Příprava ke zkoušce FIU/BPFPM Finanční a pojistná matematika Ing. Roman Hlawiczka, Ph.D. Katedra financí a účetnictví Příklad Jak velkou částku musíme dnes při neměnné úrokové sazbě 6 % p.a. uložit novorozenému dítěti, aby v 19 letech mělo takový kapitál, který by mu zabezpečoval po dobu 7 let (do 26 let věku) měsíční polhůtní důchod ve výši 3.000 Kč? Řešení Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Příklad Jaká částka nám (a našim pozůstalým) zajistí čtvrtletní polhůtní věčný důchod ve výši 5.000 Kč při neměnné roční úrokové sazbě 4 % p.a.? Řešení Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku stůl Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Pro výpočty dlouhodobých investic je v praxi nutno použít složené úročení (složené úročení anuity, resp. budoucí hodnota anuity). Pro odhad správné odpovědi stačí spočítat vklady za 30 let (včetně jejich zúročení): 1. odpověď: 500 000 Kč, 2. odpověď: přibližně 1,5 mil. Kč, 3. odpověď: přibližně 3 mil. Kč, 4. odpověď: přibližně 5 mil. Kč. Díky znalostem byste měli vyloučit špatné odpovědi (1., 2. a 4.). Platí tedy pravidlo, že při pravidelné investici 1000 Kč měsíčně a prům. výnosu 6 % p. a. bude mít po 30 letech klient cca 1 mil. Kč. Pro získání 3 mil. Kč tak musí investovat přibližně 3 tis. Kč. ŠOBA, Oldřich a Martin ŠIRŮČEK. Finanční matematika v praxi. 2., aktualizované a rozšířené vydání. Praha: Grada Publishing, 2017. Partners. ISBN 978-80-271-0250-1. od str. 75 Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Příklad •Jaké jsou úrokové náklady úvěru ve výši 180.000 Kč jednorázově splatného za 4 měsíce včetně úroku, je-li úroková sazba 20 % p.a. ? •Za jednotlivé veličiny příslušného vzorce dosadíme: K=180.000, p=14, i=20/100=0.20, t=120, n=4 * 30 / 360 = 1/3. Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Příklad Výpočet původní výše kapitálu Obsah obrázku stůl Popis byl vytvořen automaticky Příklad Výpočet úrokové sazby Příklad Výpočet počáteční výše úvěru Příklad Vyplacená částka při eskontu směnky Příklad Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Řešení Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Úlohy Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Příklad 1 • •Osoba A vystavila 15. 6. 2007 osobě B směnku s jmenovitou hodnotou 3 000 dolarů s roční úrokovou sazbou 7 %. Datum splatnosti směnky je 15. 12. 2007. 28. 7. 2007 osoba B eskontovala směnku na banku, která účtuje roční diskontní sazbu 8 %. Jakou částku osoba B od banky obdržela? Řešení: Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Příklad 2 Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Řešení Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Příklad 3 Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Řešení Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Příklad 4 Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Řešení: Obsah obrázku text, bílá tabule Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Příklad 5 Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Řešení Obsah obrázku text Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Příklad 6 Řešení: Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Příklad 7 Investor zakoupil dne 3.5.2022 depozitní směnku za její směnečnou hodnotu 100 000 Kč. Ke směnce byla připojena úroková doložka s úrokovou mírou 7% p.a. Směnka byla splatná na viděnou, ne dříve než za 2 měsíce a ne později než za 4 měsíce. Směnka byla předložena k proplacení dne 14.8.2022. Určete výnos z této směnky při standardu 30E/360. Jaká celková částka bude vyplacena investorovi? Řešení: Banka vyplatí investorovi po předložení směnky v požadované době směnečnou částku a navíc i úrokový výnos, který vypočteme jako jednoduchý úrok Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Příklad Na začátku roku 2019 vložíme 1 000 000 Kč na 3 roky na bankovní účet. Banka uvádí roční úrokovou sazbu 1 %, úrokovací období je 1 rok. Úrok se přičítá na konci každého roku k již dosažené částce. Neuvažujme daň z úroku. Jak velká bude výsledná částka na účtě po třech letech? Řešení Obsah obrázku stůl Popis byl vytvořen automaticky Na konci roku 2021 (po třech letech) bude výsledný kapitál 1000000Kč+3⋅10000Kč=1030000Kč. Obsah obrázku stůl Popis byl vytvořen automaticky Příklad Určete cenu, za kterou lze koupit pokladniční poukázky s nominální hodnotou 10 000 Kč, dobou splatnosti 90 dní při diskontní míře 5,5% p.a Řešení Pokladniční poukázky lze koupit za 9 862,50 Kč Příklad Jak vzroste částka 10 000 Kč uložená na účtu po dobu 5 let při ročním složeném úročení? Úroková míra je 10% p.a Řešení Budeme počítat hodnotu K5 podle základní rovnice pro složené úročení Částka 10 000 Kč vzroste za uvedených podmínek na 16 105,10 Kč. Příklad Jakou částku musíme dnes složit na účet, abychom z něj za 3 roky mohli vybrat 20 000 Kč? Úroková míra je 6% p.a Řešení Částka, kterou budeme dnes ukládat, představuje současnou hodnotu částky 20 000 Kč. Podle vztahu dostaneme Na účet dnes musíme složit 16 792,40 Kč Příklad Jak velká byla úroková míra, která zúročila vklad 9 000 Kč na 12 500 Kč za 3 roky při ročním složeném úročení? Řešení: Úroková míra činila 0,115 7, tj. 11,57% p.a Příklad Na kolik vzroste vklad 10 000 Kč uložený 5 roků a 3 měsíce při úrokové míře 10% p.a.? Úroky jsou připisovány ročně a dále úročeny s vkladem Řešení Doba, po kterou je vklad uložen, vzhledem k frekvenci připisování úroků není celočíselná, půjde tedy o případ smíšeného úročení. Podle vztahu je Vklad vzroste na 16 507,70 Kč. Příklad Jaká bude reálná hodnota stokoruny po dvou letech (na konci druhého roku), je-li míra inflace v prvním roce 10% a v druhém 15%? Řešení: Na konci prvního roku bude reálná hodnota stokoruny činit na konci druhého roku pak Reálná hodnota neboli kupní síla stokoruny po dvou letech bude činit jen 79,05 Kč. Vložili jsme na bankovní účet 1 000 000Kč na jeden rok. Úrokovací období je jeden rok a roční úroková sazba je 5%. Míra inflace byla v tomto roce 2%. Daň z úroku neuvažujeme. Jaká byla reálná úroková míra zaokrouhlená na setiny procenta? Řešení Příklad •Jak se změní hodnota vkladu 15 000 Kč uloženého jeden rok na účtu při úrokové míře 10% p.a. se spojitým úročením? Jaká bude úroková intenzita? • •Hodnotu vkladu za rok získáme užitím vztahu • • Úrokovou intenzitu vypočteme pomocí vzorce tj. ie = e 0,1 − 1 = 0, 10517, tj. 10, 517% p.a. Vklad za jeden rok vzroste na 16 577,60 Kč. Úroková intenzita je 10,517% p.a. To je o 0,001% ročně více než v případě, kdy jsou úroky ke vkladu připisovány denně Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Příklad •Kliknutím lze upravit styly předlohy textu. •Druhá úroveň •Třetí úroveň •Čtvrtá úroveň •Pátá úroveň Jakou částku uspoříme do konce roku, jestliže ukládáme počátkem každého měsíce 1 200 Kč při úrokové míře 9% p.a.? Uspoříme 15 102 Kč. Příklad Kolik musíme ukládat počátkem každého čtvrtletí, abychom za rok uspořili 10 000 Kč při úrokové míře 8% p.a.? Řešení: Abychom naspořili 10 000 Kč, musíme pravidelně ukládat 2 381 Kč. Krátkodobé polhůtní spoření Příklad Jakou částku uspoříme do konce roku, jestliže koncem každého měsíce ukládáme 1 200 Kč při úrokové míře 9% p.a.? Řešení: Dosadíme do vzorce , kde opět m = 12 a x = 1200 Uspoříme 14 994 Kč. To je o 8 Kč méně než v případě předlhůtního spoření, kdy jsou úroky počítány ze všech úložek. U polhůtního spoření úrok z poslední úložky už nepočítáme, proto je naspořená částka nižší. Dosadíme do vzorce: Kc = 50000, K = 7000, r = 0,04 a n = ?. Uvedenou částku naspoříme přibližně za 6,4 roku. Za jak dlouho naspoříme 50 000 Kč při ročním polhůtním ukládání 7 000 Kč při neměnné 4 % úrokové sazbě p.a.? Předpokládáme roční připisování úroků. Příklad Jak dlouho je nutno spořit počátkem každého měsíce 500 Kč, aby uspořená částka dosáhla výše 50 000 Kč při neměnné 4 % roční úrokové sazbě a ročním připisování úroků? Dosadíme do vzorce: Kc = 50000, K = 500, m = 12, r = 0,04 a n = ?. Uvedenou částku naspoříme přibližně za 7,2 roku. Příklad Výpočet penále z prodlení Odběratel XY nezaplatil fakturovanou částku 1.500.000 Kč v termínu splatnosti, který byl stanoven na 10 leden. Podle obchodního zákoníku jste oprávněni připočíst k fakturované částce 0.05% denně. Jaká bude celková fakturovaná částka, v případě že dlužník uhradí svůj závazek k 20 březnu. Příklad Výpočet doby splatnosti • • Srovnání jednoduchého úročení polhůtního a předlhůtního FIU/BKFPM Tutoriál 1 • • Řešený příklad Jednoduché úročení Příklad Výpočet původní výše kapitálu Jednoduché úročení Příklad Výpočet úrokové sazby Příklad Výpočet počáteční výše úvěru Příklad Vyplacená částka při eskontu směnky • • • • • • •Děkuji za pozornost a přeji pěkný den J •