1 Ekonomicko-matematické metody Mgr. Jiří Mazurek, Ph.D. 2 Předmět Ekonomicko-matematické metody •Kód studijního předmětu: INM/NPEMM •Garant: doc. RNDr. David Bartl, Ph.D. •Vyučující: Mgr. Jiří Mazurek, Ph.D. • •Rozsah studijního předmětu: 2+1 •Počet kreditů: 5 ECTS •Způsob zakončení: zkouška (písemná) •Forma výuky: přednáška, seminář v PC učebně 3 Předmět Ekonomicko-matematické metody •Podmínky absolvování předmětu: • •Aktivní účast na seminářích: alespoň 70% •Průběžný test max. 30b. •Zkouškový test max. 70 b. •Celkem max. 100 b. • •Klasifikace: • •0 až 59 b. F •60 až 64 b E •65 až 69 b. D •70 až 79 b. C •80 až 89 b. B •90 až 100 b. A 4 Předmět Ekonomicko-matematické metody v eLearningu • •Kurs a interaktivní osnova v IS SU •https://is.slu.cz/auth/el/opf/zima2022/INMNPEMM/ • •Adresář „public“ na disku L: •L:\mazurek\public\ • •Obsahuje všechny materiály: distanční studijní oporu (texty), excelovské soubory s příklady ze seminářů, doplňkové soubory, studijní literaturu, SW, odkazy na jiné weby apod. 5 Trocha historie o matematickém modelování v ekonomii •Matematika se do ekonomie začala prosazovat ve 30. letech minulého století. Ke skutečnému boomu došlo až s nástupem počítačů •Rhind-Ahmesův papyrus ze 17. stol. př. n. l. obsahuje některé hospodářské úlohy, které lze při troše tolerance považovat za matematické aplikace v ekonomii. •Luca Pacioli je známý především jako zakladatel účetnictví: Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita (1494). He warned that a person should not go to sleep at night until the debits equalled the credits... •V novověké historii se lze setkat s matematickým modelováním již v klasických pracích o politické ekonomii, např. v díle Political arithmetics od anglického filosofa W. Pettyho (1623 – 1687). •Švýcarský ekonom León Walras (1834 – 1910) jako první používal matematický aparát jako nedílnou součást svých ekonomických úvah o marginální teorii užitku a v teorii ekonomické rovnováhy. •Vilfredo Pareto (1848 – 1923) - žák L. Walrase - dovedl používání matematiky v ekonomii k dnešním standardům. •Mnoho ekonomů-matematiků dostalo Nobelovu cenu (např. John Nash). • Rhind-Ahmesův papyrus EMM1 6 7 Ekonomicko-matematické metody •Matematické programování a jeho aplikace •Lineární programování •Vícekriteriální optimalizace •Cílové programování •Modely analýzy obalu dat •Modely optimalizace portfolia •Optimalizační úlohy na grafech •Řízení projektů: Časová analýza: CPM, PERT •Software k řešení optimalizačních úloh na PC •Operační výzkum (operační analýza) •Operační management • 8 Příklad tvorby matematického modelu: Maximalizace zisku podnikatele při omezených výrobních zdrojích a omezeném odbytu • Název disciplíny: Operační management • •Teoretické schéma: Suroviny Polotovary Výrobní zaříz. Pracovní síla Kapitál … Výrobce – organizátor (manažér, plánovač aj.) Výrobky (nositele užit. hodnot) Omezený odbyt Omezené zdroje Výrobní program Matematický model 9 Výrobní program • Výrobkový seznam (n výrobků: 1, 2,…,n) • Objem výroby jednotlivých výrobků • množství, kusy ( x1, x2 , … , xn ³ 0 ) • předem neznámý rozsah výroby Jednotlivé zisky a celkový zisk ● ● ● ● ● 10 Omezené zdroje • Seznam omezených zdrojů (m zdrojů: 1, 2,…,m) • Disponibilní množství zdrojů • ( b1, b2, … , bm ³ 0 ) • Volný nákup zdrojů z celkové omezené částky • ● ● ● 11 Technologické (strukturní) koeficienty • aij - technologický koeficient zdroje i na výrobek j (množství zdroje " i " potřebného k výrobě jednotky výrobku " j " ) • • aij xj - množství zdroje " i " potřebného k výrobě xj jednotek výrobku " j " • • ai1 x1 + ai2 x2 + … + ain xn - množství zdroje "i" • potřebného k výrobě výrobního programu X = (x1 , x2,…, xn) • ● ● ● 12 Omezení odbytu • hi - horní omezení odbytu výrobku "i" • • 0 £ xj £ hj - objem výroby výrobku "j" nesmí překročit odbytové možnosti • Přípustné výrobní programy PVP X = (x1 , x2,…, xn) splňuje: podmínky disponibilních zdrojů: ai1 x1 + ai2 x2 + … + ain xn £ bi i = 1,2,…, m podmínky odbytových možností: 0 £ xj £ hj j = 1,2,…,n ● ● ● ● 13 Optimální výrobní program • Takový přípustný výrobní program X = (x1, x2,…, xn) který maximalizuje celkový zisk: • • c1x1 + c2x2 + … + cnxn • • Pro nalezení OVP musíme shromáždit : • ·výrobkový seznam ·jednotkové zisky ·disponibilní množství zdrojů ·technologické koeficienty ·omezení odbytu 14 Optimální výrobní program … • • sestavení modelu • • matematický model • • řešení (počítač) • • optimální výrobní program X* = (x*1 , x*2,…, x*n) Data 15 Optimalizace výrobního programu • c1x1 + c2x2 + … + cnxn ® MAX; • • za omezení • • ai1 x1 + ai2 x2 + … + ain xn £ bi i = 1,2,…, m • • 0 £ xj £ hj j = 1,2,…,n 16 Příklad: •Výrobce tzv. „racio“ pokrmů plánuje výrobu dvou typů směsí. Na jejich výrobu má na jedno plánovací období k dispozici rýži o kapacitě 270 tun, pšenici o kapacitě 100 tun a ovesné vločky o kapacitě 60 tun. Při výrobě dvou typů směsí je třeba dodržovat složení daných směsí podle následující tabulky. • • • • • • • •Na základě všech nákladů souvisejících s výrobou a dle předpokládané prodejní ceny obou směsí byl vykalkulován zisk 2000 Kč za 1 tunu směsi typu I a 3000 Kč/t směsi typu II. Jak má firma naplánovat výrobu, aby byl celkový zisk maximální? Surovina Racio směs Kapacita surovin Směs I Směs II Rýže 90% 30% 270 Pšenice 50% 100 Vločky 10% 20% 60 17 Transformace ekonomického modelu na model matematický 2 procesy: 1.výroba směsi typu I v množství x1 ³ 0 2.výroba směsi typu II v množství x2 ³ 0 3 činitelé (zdroje): Rýže, pšenice, ovesné vločky 18 Efektivnost procesů: •1 tuna směsi typu I přináší zisk 2000 Kč •1 tuna směsi typu II přináší zisk 3000 Kč • •z = 2000x1 + 3000x2 - zisk z produkce • - x1 tun směsi typu I • - x2 tun směsi typu II Účelová funkce Cenové koeficienty 19 Omezující podmínky: • 0,9x1 + 0,3 x2 £ 270 rýže • 0,5 x2 £ 100 pšenice • 0,1x1 + 0,2 x2 £ 60 vločky • Kapacitní koeficienty (pravé strany) Strukturní koeficienty Vlastní omezení: Podmínky nezápornosti: x1 ³ 0, x2 ³ 0 3 zdroje 20 Matematický model LP: 2 procesy, 3 zdroje (činitele) • z = 2000x1 + 3000x2 ® max(imalizovat) •za podmínek • 0,9x1 + 0,3 x2 £ 270 • 0,5 x2 £ 100 • 0,1x1 + 0,2 x2 £ 60 • x1 ³ 0, x2 ³ 0 21 Některá přípustná a nepřípustná řešení úlohy LP: Jaké je optimální řešení úlohy, tj. takové x1 a x2, které dávají max zisk? 22 Grafické znázornění podmínky: 0,9x1 + 0,3 x2 £ 270, (x1 ³ 0, x2 ³ 0) 23 Grafické znázornění podmínky: 0,5 x2 £ 100, (x1 ³ 0, x2 ³ 0) 24 Grafické znázornění podmínky: 0,1x1 + 0,2 x2 £ 60, (x1 ³ 0, x2 ³ 0) 25 Grafické znázornění výsledné množiny všech přípustných řešení: EMM1 26 Grafické řešení úlohy LP: xopt x1 = 240 x2 = 180 z = 1 020 000 27 Modifikace modelu: rizikovost procesů •1 tuna směsi typu I přináší očekávaný (průměrný) zisk 2000 Kč •1 tuna směsi typu II přináší očekávaný (průměrný) zisk 3000 Kč • •z = 2000x1 + 3000x2 - očekávaný (průměrný) zisk z produkce • - x1, resp., x2 tun směsi typu I, resp. typu II • Jednotkové zisky jsou náhodné veličiny s diskrétním nebo spojitým rozdělením pravděpodobnosti → • celkový zisk z produkce je ROVNĚŽ náhodná veličina! 28 Příklad: náhodný zisk (diskrétní rozdělení náh. vel.) •1 tuna směsi typu I přináší očekávaný (průměrný) zisk: • 1500 Kč s pravděpodobností 0,2 • 2000 Kč s pravděpodobností 0,6 • 2500 Kč s pravděpodobností 0,2 •Očekávaný (průměrný) zisk (střední hodnota): •E(jednot. zisk2) = 1500*0,2 + 2000*0,6 + 2500*0,2 = 2000 Kč •1 tuna směsi typu II přináší očekávaný (průměrný) zisk: • 2000 Kč s pravděpodobností 0,2 • 3000 Kč s pravděpodobností 0,6 • 4000 Kč s pravděpodobností 0,2 •Očekávaný (průměrný) zisk (střední hodnota): •E(jednot. zisk1) = 2000*0,2 + 3000*0,6 + 4000*0,2 = 3000 Kč 29 Omezující podmínky: • 0,9x1 + 0,3 x2 £ 270 rýže • 0,5 x2 £ 100 pšenice • 0,1x1 + 0,2 x2 £ 60 vločky • Kapacitní koeficienty (pravé strany) Strukturní koeficienty Vlastní omezení: Strukturní, resp. kapacitní koeficienty mohou být rovněž náhodné veličiny. Optimalizační úlohy s náhodnými koeficienty se řeší pomocí metod matematického programování 3 zdroje 30 Závěr •Ekonomický model – reálná situace (pojmy, teorie, data…) •Matematický model – přibližný (symbolický) model reality •Řešení matemat. modelu – slouží pro podporu rozhodnutí – DSS •Rozhodnutí pro reálnou akci – provádí vždy člověk!!!