Statistické zpracování dat
11.přednáška
Mgr. Radmila Krkošková, Ph.D.

•
•Analýza časových řad (3)
•
Téma přednášky:
2

Obsah přednášky
3
•Analýza sezónní složky
-Modely konstantní sezónnosti
•Analýza náhodné složky
•Prognózování v ČR

Model konstantní sezónnosti
4
•   se schodovitým trendem
•   s lineárním trendem
•   s použitím vícenásobné regrese

Model konstantní sezónnosti se schodovitým trendem
5
t=1,2,…,r – období (rok) – „roční schody“
j=1,2,…,s – sezóna (měsíc) – „měsíční fluktuace“
-konstanta pro sezónu j v letech t = 1,2,...,n
-platí:
Model:

Odhad regresních koeficientů
6
•Koeficient  At : „schodovitý” trend
•
•Koeficient Cj : sezónní koeficienty
•
•
•Platí:

Model konstantní sezónnosti s lineárním trendem
7
t=1,2,…,r – období (rok)
j=1,2,…,s – sezóna (měsíc)
Odhad konstanty Cj pro sezónu j v letech t = 1,2,...,r
Model:

Model konstantní sezónnosti - predikce
8


Multiplikativní model konstantní sezónnosti s lineárním trendem
9
kde
je trendová f-ce
n j = 1,2,...,s - počet sezón v jednom období (roku)
n t = 1,2,...,r - počet období (roků)
n odhad koeficientů a, b, c  pomocí MNČ

Model proporcionální sezónnosti s trendem
10
Aplikací MNČ obdržíme:
- sezónní index
Model:

Analýza náhodné složky
11
• yt = Tt + Pt  + ut  t = 1,2,…- teoretický aditivní model ČŘ
 ut    - náhodná složka ČŘ
•Yt = Tt´ + Pt´  + et   t = 1,2,…,n - konkrétní model ČŘ
 et =Yt - Tt´ - Pt´ ,  t = 1,2,…,n  - reziduum
Zdrojem náhodné složky jsou obvykle nepodchycené, drobné, vzájemně nezávislé náhodné vlivy

Vlastnosti náhodné složky (reziduí)
12
  1. Náhodné složky  ut  v modelu ČŘ mají:
•a) střední hodnotu = 0 , tj. E(ut ) = 0
•b) normální rozdělení
•c) konstatntní rozptyl s2 (neznámý)
tzv. homoskedasticita vers. heteroskedasticita)
•
2.  Náhodné složky jsou nekorelované, tj.
Cov(ut , ut´) = 0 pro každé t ¹ t´, t,t´ = 1,2,...,n
•

Testování vlastností náhodné složky
13
•Ad 1 a) Znaménkový test nulovosti střední hodnoty, parametrický z-test
•Ad 1 b) Test normality (např. Chi-kvadrát)
•Ad 1 c) Test heteroskedasticity (HS: G-Q -test, Bartletův test)

Testování vlastností náhodné složky
14
•Ad 2 a) Test nulovosti autokorelace
•Ad 2 b) Durbin-Watsonův test autokorelace

Znaménkový test
15
   Při tomto testu vyčíslíme počet případů, kdy rozdíl
   sousedních reziduí je kladný, jejich počet označíme S.
   pro střední hodnotu S  platí (H0):
Testové kritérium:
 Pro n >12 (přibližně) normované normální rozdělení
T >|K| pak H0 zamítáme, přitom K = u!-α{2

Znaménkový test - příklad
16
Ho:
S = 11, n = 24
Obor přijetí Ho: (-1,96;  1,96)

Testy H-S
17
1. Parkův test H-S:
Vychází z přidružené regresní rovnice:
(*)
•Rezidua se stanoví z řešení regresního modelu:
•Poté se řeší regresní model (*)
•Pokud je odhad koeficientu A1 statisticky nevýznamný, tj. nulový, hypotézu o existenci H-S
zamítáme

Testy H-S
18
2. Bartletův test H-S:
Vychází z rozdělení dat podle velikosti proměnné X do
dvou částí (vzorků): Xi ≤ D a Xi > D.
Testuje  se hypotéza o rovnosti rozptylů v obou
vzorcích (Excel, Analýza dat).
Pokud se hypotéza o rovnosti rozptylu zamítá, potom
se hypotéza o H-S přijímá (a obráceně).

Příklad
19
Čas
VaV
Zisk
1
62,5
185,1
2
92,9
1569,5
3
178,3
276,8
4
258,4
2828,1
5
494,7
225,9
6
1083,0
3751,9
7
1620,6
2884,1
8
421,7
4645,7
9
509,2
5036,4
10
6620,1
13869,9
11
3918,6
4487,8
12
1595,3
10278,9
13
6107,5
8787,3
14
4454,1
16438,8
15
3163,8
9761,4
16
13210,7
19774,5
17
1703,8
22626,6
18
9528,2
18415,4
Trendové funkce:
       VaVt = b0 + b1t
 Ziskt = c0 + c1t + c2t2

Příklad – grafické znázornění
20


Příklad: Testy H-S
21
1.Parkův test:
hypotézu H-S zamítáme na hladině 5%
2. Bartlettův test:
hypotézu H-S nezamítáme na hladině 5%

Test nulovosti autokorelací reziduí
22
•Autokorelační funkce rk:    rk = Cor(et ,et-k)
     Má platit:        rk = 0 pro k ¹ 0
•Odhady autokorelační funkce rk:
•
Test H0: rk = 0
Testové kritérium:
Obor přijetí: A = (-u1-a/2 , u1-a/2)
Má platit: TkÎA pro k > 0

Korelace dvou časových řad
23
2 ČŘ:    X :   x1, x2, x3, x4,…, xn       Y :   y1, y2, y3, y4,…, yn
- kovariance
- korelace (normovaná cxy)
      číslo z intervalu [-1; 1]
»  1: shodný vývoj hodnot časových řad
 »  -1: opačný vývoj hodnot časových řad

Autokorelace časové řady
24
ČŘ:    X :   x1, x2, x3, x4,…, xn-k       Y : xk, xk+1, xk+2,…, xn
 - vzájemný posun o k časových jednotek (k = 1,2,…)
-autokorelace k-tého řádu- ACF
-číslo z intervalu [-1; 1]
»  1: k-té sousední hodnoty jsou si blízké
 »  -1: k-té sousední hodnoty jsou si opačné
 »  0: k-té sousední hodnoty jsou nezávislé

Příklad: test nulovosti autokorelací reziduí
25
   et      et-1  et-2         et-3         et-4        et-5        et-6
Autokorelační funkce rk:  rk = Cor(et ,et-k)
Má platit (Ho): rk = 0 pro k ¹ 0
Odhady ACF rk a výpočet Tk:
Obor přijetí Ho: (-1,96;1,96)
Þ Ho přijímáme !

Prognózování v časových řadách
26
Zkonstruovat prognózu znamená provést v časovém
okamžiku t (obvykle současný okamžik)  odhad y
neznámé veličiny časové řady v čase t + h,
kde h je zadaný horizont prognózy (předpovědi,
extrapolace,…).

Tvorba bodové prognózy
27
 Model:
y(t) = T(t) + S(t) + u(t)
Prognóza na h časových jednotek:
y(t+h) = T(t+h) + S(t+h)
•T - analytická trendová funkce
•S - sezónní funkce (podle typu modelu)
•u(t+h) = 0 - náhodná složka E(u) = 0 (bílý šum !!!)

Prognózování pomocí lineární regresní funkce
28
Bodový odhad předpovědi Yth získáme dosazením časového horizontu th:
Yth =  b0 + b1th
Intervalový odhad předpovědi:
[Yth – t1-a/2(n-2)          ,Yth + t1-a/2(n-2)            ]
kde
sR – směrodatná chyba odhadu, n – počet dat

Aditivní model konstantní sezónnosti
29


Příklad – konstantní sezónnost s lineárním trendem
30


Intervalové prognózy
31


Závěr přednášky
32
Děkuji Vám za pozornost!!!
•