1 Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1.1 Úvod Definice: Nechť je definována funkce f (x ) na množině M, x0 ∈ M . Nechť existuje limita lim h  0 f  x0 h− f  x0 h . Tuto limitu nazýváme derivací funkce f v bodě x[0] a značíme ji f '  x0  . Tuto limitu nazýváme derivací funkce f v bodě x[0] a značíme ji f '  x0  . Obr. 1: Derivace funkce f v bodě x[0] [3 s. 1] Poznámka: 1. Pokud tato limita neexistuje, říkáme, že funkce f nemá v bodě x[0] derivaci. 2. Existují-li limity zleva i zprava, definujeme derivaci zleva či zprava. 3. Z definice plyne, že derivace vyjadřuje směrnici tečny funkce f v bodě x[0]. V tab. 1 jsou uvedeny vzorce pro derivace elementárních funkcí. Tab. 1: Derivace elementárních funkcí [1 s. 95] Funkce Derivace Definiční obor y=C y ' =0 x ∈ℝ y=x^a y ' =a x^a^−^1 Obor mocninné funkce, a ∈ℝ y=e^x y ' =e^x x ∈ℝ y=a^x y ' =a^x ln a x ∈ℝ , a0 y=ln x y ' = 1 x x ∈0, ∞ y=log a x y ' = 1 x ln a x ∈0, ∞ , a0 y=sin x y ' =cos x x ∈ℝ y=cos x y=−sin x x ∈ℝ y=tg x y ' = 1 =1+ tg^2 x cos^2 x x ∉(2k +1) π, k ∈ℤ 2 y=cotg x y ' =− 1 =−(1+cotg^2 x) sin^2 x x ∉ k π, k ∈ℤ y=arcsin x y ' = 1 1−x^2 ∣x∣1 y=arccos x y ' =− 1 1− x^2 ∣x∣1 y=arctg x y ' = 1 1x^2 x ∈ℝ y=arccotg x y ' =− 1 1 x^2 x ∈ℝ y=sinh x y ' =cosh x x ∈ℝ y=cosh x y ' =sinh x x ∈ℝ y=tgh x y ' = 1 =1−tgh ^2 x cosh ^2 x x ∈ℝ y=cotgh x y ' =− 1 =1−cotgh^2 x sinh^2 x x ∈−∞ , 0∪0, ∞ 1.2 Pravidla pro derivování Nechť funkce u a v mají v bodě x ∈ M derivace f ' ( x), g ' ( x) , potom platí: Pravidla pro derivování součtu, rozdílu: uv ' =u' v' u−v ' =u' −v' Pravidlo pro derivování součinu: Pravidlo pro derivování podílu: uv ' =u' vuv '  u  ' = u' v−uv ' ∀ x ∈ M je v( x)≠0 v v2 Nechť funkce g ( x) má derivaci v bodě x[0] a funkce f ( y) má derivaci v bodě y0=g ( x0) , potom platí tzv. pravidlo pro derivaci složené funkce: f (g ( x))' = f ' ( g ( x0)) g ' ( x0) 1.2.1 Řešené příklady Vypočítáme derivace následujících funkcí: 1. y=4 x^3+ x^2−3 x Použijeme vzorce pro součet a rozdíl: y ' =3⋅4 x^2+ 2 x−3=12 x^2+2 x−3 2. y=2 x⋅sin x Použijeme vzorec pro součin: y ' =2⋅sin x+ 2 x⋅cos x 3. y= ln x x2 Použijeme vzorec pro podíl: 1⋅x^2−ln x⋅2x y ' = x = x (1−2ln x)=1−2 ln x ( x^2)^2 x4 x3 4. y=ln (3 x+ 1) Použijeme vzorec pro složenou funkci. Nejprve si musíme uvědomit, že 3 x +1 je vnitřní funkce a logaritmus je vnější funkce. Zderivujeme tedy nejprve logaritmus: y ' = 1 (3 x+ 1) Vynásobíme to derivací vnitřní funkce: y ' = 1 ⋅3= 3 3 x +1 3 x +1 5. y=cos x^2− x ( ) sin x Tento příklad už je komplexnější. Máme zde jak složenou funkci, tak podíl. y ' =−sin sin x ⋅ (sin x)^2 (x^2− x ) ( 2 x−1)sin x −(x^2−x) cos x 6. y=tg(e^x)⋅3^x Tuto funkci budeme derivovat podle vzorce součinu, takže nejprve zderivujeme y=tg(e^x) podle derivace složené funkce. Poté tuto derivaci dosadíme do součinu. y= 1 ⋅3^x⋅e ^x+ tg(e^x )⋅3^x⋅ln 3 cos^2e ^x 1.3 Lokální význam znaménka první derivace Uvedeme si základní pojmy: Každá funkce f má svůj definiční obor (Df). Definiční obor je interval všech hodnot x, pro které má daná funkce f smysl. Řekneme, že funkce f má v bodě x0 ∈ Df lokální maximum, jestliže existuje okolí bodu O bodu x[0] tak, že ∀ x ∈O je f (x )≤ f ( x0 ) . Řekneme, že funkce f má v bodě x0 ∈ Df lokální minimum, jestliže existuje okolí bodu O bodu x[0] tak, že ∀ x ∈O je f ( x )≥ f ( x0 ) . Lokální minimum a maximum se označuje jako lokální extrém. V případě ostré nerovnosti se nazývá ostrý lokální extrém. Řekneme, že funkce f má v bodě x0 ∈ Df absolutní globální minimum, jestliže ∀ x ∈ D f je f ( x )≥ f ( x0 ) . Řekneme, že funkce f má v bodě x0 ∈ Df absolutní globální maximum, jestliže ∀ x ∈ D f je f ( x )≤ f ( x0 ) . Funkce může mít extrém pouze v bodech, kde je první derivace rovna nule, nebo kde neexistuje. Nechť f ' ( x0)=0 . Je-li f ' ' ( x0 ) > 0 , má funkce v tomto bodě lokální minimum, jestliže f ' ' ( x0 ) < 0, má funkce v tomto bodě lokální maximum. Poznámka: Zderivujeme-li funkci, výsledkem je obecně opět funkce. Má-li tato nová funkce derivaci, nazveme ji obecně druhou derivací původní funkce. Nechť O= L∪P , kde L je levé okolí O bodu x[0] a P je pravé okolí O bodu x[0]. Je-li f ' ( x0) > 0 , je funkce f v x[0] rostoucí. Je-li f ' ( x0) < 0 , je funkce f v x[0] klesající. Je-li ∀ x ∈ L f ' ( x) > 0 a ∀ x ∈ P f ' ( x) < 0 , má funkce f v x[0] lokální maximum. Je-li ∀ x ∈ L f ' ( x) < 0 a ∀ x ∈ P f ' ( x) > 0 , má funkce f v x[0] lokální minimum. 1.4 Lokální význam znaménka druhé derivace Uvedeme si základní pojmy: Nechť má funkce f v bodě x[0] derivaci. Je-li f ' ' ( x ) > 0 , řekneme, že graf funkce f leží nad tečnou o rovnici y− f ' ( x0)= f ' ( x0 )( x− x0). Nechť má funkce f v bodě x[0] derivaci. Je-li f ' ' ( x ) < 0 , řekneme, že graf funkce f leží pod tečnou o rovnici y− f ' ( x0)= f ' ( x0 )( x− x0). Označme L jako levé okolí bodu x[0]. Je-li ∀ x ∈ L graf funkce nad tečnou a ∀ x ∈ P pod tečnou a má-li funkce v okolí bodu x[0] spojitou derivaci, řekneme, že funkce f má v x[0] inflexi (inflexní bod). Označme P jako pravé okolí bodu x[0]. Je-li ∀ x ∈ L graf funkce pod tečnou a ∀ x ∈ P nad tečnou a má-li funkce v okolí bodu x[0] spojitou derivaci, řekneme, že funkce f má v x[0] inflexi (inflexní bod). Označme L levé okolí bodu x[0]. Nechť má funkce f v okolí bodu x[0] spojitou derivaci. Je-li ∀ x ∈ L∪P graf funkce nad tečnou, nazývá se funkce konvexní v okolí bodu x[0]. Označme P pravé okolí bodu x[0]. Nechť má funkce f v okolí bodu x[0] spojitou derivaci. Je-li ∀ x ∈ L∪P graf funkce pod tečnou, nazývá se funkce konkávní v okolí bodu x[0]. Nechť má funkce f spojitou derivaci v okolí O bodu x[0]. Je-li ∀ x ∈O f ' ' ( x0 ) > 0, je funkce f v x[0] konvexní. Nechť má funkce f spojitou derivaci v okolí O bodu x[0]. Je-li ∀ x ∈O f ' ' ( x0 ) < 0, je funkce f v x[0] konkávní. Nechť O= L∪P : Je-li ∀ x ∈ L f ' ' (x ) > 0 a ∀ x ∈ P f ' ' ( x ) < 0, má funkce f v bodě x[0] inflexi. Je-li ∀ x ∈ L f ' ' (x ) < 0 a ∀ x ∈ P f ' ' ( x ) > 0, má funkce f v bodě x[0] inflexi. Funkce může mít inflexi pouze v bodech, kde je druhá derivace rovna nule, nebo kde neexistuje. 1.4.1 Řešené příklady Nalezneme intervaly, ve kterých funkce klesá, roste, je konkávní nebo konvexní. Dále také určíme inflexní body a lokální extrémy funkce. 1. y= 1 x^2−1 Nejprve určíme definiční obor: D ( f )=ℝ∖ {±1} Funkci budeme derivovat: y ' = −2 x (x^2−1)^2 Nyní zjistíme, pro které hodnoty bude tato funkce rovna nule, případně, kdy nebude definována. Tím zjistíme monotonii funkce. Extrémy mohou být v bodech: x=0( y ' =0) , x=±1( y ' neexistuje) . Pro přehlednost si tyto body a intervaly zapíšeme do tabulky: Tab. 2: Monotonie funkce a lokální extrémy (−∞ ,−1) −1 (−1,0) 0 (0, 1) 1 (1,∞) y ' + + - - y roste není def. roste lokální max. klesá není def. klesá Libovolné číslo z intervalu dosadíme do zderivované funkce a zjistíme, zda je výsledek kladný, tudíž funkce roste, nebo jestli je záporný a funkce klesá. = Funkci opět zderivujeme, abychom zjistili, kdy je konkávní a kdy konvexní, případně zda existují inflexní body: y ' = −2( x^2−1)^2+2 x (2(x^2−1))2 x ( x^2−1)^4 2(3 x^2+1) (x^2−1)^3 Inflexní body mohou být v bodech x=0 , x=±1 . Zapíšeme si vše do tabulky: Tab. 3: Konvexnost, konkávnost, inflexní body (−∞ ,−1) −1 (−1, 0) 0 y ' + - y konvexní není def. konkávní není inflexní bod (0, 1) 1 (1,∞) y ' - + y konkávní Není def. konvexní Stejný postup jako u první derivace: Vybereme si libovolné číslo z intervalu, dosadíme do druhé derivace a zjistíme, kdy je funkce kladná (konvexní) a kdy záporná (konkávní). Z tabulky je zřejmé, že inflexní bod tato funkce nemá. 2 Ekonomické aplikace derivace 2.1 Úvod Ekonomie se podle tradiční definice zabývá zkoumáním alokace vzácných zdrojů mezi různá alternativní užití tak, aby byly uspokojeny lidské potřeby [8 s. 17]. Hlavní tři subjekty tvoří jednotlivec, firma, stát. Jednotlivec určuje kdy, kde a kolik si čeho koupí, firma, co se bude vyrábět, za jakou cenu a v jakém množství, a stát vytváří právní normy, v jejichž rámci ekonomická činnost probíhá. Z činností těchto subjektů vznikají termíny spotřeba, výroba, směna. Spotřeba je hlavním impulsem pro existenci a rozvoj výroby a směna představuje výměnu (například rohlík za peníze). Základem zkoumání mikroekonomie je zejména zjišťování optima a hledání rovnováhy. K jejich určování nám pomáhají tzv. ekonomické modely, které znázorňují vztahy mezi vybranými proměnnými. V těchto modelech se velmi často setkáváme s derivací, která vyjadřuje, jak se změna jedné proměnné projeví ve změně jiné proměnné. Při řešení problémů optimalizace využíváme lokálních extrémů a nulových bodů derivace potřebné funkce. V případě analýzy tržní rovnováhy využíváme analýzu nabídky a poptávky. Tvary ekonomických funkcí vycházejí z praxe nějakým dlouhodobým výzkumem, nebo měřením. Při řešení ekonomických úloh se budeme zabývat následujícími funkcemi v tabulce: Tab. 4: Ekonomické funkce Označení Popis TC(Q) …celkové náklady potřebné na produkci Q jednotek daného produktu MC(Q) = (TC)'(Q) ...mezní náklady definované jako derivace celkových nákladů podle proměnné Q AC(Q) ...průměrné náklady výrobku potřebné na produkci jednoho TR(Q) ...celkový příjem daný prodejem Q jednotek daného produktu MR(Q) = (TR)'(Q) ...mezní příjem definovaný jako derivace celkového příjmu podle proměnné Q П(Q) ...celkový zisk daný produktu П(Q) = TR(Q) - TC(Q) prodejem Q jednotek daného TU(Q) ...užitková funkce daná spotřebou Q jednotek daného statku MU(Q) ...uvažujeme-li spotřebu pouze jednoho druhu statku, je funkce mezního užitku první derivací celkového užitku D(p) ...poptávková funkce (vyjadřuje množství zboží, které spotřebitel zamýšlí koupit při dané ceně) D'(p) …mezní poptávka (derivace funkce D podle proměnné p) δ(Q) …cenová funkce (inverzní funkce k funkci D(p)) 2.2 Mezní náklady Mezní náklady jsou definovány jako změna celkových nákladů firmy vyvolané změnou objemu výstupu o jednotku. Lze je vyjádřit jako derivaci celkových nákladů podle proměnné Q : MC (Q )=(TC )' (Q ) Příklad: Znáte-li funkci celkových nákladů TC (Q )=1000+5 Q^2 , zjistěte, jak velké budou mezní náklady při výrobě 50 jednotek. Řešení: TC (Q )=1000+5 Q^2 Pro Q = 50 stanovme funkci mezních nákladu MC(Q): MC Q =TC ' Q  MC (Q )=(1000+5 Q^2)' MC (Q )=10 Q Dosadíme Q = 50 dle zadání: MC (Q)=500 Mezní náklady jsou 500 jednotek. 2.3 Mezní příjem Mezní příjem je definován jako změna celkového přijmu firmy, která je důsledkem změny produkce o jednotku (Q). Lze je vyjádřit jako derivaci celkových příjmů podle proměnné Q : MR(Q )=(TR)' (Q ) Příklad: Znáte-li funkci celkových příjmů TR(Q )=4Q^2−3Q , zjistěte, jak velký bude mezní příjem při výrobě 50 jednotek. Řešení: MR(Q )=(TR)' (Q ) MR(Q )=(4Q^2−3Q)' MR(Q)=8Q−3 Dosadíme Q = 50 dle zadání: MR(Q )=8⋅50−3=397 Mezní příjem je 397 jednotek. 2.4 Cenová elasticita poptávky Cenová elasticita poptávky je jedna z důležitých vlastností poptávky. Vyjadřuje citlivost poptávky na ceně, umožní rozlišit situace, kdy zvýšení ceny zvýší tržby a kdy sníží tržby. Pro výpočet použijeme jednoduché vzorce derivace. Zavedený ekonomický postup: Koeficient cenové elasticity poptávky lze také vypočítat jako podíl procentní změny poptávaného množství a procentní změny ceny: ∆ D p D E  p = − D  p  ∆ p p Vzorec pro případ spojité funkce: E  p = − dD  p ⋅ p ^D dp D  p Příklad: Je dán vzorec pro poptávku zboží D  p = 250 10p40 a pro mezní poptávku D'(p). Jak vypočítáme elasticitu poptávky? Řešení: D '  p  = − 250⋅10 10p40^2 Elasticita poptávky: E ( p) = 250⋅10 ⋅ p D Pro p = 5 (10p+ 40)^2 250 (10p+40) ED (5) = 0,56 Elasticita poptávky je rovna hodnotě 0,56. 2.5 Maximální zisk firmy Zisková funkce je rozdíl mezi celkovými příjmy a celkovými náklady. Maximální zisk firmy Pro výpočet maximálního zisku budeme využívat význam první derivace pro průběh funkce. Určíme si, na kterém intervalu je funkce rostoucí a na kterém klesající, a nalezneme maximum. Příklad: Spočítejme, kdy bude mít firma maximální zisk, pokud její měsíční tržby TR(Q) a měsíční výdaje TC(Q) jsou dány rovnostmi: TRQ =−Q^3−105 Q^23600Q TC Q =−120Q ^21000 Řešení: П Q =TRQ −TC Q  П Q =−Q ^3−105Q ^23600 Q 120 Q^2−1000 П Q =−Q ^315Q ^23600 Q −1000 П ' (Q )=−3 Q^2+30 Q +3600 П ' Q =−3Q −40Q 30 Nalezneme nulové body: Q=40, Q=−30 Poznámka: Záporné hodnoty nemají smysl. Rozdělíme funkci na dva intervaly: (-∞, 40〉 〈40, ∞) Zjistíme, kdy funkce roste a kdy klesá. Dosadíme libovolné číslo z intervalu do rovnice první derivace. Pro první interval použijeme číslo 0 : П ' Q =−30−40  030=3600 Výsledek je kladný, na tomto intervalu funkce roste. Pro druhý interval použijeme číslo 100 : П Q =−3 100−4010030=−23400 Výsledek je záporný, na tomto intervalu funkce klesá. Maximální zisk bude pro Q = 40. Příklad 2: Jaká je optimální rychlost vozidla, jestliže chceme co nejvíce ušetřit pohonné hmoty. Jestliže závislost spotřeby na rychlosti je dána funkcí F ( x)=0,01 x−0,0003 x^2 . Poznámka: Záporné hodnoty nemají smysl. Řešení: F ' ( x)=0,01−0,0003⋅2x Nalezneme nulové body: 0,01−0,0006 x=0 0,0006 x=0,01 x= 0,01 0,0006 x=16,7 Optimální rychlost vozidla je 16,7 kilometrů za hodinu. 2.6 Makroekonomie Makroekonomické modely pracují s veličinami [11 s. 25]: a) důchod a produkce Y b) spotřeba C a úspory S c) investice Je-li C = C(Y) spotřební funkce, pak dC =C ' (Y ) vyjadřuje tzv. mezní sklon ke dY spotřebě. Protože Y = C + S, platí S = Y – C (Y). Derivace dS =1−dC ( y) se dY dY nazývá mezním sklonem k úsporám. V makroekonomii existuje podmínka makroekonomické rovnováhy Y = C + I. Odtud: Y −C (Y )=I , protože potřeba je závislá na důchodu. Derivace vztahu Y −C (Y )=I podle I vyjadřuje změnu v rovnovážné úrovni důchodu v závislosti na změně hodnoty investice I: dY − dC ⋅dY =1 dI dY dI dC dY = 1 . Pro dY ≠1 je dI 1− dC dY Pro rostoucí funkce důchodu C, S je C ' ( Y )=c > 0, S ' (Y )=s > 0. Je-li C=c0 +cY spotřební funkce, kde c je mezní sklon ke spotřebě, pak pro c≠1 je dY = 1 . dI 1−c Pro C=c[0]+ c[1] Y +c[2] Y ^2 , kde c1 > 0, c2 > 0, je mezní sklon ke spotřebě vyjádřen vztahem c (Y )=C ' (Y )=c1 + 2 c2 Y. Pak platí: Pro dC ≠1 dostaneme z rovnice dY (1− dC )=1 vztah dY dI dY dY = 1 = 1 . − dI 1 dC dY 1−c1−2c2 Y Ekonomické modely jsou často tvořeny na základě dlouhodobých pozorování a výzkumů. Při dlouhodobém růstu je důchod považován za veličinu závislou na čase Y =Y (t ) . Poměr r (t )= Y ' (t ) Y (t ) se nazývá tempem růstu důchodu v čase t . 0 Nechť Y (t )=Y e^α^t , α = konst. Pak Y ' (t )=Y 0 αe^α^t , Y ' (t ) , r (t )=α. Y (t ) Tato situace vyjadřuje stacionární růst důchodu. Existují ekonomické modely, které předpokládají, že důchod Y a zaměstnanost L je ve vztahu Y =AL^β , kde A a β jsou konstanty. Pak je produktivita práce definována jako podíl Y L a mezní produktivita jako derivace Y ' (t )= dY = AβLβ−1 . dL Příklad: Jaké je tempo růstu důchodu r(t) pro t =50 , jestliže je důchod dán funkcí Y ( t )=t ^3−2 t +50 ? Řešení: r (t )= Y ' (t ) Y (t ) 3 t ^2−2 r (t )= t ^3−2 t +50 Dosadíme za t: 3⋅50^2−2 r (t )= 50^3−2⋅50+50 r (t )=3 Tempo růstu důchodu je rovno 3. 2.7 Procvičování 1) Celkové náklady na výrobu Q jednotek jsou dány funkcí TC (Q )=23 Q ^2+ ln(Q +15) . Stanovte funkci mezních nákladů MC(Q). Vyřešte pro Q = 9. 2) Celkový příjem daný prodejem Q jednotek daného produktu je definován vzorcem TR (Q)=√350 Q +Q^3 . Určete mezní příjem MR(Q). Vyřešte pro Q = 4. 3) Celkový užitek daný spotřebou Q jednotek daného statku je definován vzorce √ TU (Q )= 6Q 8 Q+10 . Určete mezní užitek MU(Q) pro Q = 3. (Platí pouze v případě pouze jednoho druhu statku). 4) Celkový poptávka je dána funkcí D  p= 100 2p14 . Určete elasticitu poptávky pro p = 5. 5) Celkový zisk daný prodejem Q jednotek daného produktu je definován vzorcem П (Q )=(−Q )^2+ 3Q −7 . Spočítejte, kdy bude mít firma maximální zisk. Výsledky: 1) MC=414 2) MR=48 3) MU =0,364 4) E 1 = ^D 1200 5) Q= 3