Finanční pojistná matematika určeno studentům KOMB studia FIU/BPFPM Finanční a pojistná matematika Ing. Roman Hlawiczka, Ph.D. Katedra financí a účetnictví •Finanční matematika je matematika aplikovaná ve finanční sféře. • •Pojistná matematika je matematika aplikovaná v pojišťovací činnosti. • • Předmět finanční a pojistné matematiky Základní pojmy finanční a pojistné matematiky •Při matematických operacích v této oblasti je nutné si uvědomit: –Řešíme příjem nebo výdej? –Kdy dochází k platbě položky? –Od kdy se počítá čas? – •Jaká je doba splatnosti? •Jaká je výše každé platby? • • Předmět finanční a pojistné matematiky Základní pojmy finanční a pojistné matematiky • •Co jsou to peníze? •Jaké jsou jejich základní funkce? •Jaké formy peněz znáte? •Diskutujte podstatu peněz ve vztahu k finanční a pojistné matematice Peníze Základní pojmy finanční a pojistné matematiky •Vztahy, které vyjadřují vzájemné platební závazky subjektů •Finanční vztahy mezi více subjekty lze dekomponovat na více finančních vztahů mezi dvěma subjekty: –Věřitel = osoba/instituce, které finanční částka patří –Dlužník = osoba/instituce, která peněžitou částku užívá – –Zvláštním případem tohoto partnerství je smluvní poměr mezi vkladatelem a peněžním ústavem, totéž platí v případě pojištění •Vkladatel je věřitel a peněžní ústav je dlužník •Pojištěný je věřitel a pojišťovna je dlužník • •Pozn.: Finanční vztahy mezi subjekty bývají většinou smluvní, tj. dobrovolné. Existují však také vztahy nucené, v nichž smlouva je nahrazena „donucením“ ze strany zákona. Ve všech úlohách finanční matematiky jde vždy o smluvní platební závazky mezi dvěma stranami. • • Finanční vztahy Základní pojmy finanční a pojistné matematiky • •Finanční operace = takové operace, které se používají při určování změn finančních vztahů v průběhu času. • •Například: –Emisní činnost –Směnárenská činnost –Úvěrová činnost –Spořitelní činnost –Pojišťovací činnost • • Finanční operace Základní pojmy finanční a pojistné matematiky •Kapitál = užívaná peněžitá částka (jistina) •Pokud hovoříme o větším počtu pravidelně uhrazovaných peněžitých částek, jedná se o důchod, popř. anuitu. • •Úroková doba/doba splatnosti = doba, po kterou je peněžní částka uložena nebo zapůjčena, tedy za kterou se počítá úrok (doba existence smluvního vztahu) • •Úrokovací období = doba, za kterou se úrok pravidelně připisuje –Roční - p.a. –Pololetní - p.s. –Čtvrtletní – p.q. –Měsíční – p.m. Základní pojmy související s úrokem Základní pojmy finanční a pojistné matematiky •Úročení = způsob započítávání úroků k zapůjčenému kapitálu • •Úroková míra = úrok vyjádřený relativně (v procentech), tj. jako část z hodnoty kapitálu • •Úrokové sazby jsou měřítkem ceny peněz. Určují, jakou část jistiny musí dlužník za stanovenou dobu zaplatit věřiteli za půjčku. Firmy porovnávají úrokové sazby na finančním trhu s výnosností svých projektů. Pokud vynášejí více než nabízené úrokové sazby, pustí se do investice. • •Míra zisku = míra výnosnosti, výnosnost, výnosové procento apod. •Úroková míra realizovaná v rámci investování (z matematického hlediska jde o ekvivalenty) • Základní pojmy související s úrokem Základní pojmy finanční a pojistné matematiky •Úroková míra = podíl úroku k zapůjčené částce; obvykle vyjadřována v procentech na roční bázi (p.a.). •Úroková sazba = úroková míra v jednotlivých konkrétních transakcích • •Změny úrokových sazeb se vyjadřují v procentních respektive základních (bazických) bodech!!! – –Pokud se úroková sazba zvýší z 3 % p.a. na 5 % p.a., jedná se o nárůst o dva procentní body (nikoliv o dvě procenta). –Jeden základní bod dále odpovídá 0,01 % neboli 0,0001. –Dojde-li například k poklesu úrokové sazby ze 4 % p.a. na 3,25 % p.a., říkáme, že došlo k poklesu o 75 základních (bazických) bodů. • • Úroková míra vs. Úroková sazba Základní pojmy finanční a pojistné matematiky • • • • •??? Jaké faktory ovlivňují výši úrokové míry??? • • Základní pojmy finanční a pojistné matematiky • •Diskontní sazba •Mezibankovní úrokové sazby •Strategie banky •Riziko půjčky •Doba půjčky •Nejnižší úroková míra na trhu •Výše zapůjčeného kapitálu •Daňová politika státu •…. • • Faktory ovlivňující úrokovou míru Základní pojmy finanční a pojistné matematiky • •Nominální úroková míra •Reálná úroková míra •Efektivní úroková míra •Zvažovaná úroková míra, požadovaná výnosností •Vnitřní výnosové procento • • Základní druhy úrokových měr Základní pojmy finanční a pojistné matematiky •Úrokovací období = doba, za kterou se pravidelně připisují úroky •Úrokovací období –p.a. (per annum) => roční –p.s. (per semestre) => pololetní –p.q. (per quartale) => čtvrtletní –p.m. (per mensem) => měsíční •úrokovací období ve dnech je možné vyjádřit dvěma způsoby –skutečný počet dnů období –celé měsíce jako 30 dnů •délka roku ve dnech může být také vyjádřena dvojím způsobem –rok jako 365 (resp. 366) dnů –rok jako 360 dnů • • Úrokovací období Základní pojmy finanční a pojistné matematiky • • Nominální X reálná úroková míra Základní pojmy finanční a pojistné matematiky • • • • •??? Co znamená, že peníze mají časovou hodnotu??? • Základní pojmy finanční a pojistné matematiky •Finanční prostředky mají časovou hodnotu: „koruna dnes má větší hodnotu jako koruna zítra“ Þ ÞVe finanční matematice všechny částky a závazky vztáhneme k jedinému časovému bodu!!! Þ • •Referenční datum (local date) –Každou finanční částku „lze posunout vpřed“ na časové ose pomocí úročení, nebo „posunout vzad“ pomocí diskontování. • • Časová hodnota peněz Základní pojmy finanční a pojistné matematiky •Typy dle způsobu připočítání úroků: •Jednoduché –jestliže se vyplácené úroky nepřipočítají k původnímu kapitálu a tudíž se ani tyto úroky neúročí, úročí se stále jen základní jistina –Používá se zpravidla při uložení kapitálu kratší než jedno úrokovací období! •Složené –jestliže se vyplácené úroky připočítají k původnímu kapitálu a znovu se úročí původní kapitál navýšený o připsaný úrok –při složeném úročení se počítá i úrok z úroku!!! –Používá se zpravidla při uložení kapitálu na dobu delší než jedno úrokovací období! • •Typy dle okamžiku připočítání úroků: •Polhůtní (dekurzivní) - úroky se vyplácí (připisují na účet) na konci úrokovacího období •Předlhůtní (anticipativní) - úroky se vyplácí (připisují na účet) na začátku úrokovacího období • • Typy úročení Základní pojmy finanční a pojistné matematiky Úročení Podle způsobu započítávání úroků rozlišujeme dva základní způsoby úročení: jednoduché a složené. Při jednoduchém úročení se úroky nepřidávají k původnímu kapitálu a dále se již neúročí - takže výpočet úroků se odvíjí vždy od stejného základu. Tento způsob úročení se nejčastěji používá při krátkodobých záležitostech (jedno období - měsíc, kvartál, rok). Jednoduché úročení polhůtní •Jaké jsou úrokové náklady úvěru ve výši 180.000 Kč jednorázově splatného za 4 měsíce včetně úroku, je-li úroková sazba 20 % p.a. ? • •Za jednotlivé veličiny příslušného vzorce dosadíme: K=180.000, p=14, i=20/100=0.20, t=120, n=4 * 30 / 360 = 1/3. • • Řešený příklad – jednoduché úročení polhůtní Jednoduché úročení • • Jednoduché úročení předlhůtní Jednoduché úročení Rovnice pro jednoduché polhůtní úročení Vedle případů, kdy počítáme výši úroků za určité období, jsou časté případy, kdy zjišťujeme výši zúročeného kapitálu po určitém období. Zúročený kapitál sestává s původní částky zvýšené o úrok.. Vztah počátečního kapitálu a zúročeného kapitálu je tedy dán vztahem: Příklad Jaká je výše pohledávky za dané období Jaká je výše pohledávky o velikosti 150.000 Kč za 6 měsíců, při úrokové sazbě 15 % p. a.? Diskont Diskont představuje odměnu ode dne výplaty do dne splatnosti pohledávky. Počítá se dle vzorce pro jednoduché úročení ze jmenovité hodnoty základu za pomoci příslušné diskontní sazby. Cena krátkodobé půjčky (vkladu, úvěru) je založena nikoli na základu, ale na koncové splatné částce. V tomto případě se mluví nikoliv o úroku, ale o takzvaném diskontu. Na diskontním principu jsou založeny obchody s většinou krátkodobých cenných papírů. Při použití tohoto principu např. s diskontní sazbou ve výši 10% dlužník obdrží ze zapůjčené koruny jen 90 haléřů, přestože musí po uplynutí sjednané doby vrátit celou korunu. Diskont Příklad Vyplacená částka při eskontu směnky Druhy směnek •Směnky se podle obsahu a způsobu vyrovnání člení na dva základní druhy: –Směnka vlastní je krátkodobý cenný papír, v kterém se výstavce (emitent, trasant) směnky bezpodmínečně zavazuje (slibuje), že zaplatí v určitý čas stanovenou sumu věřiteli (remitentovi), který je na směnce uveden, nebo na jeho řad. –Směnka cizí je krátkodobý cenný papír, ve kterém výstavce (emitent, trasant) směnky přikazuje třetí osobě (směnečníkovi, trasátovi), aby věřiteli (remitentovi), nebo na jeho řad, zaplatil v určitý čas stanovenou sumu. • Funkce směnek •Funkce směnky: –platební: je obchodovatelná na finančních trzích, přičemž může být převedena na jiné osoby rubopisem (indosací) nebo postoupením pohledávky (cesí) –zajišťovací: představuje kvalitnější závazek než obchodní smlouva, zvýhodňuje svého majitele proti jiným věřitelům –úvěrová: je nástrojem krátkodobých obchodních úvěrů (tj. poskytnutí zboží na dluh) a bankovních úvěrů Operace se směnkami •Se směnkami lze provádět celou řadu operací. •Z pohledu využití směnky ve finančním sektoru je významný eskont směnky, který představuje prodej směnky jejím vlastníkem před dobou splatnosti, nejčastěji komerční bance. •Majitel směnky tak získá hotovost dříve a může ji využít na jiné účely. •Banka si za odkoupení směnky určí diskont (slevu), který představuje úrok ode dne eskontu do doby splatnosti směnky. •Banka může takto získanou směnku odprodat dál, pak se jedná o reeskont směnky. Pokladniční poukázka •Státní pokladniční poukázky jsou krátkodobé, úvěrové a diskontované cenné papíry, které představují přímý závazek s krátkou dobou splatnosti a slouží ke krytí deficitu ve státním rozpočtu. •Cílem jejich emise je pokrytí krátkodobého nesouladu mezi příjmy a výdaji státního rozpočtu. •Doba splatnosti je maximálně 1 rok, většinou se emitují na období 3, 6 a 9 měsíců. •Obvykle se emitují v pravidelných sériích, nicméně v případě nečekané potřeby finančních prostředků se mohou emitovat i mimořádně. •V České republice emituje státní pokladniční poukázky Ministerstvo financí ČR prostřednictvím České národní banky. •Primární prodej probíhá aukčním způsobem. •Pokladniční poukázky jsou vysoce likvidní, dobře obchodovatelné cenné papíry, které mají nízké riziko, a proto nižší výnos než jiné druhy cenných papírů. •Prodávají se s diskontem, tj. za nižší cenu než je jmenovitá hodnota a v době splatnosti je vyplacena vlastníkovi celá nominální hodnota. Depozitní certifikát •Depozitní certifikáty (CD – certificate of deposit) jsou úročené cenné papíry potvrzující uložení peněžních prostředků do bank nebo jiných depozitních institucí na přesně stanovené období. •Banky vydávají depozitní certifikáty s cílem získat krátkodobé a střednědobé volné peněžní prostředky zejména od obyvatel, ale také od podnikatelských subjektů a velkých investorů. •Pro klienty bank představují alternativu termínových bankovních vkladů. •Pro banky jsou depozitní certifikáty výhodnější z hlediska řízení likvidity, protože klient nemůže požádat o jejich vyplacení před dobou splatnosti. •Depozitní certifikáty jsou emitovány v různých nominálních hodnotách, přičemž výše nominální hodnoty určuje cílovou skupinu investorů. •Doba splatnosti se pohybuje od jednoho do několika měsíců, i když někdy se emitují střednědobé depozitní certifikáty s dobou splatnosti větší než rok. •Úrokové sazby depozitních certifikátů vycházejí ze situace na peněžním trhu, jsou stanoveny na ročním základě formou pevného procenta z nominální hodnoty. •Jejich úroveň je vyšší než výnosy ze státních pokladničních poukázek, protože mají vyšší riziko insolventnosti a jejich výnosy podléhají zdanění. •Podle obchodovatelnosti se depozitní certifikáty člení na obchodovatelné a neobchodovatelné. •Prodej depozitních certifikátů je většinou založen na diskontním principu. • Komerční papíry •Komerční papír je krátkodobý dlužnický cenný papír, který emituje ekonomicky silná společnost, často s nadnárodní působností. •Komerční cenný papír představuje zdroj krátkodobých peněžních prostředků a je tedy alternativou ke krátkodobým bankovním úvěrům. •Společnosti emitují komerční papíry především s cílem získat prostředky ke krytí provozních potřeb. •Hlavním důvodem jejich vzniku byla skutečnost, že získávání krátkodobých bankovních úvěrů bylo pro společnosti nákladné a poměrně složité. •Výnosnost komerčních papírů je velmi adaptabilní, jelikož citlivě reagují na vývoj peněžního trhu, tedy na poptávku a nabídku krátkodobých zdrojů. •Výnosy se počítají s použitím metody bankovního diskontu (podobně jako u státních pokladničních poukázek). Výnosnost komerčních papírů je všeobecně vyšší než výnosnost státních pokladničních poukázek, nicméně nižší než úrokové sazby krátkodobých bankovních úvěrů. Společnosti emitují komerční papíry především s cílem získat prostředky ke krytí provozních potřeb jako je výplata mezd, nákup surovin, zaplacení krátkodobých závazků vůči obchodním parterům či daňovému úřadu apod. •Podle způsobu emise můžeme komerční papíry členit do dvou základních skupin: –Přímé komerční papíry jsou emitovány velkými společnostmi, které je prodávají přímo investorům. –Dealerské komerční papíry emitují méně známé společnosti a prodávají je nejprve dealerům. •Doba splatnosti tohoto druhu cenných papírů se pohybuje v rozpětí od 3 dnů do 9 měsíců. •Mezi výhody komerčních papírů patří především jejich vysoká kvalita a přitažlivost pro investory, přibližují se kvalitě státních pokladničních poukázek. •Mnozí emitenti komerčních cenných papírů mají vysoký mezinárodní rating své úvěrové schopnosti, která zaručuje jejich kvalitu a solventnost. •Mezi nevýhody lze zařadit to, že emise těchto cenných papírů může narušit dobré vztahy mezi společností a bankami. Komerční papíry jsou poměrně citlivé na hospodářské podmínky, proto v čase ekonomické recese je poměrně náročné získat krátkodobé peněžní prostředky za přijatelných podmínek. Nevýhodou může být i to, že tento druh cenných papírů není možno vypovědět a splatit tak dluh před dobou splatnosti. Podle způsobu emise můžeme komerční papíry členit do dvou základních skupin: Přímé komerční papíry jsou emitovány velkými společnostmi, které je prodávají přímo investorům. Jejich nevýhodou jsou náklady na přímou administraci emise, distribuce a marketingu. Proto se emitují ve velkém množství, což zajistí jednodušší pokrytí těchto nákladů; Dealerské komerční papíry emitují méně známé společnosti a prodávají je nejprve dealerům. Dealeři obvykle skupují celou emisi za zvýhodněnou cenu a následně komerční papíry prodávají individuálním investorům za cenu vyšší. Výhodou dealerských papírů je, že emitent tak nemusí sám hledat investory, nevýhodou je obecně nižší výnos z emise pro emitenta. Skonto •Skonto je sleva, kterou poskytuje prodávající kupujícímu v případě, že kupující zaplatí za zboží okamžitě nebo během dohodnuté krátké lhůty. •Jestliže kupující této možnosti využije, pak vlastně prodávajícímu půjčí peníze, přičemž místo úroku obdrží skonto. •Skonto je založeno na principu předlhůtního úročení. •Skonto je stanoveno jako procento z původní prodejní ceny (v tomto případě budoucí hodnota). •Současnou hodnotu pak představuje cena snížená o skonto. •Výhodnost skonta je proto nutné posoudit tak, že se jeho velikost porovná s velikostí úroku, který může realizovat prodávající, jestliže dostane zaplaceno předčasně. • • Výhodnost skonta posuzujeme porovnáním jeho výše s úrokem, který buď musíme zaplatit za vypůjčené peníze (pokud nemáme peněžní prostředky okamžitě k dispozici, abychom mohli zaplatit za zboží s využitím skonta) anebo v případě, že máme k dispozici peněžní prostředky, pak s úrokem, příp. výnosem, který získáme, když tyto volné peněžní prostředky investujeme na dobu od splatnosti s využitím skonta do splatnosti bez možnosti využití skonta. Příklad 1 • •Osoba A vystavila 15. 6. 2007 osobě B směnku s jmenovitou hodnotou 3 000 dolarů s roční úrokovou sazbou 7 %. Datum splatnosti směnky je 15. 12. 2007. 28. 7. 2007 osoba B eskontovala směnku na banku, která účtuje roční diskontní sazbu 8 %. Jakou částku osoba B od banky obdržela? Řešení: Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Příklad 2 Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Řešení Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Příklad 3 Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Řešení Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Příklad 4 Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Řešení: Obsah obrázku text, bílá tabule Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Příklad 5 Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Řešení Obsah obrázku text Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Příklad 6 Řešení: Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Příklad 7 Investor zakoupil dne 3.5.2022 depozitní směnku za její směnečnou hodnotu 100 000 Kč. Ke směnce byla připojena úroková doložka s úrokovou mírou 7% p.a. Směnka byla splatná na viděnou, ne dříve než za 2 měsíce a ne později než za 4 měsíce. Směnka byla předložena k proplacení dne 14.8.2022. Určete výnos z této směnky při standardu 30E/360. Jaká celková částka bude vyplacena investorovi? Řešení: Banka vyplatí investorovi po předložení směnky v požadované době směnečnou částku a navíc i úrokový výnos, který vypočteme jako jednoduchý úrok Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Okruhy k SZZ 1.Úrok a úroková míra ve finanční matematice •Úroková míra a faktory, které ovlivňují úrokovou míru, efektivní úroková míra, nominální a reálná úroková míra, časová hodnota peněz, riziko a klasifikace rizik, finanční riziko a jeho definice, finanční portfolio a jeho analýza. • •2. Jednoduché a složené úročení a příklady jejich použití •Základní rovnice jednoduchého úročení, jednoduché úročení polhůtní, současná a budoucí hodnota při jednoduchém úročení. Úrokové číslo a úrokový dělitel. Jednoduché úročení předlhůtní, diskont. Využití jednoduchého úročení v praxi. •Základní rovnice složeného úročení. Kombinace jednoduchého a složeného úročení. Výpočet doby splatnosti při složeném úročení, současné hodnoty a výnosnosti. Srovnání jednoduchého a složeného úročení. Využití složeného úročení v praxi. 3. Krátkodobé cenné papíry. •Krátkodobé cenné papíry, příklady a definice těchto cenných papírů. Eskont směnky. Durace, cena a kurz dluhopisu, cena a kurz akcie, předkupní právo. Výpočet výnosnosti cenných papírů. 4. Spoření a důchody ve finanční matematice a příklady jejich použití. 5. Dluhopisy a stavení ceny dluhopisu. •Durace, cena a kurz dluhopisu. 6. Akcie a stanovení ceny akcie. •cena a kurz akcie, předkupní právo. 7. Základní výpočty devizových kurzů •Determinace, devizového kurzu, přímá a nepřímá kotace devizových kurzů, interpretace pohybu devizových kurzů, výpočet spreadu, výpočet dvoucestné kotace a středového kurzu, výpočty křížového devizového kurzu, devizové riziko a jeho zajištění. Aplikace jednoduchého úročení V praxi se používají oba způsoby jednoduchého úročení. Krátkodobé cenné papíry, jejichž doba splatnosti je kratší než jeden rok, bývají obchodovány na principu jednoduchého diskontu, zatímco při tvorbě uzávěrek běžných či kontokorentních účtů se používá polhůtního způsobu úročení. Příklad Proveďte uzávěrku běžného účtu, na kterém byly zaznamenány násle- dující pohyby (viz tabulka) Úroková míra činí 1,5% p.a., použijte standard ACT /360. Pro jednoduchost upouštíme od danění připsaného úroku. Řešení: Úroková čísla U C a úrokový dělitel U D byly vypočteny Pohyby na běžném účtu Účtování zůstatkovým způsobem Postupný způsob (německý) Úroky z jednotlivých položek jsou počítány za dobu od data, kdy se na účtu objevily (toto datum nepočítáme), až do konce roku. U položek ze sloupce Dal budou mít příslušná úroková čísla kladné znaménko, u položek ze sloupce Má dáti záporné znaménko. Výše úroku připsaného na účet na konci roku činí Účtování postupným způsobem Příklad Proveďte uzávěrku běžného účtu z předchozího příkladu postupným způsobem. Úroková míra a standard zůstávají stejné. Řešení Zpětný způsob (francouzský) Postup výpočtu úroku je opačný než u německého způsobu. Úroky jsou počítány od zvoleného data epochy (např. 1.1.) až do data změny na účtu včetně. Znaménka úrokových čísel pro položky Dal jsou záporná a pro položky Má dáti kladná. Úrokové číslo náležející zůstatku ze dne 31.12. má však kladné znaménko. Celkový připsaný úrok bude Příklad Proveďte uzávěrku běžného účtu z předchozího příkladu zpětným způ- sobem. Úroková míra je 1,5%p.a. Zvolme 1. leden jako datum epochy. Pak pohyby na účtu a jim odpovídající počty dnů a úroková čísla jsou následující (viz tabulka): Úrok vypočteme podle vzorce Účtování zpětným způsobem Kontokorentní účet Tento typ účtu nabízí klientovi banky možnost přechodně přejít z kladných zůstatků do záporných (do debetu) s tím, že je předem dohodnuta maximální výše debetu. Klient takto získává krátkodobou půjčku, která bývá v praxi označována jako kontokorentní úvěr. V souvislosti s poskytováním těchto úvěrů je potřeba se dále seznámit s následujícími pojmy - úvěrový rámec (UR) - maximální povolený debet na účtu, • kreditní úrok - úrok z kladných zůstatků připsaný ve prospěch majitele účtu, • debetní úrok - úrok ze záporných zůstatků, které nejsou větší než sjed- naný úvěrový rámec, • pohotovostní provize - náklady vzniklé v důsledku sjednaného, avšak nečerpaného úvěru; patří sem pohotovostní provize z nečerpa- ného úvěrového rámce (NU), • provize za překročení úvěrového rámce (PR) - sankční úrok při porušení sjednané výše úvěrového rámce Uzávěrku kontokorentního účtu provádíme tak, že postupně vypočteme výši kreditních úroků, debetních úroků a provizí - pomocí úrokových čísel a pří- slušných úrokových dělitelů. K tomu je daná kreditní úroková míra ic, de- betní úroková míra id a dále sazby pro pohotovostní provizi z nečerpaného úvěru pN U a pro sankční úrok v případě překročení úvěrového rámce pP R. Kreditní a debetní úroky, pohotovostní provize z nečerpaného úvěrového rámce a provize za překročení úvěrového rámce pro příslušný stav účtu se vypočítají zůstatkovým způsobem. Konečný zůstatek k poslednímu dni v roce získáme přičtením kreditních úroků k poslednímu zůstatku a odečtením úrokových nákladů (debetní úroky, provize), případně dalších poplatků. Aplikace jednoduchého diskontování Jednoduché diskontování nachází uplatnění při obchodování s krátkodo- bými cennými papíry. Typickým příkladem těchto cenných papírů jsou pokladniční poukázky a směnky, někdy k nim řadíme i depozitní certifikáty. Krátkodobé cenné papíry jsou obchodovány na peněžním trhu Pokladniční poukázky, depozitní certifikáty Pokladniční poukázky jsou krátkodobé cenné papíry s dobou splatnosti od 14 dní až po několik měsíců, které emitují státní orgány v případě deficitu ve státním rozpočtu. Díky krátké době splatnosti jsou pokladniční poukázky velmi likvidní, tj. snadno přeměnitelné v hotovost, ale, vzhledem ke státní garanci z nich plyne jen nižší úrokový výnos Depozitní certifikát je cenný papír, často obchodovaný na diskontním principu, kterým je potvrzen vklad při jisté úrokové míře na jistou dobu, zpravidla nepřekračující jeden rok. Depozitní certifikáty vystavují banky. Jejich prodejem (za cenu rovnou nominální hodnotě snížené o diskont) tak získávají kapitál, který lze považovat za úvěr, splatný ve výši nominální hodnoty certifikátu v době splatnosti. Výpočet ceny P pokl. poukázky a dep. certifikátu před dobou splatnosti kde S je nominální hodnota cenného papíru, d roční diskontní míra a t je zbytková doba splatnosti Příklad Určete cenu, za kterou lze koupit pokladniční poukázky s nominální hodnotou 10 000 Kč, dobou splatnosti 90 dní při diskontní míře 5,5% p.a Řešení Pokladniční poukázky lze koupit za 9 862,50 Kč Složené úročení Na rozdíl od jednoduchého úročení budeme v případě složeného úročení předpokládat, že počáteční kapitál K0 je úročen po dobu tvořenou více úrokovými obdobími, kde úrokové období je jeden rok. Úrok bude ke vkladu připsán vždy na konci roku a následující rok bude znovu spolu s vkladem úročen, vzniknou tedy úroky z úroků. Vzhledem k době připisování úroků půjde o polhůtní (roční) složené úročení. Předlhůtní složené úročení nemá v praxi využití, nebudeme se jím dále zabývat. Základní rovnice složeného úročení K0 je počáteční kapitál. Zajímá nás, jak se změní jeho výše za n let, kde n je celé kladné číslo, jestliže úroky byly připisovány vždy na konci roku a další rok znovu úročeny při neměnné úrokové míře i. Postup odvození je uveden v tabulce Základní rovnice pro složené úročení je uvedena v posledním řádku tabulky, tedy kde Kn je splatná částka na konci n-tého roku. Částky Kj , j = 1, . . . , n, na konci i-tého roku tvoří geometrickou posloupnost s kvocientem 1+i, který se nazývá úrokovací faktor neboli úročitel. Úročitel můžeme interpretovat jako budoucí hodnotu jednotkového kapitálu na konci roku. Příklad Jak vzroste částka 10 000 Kč uložená na účtu po dobu 5 let při ročním složeném úročení? Úroková míra je 10% p.a Řešení Budeme počítat hodnotu K5 podle základní rovnice pro složené úročení Částka 10 000 Kč vzroste za uvedených podmínek na 16 105,10 Kč. Tabulka - Odvození základní rovnice složeného úročení Současná a budoucí hodnota kapitálu Z hlediska času je částka Kn budoucí hodnotou počátečního kapitálu K0 a, naopak, částka K0 je současnou hodnotou splatné částky Kn. Současnou hodnotu K0 vypočítáme ze základní rovnice podíl 1 1+i se nazývá diskontní faktor neboli odúročitel. V literatuře se často značí jako v, tj Příklad Jakou částku musíme dnes složit na účet, abychom z něj za 3 roky mohli vybrat 20 000 Kč? Úroková míra je 6% p.a Řešení Částka, kterou budeme dnes ukládat, představuje současnou hodnotu částky 20 000 Kč. Podle vztahu dostaneme Na účet dnes musíme složit 16 792,40 Kč Výpočet doby splatnosti Dobu splatnosti při složeném úročení vypočteme ze základní rovnice použitím následujících matematických úprav: Poznámka: Doba splatnosti nemusí vyjít v podobě celého čísla Výpočet úrokové míry Úrokovou míru odvodíme též ze základní rovnice. Příklad Jak velká byla úroková míra, která zúročila vklad 9 000 Kč na 12 500 Kč za 3 roky při ročním složeném úročení? Řešení: Úroková míra činila 0,115 7, tj. 11,57% p.a Úroková období Smíšené úročení Smíšené úročení je kombinací složeného a jednoduchého úročení v případě, že doba splatnosti n zde není vyjádřena celým kladným číslem, nýbrž je dána jako součet celého počtu úrokových období nm a zbytku l, který je kratší než jedno úrokové období. Po dobu nm jsou úroky připisovány vždy na konci úrokového období a v dalším období znovu úročeny, pouze na konci doby splatnosti (za dobu l) se úročí jednoduše. Dále uvažujeme počáteční kapitál K0 a roční úrokovou míru i. Splatnou částku při smíšeném úročení vypočteme tedy ze vztahu Příklad Na kolik vzroste vklad 10 000 Kč uložený 5 roků a 3 měsíce při úrokové míře 10% p.a.? Úroky jsou připisovány ročně a dále úročeny s vkladem Řešení Doba, po kterou je vklad uložen, vzhledem k frekvenci připisování úroků není celočíselná, půjde tedy o případ smíšeného úročení. Podle vztahu je Vklad vzroste na 16 507,70 Kč. Příklad Určete dobu uložení kapitálu 20 000 Kč, jehož budoucí hodnota je 24 000 Kč, při úrokové míře 6% p.a. a 1. ročním složeném úročení, 2. měsíčním složeném úročení. Vyjádřete v tomto případě dobu uložení v rocích i v měsících Řešení V prvním případě dosadíme do vzorce tj. V druhém případě je možné vypočítat dobu uložení v měsících i v letech způsobem Doba uložení kapitálu při ročním složeném úročení je 3,13 roků (3 roky a 47 dní), při měsíčním složeném úročení 3,05 roků, což je 36,56 měsíců Finanční a pojistná matematika Spojité úročení, úroková míra Nominální a reálná úroková míra Ing. Roman Hlawiczka, Ph.D. Katedra financí a účetnictví Spojité úročení – úroková intenzita Nominální a reálná úroková míra •Úrokové sazby, které jsou oficiálně vyhlašované bankami, uvedené ve smlouvách nebo vytištěny na cenných papírech, jsou tzv. nominální úrokové sazby, to znamená takové, v jejichž hodnotě není zohledněna míra inflace. Reálnou úrokovou míru dostaneme, pokud do nominální úrokové míry zohledníme míru inflace. • • Inflace Reálná úroková míra Reálná úroková míra Příklad 1 •Uložených 1000 korun na úrok 10 % p. a. přinese při ročním úročení na konci roku částku 1 100 Kč (platí pro jednoduché i složené úročení). • •Použitím spojitého úročení získáme zhruba o 5 korun více: •1 000 × e^(0,1×1) = 1 105,17.. •Čtvrtletní složené úročení nicméně přinese už téměř 1 104 Kč: 1 000 ×(1+0,1/4)^4 = 1 103,81.. •Pouhá čtyři úročení se v tomto případě vyrovnají třem čtvrtinám efektu (3,81 / 5,17), který přinese spojité úročení s nekonečně úrokovými obdobími. •Všechny tři typy úročení vypadají v grafickém vyjádření takto. Vliv inflace Při řešení problémů ve finančním světě vstupuje do hry inflace. Jaký vliv má inflace na kapitál, který se úročí? Zejména nás bude zajímat tzv. reálná úroková míra, která právě zohlední inflaci. Reálná úroková míra vzniká úpravou nominální úrokové míry o inflaci. Nejprve ukážeme vliv inflace na konkrétním příkladu. Příklad Jaká bude reálná hodnota stokoruny po dvou letech (na konci druhého roku), je-li míra inflace v prvním roce 10% a v druhém 15%? Řešení: Na konci prvního roku bude reálná hodnota stokoruny činit na konci druhého roku pak Reálná hodnota neboli kupní síla stokoruny po dvou letech bude činit jen 79,05 Kč. Vložili jsme na bankovní účet 1 000 000Kč na jeden rok. Úrokovací období je jeden rok a roční úroková sazba je 5%. Míra inflace byla v tomto roce 2%. Daň z úroku neuvažujeme. Jaká byla reálná úroková míra zaokrouhlená na setiny procenta? Řešení Příklad •Jak se změní hodnota vkladu 15 000 Kč uloženého jeden rok na účtu při úrokové míře 10% p.a. se spojitým úročením? Jaká bude úroková intenzita? • •Hodnotu vkladu za rok získáme užitím vztahu • • Úrokovou intenzitu vypočteme pomocí vzorce tj. ie = e 0,1 − 1 = 0, 10517, tj. 10, 517% p.a. Vklad za jeden rok vzroste na 16 577,60 Kč. Úroková intenzita je 10,517% p.a. To je o 0,001% ročně více než v případě, kdy jsou úroky ke vkladu připisovány denně Příklad Kolik musíme ukládat počátkem každého čtvrtletí, abychom za rok uspořili 10 000 Kč při úrokové míře 8% p.a.? Řešení: Abychom naspořili 10 000 Kč, musíme pravidelně ukládat 2 381 Kč. Krátkodobé polhůtní spoření Příklad Jakou částku uspoříme do konce roku, jestliže koncem každého měsíce ukládáme 1 200 Kč při úrokové míře 9% p.a.? Řešení: Dosadíme do vzorce , kde opět m = 12 a x = 1200 Uspoříme 14 994 Kč. To je o 8 Kč méně než v případě předlhůtního spoření, kdy jsou úroky počítány ze všech úložek. U polhůtního spoření úrok z poslední úložky už nepočítáme, proto je naspořená částka nižší. Příklad Jak dlouho je nutno spořit počátkem každého měsíce 500 Kč, aby uspořená částka dosáhla výše 50 000 Kč při neměnné 4 % roční úrokové sazbě a ročním připisování úroků? Dosadíme do vzorce: Kc = 50000, K = 500, m = 12, r = 0,04 a n = ?. Uvedenou částku naspoříme přibližně za 7,2 roku. Pojistné pojmy Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky •Děkuji za pozornost a přeji pěkný den J