Statistické zpracování dat
4.přednáška
Mgr. Radmila Krkošková, Ph.D.

•
•Jednoduchá regresní
•analýza
•
Téma přednášky:
2

•Co je regresní analýza (RA - jednoduchá, vícenásobná, lineární, nelineární)
•
•Rozdíl mezi RA a ANOVA
•
•Co je podstatou jednoduché lineární RA (bodový diagram, regresní přímka, regresní koeficienty,
přiléhavost - koeficient determinace, testy hypotéz)
•
Obsah přednášky
3

•Co je podstatou jednoduché nelineární RA (základní typy nelinearity, Törnquistovy křivky)
•
•Kdy RA nemá smysl?
•
•Aplikace na příkladech z ekonomické oblasti (marketingový výzkum, průměrné fixní náklady,
Phillipsaova křivka aj.)
•
Obsah přednášky
4

•Problém závislosti 2 znaků řeší
• jednoduchá regresní analýza  (lineární a nelineární)
•Příklad: Závislost zisku z prodeje výrobku na výdajích za reklamu
•Východiskem je vždy grafické znázornění
•Mírami závislosti jsou regresní koeficienty, resp. koeficienty determinace (a korelace)
•Někdy je výhodné využít z kvantitativních dat pouze ordinální informaci (tj. uspořádání)  a
aplikovat ANOVA
•Míry asociace mezi více znaky řeší vícenásobné regresní a korelační metody
•
Závislosti mezi kvantitativními statistickými znaky
5

•
•
Příklad – výdaje na reklamu
6
ANOVA
JRA

•
•
Příklad – grafické znázornění
7

•Východiskem je vždy grafické znázornění
•Uspořádání bodů má tvar přímky, viz (B) nebo (C):
• regresní přímka:
• kritérium   prediktor
• regresní koeficienty: posunutí   směrnice
•
• náhodná složka
• regresní model:
•
•Cíl: nalezení nejlepších odhadů regresních koeficientů
•
•
Jednoduchá (jednorozměrná) lineární RA
8

9
Bodový diagram  (Scatter diagram)


•(K. F. Gauss, 1777 – 1855)
•Data – body: (x1,y1), (x2,y2),…,(xn,yn)
•Odhady regresních koeficientů B0, B1:
Metoda nejmenších čtverců
10

•Interpretace regresních koeficientů:
•
•b0 - úroveň kritéria y při nulové úrovni prediktoru x
•
•b1 - přírůstek kritéria y při jednotkovém přírůstku prediktoru x
•
Metoda nejmenších čtverců
11

Regresní přímka
12


•
•
•
Přiléhavost dat k regresní křivce
13

•
•
•
•
Přiléhavost dat k regresní přímce
14

• Teoretický součet čtverců:
•
• Yi - teoretické hodnoty („na regresní přímce“)
•
•Reziduální součet čtverců:
•
•Celkový součet čtverců:
•
•Platí vztah:        Sy =  ST + SR
•
•
•
•
Přiléhavost regresní přímky k datům
15

•Koeficient determinace –
•míra přiléhavosti dat k regresní křivce:
•
•
•
•Platí:   0 ≤ R2 ≤ 1
•Pozor! R2 má platnost pro libovolný typ regresní funkce!
•
•
•
•
Přiléhavost regresní přímky k datům
16

•
•
•
Extrémní hodnoty koeficientu determinace R2
17
R2 = 0,00001
R2 = 1

•
•
Jak jsou „výstižné“ regresní modely?
18
A)
B)
Statisticky nevýznamný
Statisticky významný

• Předpoklady:
•
1.Vysvětlující proměnná X je nestochastická – vyplývá z povahy problému
2.
2.Střední hodnota náhodné chyby ε je 0, tj.
• E(ε) = 0 – pro MNČ vždy splněno!
•
•3. Rozptyl náhodné chyby ε je konstantní, tj.
• Var(ε) = σ2  - test, např. Chi-kvadrát (Homoskedasticta)
Klasický jednoduchý lineární regresní model
19

• Předpoklady:
•
4.Náhodné chyby ε jsou nekorelované, tj. Autokorelace = 0, tj. Cov(εi, εj) = 0 pro i¹j – test
nulovosti korelačního koeficientu
5.
5.Náhodná chyba má normální rozdělení,
• tj. ε ~N(0, σ2) – test normality
Klasický jednoduchý lineární regresní model
20

Testy hypotéz
21
1.Testuje se hypotéza H0: regresní koeficient = 0 -  t-test
(A) H0: B0 = 0, (B) H0: B1 = 0
2.Test současné nulovosti obou regresních koeficientů  - F-test
          (v Excelu tzv. ANOVA)
3. Testuje se hypotéza H0: koeficient determinace = 0  -  t-test
 H0: R2 = 0, j = 0,1
4.       Intervaly spolehlivosti regresních koeficientů

Testy hypotéz – 1.TEST
22
1.Testuje se hypotéza H0: regresní koeficient = 0
(A) H0: B0 = 0, (B) H0: B1 = 0
Testové kritérium:
Kritický obor:

Testy hypotéz – 3.TEST
23
3.Testuje se hypotéza H0: koeficient determinace = 0
4.
         H0: R2 = 0, j = 0,1
Testové kritérium:
Kritický obor:

Příklad 1 – STUDIE – regresní rovnice
24
Existuje (lineární) závislost počtu vypitých limonád
(za týden) na věku?
Kriterium   y - počet limonád / týden
Prediktor   x - věk respondenta
Regresní rovnice:

Příklad 1 – STUDIE – testování hypotéz
25
Hypotézy o statistické významnosti regresních koeficientů Bj a R2:
H0: koeficient = 0
b0 = 4,40  (p-hodnota = 0,48 > 0,05 Þ H0 nezamítáme)
b1 = 0,37 (p-hodnota = 0,16 Þ H0 nezamítáme)
Koeficient determinace (přiléhavost): R2 = 0,179
 (p-hodnota = 0,12 Þ H0 nezamítáme)
Závěr: Regresní model není statisticky významný!
Jinak řečeno: Neexistuje lineární závislost počtu vypitých limonád na věku!

Grafické znázornění
26


Příklad 2 – výdaje na reklamu
27
Existuje (lineární) závislost zisku z prodeje výrobku na výdajích za reklamu?

Příklad 2 - řešení
28
Kritérium
y - zisk z prodeje daného výrobku (v mil. Kč/rok)
Prediktor
x - výdaje na reklamu (v mil. Kč/rok)
Regresní rovnice:

Příklad 2 - řešení
29
Hypotézy o statistické významnosti regresních koeficientů a R2:
b0 = - 24,878 (p-hodnota = 0,27 Þ H0 nezamítáme)
b1 = 17,316 (p-hodnota = 0,0000008 Þ H0 zamítáme)
Koeficient determinace (přiléhavost): R2 = 0,958
 (p-hodnota = 0,00005 Þ H0 zamítáme)
Závěr: Existuje silná lineární závislost!

•
Příklad 2 – grafické znázornění
30

• Data ® Analýza dat ® Regrese…
•
Příklad 2 – řešení v EXCELU
31

•Děkuji Vám za pozornost!!!
•
Závěr přednášky
32