Prezentace předmětu:
KVANTITATIVNÍ METODY V EKONOMICKÉ PRAXI
Vyučující:
Mgr. Radmila Krkošková, Ph.D.
Název
prezentace
Název projektu
Rozvoj vzdělávání na Slezské univerzitě v Opavě
Registrační číslo projektu
CZ.02.2.69/0.0./0.0/16_015/0002400
Logolink_OP_VVV_hor_barva_cz

KVANTITATIVNÍ   METODY  V
EKONOMICKÉ   PRAXI
10. PŘEDNÁŠKA
.
Mgr. Radmila Krkošková, Ph.D.

Kvantitativní metody v ekonomické praxi
.
Témata přednášky:
a)diskrétní náhodná veličina (Stejnoměrné rozdělení, Binomické rozdělení, Poissonovo rozdělení),
b) spojitá náhodná veličina (Stejnoměrné rozdělení, Exponenciální rozdělení, Normální rozdělení).
Struktura přednášky

Náhodná veličina
Náhodná veličina = soubor všech hodnot znaku + rozdělení pravdě-podobnosti hodnot
- některé hodnoty se nabývají častěji než jiné ® mají větší pravděpodobnost výskytu
- hodnoty znaku statistických jednotek se „generují“ podle pravděpodobnostního rozdělení

Příklady diskrétní náhodné veličiny
1. Jistý hotel má 100 pokojů, celkový počet obsazených pokojů 1. července je náhodná veličina X
s možnými hodnotami x =  0,1,2,...,100
2. Počet zákazníků v supermarketu mezi 12 až 18 hod. je náhodná veličina X, která může teoreticky
nabývat jakékoliv nezáporné celočíselné hodnoty x ³ 0

Příklady diskrétní náhodné veličiny
3. Rozdíl mezi počtem zákazníků ve dvou supermarketech (Kaufland, Tesco) v jednom dni je náhodná
veličina X, jež může teoreticky nabýt jakékoliv celočíselné hodnoty  x = ..., -3, ‑2, ‑1, 0, 1, 2,
...

1. Diskrétní model pr-sti rozdělení: Stejnoměrné rozdělení
Diskrétní náhodná veličina X
nabývá právě k různých hodnot:   1, 2, 3, ..., k
se stejnou pravděpodobností
P(x) =       pro x = 1,2,3,...,k

Stejnoměrné rozdělení
Střední hodnota:
obecný vzorec:
Rozptyl:
obecný vzorec:

Příklad – hod kostkou
lStřední hodnota: E(X) = (6+1)/2 = 3,5
l
lRozptyl: Var(X) = (62 - 1)/12 = 2,92

2. Model: Binomické rozdělení
n pokusů s alternativním rozdělením,
celkem x krát úspěch a n-x krát neúspěch,
p pravděpodobnost úspěchu
Binomické rozdělení pravděpodobnosti:
pravděpodobnost, že při n‑krát opakovaném
alternativním procesu nastane x krát úspěch a  n-x krát neúspěch

Charakteristiky binomického rozdělení
lStřední hodnota: E(X) = n.p
lRozptyl: Var(X) = n.p.(1- p)
l
lSměrodatná odchylka: s(X) =

Příklad
•
•
   Je známo, že při epidemii chřipky onemocní každý třetí student, tj. pravděpodobnost onemocnění
je    1/3 =0,333 , tj. p = 1/3.
    Zjistěte pravděpodobnost, že ve studijní skupině s 20 studenty onemocní každý druhý
  n = 20, p = 1/3,  x = 10   Þ  P(10| 20;1/3) =
=   = 20*0,333 = 0,092  (9,2 %)
E(X) = 20. 1/3 = 6,67
Var(X) = 20 .1/3.2/3 = 4,44
s(X) = 2,11

Binomické rozdělení – různé parametry
•
•

3. Model: Poissonovo rozdělení
•
•
Uvažujme jevy, které nastávají v průběhu časového
intervalu, například:
- požadavky na telefonní spojení přicházející na ústřednu,
- zákazníci přicházející do prodejny,
-automobily zastavující u benzínového čerpadla.
Takové jevy vznikají v tzv.
     Poissonově procesu !!!

Poissonovo rozdělení
•
•
X - náhodná veličina = počet výskytu jevu Poissonova procesu
v daném časovém intervalu délky t
(např. za 1 minutu, 1 hodinu apod.)
+ rozdělení pr-sti počtu výskytů
(tj. s jakou pr-stí nastane v daném čas. intervalu určitý počet výskytů jevu)

Vlastnosti Poissonova procesu
•
•
3 vlastnosti:
1. Počet výskytu jevu je nezávislý na počtu výskytu tohoto jevu v jiném intervalu
2. Střední hodnota počtu výskytu jevu v daném intervalu je přímo úměrná délce zvoleného intervalu
3. Ve velmi malém časovém intervalu může nastat nejvýše jeden výskyt daného  jevu

Vlastnosti Poissonova rozdělení
•
•
lPravděpodobnost výskytu x jevů Poissonova procesu X:
ll, t - parametry Poissonova rozdělení
lx – počet výskytů jevu
ll - intenzita Poissonova procesu (střední hodnota výskytů jevů)
lt  - délka časového intervalu
E(X) = l.t Var(X) = l.t   s(X) =

Poissonovo rozdělení s různými parametry (t = 1)
l= 0,5
l = 5
l= 2

Příklad – Poissonovo rozdělení
•
•
Zákazníci přicházejí náhodně do opravny obuvi s průměrnou
intenzitou 4 za hodinu. Zjistěte pravděpodobnost, že do
opravny přijdou za hodinu právě 2 zákazníci, vypočtěte střední
hodnotu, rozptyl a směrodatnou odchylku.
Řešení:
Střední hodnota E(X) = 4 , rozptyl Var(X) = 4,
směrodatná odchylka

Diskrétní náhodná veličina - obecně
•
•
Počet různých druhů zboží, které zákazník nakoupí při jedné
návštěvě obchodního domu, je náhodná veličina X.
Bylo zjištěno, že tato veličina nabývá hodnot:
Řešení:
Střední hodnota počtu druhů zboží zakoupeného jedním
zákazníkem
E(X)  = 0*0,2+1*0,4+2*0,25+3*0,1+4*0,03 +5*0,01 =  1,37

Diskrétní náhodná veličina - obecně
•
•

Diskrétní náhodná veličina - obecně
•
•
lPravděpodobnostní funkce p(x)  nabývá maximální hodnotu 0,4 pro x = 1 :     Mod(X) = 1
lMedián:   p(X £ 1) = p(X=0) + p(X =1) = 0,2+0,4 = 0,6 ³ 0,5
p(X ³ 1) = p(X=1) + p(X=2) +…+ p(X=5) = 0,4+0,25+0,1+0,03+0,01 = 0,7 ³ 1 - 0,5 = 0,5
Podle definice je medián:    Med(X) = 1
lVar (X) =  02.0,2+12.0,4+22.0,25+32.0,1+42.0,03 + 52.0,01 - 1,372 = 3,39 – 1,88 = 1,51
ls(x) = √1,51 = 1,23

Spojité modely – Stejnoměrné rozdělení
•
•
Spojitá náhodná veličina X má stejnoměrné rozdělení:
nabývá hodnot  z intervalu [a,b] stejnou pravděpodobností
Funkce hustoty:           pro x Î [a,b], jinak  f(x) = 0

Pravděpodobnost: c,dÎ[a,b],
Střední hodnota:
Rozptyl:

Příklad – stejnoměrné rozdělení –
čekání na autobus
•
•
Autobusy odjíždějí z určité zastávky během dne
pravidelně každých 15 minut. V náhodnou dobu
přijdete na zastávku.
(a) Jaká je pravděpodobnost, že budete na autobus čekat dobu mezi 5 až 10 minutami?
(b) Jaká je pravděpodobnost, že budete čekat alespoň 12 minut?
(c) Stanovte střední hodnotu a směrodatnou odchylku doby čekání.

Příklad – stejnoměrné rozdělení –
čekání na autobus
•
•
X je spojitá náhodná veličina s následující hustotou:
•
•

Příklad – stejnoměrné rozdělení –
čekání na autobus
(a)S využitím vzorce vypočítáme: P(5<X<10)= (10-5)/(15-0) = 0,33
(b) Analogicky obdržíme: P(12< X<15)= (15-12)/(15-0) = 0,2
(c)              s(X)  = Ö18,75 = 4,33
Střední čekací doba je 7,5 minut, směrodatná odchylka je 4,33 minut.

Normální rozdělení
•
•
Nejdůležitější rozdělení ve statistice!
Normální (Gaussovo) rozdělení pr-sti NV:
Způsobené kolísáním NV velkého počtu nepatrných
a vzájemně nezávislých vlivů, které se skládají (sečítají).
Příklady:
(1) výsledky různých testů (body)
(2) výsledky měření rozměrů a hmotností (mm, cm, m, g, kg, t  aj.)

Normální rozdělení
•
•
Funkce hustoty rozdělení pr-sti f(x|m,s2):
se nazývají parametry rozdělení

Gaussova křivka – funkce hustoty
•
•

Charakteristiky normálního rozdělení
•
•
Střední hodnota:  E(X) = m
Rozptyl: Var(X) = s2
Směrodatná odchylka: s(X) = s
•

Normované normální rozdělení
•
•
•Namísto NV X s normálním rozdělením s parametry m, s2 uvažujeme transformovanou NV Z takto:
•potom se funkce hustoty převede na hustotu normovaného normálního rozdělení transformaci (*)
nazýváme normalizace
•V Excelu: NORMDIST(x; Střed_hodn; Sm_odch; Součet)
   NORMINV(prst; střední; sm_odch)

Významné hodnoty normovaného normálního rozdělení N(0,1)
•
•

Příklad – normální rozdělení
•
•
Jistý  druh pomerančů má průměrnou hmotnost plodu   m  =100 g se směrodatnou odchylkou s =10 g.
(a)Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný plod bude mít hmotnost mezi 100g až 110g?
(b) Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný plod bude mít hmotnost větší než 120g?

Exponenciální rozdělení
Exponenciální rozdělení slouží jako vhodný model pro
výpočet pravděpodobnosti doby životnosti výrobků,
čekacích dob v modelech hromadné obsluhy, apod.
Příklady: (1) doba pobytu ve frontě u přepážky
(2) doba obsluhy jednoho zákazníka
•Funkce hustoty rozdělení pravděpodobnosti f(x| d):
Přitom d > 0 je parametr

Exponenciální rozdělení - charakteristiky
Střední hodnota:  E(X) = d
Rozptyl: Var(X) = d 2
Směrodatná odchylka: s(X) = d  (= E(X) !!!)
Pravděpodobnost:
•
•

Exponenciální rozdělení - příklad
•
•
Průměrná doba čekání u přepážky v bance je 5 min.
Jaká je pravděpodobnost, že zákazník bude čekat
(a) Právě 5 minut,
(b) Méně než 5 minut
(c) Více než 5 minut
(d) Více než 3 minuty a méně než 6 minut?
•
•

Exponenciální rozdělení – řešení příkladu
•
•
Průměrná doba čekání u přepážky v bance je d = 5.
(a)Právě 5 minut: P(X = 5) = 0 !!! - spojité rozdělení,
(b)
(b) Více než 5 minut:  P(X ³ 5) =

(c) Méně než 5 minut:  P(X £ 5) =
(d) Více než 3 minuty a méně než 6 minut:
P(3£ X £ 6) =
•
•

Závěr přednášky
•
•
•Děkuji Vám za pozornost !!!