4 0,15542 0,15910 0,16276 0,16640 0,17003 0,17364 0,18824 0,18082 0,18439 0,18793
0,5 0,19146 0,19497 0,19847 0,20194 0,20540 0,20884 0,21226 0,21566 0,21904 0,22240
0,6 0,22575 0,22907 0,23237 0,23565 0,23891 0,24215 0,24537 0,24857 0,25175 0,25490
0,7 0,25804 0,26115 0,26424 0,26730 0,27035 0,27337 0,27637 0,27935 0,28230 0,28524
0,8 0,28814 0,29103 0,29389 0,29673 0,29955 0,30234 0,30511 0,30785 0,31057 0,31327
0,9 0,31594 0,31859 0,32121 0,32381 0,32639 0,32894 0,33147 0,33398 0,36460 0,33891
1,0 0,34134 0,34375 0,34614 0,34850 0,35083 0,35314 0,35543 0,35769 0,35993 0,36214
1,1 0,36433 0,36650 0,36864 0,37076 0,37286 0,37493 0,37698 0,37900 0,38100 0,38298
1,2 0,38493 0,38686 0,38877 0,39065 0,39251 0,39435 0,39617 0,39796 0,39973 0,40147
1,3 0,40320 0,40490 0,40658 0,40824 0,40988 0,41149 0,41309 0,41466 0,41621 0,41774
1,4 0,41924 0,42073 0,42220 0,42364 0,42507 0,42647 0,42786 0,42922 0,43056 0,43189
1,5 0,43319 0,43448 0,43574 0,43699 0,43822 0,43943 0,44062 0,44179 0,44295 0,44408
1,6 0,44520 0,44630 0,44738 0,44845 0,44950 0,45053 0,45154 0,45254 0,45352 0,45449
1,7 0,45543 0,45637 0,45728 0,45818 0,45907 0,45994 0,46080 0,46164 0,46246 0,46327
1,8 0,46407 0,46485 0,46562 0,46638 0,46712 0,46784 0,46856 0,46928 0,46995 0,47062
1,9 0,47128 0,47193 0,47257 0,47320 0,47381 0,47441 0,47500 0,47558 0,47615 0,47670
2,0 0,47725 0,47778 0,47831 0,47882 0,47932 0,47982 0,48030 0,48077 0,48124 0,48169
2,1 0,48214 0,48257 0,48300 0,48341 0,48382 0,48422 0,48461 0,48500 0,48537 0,48573
2,2 0,48610 0,48645 0,48679 0,48713 0,48745 0,48778 0,48809 0,48840 0,48870 0,48899
2,3 0,48928 0,48956 0,48983 0,49010 0,49036 0,49061 0,49086 0,49111 0,49134 0,49158
2,4 0,49180 0,49202 0,49224 0,49245 0,49266 0,49286 0,49305 0,49324 0,49343 0,49361
2,5 0,49379 0,49396 0,49413 0,49430 0,49446 0,49461 0,49477 0,49492 0,49506 0,49520
2,6 0,49534 0,49547 0,49560 0,49573 0,49585 0,49598 0,49609 0,49621 0,49532 0,49643
2,7 0,49653 0,49664 0,49674 0,49683 0,49693 0,49702 0,49711 0,49720 0,49728 0,49736
2,8 0,49744 0,49752 0,49760 0,49767 0,49774 0,49781 0,49788 0,49795 0,49801 0,49807
2,9 0,49813 0,49819 0,49825 0,49831 0,49836 0,49841 0,49846 0,49851 0,49856 0,49861
3,0 0,49865 0,49869 0,49874 0,49878 0,49882 0,49886 0,49889 0,49893 0,49897 0,49900
3,1 0,49903 0,49906 0,49910 0,49913 0,49916 0,49918 0,49921 0,49924 0,49926 0,49929
Příloha
146
TABULKA 2
Kritické hodnoty Studentova rozdělení t df ( )
 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005 0,0005 jednostranný

df
0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,05 0,02 0,01 0,001 oboustranný
1 1,000 1,376 1,963 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657 636,619
2 0,816 1,061 1,386 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 31,598
3 0,765 0,978 1,250 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 12,941
4 0,741 0,941 1,195 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 8,610
5 0,727 0,925 1,156 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 6,859
6 0,718 0,906 1,134 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5,959
7 0,711 0,896 1,119 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 5,405
8 0,706 0,889 1,108 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 5,041
9 0,073 0,883 1,100 1,383 1,883 2,262 2,821 3,250 4,781
10 0,700 0,879 1,093 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,587
11 0,697 0,876 1,088 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,437
12 0,695 0,783 1,083 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 4,318
13 0,694 0,870 1,079 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 4,221
14 0,692 0,868 1,076 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 4,140
15 0,691 0,866 1,074 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 4,073
16 0,690 0,865 1,071 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 4,015
17 0,689 0,863 1,069 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,965
18 0,688 0,862 1,067 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,922
19 0,688 0,861 1,066 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,883
20 0,687 0,860 1,064 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,850
21 0,686 0,859 1,063 1,323 1,271 2,080 2,518 2,831 3,819
22 0,686 0,858 1,061 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,792
23 0,685 0,858 1,060 1,319 1,140 2,069 2,500 2,807 3,767
24 0,685 0,857 1,059 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,745
25 0,684 0,865 1,058 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,720
26 0,684 0,856 1,058 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,707
27 0,684 0,855 1,057 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,690
28 0,683 0,855 1,056 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,674
29 0,683 0,854 1,055 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,659
30 0,683 0,854 1,055 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,666
40 0,681 0,851 1,050 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 3,551
60 0,679 0,848 1,046 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 3,460
120 0,677 0,845 1,041 1,289 1,658 1,980 2,358 2,617 3,373
+ 0,674 0,842 1,036 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 3,291
t(df=4)
2.776-2.776 0
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
147
TABULKA 3
Kritické hodnotyrozdělení Chi-kvadrát
)(2
df
df \  0,995 0,99 0,975 0,95 0,9 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005
1 0,00 0,00 0,00 0,00 0,02 2,7 3,8 5,0 6,6 7,9
2 0,01 0,02 0,05 0,10 0,21 4,6 6,0 7,4 9,2 10,6
3 0,07 0,12 0,22 0,35 0,58 6,3 7,8 9,4 11,3 12,8
4 0,21 0,30 0,48 0,71 1,06 7,8 9,5 11,1 13,3 14,9
5 0,41 0,55 0,83 1,15 1,61 9,2 11,1 12,8 15,1 16,7
6 0,68 0,87 1,24 1,64 2,20 10,6 12,6 14,4 16,8 18,5
7 0,99 1,24 1,69 2,17 2,83 12,0 14,1 16,0 18,5 20,3
8 1,34 1,65 2,18 2,73 3,49 13,4 15,5 17,5 20,1 22,0
9 1,74 2,09 2,70 3,33 4,17 14,7 16,9 19,0 21,7 23,6
10 2,16 2,56 3,25 3,94 4,87 16,0 18,3 20,5 23,2 25,2
11 2,60 3,05 3,82 4,57 5,58 17,3 19,7 21,9 24,7 26,8
12 3,07 3,57 4,40 5,23 6,30 18,5 21,0 23,3 26,2 28,3
13 3,57 4,11 5,01 5,89 7,04 19,8 22,4 24,7 27,7 29,8
14 4,07 4,66 5,63 6,57 7,79 21,0 23,7 26,1 29,1 31,3
15 4,60 5,23 6,26 7,26 8,55 22,3 25,0 27,5 30,6 32,8
16 5,14 5,81 6,91 7,96 9,31 23,5 26,3 28,8 32,0 34,3
17 5,70 6,41 7,56 8,67 10,09 24,8 27,6 30,2 33,4 35,7
18 6,26 7,01 8,23 9,39 10,86 26,0 28,9 31,5 34,8 37,2
19 6,84 7,63 8,91 10,12 11,65 27,2 30,1 32,9 36,2 38,6
20 7,43 8,26 9,59 10,85 12,44 28,4 31,4 34,2 37,6 40,0
21 8,03 8,90 10,28 11,59 13,24 29,6 32,7 35,5 38,9 41,4
22 8,64 9,51 10,98 12,34 14,04 30,8 33,9 36,8 40,3 42,8
23 9,26 10,20 11,69 13,09 14,58 32,0 35,2 38,1 41,6 42,2
24 9,89 10,86 12,40 13,85 15,66 33,2 36,4 39,4 43,0 45,6
25 10,52 11,52 13,12 14,61 16,47 34,4 37,7 40,6 44,3 46,9
26 11,16 12,20 13,84 15,38 17,29 35,6 38,9 41,9 45,6 48,6
27 11,81 12,88 14,57 16,15 18,11 36,7 40,1 43,2 47,0 49,6
28 12,46 13,56 15,31 16,93 18,94 37,9 41,3 44,5 48,3 51,0
29 13,12 14,26 16,05 17,71 19,77 39,1 42,6 45,7 49,6 52,3
30 13,79 14,95 16,79 18,49 20,60 40,3 43,8 47,0 50,9 53,7
14.7 X
2
= 0.10
0
X (9)
2
Příloha
148
TABULKA 4
Kritické hodnoty Fisherova rozdělení F
F (df1,df2)
Příklad: F0,05 (5,7)=3,97
df2
df1  1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 0,100 39,86 49,50 53,59 55,83 57,24 58,20 58,91 59,44 59,86
0,050 161,45 199,50 215,71 224,58 230,16 233,99 236,77 238,88 240,54
0,025 647,79 799,48 864,15 899,60 921,83 937,11 948,20 956,64 963,28
0,010 4052,1 4999,3 5403,5 5624,2 5763,9 5858,9 5928,3 5980,9 6022,4
2 0,100 8,53 9,00 9,16 9,24 9,29 9,33 9,35 9,37 9,38
0,050 18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,35 19,37 19,38
0,025 38,51 39,00 39,17 39,25 39,30 39,33 39,36 39,37 39,39
0,010 98,50 99,00 99,16 99,25 99,30 99,33 99,36 99,38 99,39
3 0,100 5,54 5,46 5,39 5,34 5,31 5,28 5,27 5,25 5,24
0,050 10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,89 8,85 8,81
0,025 17,44 16,04 15,44 15,10 14,88 14,73 14,62 14,54 14,47
0,010 34,12 30,82 29,46 28,71 28,24 27,91 27,67 27,49 27,34
4 0,100 4,54 5,46 5,39 5,34 5,31 5,28 5,27 5,25 5,24
0,050 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00
0,025 12,22 10,65 9,98 9,60 9,36 9,20 9,07 8,98 8,90
0,010 21,20 18,00 16,69 15,98 15,52 15,21 14,98 14,80 14,66
5 0,100 4,06 3,78 3,62 3,52 3,45 3,40 3,37 3,34 3,32
0,050 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,77
0,025 10,01 8,43 7,76 7,39 7,15 6,98 6,85 6,76 6,68
0,010 16,26 13,27 12,06 11,39 10,97 10,67 10,46 10,29 10,16
6 0,100 3,78 3,46 3,29 3,18 3,11 3,05 3,01 2,98 2,96
0,050 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10
0,025 8,81 7,26 6,60 6,23 5,99 5,82 5,70 5,60 5,52
0,010 13,75 10,92 9,78 9,15 8,75 8,47 8,26 8,10 7,98
7 0,100 3,59 3,26 3,07 2,96 2,88 2,83 2,78 2,75 2,72
0,050 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68
0,025 8,07 6,54 5,89 5,52 5,29 5,12 4,99 4,90 4,82
0,010 12,25 9,55 8,45 7,85 7,46 7,19 6,99 6,84 6,72
8 0,100 3,46 3,11 2,92 2,81 2,73 2,67 2,62 2,59 2,56
0,050 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39
0,025 7,57 6,06 5,42 5,05 4,82 4,65 4,53 4,43 4,36
0,010 11,26 8,65 7,59 7,01 6,63 6,37 6,18 6,03 5,91
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
149
ZÁVĚREČNÝ TEST [Maximální možný zisk 100 bodů]
1. Řešte maticovou rovnici BAX  , jestliže





 

52
84
A , 








21
35
B
2. Je dána posloupnost
5
43



n
n
an .
Určete  321 ,, aaa ,  PPan inf,sup,lim
Načrtněte graf.
3. Určete parametr Ra  tak, aby byla matice A regulární :









23
22
a
a
A
4. Načrtněte graf funkce 43  xy a určete tyto limity
    ......43lim.....43lim
1


xx
xx
5. Vypočtěte:
a) Vypočtěte součin: 










 
11
11
13
15
b) Načrtněte graf funkce 2
xy  a vypočtěte limitu 

2
lim x
x
c) Vypočtěte inflexní body funkce 63 23
 xxy
d) 
 20 3
lim
xx
x
x



 24 16
4
lim
x
x
x



 2
16
4
lim
x
x
x
6. Vypočtěte definiční obor funkce    
2
9
2arccos4
x
x
xf



7. Pro funkci    2
1ln xxf  vypočtěte   .....0 f a určete D(f) = ………..
  xf
  xf
Příloha
150
8. V daném dnu bylo v prodejně elektroniky uskutečněno 30 nákupů (v Kč):
490 610 1140 1080 220 910 800 1170 1180 1170
880 1230 780 440 2040 1320 1170 780 1150 1360
a) Do následující tabulky doplňte četnosti tříd a načrtněte histogram četnosti:
Třída Četnost
200 – 599
600 – 999
1000 – 1399
b) Vypočtěte průměr, medián a směrodatnou odchylku.
9. Počet automobilů zastavujících u benzínového čerpadla za hodinu se řídí_________
rozdělením pravděpodobnosti.
a) Doplňte chybějící název.
b) Uveďte vzorec pro výpočet pravděpodobnosti zastavení alespoň n automobilů za hodinu,
víte-li, že průměrně zastaví u čerpadla 1 automobil za 10 minut.
c) Vypočtěte pravděpodobnost podle a) pro n = 2 automobily.
10. V jisté oblasti bydlí voliči 3 politických stran: A, B, C, D. Průzkum volebních preferencí
u 1000 respondentů ukázal následující výsledky:
Politická strana A B C D
Počet příznivců 240 252 266 242
Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu o stejném zastoupení příznivců všech 4
politických stran (tj. stejných volebních preferencích všech 4 stran). Použijte test Chi-
kvadrát.
11. Výrobu horských kol (y) / v tis. ks / v závislosti na počtu odpracovaných hodin ve
firmě udává následující tabulka:
x
(počet odpracovaných hodin)
1500 1450 1600 1700 1900 2000
y
(výroba)
22,3 22,0 23 25 26 28
a) Chybějící údaj za rok 2002 doplňte průměrem hodnot sousedních roků
b) Metodou regresní analýzy vypočtěte odhady neznámých regresních koeficientů v lineární
regresní funkci.
c) Vypočtěte koeficient determinace a na jeho základě slovně zhodnoťte „přiléhavost“ dat
k regresnímu modelu.
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
151
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
152
LITERATURA
Povinná:
STOKLASOVÁ, R., 2013. Kvantitativní metody. Karviná: SU OPF. ISBN 978-80-7248-
848-3.
RAMÍK, J. a R. STOKLASOVÁ, 2014. Statistika. Karviná: SU OPF. ISBN 978-80-
7510-030-6.
Doporučená:
ANDĚL, J., 2011. Základy matematické statistiky. Praha: Matfyzpress. ISBN 978-80-
7378-162-0.
ARLTOVÁ, M. a kol., 2014. Základy statistiky v příkladech. Tribun EU s.r.o. ISBN 978-
80-2630-756-3.
HINDLS, R., S. HRONOVÁ, J. SEGER, a J. FISCHER, 2016. Statistika pro ekonomy.
8.vyd. Praha: Professional Publishing. ISBN 978-80-8694-643-6.
KAŇKA, M., 2009. Sbírka řešených příkladů z matematiky pro studenty vysokých škol.
Praha: Ekopress. ISBN 978-80-86929-53-8.
KLŮFA, J. a J. COUFAL, 2003. Matematika 1. Praha: Ekopress. ISBN 8086119769.
MOUČKA, J. a P. RÁDL, 2015. Matematika pro studenty ekonomie. 2.vyd. Praha: Grada.
ISBN 978-80-247-5406-2.
SEDLAČÍK, M., J. NEUBAUER a O. KŘÍŽ, 2016. Základy statistiky. 2. roz. vyd. Praha:
Grada. ISBN 978-80-247-5786-5.
Radmila Krkošková - Kvantitativní metody v ekonomické praxi
153
SHRNUTÍ STUDIJNÍ OPORY
Obsahově studijní opora pokrývá základy matematiky a statistiky, které jsou náplní kurzu
Kvantitativní metody v ekonomické praxi pro studijní programy: Cestovní ruch a turismus,
Finance a účetnictví v bakalářském studiu na Slezské univerzitě, Obchodně podnikatelské
fakultě v Karviné. Učební text se skládá ze dvou částí: v první se autorka věnuje
základním poznatkům z lineární algebry (maticový počet a determinanty) a z matematické
analýzy (funkce jedné reálné proměnné), druhá část je věnována základním poznatkům
z popisné a induktivní statistiky (kvalitativní a kvantitativní znaky, diskrétní a spojité
pravděpodobnostní modely, parametrické a neparametrické testy hypotéz, regresní analýza).
V textu je uveden výklad teoretických základů dané problematiky a součástí každé
kapitoly jsou také řešené příklady. Každá kapitola je uzavřena neřešenými příklady, na
kterých si studenti mohou ověřit, jak danou kapitolu zvládli. V příloze je pak uveden vzorový
závěrečný zkouškový test.
154
PŘEHLED DOSTUPNÝCH IKON
Čas potřebný ke studiu Cíle kapitoly
Klíčová slova Nezapomeňte na odpočinek
Průvodce studiem Průvodce textem
Rychlý náhled Shrnutí
Tutoriály Definice
K zapamatování Případová studie
Řešená úloha Věta
Kontrolní otázka Korespondenční úkol
Odpovědi Otázky
Samostatný úkol Další zdroje
Pro zájemce Úkol k zamyšlení
Název: Kvantitativní metody v ekonomické praxi
Autor: Mgr. Radmila Krkošková, Ph.D.
Vydavatel: Slezská univerzita v Opavě
Obchodně podnikatelská fakulta v Karviné
Určeno: studentům SU OPF Karviná
Počet stran: 155
Tato publikace neprošla jazykovou úpravou.