Lineární algebra





Matice




Maticí typu (m,n) nazýváme množinu prvků a[ik]

uspořádaných do  m  řádků a

n  sloupců, tj. schéma



Pro zápis matic se používají tři typy závorek:

A = ( a[ik] ),   A = ,   A = .


Hlavní diagonála

Vedlejší diagonála


Diagonální matice je čtvercová matice,  jejíž  prvky  neležící   v   hlavní   diagonále jsou nuly,
tj. a[ik] = 0 pro i ¹ k.


Jednotková matice E je diagonální matice, jejíž prvky v hlavní diagonále jsou jedničky.

Trojúhelníková matice je matice, která má pod (resp. nad) hlavní diagonálou samé nuly.



                                        Operace s maticemi



                                           Rovnost matic



Matice A = (a[ik]), B = (b[ik]) téhož typu (m,n) se sobě rovnají, mají-li na stejných místech
stejné prvky:

A = B      Û    a[ik] = b[ik] , "i, "k.





Příklad.

Vypočtěme  a, b, c Î R,

jestliže  platí:



                                                 .

































Sčítání matic,

násobení matice reálným číslem



Příklad.

Vypočtěme   2A + 3B, kde:













Násobení matice maticí


A  .   B  = C

    (m,n)(n,p)   (m,p)


Podmínkou existence definovaného součinu AB je rovnost ….


Pro násobení matic neplatí komutativní zákon  !!!!




Příklad.






Transponovaná matice A^T


Příklad.










Hodnost matice


Hodnost  h(A)  matice A je maximální počet lineárně nezávislých řádků matice A.


Dvě  matice,  které  mají  stejnou  hodnost  nazýváme   ekvivalentní, A »   B.


Hodnost matice se nezmění, jestliže v matici provedeme tzv. řádkové elementární úpravy:


1.vyměníme dva řádky matice,

2.násobíme řádek matice nenulovým číslem,


3.přičteme-li k jednomu řádku matice lineární kombinaci ostatních řádků,


4.vynecháme -li v matici řádek, který je lineární kombinací ostatních řádků.



Příklad. Určete hodnost matice:






Regulární matice

Singulární matice

LNZ, LZ





                                       Inverzní matice A^-1


existuje pouze k  regulární  matici  A a platí:


             AA^-1 = A^-1A = E.


Ke každé regulární matici existuje právě jedna matice inverzní.


Vlastnosti inverzních matic:               E^-1 = E,

            (A^-1)^-1 = A,

           (AB)^-1 = B^-1A^-1.



Výpočet inverzní matice


Příklad.

Vypočtěte A^-1 k matici


.





Maticové rovnice


Platí vztahy:

1) pro  regulární  matici  D  platí:    DD^-1   =  D^-1D  =  E,


2) pro matici  X  platí:

           XE  =  EX  =  X,

pokud je součin definován.


Příklad.

Vyjádřete matici X z maticových rovnic.





Příklad.

                                      Řešte maticovou rovnici

kde