Determinanty

Každé čtvercové matici A přiřadíme číslo, které budeme označovat det A  a nazývat determinantem
matice A.


Čtvercová matice A je regulární právě tehdy, jestliže  det A .


Výpočet determinantu druhého řádu:

  det A =



Výpočet determinantu třetího řádu  (Sarussovo pravidlo):














Vlastnosti determinantu




1.         Determinant matice A se rovná determinantu A^T.



2.         Jestliže v matici vzájemně zaměníme dva rovnoběžné řádky (resp. dva rovnoběžné sloupce),
změní determinant znaménko.



3.         Společného nenulového činitele k  všech prvků jednoho řádku (resp. jednoho sloupce)
matice lze vytknout před determinant.


4.         Determinant matice se rovná nule, jestliže:

a)         všechny prvky aspoň jednoho řádku (resp. sloupce) jsou rovny nule,

b)        jeden řádek  (resp. sloupec)  matice je LK řádků  (resp. sloupců)  s  ním   rovnoběžných.


5.         Jsou-li A, B čtvercové matice stejného řádu, platí :

            det (AB) = det A . det B.










                             Soustavy lineárních algebraických rovnic

¨


Soustavou m lineárních algebraických rovnic o n neznámých  nazveme soustavu

                                             (S)




Maticový zápis     kde






Matice  se nazývá  rozšířená  matice  soustavy  (S).

nehomogenní soustava

homogenní  soustava



Frobeniova věta


Soustava lineárních rovnic (S) má řešení tehdy a jen tehdy, když hodnost matice soustavy je rovna
hodnosti rozšířené matice soustavy.




Nechť soustava lineárních rovnic (S) má řešení, h je hodnost matice soustavy a n je počet
neznámých.


Potom platí:

a) je-li    h = n,  pak  soustava  (S)  má  právě  jedno  řešení,


b) je-li    h < n,  pak  soustava  (S)  má  nekonečně mnoho  řešení, závislých na  parametrech.



Příklad.




Řešíme Gaussovou eliminační metodou:







Příklad.






















Příklad.



















Cramerovo pravidlo


Pomocí Cramerova pravidla můžeme řešit soustavu lineárních rovnic, je-li matice soustavy regulární.



Nechť je dána soustava n rovnic o n neznámých.


Nechť  matice A  této  soustavy  je  regulární  (tj. det A ).

Potom soustava má právě jedno řešení a platí:



kde B[i]  je matice, která vznikne z matice A tak, že i-tý sloupec matice A nahradíme aritmetickým
vektorem pravých stran soustavy a ostatní sloupce ponecháme beze změny.


Příklad.

Pomocí Cramerova pravidla řešte soustavu:



Řešení:


Vypočteme příslušné determinanty:

detA=











Daná soustava má právě jedno řešení: