Prezentace předmětu: KVANTITATIVNÍ METODY V EKONOMICKÉ PRAXI Vyučující: Mgr. Radmila Krkošková, Ph.D. Název prezentace Název projektu Rozvoj vzdělávání na Slezské univerzitě v Opavě Registrační číslo projektu CZ.02.2.69/0.0./0.0/16_015/0002400 Logolink_OP_VVV_hor_barva_cz KVANTITATIVNÍ METODY V EKONOMICKÉ PRAXI 9. PŘEDNÁŠKA . Mgr. Radmila Krkošková, Ph.D. Kvantitativní metody v ekonomické praxi . Témata přednášky: a)pravděpodobnost náhodného jevu, b) vlastnosti pravděpodobnosti, c) kombinatorika, d) náhodná veličina (diskrétní, spojitá). Struktura přednášky Náhodný pokus x náhodný jev • • Příklady náhodného pokusu lkolo štěstí, hod kostkou lzjišťováni volebních preferencí polit. stran voličů lzjišťování hodnoty nákupů zákazníků Příklady náhodného jevu lpadne nejméně 80%, padne šestka lvolič preferuje VV (ODS, TOP09, ČSSD aj.) lhodnota nákupu zákazníka je 126 Kč Náhodný jev • • lJev jistý - musí nutně nastat lJev nemožný - za žádných okolností pokusu nastat nemůže lJev, který spočívá v nenastoupení jevu A, je jevem opačným: lJevy neslučitelné - nemohou současně nastat Elementární jevy • • Elementární jevy jsou takové jevy, které: lv dané situaci nelze rozložit na dílčí jevy ljsou neslučitelné lmnožinu všech elementárních jevů nazýváme jevový prostor ljeden z elementárních jevů musí vždy nastat Jevový prostor Vytváření nových jevů pomocí: lSjednocení jevů A a B označujeme AÈB lPrůnik, tj. jev představovaný současným výskytem jevů A a B, označujeme AÇB Příklady náhodného jevu Na „kole štěstí“: 1. Padnutí alespoň 12% je jevem jistým, padnutí méně než 12% je jevem nemožným! 2. Jestliže padnutí alespoň 50% znamená jev A, potom padnutí méně než 50% je jevem opačným k jevu A, tedy jevem . Příklady náhodného jevu Při zjišťování věku zákazníků v marketu: 3. Věk zákazníka nejvýše 160 let je jevem jistým, věk zákazníka více než 160 let je jevem nemožným. 4. Jestliže věk zákazníka nejvýše 20 let je jev A, potom věk zákazníka alespoň 21 let je jevem opačným k jevu A, tedy jevem . Příklady jevového prostoru 5. Jevový prostor „kolo štěstí“ se skládá z 10 elementárních jevů, možnými výsledky je totiž padnutí 12,14,15,16,20,30,50,70,80,100 % 6. Jevový prostor věku dospělých zákazníků (v rocích) daného supermarketu je 18, 19, 20, ... … – neomezená množina elementárních jevů POZOR!!! Náhodný jev může být totožný s některým elementárním jevem, nebo může zahrnovat více elementárních jevů, např. padnutí sudého počtu ok je sjednocením trojice elementárních jevů (2, 4, 6) Intuitivní pravděpodobnost Míru možnosti nebo šance výskytu hromadného náhodného jevu udává číslo, které nazýváme pravděpodobností (Prst) tohoto jevu Vlastnosti pravděpodobnosti lPrst = číslo z intervalu mezi 0 a 1 lJevu nemožnému se přiřazuje Prst = 0 lJevu jistému Prst = 1 lČím větší má jev pravděpodobnost, tím větší je šance, že jev nastane Klasická pravděpodobnost lNáhodný pokus má n elementárních jevů (tj. výsledků pokusu), které mají stejnou pravděpodobnost výskytu lJev X nastane tehdy, když nastane jeden z m předem stanovených příznivých výsledků lPotom pravděpodobnost jevu X je dána podílem všech příznivých výsledků a všech možných výsledků: Prst(X) = Příklad V urně je 10 koulí, z toho 6 černých a 4 bílé: a. Stanovte pravděpodobnost, že 1 vytažená koule bude bílá b. Stanovte pravděpodobnost, že z 5 vytažených koulí budou 3 černé a 2 bílé Řešení příkladu a) • • Elementárním jevem je kterákoliv z vytažených koulí. Počet všech elementárních jevů n = 10, počet příznivých jevů je m = 4, (bílé) Prst = 4/10 = 0,4 Řešení příkladu b) • • Elementárním jevem je kterákoliv pětice vytažených koulí. Počet všech elementárních jevů se rovná počtu všech kombinací 5 koulí vytažených z 10 koulí, tj. n = = 252 což je počet možných výsledků! Řešení příkladu b) • • Počet příznivých výsledků je počet těch kombinací 5 koulí, kde 3 jsou černé (ze 6) a 2 bílé (ze 4), tedy m = . = 20.6 = 120 Hledaná pravděpodobnost Prst je podle vzorce: Prst = = 0,461 tj. 46,1% Kombinatorika • • Mějme n prvků (například písmen, koulí, lidí aj.) Kolika způsoby je možné vytvořit skupinu o x prvcích, přičemž 1. záleží nebo 2. nezáleží na pořadí prvků ve skupině? ad 1. Variace (písmena: ano, ona…) ad 2. Kombinace (tažená čísla ve sportce) Prvky ve skupině se eventuálně mohou opakovat!? Vzorce • • P(n) = n! Variace bez opakování: V případě, že n = x, jedná se o permutace: Variace s opakováním: Kombinace bez opakování: Kombinace s opakováním: Příklad: • • 1. Kolik 3-písmenných slov lze vytvořit z písmen A, B, C, D, E ? lJedná se o variace s opakováním, neboť záleží na pořadí písmen a písmena se mohou ve slově opakovat Příklad: • • 2. Kolika způsoby lze vytvořit 3-členné předsednictvo představenstva podniku ze 6 zvolených členů? lJedná se o kombinace bez opakování, neboť zde nezáleží na pořadí členů předsednictva a členové se přirozeně nemohou opakovat Náhodná veličina • • Náhodná veličina (NV) = Číselný výsledek náhodného pokusu. Výsledky - obecně různé vlivem náhodných činitelů mají různé pravděpodobnosti realizace Náhodná veličina (NV) = odpovídá kvantitativnímu znaku populačního souboru (je jeho zobecněním) Rozdělení náhodné veličiny • • je pravidlo (předpis), které každé číselné hodnotě nebo množině hodnot přiřazuje pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude této hodnoty nebo hodnoty z tohoto intervalu. Rozdělení náhodné veličiny • • Rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny = úplné poznání NV: lstanovení hodnot, jichž může NV nabývat l lznalost pravděpodobností, s nimiž NV nabývá určité hodnoty, nebo hodnoty z nějakého intervalu Vyjádření rozdělení náhodné veličiny • • 1. Pravděpodobnostní funkce (typ diskrétní NV) 2. Hustota pravděpodobnosti (typ spojité NV) 3. Distribuční funkce (oba typy NV: diskrétní / spojitý) Pravděpodobnostní funkce • • p(x) – každé hodnotě x ÎD přiřazuje odpovídající pravděpodobnost: p(x) = P(X = x) p(x) splňuje vztahy: l lpravděpodobnost, že náhodná veličina nabude hodnoty z intervalu [a,b]ÌD, je rovna součtu pravděpodobností hodnot z tohoto intervalu (D je množina diskrétních hodnot) l Hustota pravděpodobnosti • • lHustota pravděpodobnosti f(x) je nezáporná funkce splňující podmínku: l l lCelá plocha pod grafem funkce f(x) – nad osou x je rovna 1 Distribuční funkce • • lDistribuční funkce F(x) je definovaná na R vztahem: l lF(x) je neklesající funkce splňující: lim F(x) = 0 pro x®-¥ lim F(x) = 1 pro x®+¥ Příklad distribuční funkce pro diskrétní NV: Hrací kostka • • F(x)=P(X£ x) Distribuční funkce spojité NV • • 1. Neklesající spojitá funkce 2. Limity 0 a 1 pro x®±¥ Vztah mezi hustotou a distribuční funkcí • • lMezi hustotou pravděpodobnosti a distribuční funkcí platí následující vztahy: HP je derivací DF: l lNaopak: distribuční funkce náhodné veličiny je neurčitým integrálem (primitivní funkcí) k hustotě pravděpodobnosti, tj. Závěr přednášky • • •Děkuji Vám za pozornost !!!