EMM1 1 Ekonomicko-matematické metody Mgr. Jiří Mazurek, Ph.D. EMM1 2 Předmět Ekonomicko-matematické metody •Kód studijního předmětu: INM/NPEMM •Garant: doc. RNDr. David Bartl, Ph.D. •Vyučující: Mgr. Jiří Mazurek, Ph.D. • •Rozsah studijního předmětu: 2+1 •Počet kreditů: 5 ECTS •Způsob zakončení: zkouška (písemná) •Forma výuky: přednáška, seminář v PC učebně EMM1 3 Předmět Ekonomicko-matematické metody •Podmínky absolvování předmětu: • •Aktivní účast na seminářích: alespoň 70% •Průběžný test max. 30b. •Zkouškový test max. 70 b. •Celkem max. 100 b. • •Klasifikace: • •0 až 59 b. F •60 až 64 b E •65 až 69 b. D •70 až 79 b. C •80 až 89 b. B •90 až 100 b. A EMM1 4 Předmět Ekonomicko-matematické metody v eLearningu • •Kurs a interaktivní osnova v IS SU •https://is.slu.cz/auth/el/opf/zima2022/INMNPEMM/ • •Adresář „public“ na disku L: •L:\mazurek\public\ • •Obsahuje všechny materiály: distanční studijní oporu (texty), excelovské soubory s příklady ze seminářů, doplňkové soubory, studijní literaturu, SW, odkazy na jiné weby apod. EMM1 5 Trocha historie o matematickém modelování v ekonomii •Matematika se do ekonomie začala prosazovat ve 30. letech minulého století •Ke skutečnému boomu došlo až s nástupem počítačů •Rhind-Ahmesův papyrus ze 17. stol. př. n. l. obsahuje některé hospodářské úlohy, které lze při troše tolerance považovat za matematické aplikace v ekonomii •V novověké historii se lze setkat s matematickým modelováním již v klasických pracích o politické ekonomii, např. v díle Political arithmetics od anglického filosofa W. Pettyho (1623 – 1687) •Švýcarský ekonom León Walras (1834 – 1910) jako první používal matematický aparát jako nedílnou součást svých ekonomických úvah o marginální teorii užitku a v teorii ekonomické rovnováhy •Vilfredo Pareto (1848 – 1923) - žák L. Walrase - dovedl používání matematiky v ekonomii k dnešním standardům • Rhind-Ahmesův papyrus 1 EMM1 6 Rhind-Ahmesův papyrus 2 •Asi 1600 let před naším letopočtem byl na dvoře faraóna Amenemhata III. jako královský písař a matematik zaměstnán Ahmes. V roce 1853 objevil Angličan Rhind v blízkosti chrámu Ramsese II. v Thébách jeden Ahmesův papyrus. Papyrus má tvar pásku širokého 33 cm a dlouhého více než 5 m. Obsahuje mimo jiné i následující úlohu: •Sto měr zrní je třeba rozdělit pěti dělníkům tak, aby druhý dělník dostal o tolik měr více než první, o kolik třetí dostal více než druhý, čtvrtý než třetí a pátý než čtvrtý. První dva dělníci mají dohromady dostat sedmkrát méně měr zrní než ostatní tři dohromady. Kolik měr zrní dostal každý dělník? EMM1 7 EMM1 8 Matematické metody v ekonomii zahrnují tyto oblasti: •Matematické programování a jeho aplikace v ekonomických disciplínách •Lineární programování •Vícekriteriální optimalizace •Cílové programování •Modely analýzy obalu dat •Modely optimalizace portfolia •Optimalizační úlohy na grafech •Řízení projektů: Časová analýza: CPM, PERT •Software k řešení optimalizačních úloh na PC •Operační výzkum (operační analýza) •Operační management • EMM1 9 Příklad tvorby matematického modelu: Maximalizace zisku podnikatele při omezených výrobních zdrojích a omezeném odbytu • Název disciplíny: Operační management • •Teoretické schéma: Suroviny Polotovary Výrobní zaříz. Pracovní síla Kapitál … Výrobce – organizátor (manažér, plánovač aj.) Výrobky (nositele užit. hodnot) Omezený odbyt Omezené zdroje Výrobní program Matematický model EMM1 10 Výrobní program • Výrobkový seznam (n výrobků: 1, 2,…,n) • Objem výroby jednotlivých výrobků • množství, kusy ( x1, x2 , … , xn ³ 0 ) • předem neznámý rozsah výroby Jednotlivé zisky a celkový zisk ● ● ● ● ● EMM1 11 Omezené zdroje • Seznam omezených zdrojů (m zdrojů: 1, 2,…,m) • Disponibilní množství zdrojů • ( b1, b2, … , bm ³ 0 ) • Volný nákup zdrojů z celkové omezené částky • ● ● ● EMM1 12 Technologické (strukturní) koeficienty • aij - technologický koeficient zdroje i na výrobek j (množství zdroje " i " potřebného k výrobě jednotky výrobku " j " ) • • aij xj - množství zdroje " i " potřebného k výrobě xj jednotek výrobku " j " • • ai1 x1 + ai2 x2 + … + ain xn - množství zdroje "i" • potřebného k výrobě výrobního programu X = (x1 , x2,…, xn) • ● ● ● EMM1 13 Omezení odbytu • hi - horní omezení odbytu výrobku "i" • • 0 £ xj £ hj - objem výroby výrobku "j" nesmí překročit odbytové možnosti • Přípustné výrobní programy PVP X = (x1 , x2,…, xn) splňuje: podmínky disponibilních zdrojů: ai1 x1 + ai2 x2 + … + ain xn £ bi i = 1,2,…, m podmínky odbytových možností: 0 £ xj £ hj j = 1,2,…,n ● ● ● ● EMM1 14 Optimální výrobní program • Takový přípustný výrobní program X = (x1, x2,…, xn) který maximalizuje celkový zisk: • • c1x1 + c2x2 + … + cnxn • • Pro nalezení OVP musíme shromáždit : ·výrobkový seznam ·jednotkové zisky ·disponibilní množství zdrojů ·technologické koeficienty ·omezení odbytu EMM1 15 Optimální výrobní program … • • sestavení modelu • • matematický model • • řešení (počítač) • • optimální výrobní program X* = (x*1 , x*2,…, x*n) Data EMM1 16 Optimalizace výrobního programu • c1x1 + c2x2 + … + cnxn ® MAX; • • za omezení • • ai1 x1 + ai2 x2 + … + ain xn £ bi i = 1,2,…, m • • 0 £ xj £ hj j = 1,2,…,n EMM1 17 Příklad: •Výrobce tzv. „racio“ pokrmů plánuje výrobu dvou typů směsí. Na jejich výrobu má na jedno plánovací období k dispozici rýži o kapacitě 270 tun, pšenici o kapacitě 100 tun a ovesné vločky o kapacitě 60 tun. Při výrobě dvou typů směsí je třeba dodržovat složení daných směsí podle následující tabulky. • • • • • • • •Na základě všech nákladů souvisejících s výrobou a dle předpokládané prodejní ceny obou směsí byl vykalkulován zisk 2000 Kč za 1 tunu směsi typu I a 3000 Kč/t směsi typu II. Jak má firma naplánovat výrobu, aby byl celkový zisk maximální? Surovina Racio směs Kapacita surovin Směs I Směs II Rýže 90% 30% 270 Pšenice 50% 100 Vločky 10% 20% 60 EMM1 18 Transformace ekonomického modelu na model matematický 2 procesy: 1.výroba směsi typu I v množství x1 ³ 0 2.výroba směsi typu II v množství x2 ³ 0 3 činitelé (zdroje): Rýže, pšenice, ovesné vločky EMM1 19 Efektivnost procesů: •1 tuna směsi typu I přináší zisk 2000 Kč •1 tuna směsi typu II přináší zisk 3000 Kč • •z = 2000x1 + 3000x2 - zisk z produkce • - x1 tun směsi typu I • - x2 tun směsi typu II Účelová funkce Cenové koeficienty EMM1 20 Omezující podmínky: • 0,9x1 + 0,3 x2 £ 270 rýže • 0,5 x2 £ 100 pšenice • 0,1x1 + 0,2 x2 £ 60 vločky • Kapacitní koeficienty (pravé strany) Strukturní koeficienty Vlastní omezení: Podmínky nezápornosti: x1 ³ 0, x2 ³ 0 3 zdroje EMM1 21 Matematický model LP: 2 procesy, 3 zdroje (činitele) • z = 2000x1 + 3000x2 ® max(imalizovat) •za podmínek • 0,9x1 + 0,3 x2 £ 270 • 0,5 x2 £ 100 • 0,1x1 + 0,2 x2 £ 60 • x1 ³ 0, x2 ³ 0 EMM1 22 Některá přípustná a nepřípustná řešení úlohy LP: Jaké je optimální řešení úlohy, tj. takové x1 a x2, které dávají max zisk? EMM1 23 Grafické znázornění podmínky: 0,9x1 + 0,3 x2 £ 270, (x1 ³ 0, x2 ³ 0) EMM1 24 Grafické znázornění podmínky: 0,5 x2 £ 100, (x1 ³ 0, x2 ³ 0) EMM1 25 Grafické znázornění podmínky: 0,1x1 + 0,2 x2 £ 60, (x1 ³ 0, x2 ³ 0) EMM1 26 Grafické znázornění výsledné množiny všech přípustných řešení: EMM1 27 Grafické řešení úlohy LP: xopt x1 = 240 x2 = 180 z = 1 020 000 EMM1 28 Modifikace modelu: rizikovost procesů •1 tuna směsi typu I přináší očekávaný (průměrný) zisk 2000 Kč •1 tuna směsi typu II přináší očekávaný (průměrný) zisk 3000 Kč • •z = 2000x1 + 3000x2 - očekávaný (průměrný) zisk z produkce • - x1, resp., x2 tun směsi typu I, resp. typu II • Jednotkové zisky jsou náhodné veličiny s diskrétním nebo spojitým rozdělením pravděpodobnosti → • celkový zisk z produkce je ROVNĚŽ náhodná veličina! EMM1 29 Příklad: náhodný zisk (diskrétní rozdělení náh. vel.) •1 tuna směsi typu I přináší očekávaný (průměrný) zisk: • 1500 Kč s pravděpodobností 0,2 • 2000 Kč s pravděpodobností 0,6 • 2500 Kč s pravděpodobností 0,2 •Očekávaný (průměrný) zisk (střední hodnota): •E(jednot. zisk2) = 1500*0,2 + 2000*0,6 + 2500*0,2 = 2000 Kč •1 tuna směsi typu II přináší očekávaný (průměrný) zisk: • 2000 Kč s pravděpodobností 0,2 • 3000 Kč s pravděpodobností 0,6 • 4000 Kč s pravděpodobností 0,2 •Očekávaný (průměrný) zisk (střední hodnota): •E(jednot. zisk1) = 2000*0,2 + 3000*0,6 + 4000*0,2 = 3000 Kč EMM1 30 Omezující podmínky: • 0,9x1 + 0,3 x2 £ 270 rýže • 0,5 x2 £ 100 pšenice • 0,1x1 + 0,2 x2 £ 60 vločky • Kapacitní koeficienty (pravé strany) Strukturní koeficienty Vlastní omezení: Strukturní, resp. kapacitní koeficienty mohou být rovněž rizikové (tj. náhodné veličiny) Optimalizační úlohy s náhodnými koeficienty se řeší pomocí metod matematického programování 3 zdroje EMM1 31 Závěry •Ekonomický model – reálná situace (pojmy, teorie, data…) •Matematický model – přibližný (symbolický) model reality •Řešení matemat. modelu – slouží pro podporu rozhodnutí – DSS •Rozhodnutí pro reálnou akci – provádí vždy člověk!!!