1. Základní charakteristiky časových řad Rychlý náhled do problematiky kapitoly Analýza časových řad je vedena snahou po vysvětlení minulosti a předvídání budoucnosti, v ekonomické oblasti se jedná o vývojové trendy ukazatelů hospodářské činnosti. Analýza časových řad jako soubor metod a postupů nabízí širokou škálu nástrojů a technik. Ke klasickým analytickým postupům založeným na regresi a syntetickým přístupům založeným na technikách vyrovnání časových řad, přistupuje moderní, výpočetně náročnější harmonická analýza a Box-Jenkinsova metodologie využívající současného mohutného rozvoje výpočetní techniky. V této kapitole se seznámíme se základními charakteristikami časových řad. Budete umět Ø vypočítat údaje očištěné časové řady Ø určit elementární charakteristiky časových řad Ø graficky znázornit časové řady Ø základní členění ekonomických časových řad Jedním z důležitých úkolů statistických analýz ekonomických jevů je zkoumání jejich dynamiky. Empirická pozorování v ekonomické oblasti jsou často uspořádána do časové řady. Ekonomickou časovou řadou se rozumí řada hodnot jistého věcně a prostorově vymezeného ukazatele, která je uspořádána v čase směrem od minulosti do přítomnosti. Takto definovanou časovou řadu budeme zapisovat jako Příklady časových řad ¨ Ekonomické časové řady - mikroekonomie: tržby, počty zákazníků, zisky, skladové zásoby,… - makroekonomice: kurzy měny nebo akcií, vývoj HDP, inflace, nezaměstnanost, … - marketing: vývoj spokojenosti zákazníků,… ¨ Technické časové řady - rozměry výrobků z výstupu linky, teplota ohřáté vody, počet zmetků,… ¨ Přírodovědné časové řady - meteorologické záznamy, záření hvězd, vývoj populací zvířat,… Základní členění ekonomických časových řad a) vývoz České republiky v letech 1997 až 2007 · řada intervalového ukazatele (intervalová časová řada) · velikost hodnoty ukazatele závisí na délce časového intervalu sledování · např. objem výroby, spotřeba surovin b) počet zaměstnanců jisté firmy k 1.dni jednotlivých měsíců let 1991 až 2000 · řada okamžikového ukazatele (okamžiková časová řada) · okamžikovým ukazatelem je ukazatel vztahující se k jistému okamžiku · hodnota ukazatele nezávisí na délce časového intervalu sledování c) produktivita práce v průmyslu České republiky v letech 1997 až 2007 · řada odvozené charakteristiky · tento typ řady získáváme z intervalových nebo okamžikových časová řada · časová řada produktivity práce se odvozuje jako podíl časová řada produkce a časová řada počtu pracovníků Další dělení na dlouhodobé časové řady (roční a delší časové úseky) a krátkodobé (časové řady čtvrtletní, měsíční, týdenní). Časovou řadou absolutních hodnot se obvykle rozumí časová řada přímo zjištěných údajů (v naturálních jednotkách) očištěná od kalendářních variací. Odvozené údaje a z nich vytvořené časové řady získáme obvykle matematickými operacemi z absolutních údajů. Většinu důležitých ekonomických časových řad tvoří časové řady ukazatelů vyjádřených v peněžní formě. Vzhledem ke změnám cenové hladiny, které jsou v tržní ekonomice přirozené, však v delší časové řadě často dostáváme posloupnost údajů, které nejsou vždy zcela souměřitelné. Proto důležitým problémem v analýze časových řad je srovnatelnost údajů, konkrétně cenová srovnatelnost. Při sestavování delší časové řady je možno v zásadě postupovat dvojím způsobem: použít běžné ceny a vyjádřit v nich absolutní objem určitého ukazatele, resp. tempa růstu, nebo vycházet ze stálých cen, tj. cen fixovaných k určitému datu. Používání stálých cen v ekonomice vede ke zmírnění negativních tendencí v účinnosti základních fondů vyplývajících z vlivu technického rozvoje na výrobu, dále vede ke zreálnění výsledků hospodářského vývoje vzhledem k mezinárodnímu srovnání. Srovnatelnost časových řad Ø u intervalových časových řad je vhodné, aby se vztahovaly ke stejně dlouhým intervalům Ø problémy u krátkodobých časová řada, např. u řad měsíčních či čtvrtletních Grafické znázornění časových řad spojnicový graf , plošný graf, sloupcový graf, krabičkový graf. Údaje očištěné časové řady dostaneme z hodnoty očišťovaného ukazatele takto: , (1.1) kde je průměrný počet dnů v příslušném dílčím období, je skutečný počet dnů v příslušném dílčím období t. Příklad 1. Následující časová řada představuje výrobu autorádií (v tis. ks) v 5 po sobě jdoucích měsících: Měsíc_rok t Výroba (tis.ks) Očištěná výroba Leden_07 1 40 Únor_07 2 52 Březen_07 3 54 Duben_07 4 62 Květen_07 5 60 Průměrný počet dnů v měsíci je 30,42. Vypočítejte očištěné hodnoty výroby s ohledem na počet kalendářních dnů v měsíci, výsledky zaokrouhlete na 1 desetinné místo. Řešení: Použijeme vztah (1.1) a vypočteme očištěné hodnoty výroby: 40/31.30,42 = 39,3 52/28.30,42 = 56,5 54/31.30,42 = 52,9 62/30.30,42 = 62,9 60/31.30,42 = 58,9 Měsíc_rok t Výroba (tis.ks) Očištěná výroba Leden_07 1 40 39,3 Únor_07 2 52 56,5 Březen_07 3 54 52,9 Duben_07 4 62 62,9 Květen_07 5 60 58,9 1.1 Základní popisné charakteristiky Průměrná hodnota intervalové časová řada se vypočítá pomocí prostého aritmetického průměru: . (1.2) Průměrná hodnota okamžikové časové řady se počítá pomocí chronologického průměru. Při stejné vzdálenosti mezi jednotlivými okamžiky sledování se používá prostý chronologický průměr, který má tvar: . (1.3) Při různé délce mezi jednotlivými okamžiky se používá vážený chronologický průměr: , (1.4) kde je délka jednotlivých časových intervalů sledování okamžikového ukazatele. Příklad 2. Vypočítejte průměrnou hodnotu roční časové řady hrubého domácího produktu České republiky (HDP ČR) v mld. Kč (srovnatelné ceny), v letech 2001 – 2007: Tabulka 1.1 HDP ČR v letech 2001-2007 Rok HDP ČR 2001 1303,6 2002 1381,1 2003 1447,7 2004 1432,8 2005 1401,3 2006 1390,6 2007 1433,8 Celkem 9790,9 Řešení: Časová řada hrubého domácího produktu České republiky v letech 2001 – 2007 je intervalovou časovou řadou, proto se její průměrná hodnota vypočítá pomocí aritmetického průměru (1.2) . Průměrná hodnota časové řady v letech 2001 až 2007 je 1398,7 mld. Kč. Příklad 3. Vypočítejte průměrný počet registrovaných uchazečů o zaměstnání v České republice v roce 2007 v tis.osob. Tabulka 1.2 Počet registrovaných uchazečů o zaměstnaní v ČR v roce 2007 v tis. Osob Datum Počet uchazečů Délka intervalu 31.12.2006 487,6 31.1.2007 508,5 31 29.2.2007 506,1 29 31.3.2007 493,4 31 30.4.2007 471,2 30 31.5.2007 453,8 31 30.6.2007 451,4 30 31.7.2007 469,7 31 31.8.2007 467,3 31 30.9.2007 458,3 30 31.10.2007 445,2 31 30.11.2007 442,2 30 31.12.2007 457,4 31 Řešení: Počet registrovaných uchazečů o zaměstnaní v České republice v jednotlivých měsících roku 2007 je okamžiková časová řada, protože rozhodným okamžikem sledování je vždy poslední den daného měsíce. Protože vzdálenost mezi jednotlivými okamžiky sledování není stejná, použijeme pro výpočet průměrné hodnoty vážený chronologický průměr (1.4). Průměrný počet registrovaných uchazečů o zaměstnání v České republice v roce 2007 byl 469,9 tis. osob. Míry dynamiky Jednoduché míry dynamiky časové řady umožňují charakterizovat základní rysy chování časové řady a formulovat kritéria pro jejich modelování. Absolutní přírůstek (první diference) : (1.5) Tato charakteristika vyjadřuje přírůstek hodnoty v čase t proti času t –1. Průměrný absolutní přírůstek: (1.6) Diferencování časové řady má velký význam, používá se při modelování trendu časové řady k výběru trendové funkce. Je jednou z možností, jak upravit nestacionární časovou řadu na časovou řadu stacionární. Relativní přírůstek: (1.7) Po vynásobení 100 nám tato míra říká o kolik procent se změnila hodnota časové řady v čase t proti času t –1. Koeficient růstu: (1.8) Násobíme-li 100, dostaneme na kolik procent hodnoty v čase t –1 vzrostla hodnota v čase t. (tempo růstu – řetězové indexy) Průměrný koeficient růstu: (1.9) Koeficienty růstu se taktéž používají k nalezení vhodné trendové funkce. Příklad 4. Pro roční časovou řadu reálného hrubého domácího produktu České republiky v letech 2001 – 2007 v mld. Kč. Použijte data uvedená v příkladu 2 a vypočítejte základní míry dynamiky. Obr. 1.1Časová řada hrubého domácího produktu ČR v letech 2001 - 2007 v mld. Kč Řešení: V tab. 1.3 jsou na základě vztahu (1.5) až (1.9) vypočítány absolutní přírůstky, koeficienty růstu a relativní přírůstky časové řady. Tabulka 1.3 Míry dynamiky časové řady hrubého domácího produktu ČR Rok HDP ČR ∆y[t] k[t] δ[t] 2001 1303,6 2002 1381,1 77,5 1,059 0,059 2003 1447,7 66,6 1,048 0,048 2004 1432,8 -14,9 0,990 -0,010 2005 1401,3 -31,5 0,978 -0,022 2006 1390,6 -10,7 0,992 -0,008 2007 1433,8 43,2 1,031 0,031 [ ] Průměrný absolutní přírůstek průměrný koeficient růstu . Na obrázku 1.2 je zachycen vývoj absolutních přírůstků. Obr. 1.2 Absolutní přírůstky Příklad 5. V tabulce jsou uvedeny průměrné měsíční odměny zaměstnanců ve státní správě v letech 1999-2007. Pro tuto časovou řadu vypočítejte: a. absolutní přírůstky a průměrný absolutní přírůstek b. koeficienty růstu a průměrný koeficient růstu. Roky 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 Odměna 2980 3110 4500 5650 7460 8930 10670 12820 13250 Řešení: a. Absolutní přírůstky vypočítáme podle vztahu (1.5): 3110 - 2980 = 130, atd. Výsledek říká, že průměrná měsíční odměna stoupla v letech 1999 - 2000 o 130 Kč. Všechny absolutní přírůstky jsou uvedeny v následující tabulce. Průměrný absolutní přírůstek je podle (1.6): b. Koeficienty růstu vypočítáme podle vztahu (1.8). Např.: Průměrná měsíční odměna vzrostla v letech 1999- 2000 o 4,36%. Hodnoty ostatních koeficientů růstu jsou uvedeny v následující tabulce. Průměrný koeficient růstu vypočítáme podle (1.9): Výsledek ukazuje, že odměny rostly ročně v průměru o 20,5%. Roky 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 Odměna 2980 3110 4500 5650 7460 8930 10670 12820 13250 × 130 1390 1150 1810 1470 1740 2150 430 k × 1,04 1,45 1,26 1,32 1,2 1,19 1,20 1,03 Shrnutí: Vývoj základních ekonomických ukazatelů v České republice je možné sledovat jednak za jednotlivé roky ve statistických ročenkách, jednak podle jednotlivých měsíců ve statistických přehledech a bulletinech vydávaných Českým statistickým úřadem. Pro potřeby vrcholového řízení ve firmách a podnicích slouží především údaje o vývoji základních ukazatelů podle měsíců, neboť jde o informace s určitým vztahem k okamžité odezvě v chování ekonomických subjektů, ať už výrobců, nebo spotřebitelů. Jsou to zejména informace o inflaci (index spotřebitelských cen a indexy životních nákladů), dále informace o peněžních příjmech a výdajích obyvatelstva, o celkovém prodeji v maloobchodě, průmyslové, zemědělské a stavební výrobě a též údaje o nezaměstnanosti. Řešené příklady 1) Následující tabulka zachycuje údaje o obratu obchodní firmy ve vybraných měsících roku 2007. Očistěte tato data od kalendářních variací. Měsíc Obrat v Kč Květen 211 399 Červen 205 041 Červenec 214 144 Srpen 213 215 Září 213 798 Říjen 212 004 Řešení: Průměrná délka jednoho měsíce v roce je . Pro květen je třeba provést výpočet . Očištěné údaje časové řady jsou uvedeny v tabulce. Měsíc Obrat v Kč Očištěné údaje Květen 211 399 207 421 Červen 205 041 207 889 Červenec 214 144 210 114 Srpen 213 215 209 203 Září 213 798 209 775 Říjen 212 004 214 945 2) Stavy pracovníků stavebního podniku za období od 1.1. do 1.5. jsou uvedeny v prvním a druhém sloupci následující tabulky. Vypočítejte průměrný stav pracovníků za toto období. Datum Počet pracovníků 1.1. 178 1.2. 170 1.3. 180 1.4. 150 1.5. 162 Řešení: Vypočítáme chronologický průměr. Potřebné výpočty jsou uvedeny v tabulce. Datum Počet pracovníků Délka intervalu 1.1. 178 31 5 394 1.2. 170 28 4 900 1.3. 180 31 5 115 1.4. 150 30 4 680 1.5. 162 Součet 670 120 20 089 Prostý chronologický průměr je a vážený chronologický průměr je . Průměrný stav za dané období je 167,5 pracovníků. 3) V tabulce jsou zachyceny průměrné měsíční odměny ve firmě Ploty Morava v letech 1998 – 2007. Vypočtěte a interpretujte a) absolutní přírůstky a průměrný absolutní přírůstek, b) koeficienty růstu a průměrný koeficient růstu, c) druhé diference. Rok 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2692 2757 2808 2858 2901 2944 3005 3070 3138 3247 Řešení: Rok 1998 2692 1999 2757 65 1,024 2000 2808 51 1,018 -14 2001 2858 50 1,018 -1 2002 2901 43 1,015 -7 2003 2944 43 1,015 0 2004 3005 61 1,021 18 2005 3070 65 1,022 4 2006 3138 68 1,022 3 2007 3247 109 1,035 41 a) Absolutní přírůstky (diference) jsou uvedeny ve třetím sloupci tabulky a udávají roční přírůstky odměn, tj. o kolik Kč se absolutně zvětšily odměny v daném roce ve srovnání s předcházejícím rokem. Průměrný absolutní přírůstek je . Průměrná měsíční odměna stoupla v letech 1998 – 2007 ročně v průměru o 62 Kč. b) Koeficienty (tempa) růstu jsou uvedeny ve čtvrtém sloupci tabulky a udávají kolikrát se zvětšila výše odměny v daném roce ve srovnání s rokem předcházejícím (tzv. řetězové indexy růstu odměn). Průměrný koeficient růstu je Průměrná měsíční odměna stoupla v letech 1998 – 2007 ročně o 2,1%. c) Druhé diference jsou vypočteny v pátém sloupci tabulky. Používají se např. při určování modelu trendu (další kapitola). Příklady k procvičení Ano či ne?… 1) Časová řada je posloupnost hodnot určitého ukazatele. Tato posloupnost hodnot je uspořádaná podle času. 2) Roční časová řada patří mezi časové řady krátkodobé. 3) Mezi krátkodobé časové řady patří časové řady, jejichž údaje jsou zaznamenávány ve čtvrtletních, měsíčních, týdenních a jiných kratších periodách. 4) Koeficient růstu je vždy větší než 1. 5) Absolutní diference mohou nabývat záporných hodnot. Doplňte… 6) Při grafickém znázorňování časové řady nanášíme na osu x ……… a na osu y ………….. ………………….. ………….. 7) Koeficienty (tempa) růstu udávají kolikrát se zvětšila hodnota v daném období ve srovnání s obdobím ………………….. 8) Uveďte konkrétní příklady časových řad. 9) Při porovnání hodnot ukazatelů intervalových krátkodobých časových řad, vztahujících se na různě dlouhé časové intervaly, provádíme tzv. ……………… údajů. 10) Mezi elementární charakteristiky časových řad patří: …………………., ………………….,……………………….,……………………..,………………………….. Řešte… 11) Vyhledejte roční časové řady „Počet obyvatel ČR“ a „Peněžní příjmy obyvatelstva ČR“ od roku 1997 – 2007. Která časová řada je okamžiková a která intervalová? Graficky znázorněte tyto časové řady. Použijte data uvedená na stránkách Českého statistického úřadu (www.czso.cz). 12) Znázorněte charakter čtvrtletní časové řady hrubého domácího produktu České republiky v letech 200 – 2007. Použijte data uvedená na stránkách Českého statistického úřadu. 13) Následující časová řada 20; 23; 26; 29; 35 představuje výrobu snowbordů (v tis.ks) v období od ledna 2007 do května 2007. Vypočítejte očištěné hodnoty výroby s ohledem na počet kalendářních dnů v měsíci, víte-li, že průměrný počet dnů v měsíci je 30,42. Výsledky zaokrouhlete na 1 desetinné místo. 14) Určete průměrný počet obyvatel České republiky v letech 1981 – 1990, máte-li k dispozici následující údaje. K řešení použijte vážený chronologický průměr. Rok 1981 1985 1987 1989 1990 Počet obyvatel (tis.) 10 303 10 337 10 349 10 362 10 363 15) V následující tabulce jsou uvedeny údaje o velikosti tržby textilního podniku v osmi měsících roku 2007 (v Kč). Určete průměrné tempo růstu a průměrnou hodnotu tržby za jeden měsíc. Měsíc březen duben květen červen červenec Tržba (Kč) 121 418 120 401 124 124 125 873 127 002 Měsíc srpen září říjen Tržba (Kč) 129 188 132 387 134 200 Klíč k řešení Ano či ne?… 1) ano 2) ne 3) ano 4) ne 5) ano Doplňte… 6) čas, hodnoty časové řady 7) předcházejícím 8) míra nezaměstnanosti, stav vkladů obyvatelstva, počet volných pracovních míst, počet obyvatel, příjmy a výdaje obyvatelstva, počet dopravních nehod, atd. 9) očišťování 10) absolutní přírůstky, relativní přírůstky, koeficienty růstu, průměrný absolutní přírůstek, průměrný koeficient růstu Řešte… 11) „Počet obyvatel ČR“ – okamžiková časová řada „Peněžní příjmy obyvatelstva ČR“ – intervalová časová řada 12) bodový, spojnicový graf 13) 19,6; 24,9; 25,5; 29,4; 34,3 14) 10 337,7 15) 1,44%; 126 824 Kč